Centrale Maths 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Factorisation de Choleski et application à un problème d'analyse numérique
Principaux outils utilisés réduction, algèbre bilinéaire, trigonalisation, équations différentielles
Mots clefs polynômes, matrices définies positives, décomposition de Choleski, analyse numérique, algorithme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ËQN omäofiOE - ......ËÈOEQ mÈDË0U

Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices
carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme Ax ; b
d'inconnue x EUR IR", A étant une matrice à coefficients réels, b un vecteur de
IR" . Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices A 
considérées ont
la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière 
partie,
on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation diffé-
rentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires.

Dépendance entre les questions

On peut aborder les parties Il à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le
préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont
nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie 
III
servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement.

Notations du problème

Dans tout le problème n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et In désigne
la matrice unité d'ordre n... Si M est une matrice (carrée ou non), M désigne la
matrice transposée de M . On identifie un vecteur x e IR" et la matrice a n
lignes et 1 colonne,

t , . . \ . t _
et x des1gne alors la matr1ce a 1 11gne et n colonnes: x : [ac1 x2 xn] ;

0 ch est l'élément de ]R" dont tous les coefficients sont nuls sauf le k -ième,
égal à 1 ;

° Sn(lR) est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients
réels, d'ordre n (c'est-à-dire à n lignes et n colonnes) ;

° On(IR) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n .

Partie I - Une famille de matrices symétriques

Soient n un entier naturel tel que 7122, et oc un réel strictement positif.
On considère dans cette partie les matrices carrées An : (ai, ]) d'ordre n , 
telles
que,pour ISi,an,

ai,i : 1
ai,J-=--Ot, silz--fl=l
a- . = 0, dans les autres cas.

L,]

Ainsi, pour n prenant respectivement les valeurs 2, 3 , 4 :

1--oc00
1 1_°°0 loc0
A2: , A3=--Otl--Ot A4_
--oc1 O--oc1--oc
0--ocl
00-oc1

On note Pn(X ) le polynôme caractéristique de la matrice A
Pn(X) = det {An--Xln).

n .

I.A - À propos des éléments propres de An

I.A.1) Calculer les polynômes P2(X ) et P3(X ). Déterminer les valeurs pro--
pres et les sous-espaces propres de A2 et de A3 .

I.A.2) Montrer que P4(X) : (1 --X) P3(X)--a2PZ(X).

I.A.3) De façon plus générale, exprimer Pn +2(X ) en fonction de Pn + ](X ) et
de Pn(X) pour tout n 2 2.

l.A.4) Démontrer que 1 est valeur propre de An si et seulement si n est
impair.

LB - On suppose que n est un entier supérieur ou égal à 3 et que x & IR" est un
vecteur propre de An associé à la valeur propre 7t.

I.B.1) Exprimer 362 en fonction de oc1 .

1.8.2) Exprimer x3 en fonction de xl et x2 . En déduire
P 2(7»)

2
06

x3= (XII.

I.B.3) Donner une relation entre xk _1 , xk et xk +1 lorsque 2 sk S n -- 1 .

Avec la convention P1(X ) : l--X , démontrer que, pour tout le tel que
1 _<_k S n -- 1 ,
Pk(7»)
xk+l : k 361--
oc

I.B.4) Montrer que les sous--espaces propres Ker(An -- Un) de la matrice An
sont des droites vectorielles, puis que A,, admet n valeurs propres deux à deux
distinctes.

Partie II - Matrices définies positives

On dit qu' une matrice symétrique A E S n(IR) est dèfime positive lorsque pour 
tout
x & IR" non nul, xAx > 0. On note Sn +(IR) l'ensemble de ces matrices.

Dans les questions qui suivent, A: (a
n+(IR) et k est un entier tel que 1  0 .

II.B - Soit À une valeur propre de A et x un vecteur propre associé.
Calculer txAx et en déduire que À > 0 . Justifier que det (A) > 0 .

II.C - On suppose que 1 5 k < n et on écrit A sous la forme de blocs

? B , OùA'eSk(IR).
B All

Préciser la taille des blocs A', A", B , "B .

Soit u un élément de IR" tel que u j = 0 si j >k . En calculant tuAu en fonction
de A' et de u' : t(u1, uk), montrer que la sous-matrice A' est elle-même

symétrique et définie positive.

A:

II.D - Matrices symétriques à valeurs propres strictement positives

Il. D. 1) Soient M et M2 deux matrices symétriques d'ordre 77... On suppose
qu'il existe une matrice orîhogonale Q EUR 0 n(IR) telle que M 2 _ t1--QM Q.

Montrer que M 1 est définie positive si et seulement si M 2 est elle-même 
définie
positive.

II.D.2) Montrer qu'une matrice diagonale d'ordre n, à coefficients réels, est
définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous 
stricte-
ment positifs.

H.D.3) Montrer qu'une matrice M & Sn(lR) est définie positive si et seulement
si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

ILE - Soit A,, la matrice symétrique définie dans la partie I.
Nous allons montrer que, sous certaines conditions, An & SÏ(IR) .

Supposons que x soit un vecteur propre de An associé à la valeur propre % et

désignons par io un indice pour lequel sup 'xL| : 'x,-()' .
1SiSn
II.E.1) Montrer que si i0 : 1 ou io : n alors 11 --M £a (indication : écrire la

ligne 1 ou la ligne n du système Anx : kx ).
II.E.2) Montrer que si 2 £ io S n -- 1 , alors |1--MS 2a.

II.E.3) En déduire que si a < 1/2 , la matrice An est définie positive.

Partie III - Décomposition des matrices définies positives

Préambule : On cherche à démontrer dans cette partie la propriété @ :

. ++ . . . . /
Pour toute matrice M e S IR , il existe une unt ue matrice carree L d'ordre n ,
ÏL

triangulaire inférieure et à coefficients diagonaux strictement positifs telle 
que
M=LOE.

On pourra utiliser ici les résultats de la partie Il, en particulier le fait 
que, si
M EUR SÏ(IR) ,

°ses termes diagonaux sont strictement positifs ;
°son déterminant est strictement positif ;

°les sous--matrices formées des termes d'indices i, j , tels que 1 s i, j 5 k , 
où
le S n , sont elles--mêmes symétriques et définies positives.

III.A - Montrer la propriété @ pour n = 2 . En notant

M=ab et L=rO,
bd st

donner les expressions de r, s , t en fonction de a , b , d.

III.B - On suppose la propriété @ vraie au rang n -- 1 (avec n 2 3 ), et on 
consi-
dère une matrice M & SÏ(]R) , que l'on écrira en 4 blocs :

M1 x
M = ,
t
X m
où M1 est une matrice carrée d'ordre n -- 1 , m un réel et 36 un vecteur de IR" 
_
t I ' ° / \ ' t
x des1gnant la l1gne transposee de x , a sav01r: x : [xl x2 xn_l].

1

'

III.B.1) Montrer que M1 est inversible.

III.B.2) Soient u > 0 , w & 11%"--1 et L' une matrice triangulaire inférieure,
d'ordre n -- 1 , à coefficients diagonaux strictement positifs telle que M1 = 
L' tL' .
Montrer que la matrice carrée d'ordre n

t

L = {L, O} , où () désigne le vecteur nul de IR"_l ,

w u
vérifie M = L tL si et seulement si :
L'w : x
_ (l)
{u2 : m--tle lx

III.B.3) En admettant que
m --tle_1x >O, (2)
montrer que la propriété @ est vraie au rang n .

III.C - Preuve de (2) et fin de la démonstration
III.C.1)

10 x1

()
x 0 1 () x2
} : : '. () g.,d'ordrenz3.
]]

() 0
y1y2 yn_1 m

xn--l

Calculer det (A) en fonction de m , des xi et des yi.

IH.C.2) Soit M EUR SÏ(]R) une matrice symétrique définie positive que l'on écrit
par blocs :

a) Calculer le produit de deux matrices :

{ln--1 x X{M1 0
ÏLÎXM1_I m [ÏO !

L

10) Montrer, par un calcul de déterminants, que M vérifie la relation ( 2).

III.D - Décrire un algorithme de calcul de la matrice L .

Partie IV - Matrices tridiagonales

IV.A - Soit M : (mL--, ]) une matrice symétrique définie positive d'ordre 77... 
On
suppose que M est de plus tridiagonale, c'est-à-dire qu'elle vérifie mi, j = 0 
si
li -- j| 2 2 .

n--1

IV.A.1) On suppose n23. Soient xe IR ,tel que xi : 0 si lSiSn--2, et
L' = (/23 j) , une matrice d'ordre n -- 1 ,triangulaire inférieure dont les 
termes dia--
gonaux sont non nuls.

Résoudrel 'équation L' w _ x.

IV.A.2) L désigne encore la matrice triangulaire inférieure à coefficients dia-

gonaux strictement positifs, telle que L tL : M .

Démontrer, en raisonnant par récurrence et en utilisant la question III.B.2), 
que
L est tridiagonale.

IV.B - On reprend les notations de la partie I et on suppose oc < 1/2 . On note 
Ln
la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs
telle que An : Lnth.

IV.B.1) Calculer L2 et L3 .
IV.B.2) On s'intéresse au système linéaire Anx : b où b EUR IR".
a) Montrer qu'il possède une unique solution.

b) Montrer que la résolution de ce système est équivalente à la résolution suc--
cessive des systèmes L ny_ -- b et tnL x _ --.y

0) Dénombrer avec soin les additions, les soustractions, les multiplications et
les divisions que nécessite la résolution successive de ces deux systèmes.

Montrer que seules 2(3n -- 2) de ces opérations sont nécessaires pour obtenir x 
.

Partie V - Solutions approchées d'une équation
différentielle

V.A - Question préliminaire : approximation d'une dérivée seconde
On pose .Î : [a. b] . Soit (1) : fa IR une fonction de classe C4 . On rappelle 
que
pour 2 et 9 tels que 2 , 2 + 9 & f , on peut écrire la formule de Taylor avec 
reste

intégral sous la forme :

3 lk>(z @
=<) "

On note

(4)

M4 = sup lq> ...! .

xe[a,b]

V.A.l) Justifier l'existence de M 4 et donner une majoration de la valeur abso-

lue du reste intégral en fonction de 6 et de M 4 . On pourra commencer par le 
cas
où 9 > 0 .

V.A.2) Montrer que si 2 -- 9 , 2 + 9 EUR f,

q)"(z) : ®(Z+9)--2®(22)+®(2"_9)+Rz(e), (3)
6
avec

A4492

le(9). 5

Dans toute la suite du problème, on se donne (0 > 0 , deux réels "0 et a] ,une 
fonc-
. \ , 2
t10n g sur [O, 1] , a valeurs reelles, de classe C .

On s'intéresse au problème suivant :

u"--oe2u : g, sur [0,1]

"(O) : ao (4)
u(1) : a1
V.B -
V.B.l) Donner l'expression générale des solutions de l'équation différentielle
(% : u' '2--(o u -- --0.

V.B.2) On note u0 une solution particulière de l'équation différentielle
(ë?):z/'--afu : g.

Donner l'expression générale des solutions de l'équation (% ). Montrer que le

problème (4) admet une solution et une seule.

V.B.8) Montrer que cette solution est de classe C4.

V.C - On se propose d'approcher la solution du problème (4)

On subdivise l'intervalle [O, 1] en considérant les points

k
tk_n+1,ke{d......n+1y

Pour 1 S le S n , on remplace l'équation :
u" = g

par l'équation approchée :
"(tk+1)"2u(tk)+u(tk_1) 2

92 --0) "(t/g) : g(tk), (5)
dans laquelle :
_ l
9 _ n+ ] '
On note
xl u(t1)
x : = EUR ]Rn.
xn u(tn)

V.C.1) Montrer que l'on peut choisir un réel en > 0 , que l'on exprimera en 
fonc--
tion de 9 et de m, qui permet de réécrire le système formé des n équations (5)
sous la forme Anx : 19 où An est la matrice étudiée dans la partie I et b un 
vec--
teur de IR" que l'on précisera.

V.C.2) Montrer que le système linéaire Anx : b possède une unique solution.

V.C.3) Dans cette question on choisit w = 4, ao : 0, al : 1 et n = 3, et on
considère la fonction g définie par

4

g(t) = Î+_l

Donner les valeurs numériques de oc, A3 , L3 et b .

Donner les expressions approchées de u(1/ 4) , u(2/ 4) , u(3/4) obtenues en 
met--
tant en oeuvre la démarche proposée dans les parties IV et V du problème.

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Antoine Gloria (École Polytechnique) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet, assez long, est composé de cinq parties largement indépendantes. 
Toutes
les questions délicates contiennent suffisamment d'indications et l'énoncé 
correct de
la formule de Taylor avec reste intégral est fort gentiment rappelé. Par 
ailleurs,
certaines parties (la deuxième notamment) sont des « hors-programme classiques 
» :
ils ont été vus par un grand nombre d'élèves en exercice, problème ou séance de 
TD.
Ainsi, la plus grande difficulté de ce problème est sa longueur ; pour cela, 
pas de
miracle : seule une connaissance du cours ne laissant pas de place à 
l'hésitation et
un entraînement intensif aux diverses techniques d'algèbre et d'analyse 
permettent
d'être rapide et de s'en tirer un jour d'écrit.
Plusieurs questions d'algorithmique (ne nécessitant aucune connaissance 
spécifique mais seulement un peu de bon sens mathématique) et d'applications 
numériques
sont présentes ; les bons candidats, à l'aise dans les calculs, doivent se 
jeter dessus
car elles rapportent d'autant plus de points qu'elles sont souvent mal traitées 
!
Voyons le contenu des cinq parties :
· Une première partie d'algèbre linéaire, sans surprise, propose d'étudier une
famille de matrices paramétrées.
· Une deuxième partie établit quelques propriétés « classiques » (c'est-à-dire 
hors
programme, mais qui devraient être sues par tous les candidats) des matrices
symétriques et définies positives (qui sont au programme en filière MP mais
pas en PC).
t

· La troisième partie démontre un théorème de décomposition M = L L
d'une matrice définie positive M en un produit d'une matrice triangulaire
inférieure L et de sa transposée (c'est la factorisation de Choleski). La 
preuve,
par récurrence, est par ailleurs constructive, c'est-à-dire qu'elle se transpose
sous la forme d'un algorithme simple que l'on demande de décrire en dernière
question.
· La courte partie IV spécialise les résultats précédents au cas des matrices
« tridiagonales » de la partie I. La dernière question propose de dénombrer
les opérations nécessaires pour résoudre un système linéaire.
· Enfin, la cinquième partie montre comment utiliser les résultats précédents 
pour
résoudre numériquement (de manière approchée) une équation différentielle
linéaire simple. Des applications numériques y sont demandées.

Indications
I.A.2 Développer selon la première colonne pour obtenir le premier terme,
puis selon la première ligne pour le terme restant.
I.A.3 Employer la même méthode qu'à la question précédente.
I.A.4 Raisonner par récurrence.
I.B.3 Penser à une récurrence finie.
I.B.4 La valeur de x1 fixe toutes les autres composantes. Remarquer que A est
diagonalisable car symétrique et réelle.
II.B.2 Le déterminant de A est égal au produit de ses valeurs propres.
II.D.3 Utiliser les deux questions précédentes.
II.E.2 Écrire la i0 e ligne du système.
II.E.3 Montrer que, dans tous les cas, |1 - | < 1 et en déduire que  > 0.
III.B.1 Remarquer que M1 est symétrique et définie positive.
III.B.2 Observer que t w w = t x M-1
1 x.
III.C.1 Faire un calcul explicite pour n = 3, puis conjecturer le résultat 
général.
III.C.2.b Utiliser la question III.C.1 pour calculer le premier déterminant.
t

IV.A.1 Montrer que w est de la forme w = ( 0, . . . , 0, wn-1 ).
IV.B.1 Utiliser la formule de la question III.A pour calculer L2 , puis mettre
en oeuvre l'algorithme de la partie III pour calculer L3 .
IV.B.2.c Remarquer que les seuls coefficients non nuls de Ln sont ceux situés 
sur la
diagonale et ceux situés immédiatement en dessous.
V.A.1 Majorer le reste intégral grâce à une inégalité triangulaire. Si  < 0, 
poser
 = - et effectuer le changement de variable t = -t pour se ramener au
cas précédent.
V.B.2 Trouver une base de l'espace vectoriel des solutions de E ; montrer que 
si u
est solution du problème (4), alors ses coordonnées dans cette base sont
entièrement déterminées.
V.B.3 Montrer que u est de classe C 2 .
V.C.1 Exprimer l'équation (5) pour k  [[ 2 ; n - 1 ]] et en déduire la valeur 
de .
1
V.C.2 Montrer que  < .
2

I.

Une famille de matrices symétriques

I.A.1 Calculons directement
P2 (X) = X2 - 2X + 1 - 2
Le discriminant réduit de ce polynôme est  = 2 et, comme  > 0, ses racines sont
- = 1 -  et + = 1 + .
sp (A2 ) = {1 -  ; 1 + }
Cherchons maintenant les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 - .
On doit résoudre le système

1 -
x
x
= (1 - )
- 1
y
y

(x - y) = 0
c'est-à-dire
(x - y) = 0
d'où, puisque  6= 0

x=y

De même, les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 +  vérifient, avec 
les
mêmes notations, x = -y.

1
1
Les sous-espaces propres sont E1- = Vect
et E1+ = Vect
.
1
-1

Le calcul de P3 est lui aussi immédiat : on développe par exemple sur la 
première
colonne pour obtenir
P3 (X) = (1 - X) P2 (X) + (-)(1 - X)
= (1 - X)(X2 - 2X + 1 - 22 )

soit

P3 (X) = -X3 + 3X2 + (22 - 3)X + 1 - 22

Comme nous l'avons vu avant développement complet du polynôme, 1 est racine
de P3 ; on calcule ensuite les racines du polynôme X2 - 2X + 1 - 22 et on 
obtient

sp (A3 ) = {1 ; 1 - 2 ; 1 + 2}
Enfin, un calcul mené de la même manière que pour A2 montre que les sous-espaces
propres associés à A3 sont respectivement

-1
1
1
E1 = Vect  0 E1- = Vect  2 et E1+ = Vect - 2
1
1
1
I.A.2 Développons le déterminant P4 (X) selon la première colonne
-
0
0
-
P4 (X) = (1 - X) P3 (X) +  - 1 - X
0
-
1-X

Le développement de ce déterminant selon la première ligne donne le résultat
P4 (X) = (1 - X) P3 (X) - 2 P2 (X)

I.A.3 On peut utiliser la même tactique : on développe le déterminant selon la
première colonne, ce qui mène à
-

0

- 1 - X

Pn+2 = (1 - X) Pn+1 (X) +  0
..
.

-
..
.

0

···

0

···
0
..
..
.
-
.
..
.
1-X
0
..
..
.
.
-
0
- 1 - X

puis l'on développe le dernier déterminant selon la première ligne, ce qui donne
immédiatement
n > 2

Pn+2 (X) = (1 - X) Pn+1 (X) - 2 Pn (X)

I.A.4 Remarquons que, pour tout n > 2,
Pn+2 (1) = -2 Pn (1)

avec

2 6= 0.

Par conséquent, puisque P2 (1) = -2 =
6 0 et P3 (1) = 0 et par une récurrence
immédiate
(
Pn (1) 6= 0 si n est pair
Pn (1) = 0 si n est impair
Conclusion :

1  sp (An )

n est impair.

I.B.1 La première ligne du système linéaire An x = x s'écrit
x1 - x2 = x1
d'où

x2 =

1-
x1

I.B.2 Écrivons de même la deuxième ligne du système linéaire An x = x :
-x1 + x2 - x3 = x2
soit

x3 = -x1 +

1-
x2

En remplaçant dans cette expression x2 par sa valeur précédemment établie,
on obtient
x3 =

c'est-à-dire

(1 - )2 - 2
x1
2

x3 =

P2 ()
x1
2