Centrale Maths 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Théorème de Borel et classes quasi-analytiques
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries entières, intégrales généralisées
Mots clefs fonctions à support compact, classes quasi-analytiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, '» Mathématique 1

"a.
__/ PC

EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Le but des deux premières parties est d7étudier l7existence d7une fonction de 
classe 000 de R dans (C, dont on
a fixé a priori les valeurs des dérivées successives en 0. Les deux parties 
suivantes sont consacrées à des classes
de fonctions pour lesquelles les dérivées successives en 0 de f déterminent 
complètement la fonction f .

On note W Pensemble des fonctions 000 de R dans (C nulles en dehors d7un 
segment (qui dépend de la fonction
considérée dans W). On notera (Z) ou Cfi les coefficients binomiaux.

I Intervention des séries entières

Soit (un)nEURN une suite complexe. On cherche dans cette partie des fonctions f 
EUR 000 (R, (C), qui sont somme

d7une série entière sur un intervalle l--ô, (Si pour au moins un réel 6 > 0 et 
vérifiant Vn E N, f(")(0) = un.

I.A * Si f(æ) = :ÇÏÉ, a...v" pour tout x E l--ô, (Si, avec 6 > O, donner une 
expression de f(k)(æ) sur l--ô, (Si,

et en déduire f(k)(0) en fonction de ak pour tout k 2 O.

I .B * Dans les exemples suivants, proposer une solution f , en précisant une 
valeur de 6 convenable :
I.B.l) Vn E N, u" = 2".
I.B.2) Pour tout n E N pair, u" = (--l)"/2nl, et pour tout n impair, u" = O.

I. C' = Pour la suite (un)nEURN définie par Vn E N, u" = (2n)!, montrer 
qu7aucune fonction du type considéré
dans cette partie n7est solution du problème.

II Le théorème de Borel

II.A * Une fonction en cloche

1
Soit g la fonction de R dans R définie par g(æ) = {696 OEI1 Si $ EUR lÛ, 1i
0 sinon

II.A.1)
a ) Montrer que pour tout naturel p il existe un polynôme 62,0 E Rin tel que

1
Qp(æ) gm

Væ EUR 10,13 gO+ æ-->1*

b) En déduire que g E W.

II.B * Une fonction en plateau

1
foe=l g(t) dt
_1 .

fo g(t) dt
II.B.I) Montrer que h est de classe 000 sur R, constante sur l--oo, 1] et sur 
i2, ooi.

II.B.2) Soit 4,0 la fonction de R dans R définie par  = 2 (J.) âfi<î)(finæ)--
_ 1

b) En déduire que gï(Lj)(0) = O.
1 .
0) Montrer que, pour tout réel æ tel que læl } -- on a gÂJ)(æ) = O.

1

d) Montrer que, pour tout réel æ tel que læl £ --, on a
"

ung£Lj)(æ)l < 2f(n+1).
II.C.3) Déduire des questions précédentes que pour n, j E N,
' 0 si ' n
g£3> = { J #

lsij=n

II.C.4) En considérant 0 = 2220 ungn, montrer qu7il existe une fonction f de 
classe 000 sur R telle que
Vj E N, f...(0) = uj (théorème de Borel).

III Un autre élément de W

On considère une suite (an)nEURN de réels strictement positifs, décroissante de 
limite nulle, et telle que la série
2 an converge.

III.A * Une fonction affine par morceauæ

On pose pour tout x réel

1
fo($) = 2--2 (l$ + aol + l$ * aol * 2lOEl).
ao

III.A.I) Montrer que fo est nulle en dehors de l--a0, aol, préciser sa valeur 
sur l--a0, O] et {O, aol, justifier sa
continuité et tracer rapidement son graphe.

1
III.A.2) On pose k = --2.
"0
, l
a) Pour tout reel æ, montrer que lfo (£)l < --.
610

b) Montrer que fo est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.

III.B * La première étape
On pose pour tout x réel

æ+a1
f1(æ)-- 1 / fodt

2611 oe=a1

III.B.I) Montrer que f1 est de classe C1 sur R et calculer f{ (x) pour tout x 
réel.
III.B.2) Montrer que f1 est nulle en dehors de l--a0 -- a1, ao + all.
III.B.3) Montrer que Vw E R, lf1(æ)l $ l et lf{(æ)l $ 1

cm a0a1'

III.B.4) Montrer que f1 est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.

19 avril 2011 15:31 Page 2/4 @c) BY--NC-SA

C * Une suite de fonctions

On définit par récurrence une suite ( fn)nEURN de fonctions par fo et fl 
définies comme dans les questions précé--
dentes et, pour tout naturel n 2 2 et tout x réel,

æ+an
f.<æ> -- L / fnf1(t)dt

2an far.

III.C.1) Montrer que fn est de classe C" sur R et calculer fâ(æ) pour tout x 
réel.
III.C.2) Montrer que fn est nulle en dehors de l-- E" (L.-, le 0 ct.-].

i:0 l:

l 1
111.03) Pour tout x E R, montrer que lfn(æ)l £ -- et que, si p £ n, on a 
T(Lp)(æ)' £ _.
@@ a0a1 "ap
III.C.4) Montrer que fn est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.
111.05) Montrer que pour tout naturel n
S 00
/ fn(t)dt=1 où 5: Za...
ÎS n:0
III.D * La limite
On considère la série de fonctions Zn>1 kn où kn = fn -- fnn1 pour tout n 2 l.
III.D.1)
k
a) Pour tout entier n 2 l et tout réel æ, montrer que lkn (æ)l £ îan.
b) En déduire la convergence normale de la série de fonctions 2 k...
Pour tout réel m, on note
00
"@=Ë:MW)
n:1
III.D.2)
a) Montrer que pour tout x réel, fn(æ) converge vers une limite que l7on notera 
w(æ) et qui vérifie
w($) = fo($) + S(æ).
1
b) Pour tout réel æ réel, montrer que lw(æ)l < --.
610

0) Montrer que w est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.

d) Montrer que w est nulle en dehors du segment l--S, Sl.
III.D.3)

a) Montrer que

/îMÜOE=L

!) En déduire que w n7est pas constante nulle sur R.
III.D.4)
a Montrer que Zn>2(fT/L -- 'r/LÎ1) converge normalement sur R.
!) Trouver un lien entre w, fl et ZÏ:2(fn -- fnn1).
c En déduire que w est de classe C1 sur R.
1

d Montrer que pour tout x réel, lu/(æ)l £ .

a0a1

III.D.5) Soit p > 2.
(JO)

a Montrer que Zn>p+1( T(Lp) -- fnf1) converge normalement sur R.
!) Trouver un lien entre w, fp et ZÏ:p+l(f" -- fnn1).
c En déduire que w est de classe Cp sur R.
1
d Montrer que pour tout x réel , lw0 vérifiant les trois conditions :

Vn EUR N, M,, > 0 (1v.1)
M0 = 1 (1v.2)
Vn ; 1, M3, < Mn=1Mn+1 (1v.3)

On note C (M ) Pensemble des fonctions f : R = (C de classe 000 pour lesquelles 
il existe deux constantes A > 0
et B > 0 (dépendantes de f) telles que

Vn EUR N, Væ EUR R, lf(")(æ)l < ABflM...

L7ensemble C (M ) est dit classe associée à la suite M.

La classe C (M ) est dite quasi--analytique si
Vf EUR C(M) (Vn EUR N, f(k)(0) = 0) = f = 0.

IV.A = Quelques propriétés d'une classe
IV.A.1) Montrer que si f E C(M) et (a, b) EUR R2, alors la fonction g : æ 1--> 
f(aæ--l--b) appartient aussi a C(M).
IV.A.2) Vérifier que C(M) est un espace vectoriel sur (C.

IV.A.3)

a) Montrer que pour tous n, [EUR E N tels que [C $ n, on a Mannk £ Mn. On 
pourra étudier, pour p fixé, la

monotonie de la suite (Mn/Mn=p)n>p.

b) En déduire que le produit de deux éléments quelconques de C (M ) est un 
élément de C(M )

IV.B = Un eæemple de classe quasi--analytique
On note U la suite définie par U" = n! pour tout n E N.
IV.B.1) Montrer que la suite U Vérifie les conditions IV.1, IV.2 et IV.3.

IV.B.2) Soit f E C(U): on fixe A > O, B > 0 tels que
Vn EUR N, Væ EUR R, lf(")(æ)l < AB"n!

a) Dans cette question et la suivante, on suppose que le réel oz Vérifie Vk E 
N, f(k)(oz) = 0. Montrer que

a? 7 t 77,
Væ & R, Vn EUR N, f(x) =/ Qf<"">(t)dî
@, n.
, . 1
b) En deduire que Vw E R, læ -- ozl £ % = f(æ) = 0.
c) Montrer que C (U) est une classe quasi--analytique.
IV. C =
IV.C.1) Montrer que si C(M) est quasi--analytique, alors C(M) @ W = {O}.
IV.C.2) Montrer la réciproque: on pourra montrer, lorsque C(M ) n7est pas 
quasi--analytique, l7existence

d7une fonction g # 0 dans 000 (R, (C), nulle sur ]--oo, 0}, puis considérer h : 
æ 1--> g(æ)g(c-- $) pour un 0 E R bien
choisi.

IV.B * On se donne une suite réelle M = (Mn)n>0 vérifiant les trois conditions 
IV.1, IV.2 et IV.3 et on
considère les assertions :

1 1/77,
la série 2 <--) converge (IV.4)

Mn
n>1
M,,I
la série E M 1 converge (IV.5)
n>1 n

la classe C(M ) n7est pas quasi--analytique (IV.6)

Pour tout n 2 l, on note 0... = Mn=1/Mn.
IV.D.1) Exprimer l\Ân en fonction de Gil, . . . ,on, et en déduire que IV.4 = 
IV.5.

IV.D.2) Démontrer en utilisant la partie III que IV.5 = IV.6.

On peut montrer à l'aide d'outils mathématiques plus élaborés que IV.B = IV.4, 
ce qui donne une caractéri--
sation des classes quasi--analytiques. Ce résultat constitue une partie du 
théorème de Denjoy--Carleman.

oooFlNooo

19 avril 2011 15:31 Page 4/4 GC) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Leclère (École Polytechnique) ; il a été 
relu par
Marianne Chapouly (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce long sujet propose dans un premier temps la démonstration du très joli 
théorème de Borel qui affirme, pour toute suite a  CN , l'existence d'une 
fonction de
classe C  dont a est la suite des dérivées au point 0. La preuve nécessite 
l'intervention de l'ensemble W des fonctions C  de R dans C à support compact, 
c'est-à-dire
nulles en dehors d'un segment. De telles fonctions sont relativement techniques 
à
construire car elles nécessitent, si elles ne sont pas identiquement nulles, 
l'existence
de deux points en lesquels les dérivées de tout ordre sont nulles, sans que la 
fonction
soit localement constante.
· La première partie, assez simple, exploite le cours sur les séries entières. 
L'objectif est de montrer que la réponse « naïve » qui consiste à proposer comme
solution du problème
f (x) =

+
Pa

n=0

n

n!

xn

ne convient pas systématiquement, en exhibant notamment une suite a pour
laquelle il n'existe aucune solution développable en série entière.
· La deuxième partie étudie une première classe d'éléments de W. On utilise
pour cela une composée impliquant l'application x 7- e -1/x . Cette dernière
est l'exemple (ultra-classique) le plus simple de fonction définie sur R+ , 
prolongeable par continuité en 0 en une fonction de classe C  dont toutes les 
dérivées
sont nulles en 0. Il est indispensable d'en connaître les propriétés avant 
d'aborder les concours.
Cette partie s'achève par la preuve du théorème.
Les deux parties suivantes sont complètement indépendantes de ce qui précède.
· La troisième partie s'attaque au problème d'exhiber un élément de W dont les
dérivées ont une croissance arbitrairement imposée. Le résultat est à nouveau
remarquable bien que cette partie soit un peu pénible : les questions sont 
répétitives ; certains arguments sont souvent réutilisés quelques lignes plus 
loin au
sein de récurrences lourdes.
· La dernière partie introduit la notion d'espace de fonctions 
quasi-analytiques,
c'est-à-dire au sein duquel chaque élément est déterminé de manière unique à
partir de la suite de ses dérivées en un point. On établit notamment qu'un tel
ensemble ne contient aucun élément de W, et un lien entre cette notion et la
croissance modérée des dérivées de ses éléments.
Pour conclure, il s'agit d'un sujet technique, mais qui porte sur des thèmes 
passionnants des mathématiques, dont il introduit un outil fondamental, 
l'espace W,
qui est très important notamment en théorie des distributions. La plupart des 
résultats exposés dans cette épreuve font partie du bagage scientifique et 
culturel de
master et de la préparation à l'agrégation.

Indications
Partie I
I.A Utiliser la règle de dérivation terme à terme d'une série entière.
I.B Exploiter le résultat de I.A et identifier la série entière.
I.C Montrer que la série entière a un rayon de convergence nul.
Partie II
II.A.1.a Démonstration par récurrence.
II.A.1.b Par récurrence, majorer le degré, puis montrer que le coefficient de 
plus
haut degré est non nul.
II.A.2.a Fixer p, puis étudier la limite en 0+ par équivalent et changement de 
variable. Idem pour la limite en 1- .
II.B.1 Calculer la dérivée de h.
II.B.2.a Étudier les dérivées successives de h en 0 et utiliser la formule de 
Leibniz.
II.B.2.b Déterminer la valeur de h sur [ 2 ; + [.
II.B.2.c Seul

Max |(k) (x)| pose des difficultés.

x[ -1 ;1 ]

II.C.2.a Calculer directement avec la formule de Leibniz.
II.C.2.d Majorer l'expression obtenue en II.C.2.a par inégalité triangulaire, 
puis en
utilisant la définition de n .
II.C.3 Discuter suivant la position de j par rapport à n. Il faudra étendre la
formule donnée au II.C.2.a.
II.C.4 Vérifier que  convient en dérivant terme à terme.
Partie III
III.A.2 Utiliser l'expression explicite obtenue en III.A.1 suivant les valeurs 
de x.
III.B.1 Introduire une primitive de f0 .
III.B.2 Considérer x > a0 + a1 et calculer f1 (x). Faire de même avec x < -a0 - 
a1 .
III.B.3 Utiliser la définition de f1 et la question III.A.2.
III.B.4 Utiliser comme à la question précédente le caractère lipschitzien de f0 
.
III.C Réutiliser les méthodes de III.B, au sein d'une récurrence.
III.C.3 Distinguer, dans la récurrence, les cas p 6 n et p = n + 1.
n
P
ak 6 S et utiliser le théorème
III.C.5 Démonstration par récurrence. Noter que
de Fubini.

k=0

III.D.1.a Exprimer fn en fonction de fn-1 , rassembler tout en une intégrale et 
utiliser
le résultat de la question III.C.4.
III.D.2 Les questions se déduisent des questions précédentes par passage à la 
limite
dans les inégalités.

III.D.3 Intervertir limite et intégrale à l'aide du théorème de convergence 
dominée.
III.D.4.a Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
III.D.4.b Repérer une somme télescopique.
III.D.4.d Passage à la limite dans les inégalités.
III.D.5 Mêmes méthodes qu'en III.D.4.
Partie IV
IV.A.1 Expliciter g (n) (x).
IV.A.3.a Réécrire la condition (IV.3) comme la monotonie d'une certaine suite.
Étudier ensuite le rapport de deux termes successifs de la suite suggérée
par l'énoncé.
IV.A.3.b Utiliser la formule de Leibniz pour obtenir une majoration explicite 
de la
dérivée d'ordre n du produit.
IV.B.2.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral.
IV.B.2.b L'expression précédente permet de majorer la quantité |f (x)| par une 
suite
de limite nulle.
IV.B.2.c En raisonnant par récurrence, montrer que f est nulle sur tout 
intervalle
de la forme [ -n/2B ; n/2B ].
IV.D.1 Utiliser la condition (IV.3) pour déterminer la monotonie de la suite (n 
).
IV.D.2 Construire une fonction w comme dans la partie III à partir de la suite 
(n ).

I. Intervention des séries entières
I.A Si une fonction f est développable en série entière sur ] - ;  [, alors on 
peut
dériver terme à terme son développement en série. Par conséquent, pour tout k  
N,
et tout x  ] - ;  [
+

f (k) (x) =
=

an n(n - 1) · · · (n - k + 1)xn-k

P

n=k
+
P

an+k

n=0

En particulier,

(n + k)! n
x
n!
f (k) (0) = ak k!

k  N

I.B.1 Supposons qu'il existe une fonction f : R  C développable en série entière
sur ] - ;  [ solution du problème. Alors si on note
+

x  ] - ;  [

f (x) =

P

an xn

n=0

la question précédente permet d'affirmer que
n  N

an n! = 2n

Réciproquement, considérons la série entière
 (2x)n
P 2n n +P
x =
= e 2x
n=0 n!
n=0 n!
+

et remarquons que, pour n  N, x  R ,

(2x)n+1 /(n + 1)!
2x
=
---- 0
(2x)n /n!
n + 1 n
Ainsi, cette série entière a un rayon de convergence infini, ce qui assure que 
sa somme
répond au problème posé. En conclusion,
La fonction x 7 e 2x convient, avec  = +.
+
P
I.B.2 Comme précédemment, si f : x 7
an xn est une solution du problème,
n=0
on obtient

(-1)n/2 n! si n pair
n  N
an n! =
0 sinon

On reconnaît alors la série entière
P
P
(-1)n x2n =
(-x2 )n
n>0

n>0

Notons que cette série entière a clairement pour rayon de convergence R = 1 car 
son
terme général est borné si et seulement si |x| < 1. Sa somme est alors donnée 
par la
formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique soit
+
P

(-x2 )n =

n=0

Finalement,

La fonction x 7

1
1 + x2

1
convient, avec  < 1.
1 + x2