Centrale Maths 2 PC 2008

- version du 20 fevrier 2008 16h38

MATHÉMATIQUES II

Partie I - Recurrences lineaires

En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e.

On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par :

xn
n  N, Xn =
.
xn+1

n  N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0.

Filière

PC

On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note

1 0
.
D=
0 2

2 + a1  + a0 = 0.

Montrer que  est valeur propre de A si et seulement si :

c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du
complexe  et de l'entier n.
I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante :
·
soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ;
·
soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable.

Q-1 AQ = T.

a) Exprimer a1 et a0 en fonction de .
b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les 
matrices
Q inversibles de M2 (C) telles que :

a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD.
b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des
complexes 1 , 2 et de l'entier n.
I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre  et on note

 1
.
T =
0 

I.A.3)

I.A.2)

I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n,
on ait :
Xn+1 = AXn .

Page 1/4

I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2
On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des 
complexes
a1 et a0 verifiant la propriete suivante :

·

On note e = det(M ). On suppose e 6= 0.
·
Calculer le produit matriciel

d -b
M
.
-c a

a b
Soit une matrice M de M2 (C), M =
.
c d

Question preliminaire

Notations
·
Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes
(xn )nN .
·
Pour k  N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN
formees de vecteurs de Ck .
·
On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients
dans C.
·
Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 20 fevrier 2008 16h38

MATHÉMATIQUES II

Partie I - Recurrences lineaires

En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e.

On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par :

xn
n  N, Xn =
.
xn+1

n  N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0.

Filière

PC

On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note

1 0
.
D=
0 2

2 + a1  + a0 = 0.

Montrer que  est valeur propre de A si et seulement si :

c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du
complexe  et de l'entier n.
I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante :
·
soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ;
·
soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable.

Q-1 AQ = T.

a) Exprimer a1 et a0 en fonction de .
b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les 
matrices
Q inversibles de M2 (C) telles que :

a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD.
b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des
complexes 1 , 2 et de l'entier n.
I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre  et on note

 1
.
T =
0 

I.A.3)

I.A.2)

I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n,
on ait :
Xn+1 = AXn .

Page 1/4

I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2
On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des 
complexes
a1 et a0 verifiant la propriete suivante :

·

On note e = det(M ). On suppose e 6= 0.
·
Calculer le produit matriciel

d -b
M
.
-c a

a b
Soit une matrice M de M2 (C), M =
.
c d

Question preliminaire

Notations
·
Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes
(xn )nN .
·
Pour k  N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN
formees de vecteurs de Ck .
·
On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients
dans C.
·
Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 20 fevrier 2008 16h38

MATHÉMATIQUES II

Partie I - Recurrences lineaires

En deduire l'expression de la matrice M -1 en fonction de a, b, c, d, e.

On associe a une telle suite de S(C) la suite (Xn )nN de S(C2 ) definie par :

xn
n  N, Xn =
.
xn+1

n  N, xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0.

Filière

PC

On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes 1 et 2 et on note

1 0
.
D=
0 2

2 + a1  + a0 = 0.

Montrer que  est valeur propre de A si et seulement si :

c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , du
complexe  et de l'entier n.
I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante :
·
soit A admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable ;
·
soit A admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable.

Q-1 AQ = T.

a) Exprimer a1 et a0 en fonction de .
b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les 
matrices
Q inversibles de M2 (C) telles que :

a) Determiner les matrices Q inversibles de M2 (C) telles que AQ = QD.
b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q-1 , des
complexes 1 , 2 et de l'entier n.
I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre  et on note

 1
.
T =
0 

I.A.3)

I.A.2)

I.A.1) Determiner une matrice A de M2 (C) telle que pour tout entier positif n,
on ait :
Xn+1 = AXn .

Page 1/4

I.A - Recurrences lineaires d'ordre 2
On considere ici les suites (xn )nN de S(C) pour lesquelles il existe des 
complexes
a1 et a0 verifiant la propriete suivante :

·

On note e = det(M ). On suppose e 6= 0.
·
Calculer le produit matriciel

d -b
M
.
-c a

a b
Soit une matrice M de M2 (C), M =
.
c d

Question preliminaire

Notations
·
Dans ce probleme, S(C) designe l'espace vectoriel sur C des suites de complexes
(xn )nN .
·
Pour k  N, k > 2, S(Ck ) represente l'espace vectoriel des suites (Xn )nN
formees de vecteurs de Ck .
·
On note Mk (C) l'espace vectoriel des matrices carrees a k lignes a coefficients
dans C.
·
Enfin, si M est une matrice, tM designe sa transposee.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

xn+2 - 3xn+1 + 2xn = 0.

xn+2 - 4xn+1 + 4xn = 0.

n  N, Xn = An X0 .

Filière PC

I.C - Des exemples (quasi) numeriques
On introduit ici quelques exemples de polynomes P (X) et on se propose d'etudier
le comportement a l'infini des suites (xn )nN de RP .
I.C.1) Exemple 1
1
3
On considere ici le polynome :
P (X) = X 3 - 2 X 2 + X - .
2
2
a) Ecrire la matrice A qui lui est associee. Justifier qu'elle est 
diagonalisable dans
M3 (C).
b) Choisir une valeur explicite simple de X0  R3 . Apres un calcul effectif des
premiers termes de la suite (Xn )nN , conjecturer la limite de cette suite de 
vecteurs.

1 0
0

1 0 2

1
1 

-1
- .
 et T =  0
1
1
1
c) Verifier que Q AQ = T ou Q = 
2
2 

1
1
1 1 0
0
2
2
d) Calculer T 2 , T 3 et T 4 .
En deduire la valeur de T 4p+k pour p  N et k  {0, 1, 2, 3}.
e) Exprimer pour tout entier naturel n le vecteur Yn = Q-1 Xn en fonction de
Y0 = Q-1 X0 .
En deduire que les suites (Xn )nN et (xn )nN de (RP ) et de RP convergent.
Attention : (Yn )nN n'est pas dans (RP )!
I.C.2) Exemple 2
Dans cette question, on considere le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + 2 X - 1.
a) Determiner les valeurs propres de la matrice A associee a P (X).
b) En deduire que les suites (xn )nN appartenant a RP sont periodiques et que, a
toute suite (xn )nN appartenant a RP , on peut associer trois nombres complexes
, ,  tels que :
 n 
 n 
n  N, xn =  +  cos
+  sin
.
3
3

b) Montrer que reciproquement, toute suite de S(C3 ) pour laquelle on a Xn = An 
X0
pour tout n  N, est element de (RP ).
I.B.4) Montrer que (RP ) est le sous-espace de S(C3 ) engendre par les suites de
vecteurs (An e1 )nN , (An e2 )nN , (An e3 )nN , ou (e1 , e2 , e3 ) designe la 
base canonique
de C3 .
En deduire la dimension de RP .

Page 2/4

I.B.1) Calculer le polynome caracteristique de A.
I.B.2) Verifier que  : S(C)  S(C3 ) est lineaire et injective. Est-elle 
surjective ?
I.B.3)
a) Soit (xn )nN  RP . Montrer que son image (Xn )nN par  verifie :

on associe le sous-espace RP de S(C) forme des suites (xn )nN telles que pour 
tout
n  N,
xn+3 + a2 xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0,

0
1
0
0
1 .
ainsi que la matrice A =  0
-a0 -a1 -a2

P (X) = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 ,

A tout polynome unitaire de C3 [X],

I.B - Vers un ordre superieur, a petits pas
On note  l'application qui a (xn )nN element
 de S(C) associe la suite des vecteurs
xn
(Xn )nN de S(C3 ) definie par Xn = xn+1  pour tout n  N.
xn+2
     
x0
x1
x2
Ainsi, les trois premiers termes de la suite  ((xn )nN ) sont x1  , x2  , x3  .
x2
x3
x4

n  N,

b) Exemple 2
(xn )nN verifie la propriete suivante :

n  N,

I.A.6) Deux exemples numeriques
Dans les deux exemples qui suivent, il est demande de :
·
expliciter la matrice A,
·
donner une matrice de passage Q telle que T = Q-1 AQ soit d'une forme simple
comme ci-dessus,
·
en deduire Xn puis xn en fonction de x0 , x1 et n
(il sera tenu compte de la simplicite et de la clarte des choix effectues).
a) Exemple 1
(xn )nN verifie la propriete suivante :

MATHÉMATIQUES II

xn+2 - 3xn+1 + 2xn = 0.

xn+2 - 4xn+1 + 4xn = 0.

n  N, Xn = An X0 .

Filière PC

I.C - Des exemples (quasi) numeriques
On introduit ici quelques exemples de polynomes P (X) et on se propose d'etudier
le comportement a l'infini des suites (xn )nN de RP .
I.C.1) Exemple 1
1
3
On considere ici le polynome :
P (X) = X 3 - 2 X 2 + X - .
2
2
a) Ecrire la matrice A qui lui est associee. Justifier qu'elle est 
diagonalisable dans
M3 (C).
b) Choisir une valeur explicite simple de X0  R3 . Apres un calcul effectif des
premiers termes de la suite (Xn )nN , conjecturer la limite de cette suite de 
vecteurs.

1 0
0

1 0 2

1
1 

-1
- .
 et T =  0
1
1
1
c) Verifier que Q AQ = T ou Q = 
2
2 

1
1
1 1 0
0
2
2
d) Calculer T 2 , T 3 et T 4 .
En deduire la valeur de T 4p+k pour p  N et k  {0, 1, 2, 3}.
e) Exprimer pour tout entier naturel n le vecteur Yn = Q-1 Xn en fonction de
Y0 = Q-1 X0 .
En deduire que les suites (Xn )nN et (xn )nN de (RP ) et de RP convergent.
Attention : (Yn )nN n'est pas dans (RP )!
I.C.2) Exemple 2
Dans cette question, on considere le polynome : P (X) = X 3 - 2 X 2 + 2 X - 1.
a) Determiner les valeurs propres de la matrice A associee a P (X).
b) En deduire que les suites (xn )nN appartenant a RP sont periodiques et que, a
toute suite (xn )nN appartenant a RP , on peut associer trois nombres complexes
, ,  tels que :
 n 
 n 
n  N, xn =  +  cos
+  sin
.
3
3

b) Montrer que reciproquement, toute suite de S(C3 ) pour laquelle on a Xn = An 
X0
pour tout n  N, est element de (RP ).
I.B.4) Montrer que (RP ) est le sous-espace de S(C3 ) engendre par les suites de
vecteurs (An e1 )nN , (An e2 )nN , (An e3 )nN , ou (e1 , e2 , e3 ) designe la 
base canonique
de C3 .
En deduire la dimension de RP .

Page 2/4

I.B.1) Calculer le polynome caracteristique de A.
I.B.2) Verifier que  : S(C)  S(C3 ) est lineaire et injective. Est-elle 
surjective ?
I.B.3)
a) Soit (xn )nN  RP . Montrer que son image (Xn )nN par  verifie :

on associe le sous-espace RP de S(C) forme des suites (xn )nN telles que pour 
tout
n  N,
xn+3 + a2 xn+2 + a1 xn+1 + a0 xn = 0,

0
1
0
0
1 .
ainsi que la matrice A =  0
-a0 -a1 -a2

P (X) = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 ,

A tout polynome unitaire de C3 [X],

I.B - Vers un ordre superieur, a petits pas
On note  l'application qui a (xn )nN element
 de S(C) associe la suite des vecteurs
xn
(Xn )nN de S(C3 ) definie par Xn = xn+1  pour tout n  N.
xn+2
     
x0
x1
x2
Ainsi, les trois premiers termes de la suite  ((xn )nN ) sont x1  , x2  , x3  .
x2
x3
x4

n  N,

b) Exemple 2
(xn )nN verifie la propriete suivante :

n  N,

I.A.6) Deux exemples numeriques
Dans les deux exemples qui suivent, il est demande de :
·
expliciter la matrice A,
·
donner une matrice de passage Q telle que T = Q-1 AQ soit d'une forme simple
comme ci-dessus,
·
en deduire Xn puis xn en fonction de x0 , x1 et n
(il sera tenu compte de la simplicite et de la clarte des choix effectues).
a) Exemple 1
(xn )nN verifie la propriete suivante :

MATHÉMATIQUES II

1 
et T =  0
0
2µ

0
0

µ 1 
.
0 µ

0

n  N,

Xn+1 = An Xn

admet une solution et une seule pour tout a  Ck .
II.A.3) On note S l'ensemble des solutions du systeme (H).
a) Verifier que S est un sous-espace vectoriel de S(Ck ).

II.A - Resultats d'existence et d'unicite des solutions
II.A.1) Soit (Xn )nN une solution de (H).
Exprimer Xn en fonction de X0 et de la suite (Pn )nN .
II.A.2) Montrer que le systeme avec condition initiale

Xn+1 = An Xn pour tout n  N,
(Ha ) :
X0 = a

 : S  Ck

n > 1, hn =

On introduit la notation suivante :

p=1

p

n
X
1

,

Soient n0  N , a Ck , k > 2. On se propose d'etudier le systeme avec condition
Xn+1 = An Xn , pour tout n  N,
initiale (Hn0 ,a ) :
X n0 = a

II.C - Probleme avec condition initiale au temps n0

et h0 = 0. Determiner la matrice Pn en fonction de n et de hn .
 
xn
II.B.2) Expliciter les solutions (Xn )nN =
de ce systeme en fonction
yn nN
de n et de x0 , y0 .
II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du systeme.
II.B.4) Que peut on dire du comportement a l'infini de (Xn )nN ?

II.B.1)

II.B - Etude d'un exemple
On considere ici le systeme Xn+1 = An Xn dans lequel, pour n  N,

n+1
0
.
An =  n + 2
-1
1

Xn+1 = An Xn
X0
= ei
k
(ou (ei )16i6k designe la base canonique de C ) forme une base de l'ensemble S 
des
solutions du systeme (H).
c) En deduire que la famille des k solutions des k systemes

Montrer que  est isomorphisme.
En deduire que S est de dimension k.

telle que ((Xn )nN ) = X0 .

b) On considere l'application

Filière PC

II.C.1) On suppose que pour tout p  [0, n0 - 1] la matrice Ap est inversible et 
on
considere (Xn )nN  S(Ck ), une solution de (Hn0 ,a ).
a) Exprimer d'une facon generale Xn0 +p (pour p  N ) et Xn0 -p (lorsque 1 6 p 6 
n0 )
a l'aide de la suite (An )nN .
b) Justifier que le systeme (Hn0 ,a ) admet une solution et une seule.
Page 3/4

dans lesquelles (Xn )nN designe un element inconnu de S(Ck ) et (An )nN est une
suite de matrices de Mk (C).
Dans la suite de cette partie, la suite (An )nN est fixee et on lui associe la 
suite de
matrices (Pn )nN definie par P0 = Ik (matrice unite d'ordre k) et Pn+1 = An Pn
pour tout entier naturel n.

(H) :

Cette partie aborde l'etude des systemes d'equations de la forme

Partie II - De la recurrence lineaire en general

· pour tout X0  R3 , (Xn )nN converge ?

n

En deduire que si le polynome P admet une racine double, la matrice A qui lui 
est
associee n'est pas diagonalisable.
c) A quelles conditions sur  et µ a-t-on chacune des proprietes suivantes :
· pour tout X0  R3 , lim Xn = 0?

ou  et µ designent deux nombres reels distincts.
a) Preciser la matrice A associee a ce polynome.

1
1

b) On admet que Q-1 AQ = T avec Q = 
  µ
2 µ2

P (X) = (X - )(X - µ)2

I.C.3) Exemple 3
Dans cette question, on considere le polynome :

MATHÉMATIQUES II

1 
et T =  0
0
2µ

0
0

µ 1 
.
0 µ

0

n  N,

Xn+1 = An Xn

admet une solution et une seule pour tout a  Ck .
II.A.3) On note S l'ensemble des solutions du systeme (H).
a) Verifier que S est un sous-espace vectoriel de S(Ck ).

II.A - Resultats d'existence et d'unicite des solutions
II.A.1) Soit (Xn )nN une solution de (H).
Exprimer Xn en fonction de X0 et de la suite (Pn )nN .
II.A.2) Montrer que le systeme avec condition initiale

Xn+1 = An Xn pour tout n  N,
(Ha ) :
X0 = a

 : S  Ck

n > 1, hn =

On introduit la notation suivante :

p=1

p

n
X
1

,

Soient n0  N , a Ck , k > 2. On se propose d'etudier le systeme avec condition
Xn+1 = An Xn , pour tout n  N,
initiale (Hn0 ,a ) :
X n0 = a

II.C - Probleme avec condition initiale au temps n0

et h0 = 0. Determiner la matrice Pn en fonction de n et de hn .
 
xn
II.B.2) Expliciter les solutions (Xn )nN =
de ce systeme en fonction
yn nN
de n et de x0 , y0 .
II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du systeme.
II.B.4) Que peut on dire du comportement a l'infini de (Xn )nN ?

II.B.1)

II.B - Etude d'un exemple
On considere ici le systeme Xn+1 = An Xn dans lequel, pour n  N,

n+1
0
.
An =  n + 2
-1
1

Xn+1 = An Xn
X0
= ei
k
(ou (ei )16i6k designe la base canonique de C ) forme une base de l'ensemble S 
des
solutions du systeme (H).
c) En deduire que la famille des k solutions des k systemes

Montrer que  est isomorphisme.
En deduire que S est de dimension k.

telle que ((Xn )nN ) = X0 .

b) On considere l'application

Filière PC

II.C.1) On suppose que pour tout p  [0, n0 - 1] la matrice Ap est inversible et 
on
considere (Xn )nN  S(Ck ), une solution de (Hn0 ,a ).
a) Exprimer d'une facon generale Xn0 +p (pour p  N ) et Xn0 -p (lorsque 1 6 p 6 
n0 )
a l'aide de la suite (An )nN .
b) Justifier que le systeme (Hn0 ,a ) admet une solution et une seule.
Page 3/4

dans lesquelles (Xn )nN designe un element inconnu de S(Ck ) et (An )nN est une
suite de matrices de Mk (C).
Dans la suite de cette partie, la suite (An )nN est fixee et on lui associe la 
suite de
matrices (Pn )nN definie par P0 = Ik (matrice unite d'ordre k) et Pn+1 = An Pn
pour tout entier naturel n.

(H) :

Cette partie aborde l'etude des systemes d'equations de la forme

Partie II - De la recurrence lineaire en general

· pour tout X0  R3 , (Xn )nN converge ?

n

En deduire que si le polynome P admet une racine double, la matrice A qui lui 
est
associee n'est pas diagonalisable.
c) A quelles conditions sur  et µ a-t-on chacune des proprietes suivantes :
· pour tout X0  R3 , lim Xn = 0?

ou  et µ designent deux nombres reels distincts.
a) Preciser la matrice A associee a ce polynome.

1
1

b) On admet que Q-1 AQ = T avec Q = 
  µ
2 µ2

P (X) = (X - )(X - µ)2

I.C.3) Exemple 3
Dans cette question, on considere le polynome :

MATHÉMATIQUES II

Xn+1 = An Xn + bn
,
X n0 = a

i=1

k
X

cin Zni = Zn . t c1n
...

ckn .

n  N,

Yn =
i=1

k
X

cin Zni .

Filière PC

n+1

= n+2
-1

· · · FIN · · ·

Donner une expression de Cn puis de Yn en fonction de n, x0 et y0 .

0
 et introduisons le
Reprenons la suite des matrices (An )nN , An
1

1
t
probleme avec second membre : Xn+1 = An Xn + bn avec bn =
, -hn .
n+2
II.E.1) Expliciter une suite de matrices (Zn )nN construite comme dans la 
question
-1
precedente ainsi que la relation de recurrence matricielle Cn+1 = Cn +Zn+1
bn etablie
dans la question precedente.
II.E.2) On considere (Yn )nN une solution du probleme avec second membre 
verifiant
la condition
 
x
Y0 = 0 .
y0

II.E - Un exemple

-1
Cn+1 = Cn + Zn+1
bn .

Montrer que (Yn )nN est solution de G si et seulement si la suite (Cn )nN 
verifie la
relation suivante pour tout entier naturel n :

du vecteur Yn dans la base (Zn1 , ..., Znk ) :

b) Soit (Yn )nN une suite quelconque
de S(Ck).

t 1
Pour tout n  N, on note Cn = cn . . . ckn la matrice colonne des composantes
Page 4/4

Yn =

II.D.3) Pour tout entier naturel n, on note Zn la matrice carree de Mk (C) dont
les k colonnes sont les vecteurs Zn1 , Zn2 , ..., Znk .
a) Montrer que si (Yn )nN est une suite quelconque de S(Ck ) il existe des 
suites de
complexes (c1n )nN , (c2n )nN ..., (ckn )nN , telles que pour tout n  N,

designe une base quelconque de l'espace des solutions du systeme homogene (H).

II.D.2) Prouver que pour p  N fixe, Zp1 , Zp2 , . . . , Zpk est une base de Ck .
indication
: montrer que la famille est libre en observant que le probleme

Xn+1 = An Xn
n'admet qu'une solution.
Xp = 0

Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices An sont inversibles et que 
:

(Zn1 )nN , (Zn2 )nN , . . . , (Znk )nN

II.D.1) Existence, unicite et calcul pratique
a) Montrer que le probleme (Gn0 ,a ) admet une solution et une seule pour tout 
element
a de Ck .
b) Ecrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procedure qui 
prend en
arguments deux entiers naturels n et n0 , un vecteur a, et retourne le terme 
d'ordre
n de la suite solution du probleme (Gn0 ,a ). Sont supposees donnees les 
fonctions
n  An , n  bn , dans une syntaxe adaptee au langage.

ou (An )nN designe encore une suite de matrices de Mk (C) fixee, (bn )nN une 
suite
de S(Ck ) fixee et n0 un entier superieur ou egal a 1.
On suppose, de plus, que pour p  [0, n0 - 1], les matrices Ap sont inversibles.

(G) : Xn+1 = An Xn + bn ou de problemes (Gn0 ,a ) :

II.D - Equations avec second membre
Cette question aborde l'etude de systemes de la forme

II.C.2) On suppose qu'il existe p  [0, n0 - 1] tel que Ap ne soit pas 
inversible.
a) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il ne pas avoir de solution ?
b) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il avoir plus d'une solution ?

MATHÉMATIQUES II

Xn+1 = An Xn + bn
,
X n0 = a

i=1

k
X

cin Zni = Zn . t c1n
...

ckn .

n  N,

Yn =
i=1

k
X

cin Zni .

Filière PC

n+1

= n+2
-1

· · · FIN · · ·

Donner une expression de Cn puis de Yn en fonction de n, x0 et y0 .

0
 et introduisons le
Reprenons la suite des matrices (An )nN , An
1

1
t
probleme avec second membre : Xn+1 = An Xn + bn avec bn =
, -hn .
n+2
II.E.1) Expliciter une suite de matrices (Zn )nN construite comme dans la 
question
-1
precedente ainsi que la relation de recurrence matricielle Cn+1 = Cn +Zn+1
bn etablie
dans la question precedente.
II.E.2) On considere (Yn )nN une solution du probleme avec second membre 
verifiant
la condition
 
x
Y0 = 0 .
y0

II.E - Un exemple

-1
Cn+1 = Cn + Zn+1
bn .

Montrer que (Yn )nN est solution de G si et seulement si la suite (Cn )nN 
verifie la
relation suivante pour tout entier naturel n :

du vecteur Yn dans la base (Zn1 , ..., Znk ) :

b) Soit (Yn )nN une suite quelconque
de S(Ck).

t 1
Pour tout n  N, on note Cn = cn . . . ckn la matrice colonne des composantes
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Yn =

II.D.3) Pour tout entier naturel n, on note Zn la matrice carree de Mk (C) dont
les k colonnes sont les vecteurs Zn1 , Zn2 , ..., Znk .
a) Montrer que si (Yn )nN est une suite quelconque de S(Ck ) il existe des 
suites de
complexes (c1n )nN , (c2n )nN ..., (ckn )nN , telles que pour tout n  N,

designe une base quelconque de l'espace des solutions du systeme homogene (H).

II.D.2) Prouver que pour p  N fixe, Zp1 , Zp2 , . . . , Zpk est une base de Ck .
indication
: montrer que la famille est libre en observant que le probleme

Xn+1 = An Xn
n'admet qu'une solution.
Xp = 0

Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices An sont inversibles et que 
:

(Zn1 )nN , (Zn2 )nN , . . . , (Znk )nN

II.D.1) Existence, unicite et calcul pratique
a) Montrer que le probleme (Gn0 ,a ) admet une solution et une seule pour tout 
element
a de Ck .
b) Ecrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procedure qui 
prend en
arguments deux entiers naturels n et n0 , un vecteur a, et retourne le terme 
d'ordre
n de la suite solution du probleme (Gn0 ,a ). Sont supposees donnees les 
fonctions
n  An , n  bn , dans une syntaxe adaptee au langage.

ou (An )nN designe encore une suite de matrices de Mk (C) fixee, (bn )nN une 
suite
de S(Ck ) fixee et n0 un entier superieur ou egal a 1.
On suppose, de plus, que pour p  [0, n0 - 1], les matrices Ap sont inversibles.

(G) : Xn+1 = An Xn + bn ou de problemes (Gn0 ,a ) :

II.D - Equations avec second membre
Cette question aborde l'etude de systemes de la forme

II.C.2) On suppose qu'il existe p  [0, n0 - 1] tel que Ap ne soit pas 
inversible.
a) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il ne pas avoir de solution ?
b) Le systeme (Hn0 ,a ) peut il avoir plus d'une solution ?

MATHÉMATIQUES II