Centrale Maths 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Approximation de fonctions et un théorème de Hardy-Littlewood
Principaux outils utilisés approximation uniforme de fonctions, polynômes, séries entières, limites

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


PC
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 1

3 4
n
Si n et k sont deux entiers naturels, on note
le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments.
k

I Approximation
I.A ­
Quelques calculs préliminaires
Dans cette sous-partie, x est un nombre réel et n est un entier naturel.
n 3 4
Ø
n k
I.A.1) Montrer que
x (1 - x)n-k = 1.
k
k=0
3 4
n
Ø
n k
I.A.2) Montrer que
k
x (1 - x)n-k = nx.
k
k=0
3 4
n
Ø
n k
I.A.3) Montrer que
k(k - 1)
x (1 - x)n-k = n(n - 1)x2 .
k
k=0

I.A.4)

Déduire des questions précédentes que
42 3 4
n 3
Ø
x(1 - x)
n k
k
.
x (1 - x)n-k =
x-
n
n
k
k=0

I.B ­
Étude de S(x)
Soit n  N et x  [0, 1]. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme
-3 4
n Ø
k -- n k
n-k
S(x) =
.
-x - n - k x (1 - x)
k=0

I.B.1) Majoration de S(x) : première méthode
On note
1
k- V l'ensemble des entiers k  {0, . . . , n} tels que --x - -- 6  ,
n
n
k
1
- W l'ensemble des entiers k  {0, . . . , n} tels que --x - -- >  ,
n
n
et on pose
-3 4
-3 4
Ø -Ø -k -- n k
k -- n k
n-k
n-k
et
SW (x) =
.
SV (x) =
-x - n - k x (1 - x)
-x - n - k x (1 - x)
kW

kV

1
a) Montrer que SV (x) 6  .
n
x(1 - x)

.
b) Montrer que SW (x) 6
n
5
c) En déduire que S(x) 6  .
4 n
I.B.2) Majoration de S(x) : seconde méthode

a) Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace Rn+1 muni de son produit 
scalaire canonique.
1
b) À l'aide de la question I.A.4, en déduire que S(x) 6  .
2 n

2 avril 2012 16:58

Page 1/4

I.C ­
Application à l'approximation uniforme
Dans cette sous-partie, on note C l'espace vectoriel des fonctions continues de 
[0, 1] dans R. On munit C de la
norme de la borne supérieure, notée ë ë :
f  C,

ëf ë = sup |f (x)|.
x[0,1]

Pour f  C et n  N , on définit le n-ième polynôme de Bernstein de f , noté Bn 
(f ), en posant, pour tout
x  [0, 1]
n
1 k 2 3n 4
Ø
xk (1 - x)n-k .
Bn (f )(x) =
f
n k

k=0

Le but de cette sous-partie est d'étudier ëBn (f ) - f ë lorsque f est un 
élément de C vérifiant une hypothèse
additionnelle.
I.C.1) Un exemple
Si f (x) = x2 pour tout x  [0, 1], déterminer, pour tout n  N , le polynôme Bn 
(f ) et en déduire la valeur de
ëBn (f ) - f ë .
I.C.2) Soit f  C. Montrer, pour tout x  [0, 1], la relation
n 1 1 2
2 3n 4
Ø
k
- f (x)
xk (1 - x)n-k .
Bn (f )(x) - f (x) =
f
n
k
k=0

I.C.3)

a) Montrer que si f est -lipschitzienne, alors ëBn (f ) - f ë 6  pour tout 
entier n > 1.
2 n

c
b) En déduire que si f est de classe C 1 , alors il existe un réel c tel que, 
pour tout n  N , ëBn (f ) - f ë 6  .
n
1
c) Étendre le résultat précédent au cas où f est une fonction continue, de 
classe C par morceaux.
I.C.4) Soit f : [0, 1]  R une fonction continue, C 1 par morceaux. Déduire de 
ce qui précède que, pour tout
réel r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que x  [0, 1], f 
(x) - r 6 P (x) 6 f (x) + r.

II Un théorème de Hardy-Littlewood
Soit (an )n>0 une suite réelle. On suppose que la série entière associée
Ra = 1 et que la somme f de cette série, définie par
x  ]-1, 1[

f (x) =

+
Ø

Ø

an xn admet pour rayon de convergence

an xn

n=0

vérifie
f (x) 
On note

1
1-x

An =

n
Ø

quand x  1, x < 1.

et

ak

k=0

å
an =

(II.1)

An
.
n+1

Ainsi, å
an est la moyenne arithmétique des nombres a0 , . . . , an .

Le but de cette partie est d'étudier le comportement des an lorsque n tend vers 
l'infini. On s'intéresse en
particulier aux deux propriétés suivantes :
lim an = 1

(II.2)

lim å
an = 1

(II.3)

n

et
n

II.A ­

L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.2

II.A.1) Déterminer une suite réelle (bn )n>0 telle que
x  ]-1, 1[,

+
Ø
1
=
bn xn .
1 - x2
n=0

II.A.2) En déduire un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 mais ne 
convergeant pas vers 1.
2 avril 2012 16:58

Page 2/4

II.B ­

L'hypothèse II.1 n'entraîne pas la propriété II.3

1
ainsi que son rayon de conver(1 - t)2
gence. Préciser si la série converge aux bornes de l'intervalle de convergence.
1
1
et  : x Ô
. Déterminer des suites
II.B.2) On considère les fonctions  : x Ô
(1 - x2 )2
(1 + x)2 (1 - x)
(un )nN et (vn )nN telles que, pour tout x  ]-1, 1[,
II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction t Ô

(x) =

+
Ø

un xn

et

(x) =

+
Ø

vn xn .

n=0

n=0

On explicitera en fonction de n, suivant la parité de n, les réels un et vn .
II.B.3) Calculer vån (moyenne arithmétique des nombres v0 , . . . , vn ).

II.B.4) Construire à l'aide de  un exemple de suite (an )n>0 vérifiant II.1 
mais ne vérifiant pas la propriété II.3.

Jusqu'à la fin de cette partie, on continue de supposer II.1 et on fait 
l'hypothèse supplémentaire :
n  N, an > 0.

(II.4)

L'objectif principal, après quelques observations concernant la suite (å
an )n>0 , est de démontrer la propriété II.3
(théorème de Hardy et Littlewood).
II.C ­

Majoration de la suite (å
an )n>0

II.C.1) Pour tout x  [0, 1[ et tout n  N, montrer que f (x) > An xn .
II.C.2) Montrer l'existence d'un entier N > 0 tel que
n > N, f (e-1/n ) 6

2
.
1 - e-1/n

II.C.3) En déduire que la suite (å
an )n>0 est majorée.
II.D ­ Minoration, à partir d'un certain rang, de (å
an )n>0 par un réel > 0
On désigne par µ > 0 un majorant de la suite (å
an )n>0 : n  N, å
an 6 µ.
+
Ø
II.D.1) a) Pour tout x  ]-1, 1[, montrer que (1 - x)
Ak xk = f (x).
k=0

b) En déduire que pour tout x  [0, 1[ et tout N  N

+
Ø
f (x)
1 - xN
(k + 1)xk .
6 AN -1
+µ
1-x
1-x
k=N

c) En déduire que pour tout x  [0, 1[ et tout N  N
4
3
xN +1
.
f (x) 6 AN -1 + µ (N + 1)xN +
1-x
II.D.2) Soit  un réel strictement positif.
a) Montrer qu'il existe un entier N0 > 0 tel que pour tout N > N0 ,
f (e-/N ) >

1
N
>
.
2
2(1 - e-/N )

b) Montrer que pour tout N > N0
å
aN -1

1
>
- µe-
2

A

1
1
1+
+ e-/N
N
N (1 - e-/N )

B

.

c) Déterminer en fonction de  la limite, quand N tend vers l'infini, du membre 
de droite dans l'inégalité
précédente.
d) Montrer qu'il existe un réel  > 0 tel que cette limite soit strictement 
positive.
II.D.3) Conclure qu'il existe un réel  > 0 tel qu'à partir d'un certain rang on 
ait å
an > .
2 avril 2012 16:58

Page 3/4

II.E ­

Démonstration de la propriété II.3, due à Karamata

Soit g : [0, 1]  R la fonction telle que g(x) = 1/x si x > e-1 et g(x) = 0 
sinon.
On fixe un réel   ]0, e-1 [. On définit deux applications continues g + , g - : 
[0, 1]  R ainsi :
- g + est affine sur [e-1 - , e-1 ] et coïncide avec g sur [0, e-1 - ]  [e-1 , 
1] ;
- g - est affine sur [e-1 , e-1 + ] et coïncide avec g sur [0, e-1 [  [e-1 + , 
1].
Pour tout entier N > 0 on pose xN = e-1/N .
On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypothèses II.1 et II.4
Ú 1
Ú 1
II.E.1) Calculer
g + (t) dt et
g - (t) dt.
0

0

II.E.2) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que
(1 - x)

+
Ø

Ú

an xn P (xn ) -

n=0

x1
x<1

1

P (t) dt.

0

On considérera d'abord le cas particulier P (x) = xk , où k  N.
II.E.3) Établir l'existence de deux polynômes P , Q à coefficients réels tels 
que :
x  [0, 1],

g - (x) -  6 P (x) 6 g(x) 6 Q(x) 6 g + (x) + .

II.E.4) Établir l'existence d'un entier N1 > 0 tel que pour tout entier N > N1 ,
Ú 1
+
Ø
P (t) dt - 
(1 - xN )
an xnN P (xnN ) >
0

n=0

et
(1 - xN )

+
Ø

an xnN Q(xnN ) 6

Ú

1

Q(t) dt + .

0

n=0

II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier N > N1
1 - 5 6 (1 - xN )AN 6 1 + 5.
II.E.6) Conclure.
· · · FIN · · ·

2 avril 2012 16:58

Page 4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet d'analyse se compose de deux parties traitant de sujets différents et
globalement indépendants. Une seule question de la première partie est 
réutilisée
dans la seconde.
· La première partie, très classique, traite de l'approximation uniforme des 
fonctions continues et de classe C 1 par morceaux par les polynômes de 
Bernstein.
· La seconde partie, plus originale, aborde un théorème d'Hardy-Littlewood.
P
On considère une suite réelle (an )n>0 dont la série entière associée
an xn
admet 1 comme rayon de convergence et dont la somme f , définie sur ] -1 ; 1 [,
admet au voisinage de 1 l'équivalent
f (x) 

x1 1
x<1

1
-x

 On démontre dans un premier temps que cette propriété n'entraîne pas la
convergence de la suite (an )n>0 vers 1 en explicitant un contre-exemple.
On peut en effet se poser la question car la fonction x 7 1/(1 - x) est
développable en série entière sur ] -1 ; 1 [ et la suite réelle (bn )n>0 
associée
à ce développement en série entière est constante égale à 1.
 On montre ensuite de la même manière que cette propriété n'entraîne pas
non plus la convergence vers
 1 de nla suite
 des moyennes de Cesàro de la
1 P
suite (an )n>0 , c'est-à-dire
. Ce critère est plus faible que
ak
n + 1 k=0
n>0
celui de la convergence de la suite (an )n>0 . En effet si la suite (an ) tend
vers une limite réelle , alors la suite des moyennes de Cesàro de la suite
converge également vers .
 Puis on ajoute une hypothèse supplémentaire sur la suite (an )n>0 : tous
ses termes sont positifs. On démontre que la suite des moyennes de Cesàro
est alors majorée, puis qu'elle est minorée par un réel strictement positif.
 Enfin, on montre que la suite des moyennes de Cesàro de la suite (an )n>0
converge vers 1 à l'aide de fonctions auxiliaires que l'on encadre par des
polynômes.
Il s'agit donc d'un sujet très riche qui aborde plusieurs thèmes d'analyse, des 
questions de majoration et de minoration de sommes, d'approximation, de calculs 
autour
des séries entières, des équivalents de fonctions. Il constitue un bon 
entraînement sur
ces sujets dans la perspective des concours.

Indications

n
n-1
I.A.2 Penser à la relation k
=n
pour k et n deux entiers avec k 6 n.
k
k-1

n
n-2
I.A.3 Utiliser l'égalité k(k - 1)
= n(n - 1)
pour deux entiers k 6 n.
k
k-2

I.A.4 Remarquer que k 2 = k(k - 1) + k pour pouvoir appliquer les résultats des
questions précédentes.

k
I.B.1.b Utiliser l'inégalité t 6 t2 pour les réels t > 1 en l'appliquant à t = 
n x -
n
pour l'entier k dans W.
I.B.1.c Appliquer les deux questions précédentes et étudier le maximum de la 
fonction w : x 7 1 + x(1 - x) définie sur [ 0 ; 1 ].

I.B.2.b Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs
s 
s 
!
!
k
n k
n k
n-k
n-k
x-
x (1 - x)
et
x (1 - x)
k
k
n
06k6n

06k6n

puis utiliser les résultats des sections I.A.1 et I.A.4.
I.C.1 S'inspirer de la question I.A.4 pour les calculs.
I.C.2 Penser à la question I.A.1 en écrivant f (x) = f (x) × 1.

I.C.3.a Après avoir utilisé la propriété de la fonction -lipschitzienne, 
retrouver l'expression étudiée à la question I.B et le résultat de cette 
question pour obtenir
le résultat voulu.
I.C.3.b Montrer que la fonction f est -lipschitzienne où  = Sup |f  | puis 
utiliser
[ 0 ;1 ]

la question précédente.
I.C.3.c Montrer, en revenant à la définition et en utilisant la question 
précédente,
qu'une fonction continue, de classe C 1 par morceaux est nécessairement
lipschitzienne. Utiliser ensuite la question I.C.3.a.
I.C.4 Utiliser la question précédente en choisissant n suffisamment grand.
II.A.1 Se servir du développement en série entière de la fonction x 7 1/(1 - x)
en l'appliquant à x2 .
II.A.2 Utiliser la factorisation (1-x2 ) = (1-x)(1+x) pour construire à partir 
de la
fonction x 7 1/(1 - x2 ) une fonction équivalente à la fonction x 7 1/(1 - x)
lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.
II.B.1 Déduire le développement en série entière de la fonction t 7 1/(1 - t)2
de celui de la fonction t 7 1/(1 - t).

II.B.2 Exprimer les fonctions  et  à l'aide de la fonction utilisée à la 
question II.B.1 et utiliser le produit de Cauchy de deux fonctions développables
en série entière.
II.B.4 Construire, à partir de la fonction , une fonction équivalente à la 
fonction
x 7 1/(1 - x) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.

II.C.1 Remarquer que

x  [ 0 ; 1 [

et utiliser la propriété II.4.

0 6 k 6 n

0 6 xn 6 xk

II.C.2 Appliquer la propriété II.1 à la suite (e -1/n )n>1 qui tend vers 1 en 
étant
inférieure à 1 lorsque n tend vers +.
II.C.3 Appliquer le résultat de la question II.C.1 aux réels e -1/n lorsque n 
est un
entier naturel non nul. Puis, utiliser la question II.C.2 en divisant par n + 1
et utiliser l'équivalent de 1 - e -x lorsque x tend vers 0 pour conclure.

II.D.1.b Utiliser le résultat de la question II.D.1.a et décomposer la somme 
suivant
que l'entier k est inférieur à N - 1 ou supérieur à N.
II.D.1.c Employer l'inégalité obtenue à la question II.D.1.b et la multiplier 
par (1-x).
+
P
Majorer ensuite 1 - xN par 1 et calculer (1 - x)
(k + 1)xk .
k=N

II.D.2.a Utiliser la définition de la limite de (1 - x)f (x) quand x tend vers 
1 par
valeurs inférieures en l'ayant composée avec la suite (e -/N )N>1 . Utiliser
également la convexité de la fonction exponentielle et donc la position de la
courbe au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 0.
II.D.2.b Appliquer l'inégalité obtenue à la question II.D.1.c à l'entier N de N 
et au
réel e -/N , puis utiliser la question II.D.1.a.
II.D.2.d Trouver une inégalité, équivalente à la stricte positivité de la 
limite, dans
laquelle le réel µ est d'un côté de l'inégalité et les  de l'autre puis étudier
une fonction pour en déduire le signe et conclure.
II.D.3 Utiliser les résultats des questions II.D.2.c et II.D.2.d en revenant à 
la définition de la limite.
II.E.1 Déterminer explicitement g + et g - avant de calculer les intégrales.
II.E.2 Suivre l'indication de l'énoncé, exprimer la somme en fonction de f et 
utiliser
l'équivalent de la fonction au voisinage de 1 par valeurs négatives. Conclure
en revenant à l'écriture d'un polynôme comme combinaison linéaire de puissances 
de x.
II.E.3 Appliquer le résultat de la question I.C.4 aux fonctions g - - /2 et g + 
+ /2
avec le réel r = /2.
II.E.4 Revenir aux définitions des limites en appliquant la question II.E.2 à la
suite (xN )N>1 .
II.E.5 Utiliser la question II.E.3 pour encadrer l'expression
+

(1 - xN )

P

an xN n g(xN n )

n=0

par les sommes correspondant aux polynômes P et Q. Utiliser la question II.E.4 
pour minorer la somme relative à P et majorer celle relative
à Q. Mettre à profit les questions II.E.3 et II.E.1 pour minorer l'intégrale
de P sur [ 0 ; 1 ] en fonction de celle de g - . Minorer ensuite cette intégrale
en fonction de  en utilisant l'inégalité
x > -1

ln(1 + x) 6 x

Procéder de même pour majorer l'intégrale de Q sur [ 0 ; 1 ] en fonction de .
+
P
Enfin calculer (1 - xN )
an xN n g(xN n ) en revenant à la définition de la
fonction g.

n=0

I. Approximation
I.A.1 Soient x un nombre réel et n un entier naturel. D'après la formule du 
binôme
de Newton,
 
n
P
n k
n
x (1 - x)n-k = (x + (1 - x)) = 1
k
k=0

n
n-1
I.A.2 Soient n  N et k  [[ 1 ; n ]]. Montrons tout d'abord que k
=n
.
k
k-1
En effet,

n!
n!
n
n-1
=
=n
k
=k
k
k-1
k !(n - k) !
(k - 1) ! (n - 1 - (k - 1)) !

Ensuite,

n
P

k=0

k

n
P
n k
n k
k
x (1 - x)n-k =
x (1 - x)n-k
k
k
k=1

En appliquant le résultat précédent, il vient

n
n
P
P
n k
n - 1 k-1
k
x (1 - x)n-k = nx
x
(1 - x)n-1-(k-1)
k
k=0
k=1 k - 1

n-1
P n - 1 k

= nx
x (1 - x)n-1-k
k
k =0

où l'on a fait le changement d'indice k  = k - 1 dans la dernière somme. En 
utilisant
le résultat de la question I.A.1, on obtient finalement
 
n
P
n k
k
x (1 - x)n-k = nx
k
k=0
Il est également possible de raisonner à l'aide de la fonction f définie sur R 
par
 
n
P
n k
x  R
f (x) =
x (1 - x)n-k
k=0 k

Cette fonction est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables.
On calcule alors sa dérivée par

n
n
P
P
n k-1
n k

n-k
x  R
f (x) =
k
x
(1-x)
- (n-k)
x (1-x)n-k-1
k
k
k=0
k=0
 
n
P
n k
En posant pour tout réel x, g(x) =
k
x (1 - x)n-k , on obtient, en se
k
k=0
servant du résultat de la question I.A.1 : pour tout réel x différent de 1

n
n
P
P
n k
n k
xf  (x) = g(x) - nx
x (1 - x)n-k-1 + x k
x (1 - x)n-k-1
k
k=0 k
k=0
nx
x
= g(x) -
+
g(x)
1-x 1-x
1
xf  (x) =
(g(x) - nx)
1-x