Centrale Maths 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Étude d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 1

"à «
_/ PC

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant 
d'un paramètre. Cette intégrale
provient de l'étude du << noyau de Poisson >>

z+-->Re(l+Z)

1 -- z
défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un 
lien entre séries entières et séries
de Fourier.

Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue 
d'un même résultat. Elles
doivent être traitées comme indépendantes entre elles.

On utilise les notations habituelles pour les ensembles N , Z, R et C.

I Règle de convergence d'Abel

I.A -- Soit (an)neN* une suite réelle décroissante qui converge vers 0, et 
(bn)nEURN* une suite complexe telle
que la suite (Bn)neN* définie pour tout H E N* par B,, : 191 + - - - + b,, est 
bornée.

I.A.1) Montrer que, pour tout entier n > 2,

n n--1
î: akbk = Clan + Z(% -- ak+1)Bkz
Iç=1 k=1

I.A.2) En déduire que la série z a,,bn converge.

I.A.3) Application

EUR177.0

Montrer que, pour tout 9 E R \ 27rZ, la série Z
7121

sin noe
I .B -- On considère la série de fonctions 2 ( )

7121 \/H

I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur R.

converge.

, où 96 est une variable réelle.

I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction 
27r--périodique continue par mor--
ceaux.

On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval.

I. C' -- Soit 19 la fonction de R dans R définie par

_+ cos(noe)

I.C.1) Montrer que p est bien définie, continue et 27r--périodique.

n=1

I.C.2) Déterminer la série de Fourier de p.
I.C.3) Montrer que la fonction 19 n'est pas de classe C1.

in9

II Étude de la série entière Z 6--32"
n

II.A -- Soit 9 E R.

EUR177.0 n
OE .

II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière 2
n

II.A.2) Soit g la fonction de ]--1, ll dans @ définie par

+oo -
EUR1719

9(fIJ) = z

n=1

$

2013-04--16 14:28:45 Page 1/4 GC) BY-NC-SA

a) Montrer que g est de classe C1 sur ]--1,1[ et que, pour tout 515 EUR ]--1,1[,

ele--oe

oe2 --2oecos9+1

9'(OE) =
b) Montrer que, si 35 EUR ]--1,1[,

1 oesin9
=__1 2_2 1 ° _
Mac) 2 n(oe oecos9 + )+1 arctan (1 _ oecos9)

est bien défini et que h(oe) : g(oe).

II.B -- Soit 9 E R \ 27rZ.
II.B.1) Montrer que, pour tout H E N*,

" "39 1 . 1-- e19t "
0

k 1--ë%
k=1

+OO eik0 1 619
2 k 0 1 -- e19t

k:=1

II.B.2) En déduire que

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée.
II.B.3) En déduire que
+00 eik9

k
k=1

1 ° 9
= _5 ln(2 -- 200s9) +i arctan(ä)

II.B.4) Montrer que, pour tout 9 EUR ]0, 7r[,

+Î sin(k9) _ 7r -- 9
k 2

k=1
7r--9
2 .

II.C -- Soit 7° : R --> R, une fonction 27r--périodique, impaire, telle que V9 
EUR ]0, 7r], 7°(9) :

II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de r.

II.C.2) Déterminer la série de Fourier de 7".

+00 1 7r2

II.C.3) En déduire que _ = --.
% (271 + 1)2 8

III Calcul de / ln(a:2 -- 2513 cos9 + 1) 019
0

III.A -- Intégrales impropres
III.A.1) Montrer que si 35 est un réel différent de 1 et de --1, alors 5152 -- 
2oe cos9 + 1 > 0 pour tout 9 E R.

III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres
/ ln(sin @) d9 / ln(1 -- cos 9) d6' / ln(1 + cos @) dB
0 0 0

En déduire que, pour tout 515 E R, l'intégrale / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 
converge.
0

III.A.3) Montrer que, quand oe tend vers +oo,
27rln(oe) --/ ln(ac2 -- 2515 cos9 + 1) dB
0

admet une limite, que l'on déterminera.

III.A.4) Montrer que 515 i--> / ln(ac2 -- 2oe cos9 + 1) d9 est une fonction 
paire de la variable 35 E R.
0

2013-04--16 14:28:45 Page 2/4 @C) BY-NC-SA

III.B -- Première méthode de calcul : séries de Fourier
III.B.1) Soit 515 EUR ]--1,1[.
Déterminer la série de Fourier de la fonction fi : R --> R définie par Îi(9) : 
ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1).

On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2.

III.B.2) En déduire que, pour tout 515 EUR ]--1,1[, on a / ln(ac2 -- 2oe cosô' 
+ 1) d9 : O.
0

En déduire la valeur de / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) d9 dans le cas ioe} > 1.
0

7T/2
III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre / ln(cos @) d9 converge.
0
7T/2

III.B.4) Montrer que] ln(sin 9)d9 : 2/
0

7T/2
ln(sin @) d6' : 2/ ln(cos @) dB.
0 0

III.B.5) En déduire que / ln(sin 9) d9 : --7r ln 2.
0

III.B.6) En déduire que / ln(2 -- 2cos @) d9 : / ln(2 + 2cos @) d9 : O.
0 0

III.C -- Une deuoeième méthode : intégrale dépendant d'un paramètre
Soit f la fonction de R dans R définie par f(oe) : / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) 
dB.
0

III.C.1) Montrer que f est dérivable sur R \ {--1, 1} et que

2oe--2cosô'
oe2 --2oecosô'+ 1

Vac @ R\{--L1} f'<æ> = /
0
III.C.2) En déduire que Vac E R \ {--1, 1}

/ _ +oo (oe+1)t2+(oe--1)
f ... _ 4/0 (($ + 1)2t2 + (:D -- 1)2)(752 + 1)dt

III.C.3) En déduire que

f(OE) : {27rln(ioei) si ioe} > 1

0 si}oei<1

1 T -- 1
On déterminera d'abord des coefficients A et B fonctions de 95 tels que ((æ 
+(1î2Ë13-- (oe+_(Î)2)(à" + 1) =
A

+ B t t T E R t | f t' ' t défn'es
-- our ou e ue ces rac ions sooen | | .
(ac+1)2T+(ac--1)2 T+1p q

III.C.4) Montrer que f est continue sur R et que f(1) : f(--1) : 0.

On pourra montrer que Vac E R, 952 -- 295 cosé' + 1 ; sin2 9 et utiliser le 
théorème de la convergence
dominée.

III.D -- Troisième méthode : racines de l'unité
III.B.1) Montrer que Vac E R \ {--1, 1}

27r 2 n 2k'
/ ln(ac2 -- 2515 cosô' + 1) d6' : lim (W Z ln (oe2 -- 2515 cos --7T + 1))
0 n-->+oo n n

k=1

III.B.2) Montrer que, pour tout 515 E R et pour tout n E N*,

77;
2h
(oe" -- 1)2 = H (352 -- 2oecos --7T + 1)
n
k=1

III.D.3) En déduire que

47rln(ioei) si ioe} > 1

27T
2 -- =
/0 ln(oe 2oecosô' + 1)d9 {0 si M < 1

III.D.4) En déduire / ln(ac2 -- 2oe cosô' + 1) dû pour 515 E R \ {--1, 1}.
0

2013-04--16 14:28:45 Page 3/4 @C) BY-NC-SA

III.D.5) Montrer que Vac E R et Vn E N*

n--1 n--1

H(oe2 --2accos2kÎ7T +1) : (Zoek)2

k=1 k=O

n--1
k7r \/ñ
III.D.6 M t ' -- = .
) on rer que ,}:[1 sin 2
III.D.7) En déduire que

n/2 ] 2
/ ln(sin @) d9 : --7rn--
0

Retrouver alors le résultat de la question III.B.6.

IV Théorème de convergence radiale

I V.A -- Soit (an),,eN une suite complexe. On suppose que la série Zan 
converge. Pour n E N, on note

+OED n +OED
T,, : î: ak et on définit les fonctions $,, et 3 de [O, 1] dans (C par $,,(æ) : 
Zakoek et s(oe) : Zakoek.
k=n--i--1 k=0 k=0

IV.A.1) Justifier l'existence de s.
IV.A.2) Soit 96 E [O, 1] et n E N*. Montrer

+OED
s(oe) -- $,,(æ) : rnoen+1 -- î: r;,(oek -- oek+1)
k=n+1

IV.A.3) Montrer que 3 est continue sur [O, 1].
Pour la continuité en 1, fixer 5 > O et montrer que si l'entier naturel N 
vérifie [rn] < 5 pour tout
n ; N, alors [s(oe) -- 3N(oe)[ < 25 pour tout 96 E [O, 1]. Majorer ensuite le 
module de s(oe) -- 3(1) :
(8(OE) -- SN(OE)) + (SNCB) -- 8N(1))+(8N(1) -- 8(1))-

IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3.

I V.B -- Soit 9 E R. Déterminer le développement en série entière de la fonction

1--962

F+
oe oe2--2oecos9+1

sur un intervalle que l'on précisera.

I V.C -- Soit f : R --> R une fonction 27r--périodique et de classe C 1. On 
considère la série de Fourier de f en
cosinus et sinus, notée

00 + 2 (an cos(nt) + bn sin(nt))

n21
IV.C.1) Montrer que, pour tout 96 EUR ]--1,1[ et tout t E R,

+OED
. .. 1 % (1--oe2)f(U)
Co+îÏ(anoes)oe =ä 0 oe2_2oe008(t--u)+1

n=1

IV.C.2) En déduire que, pour tout t E R,

1 /27T (1 -- OE2)f(U)

t : l° --
f( ) oel>ril-- 27r OE2 -- 296 cos(t -- u) + 1

oooFINooo

2013-04--16 14:28:45 Page 4/4 GC) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Samuel
Baumard (ENS Ulm) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte principalement sur l'étude de l'intégrale dépendant d'un 
paramètre, appelée intégrale de Poisson,
Z 
ln(x2 - 2 x cos  + 1) d
0

pour laquelle on propose trois méthodes de calcul différentes.
· La première partie commence par établir la P
règle de convergence d'Abel, qui
permet de prouver la convergence de la série e i n /n. Ce résultat sera utilisé
à plusieurs reprises par la suite. Il est suivi de deux exercices d'application.
P
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de la série entière e i n xn /n, 
dont
on exprime la somme g à l'aide de fonctions usuelles, notamment g(1).
· La troisième partie de ce problème met en oeuvre trois méthodes pour calculer
l'intégrale de Poisson, avec successivement des séries de Fourier, une intégrale
dépendant d'un paramètre puis les racines de l'unité.
· Enfin, une quatrième partie établit le théorème de convergence radiale et 
propose deux exercices d'application.
Ce théorème établit la continuité
P
P en 1 de la
somme d'une série entière an xn de rayon 1 telle que la série an converge.

Ce sujet couvre une large partie du programme d'analyse de deuxième année,
puisque sont utilisés les résultats concernant les séries de fonctions, les 
séries de Fourier et les séries entières, mais aussi les intégrales dépendant 
d'un paramètre et les
intégrales impropres. Il nécessite par ailleurs une bonne maîtrise des formules 
de
trigonométrie et des changements de variable. C'est un problème relativement 
long
mais bien balisé. En particulier, les titres des parties et des sous-parties 
guidaient
le candidat sur les connaissances à mobiliser. Toutefois, la progression n'est 
pas linéaire : certains résultats ne sont que des applications de résultats 
préliminaires et
ne sont pas réutilisés par la suite. En outre, le même résultat est démontré 
dans trois
sous-parties indépendantes, ce qui pouvait surprendre, voire désorienter.

Indications

I Règle de convergence d'Abel
I.A.2 Utiliser le fait qu'une série absolument convergente est convergente.
I.B.1 Écrire sin  comme une somme d'exponentielles complexes.
I.C.1 Remarquer la convergence normale sur R de la série.
I.C.3 Raisonner par l'absurde en appliquant le théorème de Parseval à la dérivée
de p.
II Étude de la série entière

P e i n

xn

n

II.A.2.b Montrer que h et g  coïncident sur ] -1 ; 1 [.
II.B.1 Reconnaître dans l'intégrale la somme des premiers termes d'une suite 
géométrique.
II.B.3 Reconnaître dans l'intégrale du résultat de la question II.A.2.b 
l'expression
de g  .
II.B.4 Voir le sinus comme une partie imaginaire.
II.C.3 Appliquer le théorème
de Parseval puis séparer les termes pairs et les termes
P
impairs dans 1/n2 .
III Calcul de

Z

ln(x2 - 2 x cos  + 1) d

0

III.A.3 Écrire la différence sous forme d'une intégrale puis encadrer cette 
intégrale.
III.B.2 Pour le cas où |x| > 1, factoriser par x2 dans le logarithme et se 
ramener au
cas précédent.
III.B.6 Commencer par prouver la première égalité (grâce la question II.A.4) 
puis
démontrer que la somme est nulle.
III.C.2 Effectuer le changement de variable t = tan(/2).
III.C.3 Réduire au même dénominateur puis multiplier toute l'égalité par ce 
dénominateur pour ramener le problème à une décomposition dans une base
de C1 [X].
III.C.4 Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité. Pour 
appliquer le
théorème de convergence dominée, distinguer le cas où on peut utiliser 
l'indication de l'énoncé et le cas où on peut majorer par une constante.
III.D.1 Reconnaître une somme de Riemann.
III.D.2 Faire apparaître les racines n-ièmes de l'unité en factorisant les 
polynômes
du second degré.
III.D.4 Utiliser la question III.D.2 pour x 6= 1 et conclure par continuité.

III.D.6 Utiliser la question III.D.5 avec x = 1. Exprimer alors sin(4) en 
fonction
de sin  et de cos  puis établir que
  n-1
 
n-1
Q
Q
k
k
sin
=
cos
2n
2n
k=1
k=1
pour pouvoir utiliser la question III.D.4.
III.D.7 Écrire pour tout entier n  N et pour tout k  [[ 1 ; n - 1 ]] un 
encadrement
de l'intégrale
Z (k+1)/(2n)
ln(sin ) d
k/(2n)

IV Théorème de convergence radiale
IV.A.2 Remarquer que ak = rk-1 - rk pour tout k > 1.
IV.A.4 Appliquer le résultat de la question IV.A.3 à la suite (e i n /n)nN .
IV.B Factoriser le dénominateur pour utiliser les développements en série 
entière
des fonctions usuelles.
IV.C.1 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions
normalement convergente.
IV.C.2 Appliquer le résultat démontré à la question IV.A.3 en utilisant le 
théorème
de Dirichlet.

I. Règle de convergence d'Abel
I.A.1 On remarque que B1 = b1 et que bk = Bk - Bk-1 pour tout k > 2. Il en
résulte que, pour tout n > 2,
n
n
P
P
ak b k = a1 b 1 +
ak b k
k=1

k=2
n
P

= a1 B 1 +
= a1 B 1 +

ak (Bk - Bk-1 )

k=2
n
P

ak B k -

k=2

= a1 B 1 +

n
P

n
P

ak B k -

k=1

=

ak B k -

n
P

ak+1 Bk

n-1
P

ak+1 Bk

k=1

n-1
P

ak B k + an B n -

ak b k = an B n +

k=1

n-1
P
k=1

k=1

soit

ak Bk-1

k=2

k=2

=

n
P

n-1
P

ak+1 Bk

k=1

n-1
P

(ak - ak+1 ) Bk

k=1

La transformation d'Abel peut être rapprochée de l'intégration par parties. En 
effet, l'analogue discret de l'intégration est la sommation, tandis que
la dérivation est discrétisée comme une différence finie.
Ainsi, par exemple, pour calculer l'intégrale sur un segment [ 0 ; X ] d'un
produit de fonctions f g définies sur cet intervalle (avec f supposée 
dérivable),
l'intégration par parties consiste à évaluer le produit de la fonction f avec 
une
primitive G de la fonction g aux bornes 0 et X dans un crochet d'intégration
et à soustraire l'intégrale sur [ 0 ; X ] du produit f  G :
Z X
Z X
f (t) g(t) dt = f (X) G(X) - f (0) G(0) -
f  (t) G(t) dt
0

0

où une primitive G et la dérivée f peuvent s'écrire, pour tout x  [ 0 ; X ],
Z x
f (x + h) - f (x)
G(x) =
g(t) dt
et
f  (x) = lim
h>0
h
0
h0

La transformation d'Abel réalise l'opération analogue pour les suites.
La suite (an )nN devient (an+1 - an )nN (ce qui correspond à une discrétisation 
de la dérivation avec un pas h = 1) tandis que la suite (bn )nN est
sommée pour obtenir (Bn )nN avec Bn = b1 +· · ·+bn pour tout n > 1 (noter
l'analogie avec l'expression de G). En posant a0 = b0 = B0 = 0, le résultat
démontré à la question I.A.1 devient
n
P

ak B k = an B n - a0 B 0 -

k=0

n-1
P

(ak+1 - ak ) Bk

k=0

ce qui est, au décalage des bornes supérieures des sommes près, la formulation
discrète de l'intégration par parties.