Mines Maths 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude d'un sous-groupe de M3(R) × M3(R) isomorphe au groupe des déplacements de R³
Principaux outils utilisés algèbre des groupes, rotations et translations dans l'espace
Mots clefs déplacement, rotation, translation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAU'I'IQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle Intemational, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Première partie

Soit M l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3. Soit C le 
produit caflésien
M x M. 11 est admis que cet ensemble est un espace vectoriel réel à l'aide de 
la loi interne,
addition, et de la loi externe, multiplication par un réel, définies par les 
relations suivantes :

La somme de deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) est l'élément (P + R, Q + S) :

(P, Q) + (R, s) = (P+R, Q+S). _
Le produit d'un réel ). et de l'élément (P, Q) est l'élément (AP, AQ) de C :

101 Q) = (AP. AQ).
En plus de ces lois de composion, soit * la loi de composition interne, appelée 
produit, qui, aux

deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) fait correspondre l'élément de C, (PR, P.S 
+ QR) ,
(RR, PS et QR sont respectivement les produits des matrices P, R, P, S et Q, R).

(P, Q) * (R, S) = (RR, P.S+Q.R).

L'algèbre (C, +, ., *) :
1. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel C ?

2. Démontrer que l'espace C est une R--algèbre associative unitaire. L'élément 
unité de cette
algèbre est noté e.

Étant donné l'élément (P, Q) de C, soit ' (P, Q) l'élément de C défini à l'aide 
des matrices
transposées 'P et ' Q des matrices P et Q de la façon suivante :

'(P, Q) = ('P, 'Q)-

Ï Soit G le sous--ensemble des éléments (P, Q) de C tels que :

- la matrice P est orthogonale directe : son déterminant est égal à 1.
. les matrices P et Q vérifient la relation : 'P.Q + 'Q.P == 0

G = ((P, Q) | (P, Q) e C, P e SO(R3), 'P.Q+ 'Q.P = o}.

Le groupe G :
3. Démontrer que le sous--ensemble G de C est, pour la loi produit *, un groupe.

4. Soit E le sous--ensemble des éléments (P, O) du groupe G. Démontrer que B 
est un
sous--groupe de G isomorphe au groupe SO (R3 ).

5. Soit A le sous-ensemble des éléments (13, Q) de G (13 est la matrice unité).

A =((1,, Q) | (13, Q) E G}.

Est--ce que A est un sous-groupe de G ?

6. Démontrer que, pour qu'un élément (P, Q) de C appartienne à G, il faut et il 
suffit que le
déterminant de la matrice P soit égal à 1 et que la relation ' (P, Q) * (P, Q) 
= e ait lieu :

(P, Q) e G <= '(P, Q) * (P, Q) = e, detP = 1.

Seconde partie

Le but de cette partie est de montrer qu'il existe un isomorphisme entre le 
groupe des
déplacements de l'espace de la géométrie affine euclidienne et le groupe G 
étudié ci-dessus.
Dans toute la suite, E3 est un espace vectoriel euclidien orienté par une base 
orthonormée

...-}--,

directe B = ( i , ] , k ). Le produit scalaire de deux vecteurs ? et 37 est 
noté ?."ÿ'.

Un résultat préliminaire :

7 . Soit ?? un vecteur de E3 ; soit p; l'endomorphisme de E:, dans lui--même 
qui, au vecteur ?,
associe le produit vectoriel des vecteurs ?? et Y : ? n---> ?? A ?. Quelle est 
la matrice P--;,-- associée à
l'application p--,--,-- dans la base B de E3 ?

8. Soit r une rotation de E3 dans lui--même ; comparer pour deux vecteurs 
quelconques ? et ?
de E3 les expressions suivantes :

r(ï'Aÿ), r(Y) Ar(ÿ).

_ 9. Démontrer que, S] r est une rotation de E3 et 3 un vecteur de E3 , 11 
ex15te un vecteur b de
E3 tel que l'endomorphisme r o p;,--, composé de p; et de r, est égal à 
l'endomorphisme p; o r,
composé de r et de p--5 :

" ° P3 = P7; ° " ;
o à ' V .
' exprimer ce vecteur b en foncüon du vecteur îz' et de la rotaüon r.

Dans toute la suite, soit E l'espace de la géométrie affine euclidienne 
orientée ; E est supposé
être un espace affine de direction un espace vectoriel euclidien orienté E3. 
Soit 0 une origine et

;--o-+--+

i, j , k trois vecteurs orthonormés constituant avec le point 0 un repère Oxyz 
direct.

Détermination d'une droite à l'aide de deux vecteurs et d'un repère :
L'espace E est muni d'un repère orthonormé direct Oxyz ; soit D une droite de 
l'espace afiine
--. E, A un point de cette droite et Î1' un vecteur directeur unitaire de cette 
droite.

10. SoitM un point quelconque de la droite D. Démontrer que le vecteur V, égal 
au produit
_' . .
vectoriel des vecteurs OM et 'û', est indépendant du poth de la drorte D :

V='0ÎÏATL

Comparer les directions des deux vecteurs "z? et ?.

ll. Soient "il" et ? deux vecteurs de l'espace E3 tels que le vecteur 'ù' soit 
unitaire ( || îz' || = 1 )
et ? orthogonal à ïî (il? = 0). Déterminer, à l'aide des deux vecteurs 't? et 
ïl' A ?, les vecteurs ?

de E3, solutions de l'équation suivante :

?A'ü'=î

12. Étant donnés deux vecteurs ?? et V de l'espace E3 tels que le vecteur îr' 
soit unitaire
( || îî || = l) et ? orthogonal à ? (Îî.îf' : O), démontrer qu'il existe une 
seule droite D de

l'espace E telle qu'un vecteur directeur unitaire de la droite D soit le 
vecteur T:" et que tout poth
de D vérifie la relation suivante : -

5174 A Îl' = V.
13. Exemple : les vecteurs 'ü' et ? sont définis, dans le repère Oxyz, par les 
relations suivantes :
7=? ; V=bÎ+cÎË,

où b et c sont deux réels donnés. Déterminer la droite D correspondante.

Soit P le sous--ensemble de E3 x E 3 des couples de deux vecteurs ('ü', ?) tels 
que le premier
vecteur ? soit unitaire et le second ? soit perpendiculaire à T).

14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs ('û', 
?) et (îî', V') ,
appartenant à P, déterminent la même droite D ?

Soit d un déplacement de l'espace E muni du repère orthonormé direct Oxyz ; par 
définition, il
est égal à l'application composée d'une rotation r de l'espace E3 et d'une 
translation de vecteur ??

de E3 ; soit M ' l'image par ce déplacement d d'un pointM ; le vecteur OM est 
relié au vecteur
----' . .
OM par la relation suivante :

--O_Î/Î' = ä'+r(--Ô_ÀÏÏ).

Isomorpbîsme entre le groupe des déplacements de l'espace E et le groupe G :
Soient d un déplacement, D une droite quelconque de l'espace E et D' l'image de 
la droite D
par le déplacement d : »

D' = d(D).

15. Aux deux droites D et D' de l'espace E, muni du repère orthonormé direct 
Oxyz, sont
associés d'après la question 14 des couples de vecteurs (Ti, ?) et (Ti', î)" ); 
démontrer que, le

couple de vecteurs (Ti, ?) étant fixé, il est possible de choisir le couple de 
vecteurs (Ti' , V' ) de

façon que les vecteurs Ti' et ?" s'expriment au moyen des vecteurs Ti et V par 
les relations
suivantes :

= a(ïl'), V' = a[(?) +B(Ti),

où a et B sont deux endomorphismes de E3 tels que le déterminant de a soit 
strictement positif
(det a > O).

16. Au déplacement d est donc associé le couple des deux endomorphismes a et 
,B. SoientA et
B les matrices associées aux endomorphismes a et B dans une base orthonormée 
directe de E3.
Démontrer que le couple de matnces (A, B) appartient au groupe G.

17. Démontrer que l'application qui, au déplacement d de E associe l'élément 
(A, B) du
groupe G, est injective.

18. Exemple: soit D la droite du plan x0y d'équation y= yo (yo est un réel 
difi'érent de zéro
donné); soit D' son image par le déplacement égal' a la rotation d'axe Oz et 
d'angle 9 suivie de la

translation de vecteur j + k. Déterminer les endomorphismes a et ,B associés à 
ce déplacement et
les couples de vecteurs (Ti, ?) et (Ti', V' ) associés respectivement aux 
droites D et D'. Vérifier

dans ce cas particulier la relation obtenue' a la question 15.

19. Démontrer que l'application J qui, à un déplacement d de l'espace E associe 
le couple de
matrices (A, B) du groupe G est bijecfive.

Droite invariante dans un déplacement :
20. Soit d un déplacement, distinct de l'application identique ; à ce 
déplacement est associé un

couple de matrices (A, B) appartenant à G. Rechercher l'existence d'une droite 
invariante par le
déplacement d en considérant le couple de vecteurs (Ti, ?) associé à cette 
droite. Écrire les

relations vérifiées par ces vecteurs inconnus Ti, ?. Quelle conclusion y 
a--t--il lieu d'en tirer sur le
....)
vecteur u ?

21. Déterminer la droite invariante dans l'exemple de la question 18.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par Paul
Pichaureau (Professeur en CPGE), Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Walter Appel
(Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux parties et le lien entre elles se fait dans les 
dernières questions du problème. On apportera un soin tout particulier à la 
rédaction, notamment
dans la deuxième partie où il est question de géométrie affine euclidienne. Le 
début
du problème exige quant à lui de bien connaître les structures algébriques 
usuelles :
espace vectoriel, groupe, algèbre.
On s'intéresse d'abord à l'espace vectoriel C défini comme le produit cartésien 
de
l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3 par lui-même. On se 
donne
notamment une loi de composition interne multiplicative faisant de C une algèbre
réelle, associative et unitaire. La fin de cette partie a pour but l'étude d'un 
sousensemble de C, noté G, dont on démontre qu'il s'agit d'un groupe ; après 
avoir
caractérisé deux de ses sous-ensembles, on termine sur une condition nécessaire 
et
suffisante pour qu'un élément appartienne à G.
Dans la deuxième partie, on commence par établir un résultat préliminaire
très utile pour la suite, concernant l'image d'un produit vectoriel par 
rotation.
On s'intéresse ensuite à une caractérisation des droites affines au moyen de 
deux vecteurs, pour en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que 
deux couples
de vecteurs définissent une même droite. Enfin il est question d'images de 
droites par
des déplacements, et l'on montre qu'il existe un isomorphisme entre le groupe 
des
déplacements de l'espace affine euclidien et le groupe G de la première partie.

Indications
Première partie
4 Construire une application « naturelle » entre H et SO(R3 ) et commencer par
vérifier qu'il s'agit bien d'un morphisme de groupes.
6 Écrire la définition de SO(R3 ).
Seconde partie

-

-i , -

7 Décomposer le vecteur -
a suivant la base B = (
 , k ) et calculer l'image de
cette base par l'endomorphisme p~a .
8 Montrer l'égalité après avoir l'avoir projetée sur un vecteur quelconque de E3
pour faire apparaître des produits mixtes.
9 Utiliser le résultat de la question précédente.

11 Calculer le produit vectoriel de -
u par -
v.
12 Utiliser les résultats établis aux questions 10 et 11.
14 Utiliser la question 12 pour construire une droite à partir d'un élément de 
P.
--
15 Calculer l'image du vecteur OM par le déplacement d, après avoir paramétré
les points M de D. Identifier l'expression obtenue avec la paramétrisation 
analogue
de D .

16 On remarquera que P est une matrice antisymétrique quel que soit le vecteur -
a.
~
a

17 Traduire en termes d'endomorphismes les égalités A = A et B = B .
19 D'après la question 17, il ne reste qu'à montrer la surjectivité. 
L'existence d'une
rotation est immédiate et on cherchera à montrer que B s'écrit comme le produit
d'une matrice antisymétrique avec A.
20 Utiliser les résultats des questions 14 et 15 et traduire le problème sous 
forme
matricielle pour discuter l'existence d'une droite invariante.

Première partie
1 De manière générale, si E et F désignent deux espaces vectoriels de dimensions
respectives n et p, alors le produit cartésien E × F (muni de la loi interne et 
de la loi
externe précisées dans l'énoncé) est un espace vectoriel de dimension n + p.
Dans notre cas, E = F = M, et M est un espace vectoriel réel de dimension 9.
C est un espace vectoriel réel de dimension 9 + 9 = 18.
Pour se convaincre du résultat précédent, il suffit de considérer l'ensemble
des couples {(ei , 0) , (0, fj )} où (ei )16i6n et (fj )16j6p désignent des 
bases
respectives de E et F, et de montrer que cette famille est elle-même libre et
génératrice, c'est-à-dire une base de E × F.
2 Il est admis que C est un R-espace vectoriel et que la loi de composition 
appelée
produit est interne. Pour obtenir une structure d'algèbre, il ne reste qu'à 
démontrer
les deux axiomes suivants :
· Tout d'abord, cette multiplication interne doit être distributive par rapport 
à
l'addition. Pour le montrer, notons x = (P1 , Q1 ) , y = (P2 , Q2 ) et z = (P3 
, Q3 )
trois éléments de C.
x  (y + z) = (P1 , Q1 )  (P2 + P3 , Q2 + Q3 )
= (P1 · (P2 + P3 ) , P1 · (Q2 + Q3 ) + Q1 · (P2 + P3 ))
On utilise alors la distributivité de la multiplication matricielle par rapport 
à
l'addition, d'où
x  (y + z) = (P1 · P2 + P1 · P3 , P1 · Q2 + P1 · Q3 + Q1 · P2 + Q1 · P3 )
= (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · P3 , P1 · Q3 + Q1 · P3 )
= (P1 , Q1 )  (P2 , Q2 ) + (P1 , Q1 )  (P3 , Q3 )
x  (y + z) = x  y + x  z
De même, on vérifie que (x + y)  z = x  z + y  z.
· Il ne reste qu'à montrer le dernier axiome :
  R

 (x · y) = (x) · y

et  (x · y) = x · (y)

Pour cela soit  un réel, x = (P1 , Q1 ) et y = (P2 , Q2 ) désignant deux 
éléments
de C.
Alors

 (x · y) =  (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 )
= ( (P1 · P2 ) ,  (P1 · Q2 + Q1 · P2 ))
= ((P1 ) · P2 , (P1 ) · Q2 + (Q1 ) · P2 )
 (x · y) = (x) · y

On vérifie la deuxième égalité de façon analogue.
À ce stade, nous avons montré que C possède une structure d'algèbre.

· D'autre part, montrons que cette loi de composition est associative. En effet,
x  (y  z) = (P1 , Q1 )  (P2 · P3 , P2 · Q3 + Q2 · P3 )
= (P1 · (P2 · P3 ) , P1 · (P2 · Q3 + Q2 · P3 ) + Q1 · (P2 · P3 ))
Or, la multiplication matricielle est une loi associative, d'où
x  (y  z) = ((P1 · P2 ) · P3 , (P1 · P2 ) · Q3 + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · P3 )
= (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 )  (P3 , Q3 )
x  (y  z) = (x  y)  z
· Enfin, en notant e = (I3 , 0) où I3 désigne l'élément neutre de M, on vérifie
facilement que
x  e = (P1 , Q1 )  (I3 , 0) = (P1 , Q1 ) = e  x = x
C est une R-algèbre associative et unitaire.
3 Rappelons qu'un groupe est un ensemble non vide muni d'une loi de composition
interne associative, d'un élément neutre, et dont chaque élément est inversible 
pour
cette loi. Montrons donc que (G, ) possède une structure de groupe :
· G 6=  car e  G.
·  est une loi interne : si x = (P1 , Q1 ) et y = (P2 , Q2 ) sont deux éléments 
de G,
alors
x  y = (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 )
Or, SO(R3 ) est un sous-groupe de l'ensemble des matrices inversibles 3 par 3,
donc le produit P1 · P2 appartient à SO(R3 ). Il reste à vérifier la seconde 
condition d'appartenance à G :
t

t

(P1 · P2 ) · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · (P1 · P2 )
=

t

P2 · P1 · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + ( Q2 · P1 + P2 · Q1 ) · (P1 · P2 )

t

t

=

t

P2 · ( P1 ·Q1 + Q1 ·P1 ) ·P2 + ( P2 ·Q2 + Q2 ·P2 )
|
{z
}
|
{z
}

t

t

t

t

t

t

=0
t

t

=0
t

(P1 · P2 ) · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · (P1 · P2 ) = 0
t

t

où l'on a utilisé le fait que P1 ·P1 = P1 · P1 = I3 .
·  est une loi associative (voir la question 2).
·  est une loi inversible puisque quel que soit x = (P, Q) appartenant à G,
t
y = (P, Q) existe et est tel que :
t

­ y  G car P  SO(R3 ) et

t t

=P
t

t

t

t t

t

( P) · Q + ( Q) · P = 0
| {z }
| {z }
=Q

t

­ x  y = (P · P, P · Q +Q · P)
= (I3 , 0)
soit

xy = e =yx
t

x est donc inversible et x-1 = (P, Q).
On en déduit donc que
(G, ) possède une structure de groupe.