Mines Maths 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Théorème de la limite centrale
Principaux outils utilisés intégrales généralisées dépendant d'un paramètre, théorème de Fubini

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2010 MATH I PC
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).
CONCOURS 2010
PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filiere PC
(Duree de l'epreuve : trois heures)
Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
MATHEMATIQUES I - PC
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amene a prendre.

Theoreme de la Limite Centrale.

Notations
On introduit les trois espaces vectoriels sur R de fonctions suivants
­ C0 (R), l'espace des fonctions continues u de R dans R telles que
lim u(x) = 0 = lim u(x).

x-

x+

On rappelle qu'une telle fonction u est necessairement bornee sur R.
­ C0 (R), l'espace des fonctions continues et de classe C  (sur R) u de R dans R
telles que
k  N, lim u(k) (x) = 0 = lim u(k) (x).
x-

x+

(k)

On a note u la derivee k-ieme de u.
­ P(R), l'espace des fonctions continues positives bornees de R dans R dont
l'integrale sur R est egale a 1.
On munit C0 (R) de la norme de la convergence uniforme kk : plus precisement, 
pour
toute fonction u  C0 (R), on pose
kuk = sup |u(x)|.
xR

On pourra utiliser librement le theoreme de Fubini admis ci-dessous :
Theoreme 1. (Fubini) Soit (x, y) 7 F (x, y) une fonction continue de R × R dans
R. On suppose que F verifie les trois proprietes suivantes.
R +
R +
1] Pour tous reels x, y, les deux integrales - |F (v, y)|dv et - |F (x, t)|dt 
convergent.
R +
R +
R +
2] Les fonctions y 7 - |F (x, y)|dx, x 7 - |F (x, y)|dy, y 7 - F (x, y)dx,
R +
x 7 - F (x, y)dy sont toutes continues sur R.
R +
3] y 7 - |F (x, y)|dx est integrable sur R, c'est a dire que l'integrale :
Z

+ Z +

-

-

|F (x, y)|dx dy

converge.
R +
R +
Alors dans ce cas, y 7 - F (x, y)dx et x 7 - F (x, y)dy sont integrables sur
R, et leurs integrales sur R sont egales. Autrement dit, on peut intervertir 
les deux
integrales :
Z + Z +
Z + Z +

F (x, y)dx dy =
F (x, y)dy dx.
-

-

-

2

-

I. Preliminaires
Pour f et g appartenant respectivement a P(R) et C0 (R), on definit le produit 
de
convolution f  g par la formule
Z +
x  R, f  g(x) =
f (t)g(x - t)dt.
-

On definit f  g(x) par la meme formule si f  C0 (R) et g  P(R).
R +
Q1 Soient f  P(R) et g  C0 (R). Montrer que l'integrale - f (t)g(x-t)dt converge
pour tout reel x. Puis montrer que f  g definit une Rfonction continue sur R. 
(On
pourra utiliser le theoreme de continuite sous le signe et on verifiera avec 
soin que
les conditions de validite sont remplies). Verifier de plus que
x  R, f  g(x) = g  f (x).
Q2 Montrer que lim f  g(x) = 0. (On considerera une suite reelle quelconque
x+

(xn )nN tendant vers +. On verifiera avec soin qu'on peut appliquer le theoreme 
de
convergence dominee pour etudier lim f  g(xn )). Montrer de meme que
n+

lim f  g(x) = 0.

x-

Q3 Soient f et g appartenant a P(R). Montrer alors que f  g definit une 
fonction de
P(R). Plus precisement, montrer que f g definit une fonction continue sur R, 
bornee,
positive et d'integrale egale a 1. (On appliquera le theoreme de Fubini a la 
fonction
(x, y) 7 f (y)g(x - y) et on pourra se contenter de ne verifier que les 
conditions 1] et
3]).
Dans la suite on admettra et utilisera librement le resultat suivant. Si f et g
appartiennent a P(R) et u est une fonction de C0 (R) alors,
f  (g  u) = (f  g)  u.
Soient f1 , . . . , fn des fonctions de P(R). On definit alors le produit de 
convolution
f1  . . .  fn par recurrence comme suit :
f1  . . .  fk = (f1  . . .  fk-1 )  fk , k  {3, . . . , n}.
Il est clair que f1  . . .  fn est une fonction de P(R).
Dans la suite, on notera f n la fonction f  . . .  f, la fonction f intervenant 
n fois.
II. Une classe d'operateurs sur C0 (R)
Soit f une fonction de P(R). On lui associe l'operateur Tf agissant sur C0 (R) 
defini
pour tout u  C0 (R) par
Tf (u) = f  u.
3

D'apres Q1 et Q2, Tf definit un endomorphisme de C0 (R).

Q4 Soit f une fonction de P(R). Prouver que pour tout u  C0 (R),
kTf (u)k  kuk .
Q5 Soient f et g deux fonctions de P(R). Prouver que pour toute fonction u de 
C0 (R),
Tf Tg (u) = Tg Tf (u)
ou Tf Tg designe la composee des operateurs Tf et Tg .
Q6 Soient f1 , f2 , g1 , g2 des fonctions de P(R). Prouver que pour tout u  C0 
(R),
kTf1 Tf2 (u) - Tg1 Tg2 (u)k  kTf1 (u) - Tg1 (u)k + kTf2 (u) - Tg2 (u)k
Q7 Soient f et g des fonctions de P(R). Prouver que si u  C0 (R), alors pour 
tout
n  N ,
k(Tf )n (u) - (Tg )n (u)k  nkTf (u) - Tg (u)k .
III. Lois normales
On introduit pour tout reel h > 0, la fonction
gh (x) =

x2
1
 e- 2h2 , x  R
h 2

dite loi normale de parametre h. On admet que g1 est une fonction de P(R).

Q8 Pour tout reel h > 0, montrer que gh est une fonction de P(R), puis calculer 
les
deux integrales suivantes :
Z +
Z +
xgh (x)dx,
x2 gh (x)dx .
-

-

Soient h1 > 0 et h2 > 0 deux reels strictement positifs. On admettra que :
gh1  gh2 = gh ,
p
ou h = h21 + h22 .

Q9 Soit h > 0. Etablir les deux egalites suivantes entre operateurs :
n

n  N , Tgh = Tg h
= T(g h )n .
n

n

IV. Convergence faible sur P(R)
Definition : Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R). On dira que (fn ) 
converge
faiblement vers f , f etant une fonction de P(R), si pour toute fonction u de 
C0 (R),
lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0 .

n+

4

Soit u une fonction de C0 (R). On fixe un reel h > 0 et on considere la fonction
Tgh (u) : R  R definie pour x reel par :
Z +
Z +
(gh  u)(x) = Tgh (u)(x) =
gh (t)u(x - t)dt =
gh (x - t)u(t)dt,
-

-

ou gh a ete defini au debut de la partie III.
Q10 Soit h strictement positif fixe et k  N. Demontrer qu'il existe un polynome 
Pk,h
dont on precisera le degre tel que :
x  R, (

2
dk
- x2
2h .
g
)(x)
=
P
(x)e
h
k,h
dxk

Q11 Soient h, a  R+ et k un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une 
fonction
k : R  [0, +[ continue par morceaux et integrable sur R telle que :
x  [-a, a], t  R, |Pk,h (x - t)e-

(x-t)2
2h2

|  k (t).

La fonction k ne depend que de h, a et k. (On pourra majorer |Pk,h (x - t)e-
(x-t)2
-
4h2

independamment de (x - t). Ensuite on pourra majorer convenablement e
|t|  2a et x  [-a, a]).

(x-t)2
4h2

|

pour

Q12 Soient h strictement positif fixe et u  C0 (R). Demontrer que Tgh (u) est 
une
fonction de classe C 1 sur R. Puis montrer que Tgh (u) est de classe C  sur R.
Q13 Pour h strictement positif fixe et u  C0 (R), demontrer que Tgh (u) est une
fonction de C0 (R).
Z -
Z +
gh (t)dt et lim+
gh (t)dt.
Q14 Soit  un reel strictement positif. Determiner lim+
h0

-

h0

Q15 Soit u  C0 (R). Prouver que
lim kTgh (u) - uk = 0.

h0+

Pour cela on utilisera la question precedente ainsi que le resultat admis 
suivant, valable
pour tout u  C0 (R) :
 > 0,  > 0, x, y  R, |x - y|    |u(x) - u(y)|  .
Q16 Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R) et f une fonction de P(R). On
suppose que pour toute fonction u de C0 (R),
lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0.

n+

Prouver alors que (fn ) converge faiblement vers f . (On pourra utiliser les 
questions 4
et 15).
5

2
Dans la suite, f est une fonction
R + de P(R) telle que x  x f (x) est aussi
R + dans P(R).
On admet que l'integrale - tf (t)dt converge et on supposera que - tf (t)dt = 0.
Pour tout n entier strictement positif, on introduit les deux fonctions fn et 
fn# definies
par :

x  R, fn (x) = nf ( n x), fn# (x) = nx2 fn (x).

On admettra que fn et fn# appartiennent a P(R).

u(x - t) - u(x) + tu (x)
Q17 Soit x  R et u 
Verifier que t 
se prolonge
t2

continument en t = 0. Puis montrer que pour tout n  N on a :
!
Z +

 1 
u(x - t) - u(x) + tu (x) 1 
n Tfn (u)(x) - u(x) - u (x) =
- u (x) fn# (t)dt,
2
2
t
2
-
C0 (R).

ou u designe la derivee premiere de u et u designe la derivee seconde de u.
Q18 Demontrer que pour toute fonction u de C0 (R),
lim

n+

 1 
n Tfn (u) - u - u
2

= 0.

R +
R - R 
(On pourra considerer les trois integrales - , - et  , avec  > 0 bien choisi,
dans le second membre de la formule de la question precedente).
Q19 Montrer que pour toute fonction u de C0 (R),
lim kTfnn (u) - Tg1 (u)k = 0,

n+

ou g1 a ete definie au debut de la partie III. (On pourra utiliser les 
questions 7, 9
et 18). Conclure que la suite (fnn ) converge faiblement vers g1 ; on rappelle 
que la
notation f n a ete definie juste apres la question 3.
FIN DU PROBLEME.
Ce dernier resultat intervient en theorie des probabilites. Il constitue une 
version
faible du theoreme de la limite centrale dans le cas de variables aleatoires a 
densite
de probabilite f continue bornee sur R.

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le but du sujet est de démontrer un théorème de convergence des séries de 
fonctions utilisé en théorie des probabilités, mais aucune connaissance sur les 
probabilités
n'est requise. Les 18 premières questions consistent à établir des résultats 
intermédiaires qui, à l'aide de quelques propriétés admises, permettent de 
prouver le théorème
de la limite centrale, à la question 19. Cela donne un problème intéressant et 
progressif, quoique trop long pour une épreuve de 3 heures, avec suffisamment 
d'indications
pour rendre accessibles les points délicats. Il utilise principalement les 
propriétés des
intégrales dépendant d'un paramètre et le théorème de convergence dominée. On y
trouve quelques intégrales généralisées et un peu de topologie des espaces 
vectoriels
normés, mais les difficultés ne sont pas là.
· Les deux premières questions sont des applications directes du cours alors que
la question 3 se traite avec un théorème rappelé en introduction.
· La partie II est assez facile, bien qu'on y trouve un peu de topologie.
· La partie III utilise la théorie de l'intégration ; cela reste très 
abordable, surtout
qu'un résultat qui nécessite un calcul pénible a fort heureusement été admis.
· Les difficultés techniques vont en augmentant dans la partie IV. Les cinq 
dernières questions sont difficiles.
Ce problème est à conseiller dès que le cours sur les intégrales généralisées 
dépendant d'un paramètre est terminé.

Indications
Partie I
2 Utiliser la caractérisation séquentielle d'une limite.
3 Choisir judicieusement la variable par rapport à laquelle on intègre en 
premier.
Partie II
4 Majorer |Tf (u)(x)| pour x réel quelconque, en utilisant la définition de k · 
k .
5 Exploiter l'associativité de la loi  (propriété admise après la question 3) 
et la
question 1.
6 Se servir de la question précédente et de la question 4.
7 Raisonner par récurrence en appliquant la question précédente.
Partie III
8 Effectuer un changement de variable pour montrer que gh est dans P(R). Pour la
première intégrale, observer la parité de la fonction intégrée et, pour la 
deuxième,
intégrer par parties.
9 Utiliser la propriété admise et un raisonnement par récurrence.
Partie IV
10 Raisonner par récurrence.
11 Utiliser les croissances comparées pour la première majoration.
12 Appliquer le théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
Les conditions de domination sont données par la question précédente.
13 Exprimer les dérivées successives de Tgh (u) avec la formule de Leibniz, 
puis les
calculs faits à la question 11.
14 Utiliser un changement de variable.
15 Penser que gh appartient à P(R), ce qui permet d'exprimer la quantité à 
majorer
sous la forme d'une intégrale, puis découper l'intégrale en trois.
16 Découper en trois l'expression kTfn (u) - Tf (u)k en y intercalant le terme
kTfn Tgh (u) - Tf Tgh (u)k , utiliser ensuite les questions 4 et 12.
17 Pour le prolongement par continuité, on peut se servir de la formule de 
TaylorYoung. Le reste est un calcul assez lourd mais sans astuce.

18 Exprimer u(x- t)- u(x)+ t u(t) /t2 à l'aide de u , en vous servant de la 
formule
de Taylor avec reste intégral. Écrire t2 /2 sous la forme d'une intégrale puis 
utiliser
la propriété admise à la question 15.
19 Appliquer les questions dans un ordre judicieux.

Les conseils du jury
Concernant la rédaction des candidats, le rapport du jury constate que
« beaucoup se contentent d'invoquer un théorème sans le citer explicitement,
ni préciser les données pour lesquelles il est appliqué, laissant le correcteur
spéculer sur ce que le candidat a voulu dire. » Il ajoute qu'« une écriture 
difficilement lisible, le verbiage pompeux et vide, des paraphrases de 
questions,
finissent par avoir une incidence sur l'évaluation, et cela, quelle que soit la
précision du barème appliqué. »

I. Préliminaires
1 La fonction g appartient à C0 (R) donc elle est bornée sur R, c'est-à-dire 
qu'il
existe un réel M tel que
x  R
|g(x)| 6 M
On en déduit

x  R

t  R

|f (t) g(x - t)| 6 M |f (t)|

Les fonctions sont continues et à valeurs positives. Ainsi, par majoration, la 
fonction
t 7 f (t) g(x - t) est intégrable sur R pour tout x réel.
Z +
Pour tout x réel, l'intégrale
f (t) g(x - t) dt converge.
-

Montrons maintenant la continuité de la fonction
Z +
x 7
f (t) g(x - t) dt
-

Les fonctions f et g étant continues, la fonction t 7 f (t) g(x - t) est 
continue sur R
pour tout x réel et la fonction x 7 f (t) g(x - t) est continue sur R pour tout 
t réel.
Par majoration,
(x, t)  R2
|f (t) g(x - t)| 6 M |f (t)|
La fonction f étant à valeurs positives, on a, pour tout t réel, M |f (t)| = M 
f (t).
Posons alors  : t 7 M f (t). La fonction  est intégrable sur R puisque f l'est 
et
(x, t)  R2

|f (t) g(x - t)| 6 (t)

D'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre,
Z +
La fonction x 7
f (t) g(x - t) dt est continue sur R.
-

Soit x un nombre réel fixé. On a
f  g(x) =

Z

+

f (t) g(x - t) dt
-

Faisons le changement de variable affine u = x - t, du = -dt. Il vient
Z -
Z +
f  g(x) =
f (x - u) g(u) (-du) =
f (x - u) g(u) du = g  f (x)
+

-

car la variable d'intégration est une variable muette. On a bien
x  R

f  g(x) = g  f (x)

2 Soit (xn )nN une suite de réels de limite +. On définit la suite de fonctions 
de R
dans R (hn )nN par
t  R
hn (t) = f (t) g(xn - t)
Pour t fixé, xn - t tend vers l'infini, ce qui implique que g(xn - t) tend vers 
0,
c'est-à-dire que la suite de fonctions continues (hn )nN converge simplement 
vers 0
sur R. La fonction g étant bornée par un réel positif M et la fonction f à 
valeurs
positives,
t  R n  N
|hn (t)| 6 M f (t)
La fonction Mf étant intégrable sur R, le théorème de convergence dominée 
assure que
Z +
Z +
hn (t) dt =
lim hn (t) dt = 0
lim
n+

-

-

n+

On en déduit que pour toute suite (xn )nN tendant vers +, la suite (f  g(xn ))nN
tend vers 0. Il en résulte, par la caractérisation séquentielle d'une limite, 
que f  g(x)
tend vers 0 quand x tend vers l'infini. La démonstration est la même en 
utilisant une
suite (xn )nN de limite - quand x tend vers -, d'où
lim f  g(x) = lim f  g(x) = 0

x+

x-

Le rapporteur signale deux erreurs fréquemment commises :
· confusion entre le théorème de convergence dominée et la convergence
normale d'une série de fonctions ;
· prétendre qu'une fonction intégrable sur R tend vers 0 quand x tend
vers l'infini : c'est faux (il est conseillé de retenir un contre-exemple).
Signalons au passage que la réciproque est fausse également, certains candidats 
utilisant ce « résultat » à la question précédente ainsi qu'à la suivante.
Le rapport du jury mentionne également que la caractérisation séquentielle 
d'une limite n'est pas souvent évoquée.
3 Les fonctions f et g appartiennent à P(R) donc sont continues, à valeurs 
positives
et bornées. Cela permet, par un raisonnement identique à celui fait à la 
question 1,
de démontrer que f  g est continue sur R.
Posons, pour tout couple (x, t) de réels, h(x, t) = f (t) g(x - t). La fonction 
h est
continue de R × R dans R. Comme g est bornée par un réel positif M,
(t, x)  R2

|h(x, t)| = f (t) g(x - t) 6 M f (t)

La
fonction f est intégrable sur R en tant qu'élément de P(R) donc l'intégrale
Z +
h(x, t) dt est convergente pour toute valeur de x. Soient (X, Y)  R2 . On a
-
Z Y
Z Y
f (y) g(v - y) dv = f (y)
g(v - y) dv
X

X

Faisons le changement de variable u = v - y. On obtient
Z Y
Z Y-y
f (y) g(v - y) dv = f (y)
g(u) du
X

X-y

Comme g est intégrable sur R, on peut passer à la limite quand X tend vers - et
Y vers +, ce qui donne
Z +
Z +
f (y) g(v - y) dv = f (y)
g(u) du
-

-

Le point 1 du théorème de Fubini est donc vérifié. Pour démontrer le point 3, 
il suffit
de remarquer que
Z
+

h(x, y) dx = f (y)

-

et, comme f est intégrable sur R, l'intégrale
Z
D'après le théorème de Fubini, l'intégrale

Z

-
+

-

Z

+

-

Z

+

-

h(x, y) dy dx =

Z

+

-

Z

+

Z

Z

+

h(x, y) dx dy est convergente.

-
+

h(x, y) dy dx converge et

-

+

f (y) g(x - y) dy dx =
-

Z

+

-

f  g(x) dx