Centrale Maths 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Polynômes de Legendre
Principaux outils utilisés projection orthogonale, intégration terme à terme, séries entières, polynômes de Lagrange, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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o...... ...à... _ 83922... 122 ...âä...

oe8N ooeäQ:OE - ÆOEÈOEU mÈQËQU

Notations

On note I le segment [--1 ,1] de IR et E l'espace préhilbertien complexe des 
fonc-
tions continues sur I à valeurs complexes muni du produit scalaire :

(fis) H (fis) = fÎÎÎ)g(t)dt .
1

Pour tout nombre complexe z n'appartenant pas à l'intervalle ]--oo, O] , on note

Arg(z) {unique nombre réel appartenant à l'intervalle ]--n:,n[ tel que
2 : |zle' rg Z .

P EIN2 t s c#": " =.__ÆL_--
our (n,p) e p n, n (p) p!(n--p)!

Questions préliminaires

a) Déterminer le développement en série entière au point 0 de la fonction :

pa1yam...ms 1

M

et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

b) Pour n E ]N , on pose

1 (271)
a = -- .
n 2271 n

Montrer que la fonction :

00

cp : C--> @, zr--> 2 anzn est définie sur A : {zE C||zl < 1}.
n = 0
c) Montrer que cp est une racine carrée de la fonction

A --> C , z l----> ---î----Z- autrement dit, pour tout 2 EUR A , (cp(z))2 : 
Ï_--1--_z°

d) Montrer que :

1 --£Arg(l --z)

2
dll--Zl

Vz EUR A , cp(z) : e . Que vaut cp(x) lorsque x E]--1,1[ ?
On pourra dorénavant noter

cp(z) : (l--z)_1/2 pour zEA.

e) Cette question est indépendante des précédentes.

Pour tout entier naturel n , prouver l'existence d'une fonction polynomiale H "
telle que, pour tout réel 9 , on & H,,(cos6) : cosn6 .

Partie I -

I.A - Montrer que, pour tout t E I , la fonction

'Pt îl-1, 1[-->ÏR, fo(t,x) définie par : 1pt(x) : (1 --2xt+x2)--1/2

est l'unique solution sur ]--1, 1[ d'une équation différentielle linéaire du 
premier
ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur 1 en 0. On donnera cette
équation différentielle :

(E) : a(t,x)y' + b(t, x)y : 0 où a et b sont des polynômes unitaires en x.

I.B -
I.B.l) Vérifier que pour x E ]--1,1[ et 6 E ]R on a

00

woese(x) = cp(xeie)cp(xe--ie),puis woese(x) = E Gn(8)xn

n = 0
où G,, est une combinaison linéaire à coefficients positifs d'applications de la

forme 6 1--> eik6 où le EUR 2 . Préciser la valeur de G,,(O) .

I.B.Z) Montrer que pour n EUR IN et 8 EUR IR, on a G,,(B) : P,,(cosô) où Pn est
un polynôme à coefficients réels.

I.B.8) Montrer que pour n EUR IN et 6 EUR IR , on a ]Gn(6)| s G,,(O) , puis que 
pour
tE[--1, 1] et xE]--l,l[, f(t,x) : 2 Pn(t)xn (1)
n=0

avec convergence normale sur [--1, 1] >< [--a, et] où a E ]0, 1[ .
I.B.4) Montrer que la suite (Pn)n20 vérifie P0(t) : 1 , Pl(t) : t et pour
nal,(2n+l)tPn(t) : (n+1)Pn+l(t)+nPn_l(t) (2)

I.B.5) Déterminer pour tout n E ]N le degré et la parité de Pn . Déterminer le
coefficient dominant de Pn , ainsi que Pn( 1) et Pn(--1) .

I.C -

I.C.1) Soit a et b deux éléments distincts de ]1, +oo[ . Calculer et simplifier 
la
dérivée de la fonction définie sur [---1 ,1] par :

h : t l--> ln{OE--_--QË--(--bj--) _ A/(a _ t)(b -- t)]

après avoir vérifié qu'elle est bien définie.
En déduire la valeur de l'intégrale :

pour tout couple (a,b) d'éléments de ]1, +oo[.

1 dt
f--l A/(a -- t)(b ---- t)
I.C.2) Montrer que :

] 1 1+ .../xy ,, ,
@ t'dt=--r--l tt 1 , dl td
f_1f( x)f( y) xy DL _ @] pour ou coup e (x y) e emen S EUR

]0,1[.

On admettra sans démonstration l'identité suivante :

sz--y(1--x><1--y)--<1+xy)+4xy = (1+JaÎy)2(2fiÿ--(x+y))

1.0.3)
a) Pour tout couple (x, y) d'éléments de ]0, 1[ établir que :
1 1 + @] °° 2 n n
--l = .
@ "L _ @ 2n + 1°C y

b) On fixe y dans l'intervalle ]0, 1[ . Montrer que, pour tout couple (t,x) 
appar-
tenant à lx ]0, 1[ :

f(t,x)f(t,y) = E Pn(t)f(t,y)x"
n = 0

la série convergeant normalement sur tout l'ensemble de la forme 1 x ]0, a] avec
a E ]O, 1[ . Conclure que :

f_lan(t)f(t,y)dt = ' "

2n+1y'

c) En écrivant que, pour tout (t,y)EURlx]0, 1[, f(t,y) : î Pm(t)ym, prouver
que, pour tout n E ]N : m = 0

% (f_]1Pn(t)Pm(t)dt)ym : 2 yn.

2n+1

m=0

d) Conclure que

1 2
f_an(t)Pm(t)dt : ô

2n+1n,m

où 6 est le symbole de Kronecker :ôn,m : 1 si m = n et ôn,m : 0 sinon.

n,m

Interpréter le résultat obtenu.

I.D - Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et 2 un zéro de Pn (a priori dans

P t
43 ). On note Rn la fonction polynôme telle que, pour t := z , Rn(t) : t"_(Z) .

I.D.1) Calculer (Rann)-- _
I.D.2) En déduire que 2 est réel et que M < 1 .
I.D.3) Montrer que 2 est une racine simple de Pn .

I.E -

LED En utilisant (2), établir que, pour tout entier naturel n et tout couple
(x,y) de nombres complexes distincts :

[Pn +1(ac)Pn(y)----Pn(oc)Pn+1(3V)]
x--y '

E (2k+ 1)Pk(x)Pk(y) : (n+ l) (3)
k =O _

I.E.2) En déduire que, pour tout x E C :
2 (27EUR + 1)(Pk(DC))2 = (" +1)[P'n+1(x)Pn(x)--P'n(x)Pn+1(x)l (4)
k =o

I.E.3) Déduire de cette dernière formule que tout zéro de Pn est strictement

compris entre deux zéros consécutifs de Pn + 1 .

I.F - Pour toute fonction f de classe % 2 sur I , on note Af la fonction de I 
dans
C définie par :

M... = %[(1--t2)f'(t)l

Prouver que, pour tout couple (f ,g) de fonctions de classe % 2 sur I ,
(Aflg) = (flAg)- _

En déduire que, pour tout n .>. 1 et tout entier le , 0 5 k 5 n --- 1 , 
(Pk|APn) : 0 .

En déduire que Pn est solution de l'équation différentielle :

(1--t2)y"--2ty'+n(n+l)y = o. (5)
Partie II-

II.A -

II.A.1) On associe à n EUR IN et à fe E le coefficient Cn(f) : (Pn|f).
Montrer que la série de terme général

(n + %) |cn( f )12 est convergente.

II.A.2) Montrer, à l'aide de I.F - que si f E E est de classe % 2 sur I , alors 
la
série 2n5|cn( f )l2 est convergente.

En déduire que la série En}cn( f )\ est convergente.

II.B -
II.B.1) Pour tout n EUR IN , on définit fn dans E par fn : t+--> t".
Montrer que si f EUR E est telle que, pour tout n EUR IN , ( f n' f ) = 0 alors 
f est nulle.

II.B.2) Supposant f E E de classe % 2 sur I , montrer que l'expression :

OO

g(t) : f(t) --- E (n + %) cn(f)Pn(t) définit sur 1 une fonction continue g.

n = 0
II.B.3) Montrer que g est nulle.

II.B.4) Déduire de ce qui précède une condition suffisante pour que la série de
fonctions

2 (n + %>cn(f)Pn converge normalement sur I et ait pour somme f .

Pn(t)--Pn(x)

est
t--x

II.C - Pour tout n EUR IN et tout x E IR , vérifier que la fonction t +-->
intégrable sur le segment I .

Établir que, pour tout n EUR IN , la fonction x +----> Qn(x) définie par :

Qn(x) = f' @ dt
--1 t--x
est une fonction polynôme de degré (n -- 1) et que la suite (Qn)n EUR... 
vérifie les

conditions initiales QQ : O, Ql : 2 et la même relation de récurrence que la
suite (Pn)nElN à partir du rang n = 1 .

II.D - Soit nEIN* fixé. On note a], ...,an les zéros de Pn écrits dans l'ordre
croissant, i.e. _]  IR, Pr-->P(ai) . Montrer que %
est une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur R,, _ 1[X ] .

II.D.3) En déduire qu'il existe une suite (>... >...) de nombres réels et une
seule telle que :

VPERn_1[X],J'1]P(t)dt : 2 A, P(a,).

L=l

II.D.4) Montrer, en utilisant éventuellement une division euclidienne par Pn :

VPER2n_1[X],IÎ]P(t)dt = 2 x, P(a,). (6)

L=l n

II.D.5) Montrer que les_ki sont éléments de lRî et que 2 ki : 2
ILE - "'

II.E.1) Montrer que si Q,, est le polynôme défini en II.C alors, avec les nota-
tions de HD, on a :

7%

x--ai

Q,,(x) = P,... 2

L = 1
on pourra commencer par examiner le cas Où x > 1 .

II.E.2) En déduire que les (n -- 1) zéros de Qn sont situés strictement entre 
les
zéros de Pn .

II.F -
II.F.1) Montrer, pour x > 1 , que :

Q(x) x+l n' }" a'2n ] 1t2n
PZ(x)--ln _;271 _1x_tdt.

II.F.2) En déduire que, pour tout a > () , la suite de fonctions
(&)
Pn nEURlN

approche uniformément la fonction

x+l
x--l

x +--> ln< ) sur l'intervalle [1 + oc, +oo[ .

00. FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Perrier (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce long sujet d'analyse porte sur les propriétés d'une suite (Pn )nN de 
polynômes
orthogonaux (appelés polynômes de Legendre) pour le produit scalaire
Z 1
(P | Q) =
P(t) Q(t) dt
-1

Il est constitué, après quelques questions préliminaires, de deux parties 
largement
indépendantes. Toutes les propriétés de la première partie qui sont utiles dans 
la
seconde sont en outre données par l'énoncé.
· Dans les préliminaires, on définit proprement, sur la boule unité ouverte du 
plan
complexe, une fonction « racine carrée de 1/(1 - z) ». Pour cela, on définit une
fonction par une série entière judicieusement choisie et on vérifie qu'elle 
possède
bien les propriétés désirées, notamment que son carré est z 7 1/(1 - z).

· La première partie définit la suite (Pn )nN à partir des coefficients du 
développement en série entière d'une fonction, et plus précisément

P
1

=
Pn (t) xn
1 - 2xt + x2
n=0

pour tout x  ] -1 ; 1 [ et t  [ -1 ; 1 ]. On montre que la suite (Pn )nN vérifie
une relation de récurrence d'ordre 2. Une longue question prouve qu'elle est
orthogonale, toujours en utilisant des séries entières et en faisant un usage
intense d'un théorème d'intégration terme à terme. Enfin, on montre que Pn a
n zéros distincts dans [ -1 ; 1 ] et que ceux-ci séparent les zéros de Pn+1 .
Cette approche est assez originale mais, hélas, elle recèle de nombreux passages
très techniques.
· La seconde partie est plus classique, et certainement plus facile à traiter 
si l'on
connaît bien son cours. Dans un premier temps sont dérivés quelques résultats
formellement proches de ceux connus sur les séries de Fourier ; sauf qu'au lieu
de considérer une fonction f définie sur [ 0 ; 2 ] et de prendre le produit 
scalaire
avec les fonctions t 7 eint , on prend le produit scalaire avec les polynômes 
Pn .
On construit ensuite une suite de sommes de « Fourier-Legendre » dont on
montre que, sous certaines conditions, elle converge vers la fonction f 
initiale.
Dans un second temps, on étudie la fonction
Z 1
Pn (t) - Pn (x)
Qn : x 7-
dt
t-x
-1
dont on montre qu'elle est polynomiale ; on montre pour finir que la fonction 
Qn /Pn s'écrit comme une somme de fractions rationnelles (en faisant un
petit crochet par la dualité)
 et, plus étonnant, qu'elle approche uniformément
1+x
quand n tend vers l'infini.
la fonction x 7 ln
1-x

Indications
a Appliquer le cours sur le développement de (1 + x) . Lire attentivement
l'ensemble des questions préliminaires pour vérifier son résultat.
c Montrer que la restriction de 2 à l'axe réel vérifie la relation donnée ;
en déduire son développement en série entière, puis conclure en revenant
sur C.
i  h
.
d Remarquer que Arg (1 - z)  - ;
2 2

e Vérifier que cos (n + 2)  + cos(n) = 2 cos  cos (n + 1) et en déduire
une construction par récurrence de la suite (Hn )nN .
I.B.1 Montrer que x 7 (x ei ) (x e-i ) satisfait la même équation différentielle
que cos  et utiliser la question I.A.
I.B.4 Utiliser le développement de t en fonction des Pn , et l'équation 
différentielle
vérifiée par t .
I.C.3.a Écrire les développements en série entière de ln(1 + t) et - ln(1 - t), 
puis en
faire la somme.
I.C.3.b Ne pas oublier que |Pn (t)| 6 1 pour tout t  [ -1 ; 1 ].
I.C.3.c Montrer que deux séries entières dont les sommes sont égales sur ] 0 ; 
1 [ ont
les mêmes coefficients.
I.D.1 Montrer que Pn est orthogonal à tout polynôme de degré 6 n - 1.
I.E.1 Démontrer la propriété par récurrence.
I.E.3 Remarquer que Pn+1 change de signe entre chaque zéro successif de Pn ,
et vérifier que Pn Pn+1 est strictement positif en chaque zéro de Pn+1 .
I.F Intégrer par parties. Utiliser le fait que APn et Pn sont proportionnels.
II.A.1 Projeter f sur Cn [X], puis décomposer ce projeté sur une base 
orthonormée
de Cn [X] et utiliser le théorème de Pythagore.
II.A.2 Calculer cn (Af ). Puis utiliser l'inégalité classique  6 (2 + 2 )/2 (on 
écrira
que n = n2 /n).
II.B.1 Utiliser le théorème de Weierstrass sur l'approximation uniforme d'une 
fonction continue sur un segment par une suite de polynômes.
II.B.2 Montrer la convergence normale de la série.
II.B.3 Montrer que (fn | g) = 0 pour tout n  N.
II.C Montrer par récurrence que (Qn )nN vérifie la relation de récurrence (2) et
en déduire que c'est une famille de polynômes.
II.D.1 Commencer par vérifier que Li (aj ) = i,j puis montrer que B est libre.
n
P
II.D.2 Chercher à décomposer une forme  sous la forme
i i et appliquer cette
forme aux polynômes Lk pour déterminer les k . i=1
II.D.5 Utiliser le résultat précédent avec les polynômes 1 et Li 2 .
Pn (t) - Pn (x)
II.E.1 Utiliser la question II.D.3 avec le polynôme t 7
.
t-x
II.E.2 Expliciter Qn (ai ) et Qn (ai+1 ) et montrer qu'ils sont de signes 
opposés.
t2n - x2n
II.F.1 Utiliser la question II.D.4 avec le polynôme t 7
.
t-x

Questions préliminaires
a On sait, d'après le cours, que si  est un réel, alors l'application x 7 (1 + 
x) est
développable en série entière, que son rayon est 1 et que
(1 + x) =

x  ] -1 ; 1 [

 ( - 1) . . . ( - n + 1)
P
xn
n!
n=1

On applique ce résultat à -x pour la valeur  = -1/2 et on obtient

P
1
1
3
1
(-x)n

-
x  ] -1 ; 1 [
=1+
-
··· - - n+ 1
2
2
2
n!
1-x
n=1
 1 · 3 · 5 · · · (2n - 1) xn
P
=1+
2· 2 ·2···2
n!
n=1

Dans cette dernière expression, multiplions le numérateur et le dénominateur 
par la
quantité 2 · 4 · 6 · · · 2n, qui est égale à 2n · n! ; cela nous mène à
x  ] -1 ; 1 [

P
P
(2n) !
(2n) !
1
n
=1+
x
=
xn
2n (n!)2
2n (n!)2
2
2
1-x
n=1
n=0
 1
P
=
2n
n=0 2

x  ] -1 ; 1 [
b Puisque la série

P

 1
P
1
=
1 - x n=0 22n

2n
xn
n
 
2n
xn
n

(Rayon R = 1)

an z n a pour rayon 1 d'après la question précédente,

La fonction  est définie (au moins) sur .

Bien sûr, rien n'empêche que  soit définie sur un ensemble plus large
que  (mais inclus dans la boule fermée de centre 0 et P
de rayon 1).
Notamment, il est relativement aisé de montrer que la série an (-1)n est
convergente (en utilisant le théorème de Leibniz sur les séries alternées et en
montrant proprement que la suite (an )nN est décroissante et de limite nulle).
En utilisant des techniques plus difficiles, comme une transformation
d'Abel, on peut montrer qu'en réalité  est définie sur la boule unité fermée
privée du seul point 1.
c On sait, d'après le cours, que la fonction 2 se développe sous la forme d'une 
série
entière,
de rayon au moins égal à 1, et donnée par le produit de Cauchy de la série
P
an z n par elle-même :

avec

z  

(z)2 =

n  N

bn =

P

bn z n

n=0
n
P

ak an-k

k=0

Considérons maintenant la restriction de  à l'axe réel : elle vérifie, d'après 
le résultat
de la question a,
1
x  ] -1 ; 1 [
(x)2 =
1-x
c'est-à-dire

P
P
x  ] -1 ; 1 [
bn xn = 2 (x) =
xn
n=0

n=0

et le théorème d'unicité du développement en série entière permet donc de 
conclure
que
n  N

bn = 1

On en déduit par conséquent que
z  

(z)2 =

P

zn =

n=0

1
1-z

Le cours de deuxième année comporte un théorème d'unicité du développement en 
série entière d'une fonction de la variable réelle. Ce théorème peut
parfaitement être étendu aux fonctions de la variable complexe, par exemple
en passant par les restrictions des fonctions à l'axe réel, comme nous l'avons
fait ; on peut également définir la notion de dérivée d'une fonction de la 
variable complexe et le résultat du cours reste identique : les coefficients an 
de la

P
série entière f (z) =
an z sont donnés pour tout n  N par an = f (n) (0)/n!.
n=0

d Représentons ci-dessous les ensembles  et 1 -  = {1 - z ; z  } :

11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111

1-
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111

Pour tout z  , la partie réelle du complexe 1 - z est strictement positive.
Notamment, 1 - z 
/ R- ce qui prouve que Arg (1 - z) est bieni défini selon
les spéci h
fications de l'énoncé. De plus, on en déduit que Arg (1 - z)  - ;
; l'argument
2 2
de l'inverse d'un complexe non nul est l'opposé de celui du nombre initial : 
par suite
i  h
Arg ((z))  - ;
2 2
et par conséquent
2

2 Arg ((z))  ] - ;  [

Or, Arg ((z) ) et 2 Arg ((z)) sont égaux à 2 près, et appartiennent tous deux au
même intervalle ] - ;  [ ; ils sont donc égaux :
Arg ((z)2 ) = 2 Arg ((z))

On en déduit que
1
1
Arg ((z)) = Arg ((z)2 ) = Arg
2
2

1
1-z

1
= - Arg (1 - z)
2