Mines Maths 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Racines carrées de matrices symétriques définies positives
Principaux outils utilisés calcul matriciel, base orthonormale de vecteurs propres, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :
MATHÉMATIQUES II --- PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'ênoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soient
deux familles de réels (ak, le : 1, -- -- ,n) et (bk, !: = 1,--- ,n) 
satisfaisant

O O.

I.

Préliminaires

Dans Cette partie, A est un élément de 8...

Montrer que A est positive si et seulement si les valeurs propres de A

sont toutes positives.

Montrer que A est définie positive si et seulement si A est positive et

inversible.

Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C, symétrique

définie positive telle que 02 =' A.

Si A et C sont symétriques définies positives et C2 = A, montrer que,

pour toute valeur propre À de A, on a:

Ker (A -- /\In) = Ker (C -- \/XIn).

En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice
symétrique définie positive telle que C'2 = A et que dans toute base de

vecteurs propres de A, C est diagonale.

On notera désormais C : A1/2.

On suppose A définie positive. Montrer qu'il existe une unique matrice,
notée A"1/2, symétrique définie positive telle que A°1/2A"1/2 : A"1.

Prouver que (Al/2)"1 = A'1/2.

Soit B une matrice symétrique positive qui commute avec A. Est--ce que

A1/2 et B"2 commutent?

II. Inégalité de KANTOROVITCH

Dans cette partie, A est une matrice fixée de S... définie positive. On

range les valeurs propres de A, répétées suivant leur multiplicité, dans l'ordre
croissant: () < À1 _<_ . . . _<_ Àn. On note m et M deux réels strictement 
positifs

tels quemî À1 et A,; _<_M.

9) Pour tout élément X EUR Mn1, montrer l'inégalité suivante:

(XIX)? < (AX|X)(A"1X|X). (2)

10) Quelles sont les matrices pour lesquelles cette inégalité est une égalité
pour tout X de M...1?

Soit F la fonction polynomiale qui a tout s de IR associe

F(s) = 52 --(m+M).s+mM.

11) Quelles sont, en fonction de celles de A, les valeurs propres de la ma--
trice F (A)?

12) Montrer que toutes les valeurs propres de F(A) sont de même signe.

Préciser ce signe.

13) Soit N la matrice définie par
N = -- (A-- (m+M)In+mM/l_l) .

Montrer que N est symétrique positive.

Pour tout élément X EUR Mn,1, on considère l'application polynomiale f
de IR dans IR défini par:

f(s) = (AX | X).s2 -- (m + M)(X | X).s + (A"1X|X)mM.

14)

15)

16)

17)

18)

Calculer f(O) et f(l) et montrer que f(0)f(l) < 0.

Établir que pour tout X EUR Mn,1, l'inégalité suivante est satisfaite:

(m--l--M)2

(AXlX)(A'1XlX) _<_ 4mM

(XlX)2-- (3)

Soit D = {(...,M) EUR IR2 /0 < m 5 /\1 g ,\n 5 M}. Établir l'identité

suivante:
inf (... + M)2 _ (A1 + /\n)2

'D mM À1Àn

On suppose que A n'est pas une homothétie. On considère X 1 (respecti--
vement X n) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre
À1 (respectivement An). On pose X = X 1 + X... Calculer

(AX | X)(A--1X | X)
(X | X )2 '

Que peut--on en déduire sur l'inégalité (3) ?

III. Inégalité de PÔLYA-SZEGÔ

On suppose dorénavant que A1 et A2 sont deux matrices symétriques,

définies positives qui commutent. On note mi (respectivement AL), la plus

petite (respectivement la plus grande) valeur propre de A), pour i = l, 2. On
pose D : A1A'2'1.

19)

Déterminer un réel oz tel que pour tout élément X de Mn,1, l'inégalité

suivante soit satisfaite:

(DX ) X)(D--1X | X) 5 a(X | X)?

20) Exprimer (D(A1A2)1/2X| (A1A2)1/2X) en fonction de A1X, pour tout
X E M....

21) Montrer que pour tout X EUR M...1, l'inégalité suivante est satisfaite:

(A1X | A1X)(A2X | A2X) S 01 (A1X ' A2X)2.
22) Établir la relation (1).

FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Le problème est consacré à la démonstration complète (sans aucun résultat admis)
de l'inégalité suivante portant sur des réels positifs classés de 1 à n :
n
n
P
P
ak 2
bk 2
an b n + a1 b 1
k=1
1 6 k=1
(1)
 n
2 6
4 a1 b 1 an b n
P
b k ak
k=1

L'originalité réside dans la technique de démonstration, qui passe par des 
propriétés des matrices symétriques positives constituant en fait le coeur du 
problème.
Le sujet, progressif, se subdivise en trois parties :
· La première partie, fort justement appelée préliminaire, est là pour 
introduire
la notion hors programme de racine carrée d'une matrice symétrique réelle
positive et en donner les principales propriétés. C'est un grand classique qui a
déjà été posé, pratiquement sous cette forme, dans un nombre impressionnant
de concours. Si l'on considère que cela se rencontre aussi dans des exercices
posés à l'oral, on ne peut que conseiller une étude précise de cette partie.
De plus, elle utilise bien le cours sur les matrices symétriques et vous aidera 
à
en comprendre quelques subtilités.
· La deuxième partie est plus technique tout en restant abordable. Il suffit de
penser à utiliser au bon moment la notion de racine d'une matrice symétrique
positive introduite dans les préliminaires. Il y a peut-être quelques idées un
peu astucieuses vers la fin : cherchez un peu avant de regarder les indications.
Le résultat le plus important est l'inégalité (3) sur laquelle repose la 
démonstration de l'inégalité (1). Pour tout vecteur colonne X et toute matrice 
symétrique
définie positive A dont les valeurs propres sont encadrées par m et M, on a
(AX | X) (A-1 X | X) 6

(m + M)2
(X | X)2
4 mM

(3)

· La troisième partie est assez courte, il s'agit de bien exploiter les 
résultats antérieurs. Il n'y a pas de difficulté pour quelqu'un qui a traité 
les deux premières
parties en comprenant la signification des résultats qu'il démontrait : il 
trouvera rapidement ce qu'il faut utiliser des questions antérieures pour 
obtenir les
inégalités demandées. La dernière question est presque décevante, on obtient
l'inégalité cherchée en utilisant certes les résultats antérieurs sur les 
matrices,
mais sur un cas tellement particulier que l'on ne peut s'empêcher de penser
qu'il doit y avoir beaucoup d'autres choses à faire.

Indications
1 Démontrer d'abord que A positive entraîne que les valeurs propres de A sont
positives. Pour la réciproque, il faut utiliser la propriété fondamentale de 
diagonalisation des matrices symétriques réelles que vous trouverez dans le 
chapitre
« espace vectoriels euclidiens ».
3 Trouver la matrice C dans le cas particulier où la matrice A est diagonale, 
puis
t
utiliser la question précédente. Si P est une matrice orthogonale, alors P P = 
In .

4 Démontrer d'abord que Ker (C -  In )  Ker (A -  In ). Pour l'autre inclusion,
il faut utiliser une propriété sur les dimensions des sous-espaces propres d'un
endomorphisme diagonalisable, que vous trouverez dans le chapitre « réduction
des endomorphismes ».
5 Montrer que si P est une matrice telle que P-1 AP est diagonale, P-1 CP l'est
aussi.
6 Remarquer que si  est valeur propre de A inversible,  n'est pas nul et 1/ est
valeur propre de A-1 .
7 Remarquer que A et A-1 ont les mêmes vecteurs propres.
8 Commencer par démontrer que si deux matrices diagonalisables commutent, alors
il existe une base commune de vecteurs propres (on dit qu'elles sont 
simultanément
diagonalisables).
9 Utiliser A1/2 et un couple franco-allemand célèbre.
10 L'existence d'un cas d'égalité spécifique peut aider pour la question 
précédente si
on ne l'a pas trouvée.
11 Commencer par montrer que  valeur propre de A entraîne que F() est valeur
propre de F(A). Pour la réciproque utiliser une base de vecteurs propres de A et
remarquer qu'ils sont aussi vecteurs propres de F(A).
12 Penser au signe d'un trinôme du second degré.
13 Utiliser les valeurs propres de NA.
14 Ne pas se laisser tromper par la formulation de la question, il faut étudier 
le signe
de chacun des facteurs.
15 Penser au signe du discriminant d'un trinôme du second degré.
(m + M)2
(1 + n )2
6
pour tous les couples
16 Commencer par montrer que
1 n
mM
(m, M) considérés.
19 Utiliser la diagonalisation simultanée pour trouver les valeurs propres de 
Q, puis
les questions 15 et 16.
20 Utiliser la matrice D1/2 .
21 Établir pour la matrice D-1 un résultat analogue à celui de la question 
précédente,
puis utiliser ces deux résultats ainsi que la question 19.
22 Il suffit de bien choisir A1 , A2 et X.

I. Préliminaires
1 Supposons que A soit une matrice symétrique positive. Soit  une valeur propre
de A et X un vecteur propre associé. On a alors
t
t
AX = X
d'où
X AX = X X = kXk2
t
X AX et kXk2 sont positifs, donc  est un réel positif ou nul.
Rappelons que le produit scalaire canonique entre deux vecteurs colonnes X
et Y s'exprime à l'aide du vecteur transposé :
P
(X | Y) = t X Y = xi yi
i

Formellement, on obtient alors une matrice réelle 1 × 1 que l'on identifie avec
le réel qu'elle contient. On retrouve par la même occasion la relation rappelée
par l'énoncé
t

t

t

t

(AX | Y) = (AX) Y = X A Y = (X | A Y)
Soit maintenant A une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont
positives. A étant symétrique réelle, elle est diagonalisable par changement de 
base
orthonormale, donc il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale 
D
t
telles que P AP = D.
En toute rigueur, on ne peut parler de changement de base pour une
matrice, mais uniquement pour l'endomorphisme qui lui est canoniquement
associé. Pour le cas qui nous intéresse, cela revient à dire qu'il existe une
t
matrice orthogonale P telle que P AP soit diagonale.
Rappelons enfin que ce résultat de diagonalisation en base orthogonale
n'est vrai que pour les matrices symétriques réelles et est en général faux
pour les matrices symétriques complexes.
Les éléments diagonaux de D sont les valeurs propres de A, donc, par hypothèse,
t
t
ce sont des réels positifs ou nuls. De P AP = D, on déduit A = PD P, puis
t

t

Posons Y = P X et notons

t

t

X AX = X PD P X
 
y1
 y2 
 
Y= . 
 .. 
yn

t

t t

On a, en remarquant que X P = ( P X),

y1
n
  P
t
t
X P D P X = (y1 , · · · , yn ) D  ...  =
i yi 2
yn

i=1

t

Cette dernière somme est positive ou nulle tout comme les i , donc X AX est un 
réel
positif ou nul pour toute matrice colonne X. Ainsi, A est une matrice positive.
Par conséquent,
A est positive si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes 
positives.

2 Montrons d'abord qu'une matrice définie positive est positive et inversible.
La matrice A est définie positive si et seulement si, pour toute matrice 
colonne X
t
non nulle, X AX > 0. En particulier, A est une matrice symétrique positive.
t
De plus, pour tout vecteur X non nul, AX est distinct du vecteur nul (sinon X AX
serait nul). On a donc montré que pour toute matrice colonne X, AX = 0 entraîne
que X = 0. Ainsi, le noyau de A est réduit au vecteur nul et A est inversible.
Réciproquement, supposons A positive et inversible. D'après la question 
précédente, les valeurs propres de A sont positives ou nulles. Comme A est 
inversible,
son noyau est réduit au vecteur nul et 0 n'est pas valeur propre de A. Les 
valeurs
propres de A sont strictement positives.
Soit X un vecteur propre de A. Il est en particulier non nul. Avec les notations
t
t
de la question précédente, P étant une matrice inversible, Y = P X n'est pas 
nul.
n
P
Il existe donc un indice i pour lequel yi est non nul. La somme
i yi 2 est alors
i=1

strictement positive comme somme de termes positifs ou nuls dont l'un au moins 
est
non nul. Ceci montre que t X AX est strictement positif pour tout vecteur X non 
nul
et donc que A est définie positive. En conclusion,
A est définie positive si et seulement si A est positive et inversible.

3 D'après la question 1, si A est positive, toutes ses valeurs propres sont 
positives.
Il existe donc une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D à éléments
diagonaux positifs telle que
D = t P AP

soit

A = PD t P

La matrice D s'écrit D = Diag(1 , . . . n ) avec les i réels positifs. On peut 
définir
une matrice D

D = Diag( 1 , . . . , n )
vérifiant
D2 = D
t

On a alors

A = PD2 P
t

t

t

car P P = In

= PD P PD P

t

en posant C = PD P

A = C2
t

D est diagonale et de ce fait D = D. Ainsi,
t

C=

tt

P t D t P = PD t P = C

et C est symétrique.
Enfin, A étant définie positive, ses valeurs propres sont 
strictement positives
d'après la question 2. On en déduit que les valeurs propres i de C sont 
strictement positives et, toujours d'après la question 2, il en résulte que C 
est définie
positive.
Si A est définie positive, il existe C symétrique définie positive telle que C2 
= A.

4 Soit X un élément de Ker (C -  In ),

CX =  X
donc
C2 X =  CX =  X
Par conséquent
Il s'ensuit

AX =  X
Ker (C -

et

X  Ker (A -  In )

 In )  Ker (A -  In )