Centrale Maths 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Étude d'une famille d'endomorphismes orthogonaux en dimension 2, 3 et n
Principaux outils utilisés produits scalaires, rotations, symétries, déterminant, changement de bases

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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mâw omäQ:OE .. ÆOEËOEQ mËoËoü

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit A une matrice carrée
d'ordre n, dont les coefficients sont des entiers naturels. On note ai] le 
coeffi-
cient de A appartenant àla i -ème ligne et àla j -ème colonne de A.

On suppose que A est symétrique et que les coefficients de la diagonale princi-
pale de A sont égaux à 1 .

On désigne par M la matrice réelle, carrée, d'ordre n, de coefficient mij , 
définie
par :

--cos(--£) si a--==O

.. U
mij : al]

--1 Si aij : 0

On remarque que M est symétrique et que les coefficients de sa diagonale prin-
cipale valent 1 .

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et % = (e k)1 5 k 5 n une base 
don-
née de E.

Pour chaque entier i compris entre 1 et n , on désigne par ci l'endomorphisme
de E caractérisé par :

VjE{l,2, ...,n}, (il--(ej) : ej--2mijei.

On note 17 l'endomorphisme de E donné par :
17 = 01002... 00".
où 0 désigne la composition des applications.

On désigne par S et T les matrices associées aux endomorphismes o et 1: dans
la base % et par I la matrice unité d'ordre n associé à l'identité (notée Id).

Partie I - Étude du cas n = 2

Dans cette partie I, on suppose n = 2 et on pose :
a =a12=a21etm =m12=m21.

I.A -
I.A.1) Expliciter M en fonction de m puis en fonction de a .
I.A.2) Donner en fonction de m les matrices S1 , S2 et T.

I.B - On suppose dans cette question I.B que a E {0,1} et donc que lml : 1 .
I.B.1) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de 1:
I.B.2) La matrice T est--elle diagonalisable ? (Justifier la réponse).
I.B.3) Diagonaliser ou trigonaliser, si possible, la matrice T.

I.B.4) Montrer que 15 est d'ordre infini (c'est à dire qu'il n'existe pas 
d'entier
naturel strictement positif k tel que "tk : Id , où 1:k : 'c 017 o ...1: 
désigne la puis-
sance k -ième de 1: pour la loi de composition).

LC - On suppose dans cette question I.C, que a est supérieur ou égal à 2 , et
donc que Iml < 1 .
On définit la forme bilinéaire «:> sur E x E par :

» E IR , on a :

det(M _ T) : det((À +... + xc + tC) .

II.B - Soient i, j vérifiant : 1 sis n , 1 5 j 5 n , i=e j ; on note Eij le 
sous-espace
vectoriel de E engendré par e,- et e

II.B.1)
a) Montrer que dim Eij : 2.

je

b) Montrer que Eij est stable par ci , 0j , °i ooj et oj col--.

On note nij et nji les restrictions de o,- ooj et oj 00,-- à Eij .

c) Donner les matrices Hij et Hji associées à or,--]-- et nJ-i relativement àla 
base
(ei, ej) de Eij .

(1) Vérifier que II,-]- et H J.,- sont inverses l'une de l'autre. Pouvait--on 
prévoir ce
résultat ?

II.B.2)

a) Montrer que, si pour tous i et j on a aijE{0,l} , alors :mij et TEJ-i sont 
d'ordre
infini.

b) Quels sont les ordres de nij et nji lorsque aij z 2 ?

II.C - On suppose dans cette section que :
i) n a 3
il) aij : 2 pour l<|i--jl», B, , [32 et (33.

c) Montrer que

2 1
0tn--l : n_ElsisnBi +(--l)n+ fi1°"Bn

(on pourra utiliser la question II.A.4 et démontrer la relation par récurrence 
sur
n ). '

11.0.3)

a) Montrer que, s'il existe une base de E dans laquelle toutes les matrices des
ok ont tous leurs coefficients entiers, alors la trace de 1: est un entier.

b) Montrer que si p est impair ou q est impair, alors la trace de 17 est 
irration-
nelle.

c) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices de tous les ok
ont tous leurs coefficients entiers si et seulement si p et q sont pairs.

Partie III - Un exemple dans le cas de n = 3

On suppose dans cette partie que n = 3 et que :
1 3 2
A = 3 1 4 -
2 4 1

KIA - Peut-on trouver une base de E dans laquelle les matrices de 01 , 02 et 03
ont tous leurs coefficients entiers ?

III.B -- On définit la forme bilinéaire (I) sur E x E par :
3

3 3 3
(-E xiei, 2 yJ-ej) : 2 2 mijxiyj

: = 1 ] = 1 i = l] = 1
pour tous ac1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 réels.
III.B.1) Vérifier que (I) est un produit scalaire.

On considérera donc E comme un espace vectoriel euclidien muni de ce produit
scalaire.

III.B.2) Donner une équation cartésienne de l'orthogonal, pour (l) , du vecteur
ae1 + be2 + ce3 en fonction de a , b , c .

III.C -

III.C.l) Pour iE{1,2, 3}, déterminer les sous-espaces Fi : Ker (oi--Id) et
Gi : Ker(oi+ld).

III.C.2) En déduire que les "i , i6{1,2, 3}, sont des symétries orthogonales par
rapport à des plans (ou réflexions) de E.

III.D - Montrer que les cri o oj , pour 1 si , j 5 3 , sont des rotations et 
les carac--
tériser.

III.E -

III.E.1) Que peut-on dire de 1: = 01 o 02 o 03 ?

III.E.2) Déterminer la matrice T.

Déterminer un vecteur non nul u de norme 1 tel que t(u) : ----u , puis une base
directe de E , de premier vecteur u , orthonormale pour (1) , @ = (u, v, w) .

III.E.8) Montrer que 1: est la composée d'une rotation d'axe IRu , dont on pré--
cisera l'angle et de la symétrie orthogonale par rapport au plan (IRu)l .

Dgnner l'ordre de la matrice T, c'est--à-dire le plus petit entier k > 0 tel que
T = I .

00. FIN ooo

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Centrale Maths 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Nesme (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas
Chomette (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Cette épreuve est consacrée à l'étude d'un ensemble de symétries en dimension 2,
3 et n. Elle consiste à déterminer les propriétés de ces symétries et de leurs 
composées
dans une série de cas particuliers, ainsi qu'à dégager quelques règles 
générales. Le sujet
est très long pour le temps imparti mais dans l'ensemble tout à fait classique 
et
raisonnablement calculatoire. La vigilance est tout de même de mise dans les 
calculs
un peu répétitifs où il serait dommage d'introduire des erreurs, mais il n'y a 
pas de
grosse « astuce ».
L'épreuve est divisée en trois parties qui approchent la question sous trois 
angles
différents, sans être entièrement indépendantes.
· La première partie est consacrée à l'étude du cas de la dimension 2. On y 
utilise
la géométrie euclidienne sous une forme intéressante, avec un produit scalaire
différent du produit scalaire usuel.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de quelques propriétés des 
endomorphismes définis dans le cas général, et fait appel à des résultats 
établis dans la
première partie. On détermine à quelles conditions sur les paramètres on peut
trouver une base telle que les matrices dans cette base de tous les 
endomorphismes étudiés aient tous leurs coefficients entiers. Cette partie est 
la plus
longue et la plus difficile de l'épreuve. En particulier, la question II.C.2.c 
est
sans doute la plus dure et pourtant il est difficile de donner plus 
d'indications
que l'énoncé car les obstacles y sont essentiellement calculatoires.
· La troisième partie propose l'analyse approfondie d'un cas particulier en 
dimension 3, en utilisant d'abord des résultats de la deuxième partie ; on 
étudie
ensuite de manière plus détaillée trois réflexions ainsi que leur composée, en 
les
décrivant complètement. Les calculs peuvent être un peu pénibles 
(particulièrement pour les questions III.D et III.E.2), mais la difficulté 
principale reste,
comme dans la partie I, la manipulation de concepts de géométrie euclidienne
dans un espace muni d'un produit scalaire « exotique ».
Ce sujet présente une difficulté assez formatrice : la nécessité de raisonner de
manière abstraite sur la géométrie euclidienne. Par exemple, les notions de 
rotation,
de symétrie orthogonale et d'angle sont ici définies à partir d'un produit 
scalaire
inhabituel. Un excellent moyen de s'éclaircir les idées sur ces notions.

Indications
Partie I
I.B.2 Raisonner par l'absurde.
I.B.3 Utiliser la question I.B.1.
I.C.2 Il faut comprendre « orthonormale pour  ».
I.C.5 L'angle non orienté entre deux vecteurs se mesure grâce au produit 
scalaire. Par définition, une base est directe quand son déterminant dans la
base de référence est positif ; le déterminant est donc l'outil principal pour
déterminer une orientation.
I.D.1 Écrire explicitement les matrices associées à 1 et 2 relativement à la 
base
(e1 , µe2 ), en considérant µ comme un paramètre.
I.D.2 Commencer par tracer les vecteurs e1 et f2 , le reste découle facilement 
de
la question précédente.
Partie II
II.A.1.c Remarquer que les i sont des symétries.
II.A.3.b Utiliser la question II.A.2.a pour donner une expression de  (ek ), 
puis dén
P
couper
mjk k en trois parties.
j=1

II.A.4.a Utiliser la question II.A.2.a pour exprimer chaque ek dans la base F .

II.A.4.b Trouver la matrice de passage de la base F à la base ( (ei ))16i6n .
II.A.4.c Remarquer que det(I + C) = 1 et multiplier I + C par I - T.
II.B.1.d Les i sont des symétries.
II.B.2.a Revoir les questions I.A.2 et I.B.4.
II.B.2.b Revoir les questions I.A.2 et I.C.6.
II.C.1 Comme à la question I.D.1, exprimer i dans la base (1 e1 , 2 e2 , . . . 
, n en ),
en considérant les 1 , . . . , n comme des paramètres, puis traduire le fait que
tous les coefficients matriciels sont entiers.
II.C.2.b Utiliser la question II.A.4.c.
II.C.2.c Développer det(I-T) par rapport à une ligne ou une colonne en 
n'étudiant
que les termes en n-1 .
II.C.3.b Utiliser la question II.C.2.
Partie III
III.A Utiliser la question II.C.3.c.
III.D Pour trouver les angles des rotations, on peut considérer l'image par la
rotation d'un vecteur orthogonal à l'axe de rotation.
III.E.3 Déterminer la matrice de  dans la base D.

Partie I. Étude du cas n = 2
I.A.1 D'après les définitions de l'énoncé, on a

1
1 m

M=
=

m 1
- cos
a

- cos

1

a 

-1
I.A.2 1 (e1 ) = -e1 , donc la première colonne de S1 est
; 1 (e2 ) = e2 - 2me1 ,
0

-2m
donc la seconde colonne de S1 est
. On calcule S2 de la même manière, ce
1
qui donne

-1 -2m
1
0
S1 =
et
S2 =
0
1
-2m -1
On en déduit

 2
4m - 1
T = S1 S2 =
-2m

2m
-1

I.B.1 On calcule le polynôme caractéristique de T.
PT (X) =

3-X
2m
-2m -1 - X

= (X - 3)(X + 1) + 4m2
car |m| = 1

= X2 - 2X - 3 + 4
PT (X) = (X - 1)2
La seule valeur propre de T est donc 1.
Le vecteur xe1 + ye2 est un vecteur propre de T si et seulement si

2x + 2my = 0
-2mx - 2y = 0
ce qui équivaut à y = -mx.
Les vecteurs propres de T sont donc les vecteurs de la forme

-x
, où x 6= 0.
mx

Ne pas oublier qu'en toute rigueur, 0 n'est pas un vecteur propre.
I.B.2 Comme T admet 1 pour seule valeur propre, si T était diagonalisable elle
vaudrait I ; or ce n'est pas le cas, donc
T n'est pas diagonalisable.

I.B.3 Puisqu'on ne peut pas diagonaliser T, trigonalisons-la. Pour cela, on 
choisit
un vecteur propre, disons e1 - me2 , et un autre vecteur linéairement 
indépendant du
premier, disons e2 . Ces vecteurs, à eux deux, forment une base de E et la 
matrice de
passage de B à cette nouvelle base est

1
0
1 0
-1
P=
d'inverse P =
-m 1
m 1
Le choix de P est tel que P-1 TP est triangulaire. En effet, on vérifie 
aisément :

1 2m
-1
P TP =
0 1

Rappelons que si B et B sont deux bases de E, PB,B la matrice de passage de
B à B , u un endomorphisme de E et M et N les matrices de u respectivement
dans les bases B et B , alors on a N = (PB,B ) -1 MPB,B . La matrice P-1 TP
calculée dans cette question est donc la matrice de  dans la base formée par
e1 - me2 et e2 , matrice qui est triangulaire puisque e1 - me2 est un vecteur
propre de  .
I.B.4 D'après la question précédente,
P-1 Tk P = P-1 TP
Donc Tk = I équivaut à

ne se produit pas pour k > 0.

k

=

1 2m
0 1

k

=

1
0

2km
1

1 2km
= P-1 IP = I, c'est-à-dire à 2km = 0, ce qui
0
1

 est donc d'ordre infini.
I.C.1 Comme mentionné dans l'énoncé,  est bilinéaire. Elle est aussi clairement
symétrique. Il reste à montrer qu'elle est définie positive. On a
(xe1 + ye2 , xe1 + ye2 ) = x2 + y 2 + 2mxy
= (x + my)2 + (1 - m2 )y 2
Cette quantité est positive car m2 6 1 ; de plus, comme m2 < 1, elle ne s'annule
que si x + my = 0 et y = 0, ce qui implique x = y = 0. On a ainsi montré que  
était
définie positive, on en conclut que
 est un produit scalaire.
I.C.2 On voit immédiatement que B est toujours normée. Supposons qu'elle soit
de plus orthogonale, c'est-à-dire (e1 , e2 ) = m = 0, ce qui signifie - cos 
(/a) = 0.
On en déduit que /a est congru à /2 modulo . Comme a > 2, on a 0 < /a 6 /2 ;
d'où /a = /2. Réciproquement, si a = 2 alors  est le produit scalaire canonique,
pour lequel la base canonique est bien orthonormée.
La base B est donc orthonormale si et seulement si a = 2.