Centrale Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Intégrabilité en l'infini et application aux séries divergentes
Principaux outils utilisés relations de comparaison, intégrabilité, primitives usuelles, calcul intégral

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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«dem ooeäQ:OE - Æ$Ëoeü mËoocoü

Plan du problème

Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur 
les
applications intégrables; Elles sont illustrées par la partie I et utilisées 
pour
établir les résultats de la partie Il. Dans les parties III et IV, on étudie le 
com-
portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui
précèdent.

Rappels et notations

Si de plus Zun est convergente, on note (R")

Soient f et g deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annu--
lant pas au voisinage d'un élément b e IR u {+oo, --oo} , sauf éventuellement en
ce point. f et g sont dites équivalentes en b si et seulement si leur quotient
tend vers 1 en b . On notera alors f ... g en b . f est dite négligeable devant
g en b si et seulement si le quotient f / g tend vers 0 en b . On notera alors

f : o(g) en b.
Soient (un) et (Un) deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un cer--

tain rang. Les suites (un) et (un) sont dites équivalentes si et seulement si la

un

su1te (wn) defin1e pour n assez grand par wn : converge vers 1 ; on note

7
alors un ... Un . La suite (un) est dite négligeable devant (vn) si et seulement

si (wn) converge vers 0 ;on note alors un : o(vn).

Pour une série E"n de nombres réels, on note (Sn) la suite de ses som-

n & IN
mes partielles :

n
pournelN,Sn : Zak.
k=0

la suite de ses restes :
n 6 IN

+oo
pournelN,Rn : 2 uk.

k=n+l

ln désigne le logarithme népérien.

Préliminaires

Soit a & IR et b e ]a, +oe[ u {+oo} , f et g deux applications continues par 
mor--
ceaux sur [a, b[ à valeurs strictement positives.

1) On suppose que g est intégrable sur [a, b[.
a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne

b b
! f = 00 g)-
h) Montrer qu' en b ,la relation fN g entraîne Jî f LÎ g
(on justifiera l'intégrabilité de f sur les intervalles [x, b[ considérés).

2) On suppose que g n 'est pas intégrable sur [a, b[ .

a) Montrer qu'en b , la relation f : o(g) entraîne Jîf : io(Jîg).

Montrer à l'aide d'exemples que l'on ne peut en général rien dire de 
l'intégrabi-q
lité de f sur [a, b[.

b) Montrer qu'en b , la relation f ... g entraîne Jîf ... Jî g.

Que dire de l'intégrabilité de f sur [a, b[ ?

Partie I -
I.A -

I.A.l) Déterminer un équivalent simple de

et
dt enO

xArc sint
2 t

I.A.2) En déduire un équivalent simple de JS dt en 0+ .

I.B -

I.B.1) À l'aide d'une intégration par parties, montrer qu'en +oo , on &
xi ... x
l21n(t) ln(x)

3 Arc sint

I.B.2) Plus généralement, si n est un entier naturel, établir le développe-
ment asymptotique suivant en +oo :

x dt " k!x x
: + .
J21n(t) këol nk+l(x) O(lnn+l(x))

LC -

I.O.1) Justifier le xdéveloppement asymptotique suivant en +oo :

t

x x
I d+=-- +%++(EUR--.)
113 +1 x x_

I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une

procédure permettant d'obtenir le terme d'indice n (n 2 2) du développement

asymptotique en +oo (par rapport aux----- ,.>.k 2 ) de:

xk
et

dt

xl_>"ltze +1

(on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II -
Soit a un nombre réel et f une application de classe C sur [a, +oo[ à valeurs
strictement positives. On suppose que le quotient xÂÂ)) tend vers une limite

finie ou en +oo.

1n(f (x))

,. ln(x) tend vers ce

II.A - Montrer à l'aide des préliminaires qu'en +oo
(on peut distinguer le cas oc : 0 ).

II.B - On suppose dans cette question oc < --1 .
H. B. 1) Montrer que f est intégrable sur [a, +oo[ .

... --xf(x)
IIB.2) Montrer qu'en +oo ,ÇonaJ oef a+1
(on peut considérer '(Îîx 1) et utiliser les préliminaires).

II.C - On suppose dans cette question oc > --1 .
II.C.1) Étudier l'intégrabilité de f sur [a, +oe[.
II.C.2) Montrer qu'en +oo , 'on a

fo ... xf(x)

oc+1' ,

II.C.3) Donner un exemple d'application f de classe C1 sur [a, +oe[ à valeurs

strictement positives telles qu' en +oo le quotient ln(f(x)) tende vers une 
limite

oc > --1 , mais telle que l'on n'ait pas la f"

oc + 1
ILD -
ll.D.1) Étudier l'intégrabilité sur [2, +oo[ des applications x 1----> B' selon
[3 & IR . x(ln x)

H.D.2) Étudier, à l'aide des questions précédentes, l'intégrabilité sur [2, +oo[

des applications x 1--> selon Be IR et y e ]R.

xy(ln oc)B ,
ILE - Que conclure quant à l'intégrabilité de f sur la, +oo[ dans le cas oc : 
----1 ?

Partie III -

. . \ . . 1 \
Dans cette part1e, on cons1dere une appl1cat10n f de classe C sur IR+ , a 
valeurs
strictement positives.

f_'(_x)

(96)
On considère la série dTe-- terme général f(n ). On note (S ) la suite de ses

n n & IN
sommes part1elles et (Rn)n EUR IN la suite de ses restes quand la sér1e 
converge.

. \ . . . +
On assoc1e a f deux apphcat10ns u et v continues par morceaux sur IR et
définies par :

On suppose qu'en +oo, tend vers oc EUR IR.

pour tout n e ]N* et tout xe [n-- 1,n[, u(x) : f(n) et v(x) : Jn1f(t)dt.

On pose enfin pour tout x e IR+ , h(x) : e"°'x f(x) .

HLA - Soit 8 > 0 fixé.

Montrer l'existence de n'0 & ]N* tel que pour tout entier n 2720 et tout
te [n--l,n],on ait:

lh(t) -- h(n)l s 
			

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Centrale Maths 1 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Le but de ce sujet est l'étude des intégrales généralisées de fonctions 
positives
et continues (par morceaux), en les comparant à des fonctions de référence 
simples,
c'est-à-dire dont on connaît une primitive.
Dans les préliminaires, on démontre des propriétés d'intégrabilité et l'on 
donne des
estimations des restes ou des parties principales (selon la convergence) des 
intégrales
en question.
On applique alors ces résultats dans la partie I pour trouver les équivalents 
puis
les développements asymptotiques d'intégrales divergentes.
On effectue le même travail dans la partie II sur une classe bien particulière
de fonctions positives, avec une application aux intégrales de Bertrand.
La partie III fait le lien entre l'intégrabilité d'une fonction positive f 
(d'une certaine classe) et la convergence de la série de terme général f (n) : 
on estime alors le
reste ou la partie principale de la série en fonction de ceux de l'intégrale.
Enfin, dans la partie IV, on utilise les résultats de la partie III ­ et une 
transposition des résultats des préliminaires aux séries à termes positifs ­ 
pour obtenir des
équivalents, puis des développements asymptotiques de certaines séries. Après 
tant
d'efforts, on accède finalement au Graal : la formule de Stirling !
Ce sujet est assez long, même s'il ne présente pas de difficulté particulière.
Cependant, on utilise les mêmes idées tout au long des différentes parties ­ 
intégration de relations de comparaison ­ avec un raffinement et une complexité 
croissants,
si bien qu'il serait délicat de prétendre s'attaquer à une partie sans avoir 
traité les
autres auparavant.

Indications
1.a Utiliser la définition de f = o(g) pour majorer f au voisinage de b.
1.b Se ramener à la question précédente.
I.A.1 Rechercher un équivalent en 0+ et appliquer le résultat de la question 
2.b.
I.A.2 Utiliser la relation de Chasles et le résultat de la question précédente.
I.B.1 Après l'intégration par parties, appliquer la question 2.a à la nouvelle
intégrale.
I.B.2 Réitérer l'intégration par parties et les estimations faites en I.B.1.
I.C On peut procéder comme à la question précédente pour établir directement la
forme générale du développement asymptotique. Pour la procédure de calcul,
proposée ici sous Maple, utiliser les coefficients de Taylor d'une fonction bien
choisie.
II.A Comparer f  (x)/f (x) à 1/x et utiliser les préliminaires.
II.B.1 En utilisant la question II.A, comparer f (x) à 1/x1+h , avec h > 0.
II.B.2 Faire plutôt apparaître la dérivée de la fonction proposée.
II.C Procéder de manière analogue à la question II.B. Pour le contre-exemple,
on peut construire une fonction bornée et strictement positive, qui oscille
régulièrement et dont la primitive a un équivalent polynomial.
II.D.1 Trouver des primitives explicites.
II.D.2 Utiliser les questions II.B, II.D.1 et II.C.
II.E La réponse est donnée à la question II.D.1.
III.A Appliquer le théorème des accroissements finis à ln(h) entre t et n.
III.B En déduire une relation sur f , l'intégrer sur [ n - 1 ; n ], puis faire 
tendre 
vers 0.
III.C.2 Comparer u et v en + et utiliser les préliminaires.
III.D Intégrer le résultat de la question III.A pour obtenir une formule 
analogue
à celle de la question III.B. Suivre ensuite le même raisonnement qu'aux
questions III.C.2 et III.C.3.
IV.A.1 Utiliser la question III.D.
IV.A.3 Utiliser la question III.C.3.
IV.B Définir des fonctions en escaliers A et B au moyen des suites (an ) et (bn 
)
(homologues de la fonction u de la partie
PIII). Les
P utiliser pour transposer
les résultats des préliminaires aux séries an et bn .

IV.C.1 Se ramener à l'étude d'une série convergente et utiliser un développement
asymptotique de son terme général.
IV.C.2 Appliquer le logarithme et procéder comme à la question précédente.

Préliminaires
1.a Notons tout d'abord que comme les fonctions f et g sont continues par 
morceaux
sur [ a ; b [, elles sont intégrables sur tout intervalle [ a ; x ]  [ a ; b [. 
Les fonctions f et
g sont à valeurs strictement positives et vérifient f = o(g) en b. Soit  > 0 ; 
il existe
alors  > 0 tel que
t  [b - ;b[

0 < f (t) 6 g(t)

Puisque g est intégrable sur [ a ; b [, cette inégalité implique que f est 
intégrable sur
[ b -  ; b [ donc sur [ a ; b [. On obtient alors, en l'intégrant entre x et b,
Z b
Z b
x  [b - ;b[
0<
f (t) dt 6  g(t) dt
x

x

Comme on peut trouver un tel  > 0 pour tout  > 0, on en déduit que
!
Z
Z
b

b

f (t) dt = o

xb

x

g(t) dt

x

On obtient le même résultat en supposant simplement que g est de signe
constant (sans point d'annulation) au voisinage de b. L'hypothèse sur le
signe de f est quant à elle totalement superflue : il suffit en effet
d'appliquer le résultat précédent aux fonctions |f | et |g|.
Cette remarque est valable pour tout le reste du problème, que g soit
intégrable ou non (on se dispensera de refaire la même remarque à la fin
de la question 2.a), et que f soit négligeable devant g ou équivalente à g
(voir les questions 1.b et 2.b : on ne se soucie pas du signe de f - g).
En particulier, on s'en servira aux questions I.C.1 (signe de u(n) ) et II.A
(signe de f  /f ).
1.b On se ramène simplement à la question précédente en notant que
f (x)  g(x)
xb

si, et seulement si,

f - g = o (g)
xb

(voir la remarque ci-dessus). Ainsi, f -g est intégrable sur [ a ; b [ donc f 
est intégrable
sur cet intervalle et
!
Z bh
Z b
Z b
Z b
i
f (t) - g(t) dt =
f (t) dt -
g(t) dt = o
g(t) dt
x

x

Z

soit

b

f (t) dt =

x

Comme

Z

xb

x

Z

b

g(t) dt + o

xb

x

Z

b

x

g(t) dt

x

!

b

g(t)dt 6= 0 pour tout x  [ a ; b [, car g est continue et strictement positive

x

sur cet intervalle, on en déduit que
Z b
Z b
f (t) dt 
g(t) dt
x

xb

x

2.a f est négligeable devant g en b, donc pour  > 0 fixé il existe  > 0 tel que

t  [b - ;b[
0 < f (t) 6 g(t)
2
si bien que pour tout x dans [ b -  ; b [
Z x
Z b-
Z x
Z b-
Z
 x
g(t) dt
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt 6
f (t) dt +
2 b-
a
a
b-
a

Puisque la fonction positive g n'est pas intégrable sur [ a ; b [, on a
Z x
lim
g(t) = +
xb

b-

En particulier, il existe 1  ] 0 ;  [

x

2
g(t) dt >

b-

Z

 x  [ b - 1 ; b [

Z

b-

f (t) dt

a

qui est une constante par rapport à x, et
Z b-
Z
 x
 x  [ b - 1 ; b [
f (t) dt 6
g(t) dt
2 b-
a
Z x
Z x
Z x
d'où
 x  [ b - 1 ; b [
f (t) dt 6 
g(t) dt 6  g(t) dt
a

b-

a

Pour résumer, on a ainsi
 > 0

Z

 1 > 0  x  [ b - 1 ; b [

x

f (t) dt 6 

a

Z

soit

x

f (t) dt = o

xb

a

x

g(t) dt

a

x

Z

Z

g(t) dt

a

Notons que l'on ne peut rien dire de l'intégrabilité de f sur [ a ; b [. Par 
exemple,
si b est fini et que l'on pose
1
1
g : x 7-
f1 : x 7-
f2 : x 7- 1
2
(b - x)
(b - x)
les fonctions f1 et f2 sont alors négligeables devant g en b, mais f2 est 
intégrable sur
[ a ; b [ tandis que g et f1 ne le sont pas.
2.b Comme à la question 1.b, on a
donc

f (x)  g(x)
xb

Z

d'où
Z

(f (t) - g(t)) dt = o

xb

x

f (t) dt =

a

Comme

Z

x

xb

x

a

soit

f - g = o (g)

Z

Z

x

g(t) dt + o

g(t) dt

a

Z

xb

a

x

x

a

g(t) dt

g(t) dt 6= 0 pour tout x  [ a ; b [, puisque g est continue et strictement

a

positive sur cette intervalle, on a finalement
Z x
Z x
f (t) dt 
g(t) dt
a

xb

a