Centrale Maths 1 PC 2001

Thme de l'preuve Majoration des drives successives d'une fonction
Principaux outils utiliss drivation, dveloppements limits, formules de Taylor, intgrales dpendant d'une borne

Corrig

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 PC 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a t relu par 
Vincent
Beck (ENS Cachan) et Franois Michel (cole Polytechnique).

Ce sujet porte uniquement sur l'analyse relle de base : on cherche  obtenir 
des
relations de comparaison entre les drives successives d'une fonction 
rgulire.
La partie prliminaire donne deux rsultats utiles par la suite, dont une jolie
formule de combinatoire obtenue  l'aide d'un dveloppement limit.
La premire partie est une tude particulire des fonctions deux ou trois fois 
drivables, qui ouvre naturellement sur la deuxime partie, plus gnrale. On y 
apprend
ainsi qu'une fonction relle f , d'une variable relle, C n-1 et C n par 
morceaux a ses n
premires drives bornes, pour peu que f et f (n) soient bornes et on 
obtient pour
tout k dans {0, . . . , n} une majoration de sup f (k) en fonction de majorants 
de |f |
et f (n) . Cette partie fait intervenir les deux rsultats prliminaires.
La troisime et la quatrime partie s'attachent  trouver d'autres relations de
comparaison entre ces majorants.
C'est un problme difficile, qui permet toutefois de tester efficacement ses 
connaissances en analyse relle ; les outils utiliss sont la continuit, le 
thorme des valeurs
intermdiaires, la drivation, le thorme de Taylor, le lien entre intgration 
et primitivation et le raisonnement par rcurrence.
Ajoutons enfin que l'nonc prsente quelques ambiguts que nous nous efforons
d'claircir au mieux dans ce corrig.

Indications

Prliminaires
0.1 Calculer le dveloppement de ex - 1 et le passer  la puissance m d'une
part ; d'autre part, dvelopper,  l'aide de la formule du binme, la quantit
m
(ex - 1) , puis dvelopper chaque terme en zro  un ordre bien choisi.
0.2 Faire une rcurrence sur n.

Partie I
I.A.1 crire les deux dveloppements proposs, puis les combiner.
I.A.2 Regarder pour quelles valeurs de h le second membre de l'ingalit 
prcdente
est minimal.
I.B.1 Mme mthode que pour la question I.A.
I.B.2 Appliquer  f  la question I.A.

Partie II
II.A crire les n - 1 formules de Taylor proposes par l'nonc, puis les 
combiner
judicieusement  l'aide de la formule tablie  la question 0.1.
II.B Faire une rcurrence sur k.
II.C.1 Supposer que l'un des Mk est nul et voir ce que cela implique pour f .
II.C.2 Montrer qu'on est dans les conditions d'application de la question 0.2 
avant
de l'appliquer.

Partie III
III.A Utiliser le fait que toutes les  primitives  de f diffrent d'une 
constante par
rapport  une primitive-talon et trouver la constante qui convient.
III.B.2 Utiliser la caractrisation de k donne dans la question III.A, 
c'est--dire
l'unique primitive de k-1 qui soit dans E.
III.B.3 Raisonner par rcurrence sur k.
III.C.1 Utiliser la caractrisation de Tf tablie  la question III.A.
III.C.2 Majorer chacun des deux termes par l'ingalit triangulaire et 
l'ingalit de
la moyenne.
III.D Question ardue. Montrer qu'une fonction rpondant  la question vaut 1 ou
-1 en chacun de ses points de continuit sur [0, 1] , puis tablir qu'en fait
elle vaut 1 ou -1 sauf en ses points de discontinuit.
III.E Chercher, parmi les solutions de la question prcdente, celles qui sont 
de
plus continues.

III.F.1.a Penser au thorme de Rolle pour trouver 2p - 1 zros, puis exhiber un
autre zro par 2p-priodicit.
III.F.1.b Utiliser la construction faite  la question III.F.1.a pour montrer 
le rsultat.
III.F.2.a tudier les variations de l(n-1) sur les intervalles de la forme ]k, 
k + 1[, avec
k dans {0, . . . , 2p - 1}.
III.F.2.a Se placer en un maximum x0 de n et appliquer le thorme des valeurs
intermdiaires  l sur [x0 + k, x0 + k + 1] pour des entiers k. Conclure par
2p-priodicit.
III.F.2.c Combiner les rsultats des deux questions prcdentes  ceux des 
questions
III.F.1.a et b.
III.F.3.a Pour , utiliser le fait que toute fonction continue sur le compact 
[0, 2p] est
borne et atteint ses bornes puis faire en sorte d'amener ce maximum dans
[0, 2p[.
Pour , prendre un point o n vaut n et s'assurer qu'il peut tre pris
dans [0, 2p[.
III.F.3.b Utiliser le fait que  est un extremum de f  et que  est un extremum de
n  .
III.F.3.c Supposer la conclusion fausse et vrifier qu'on peut appliquer la 
question
III.F.2  h. En dduire qu'on ne peut avoir h () = h () = 0.
III.F.3.d Calculer les valeurs de 1 et 2 et appliquer la question I.A.2  f .
III.G Montrer que la fonction propose par l'nonc est de classe C n sur [0, ]
et que ses n drives successives s'annulent en 0 et . En dduire qu'elle
peut tre prolonge  ] - , 2] en une fonction C n . Puis la transformer de
manire  obtenir le rsultat demand.
III.H.1 Penser  la formule de Leibniz. Une majoration pas trop fine devrait 
permettre de conclure.
III.H.2 Appliquer la question III.F.3h  fp , pour
p assez grand. Puis utiliser le fait
p pi
que f et fp concident sur - , . Enfin, faire tendre  vers 1.
2 2
III.I Considrer la fonction propose en indication par l'nonc, en 
choisissant a
et b judicieusement, de manire  obtenir l'ingalit demande pour k = 1.
Puis procder par rcurrence, en appliquant  f (k) l'ingalit dmontre
juste avant.

Partie IV
IV.A Montrer que (Tp )p>2 converge uniformment vers 1 .  l'aide de la 
question III.C.2, en dduire que (Tn p )p>2 converge uniformment vers n pour
tout n strictement positif. Puis appliquer une ingalit triangulaire (ou la
continuit de la norme) pour avoir le rsultat.
IV.B Appliquer l'ingalit de la question III.I  Tn p et passer  la limite.

Prliminaires
0.1 On se donne un entier m strictement positif et on considre la fonction :
f: R  R
x 7 (ex - 1)m
Comme le suggre l'nonc, calculons le dveloppement limit de f de deux
manires diffrentes. La question de l'ordre auquel on dveloppe se pose alors ;
pour rester simple, on dveloppe au plus petit ordre acceptable,  savoir m.
 Tout d'abord, on sait que
ex - 1 = x + o(x)
m

donc

(ex - 1)

= xm + o (xm )

 D'autre part, la formule du binme donne
x  R

f (x) =

m
P

Ckm ekx (-1)m-k

k=0

Or

ex = 1 + x +

Par suite

m xj
P
x2
xm
+ ...+
+ o(xm ) =
+ o (xm )
2!
m!
j=0 j!

k  {0, . . . , m}

ekx =

m k j xj
P
+ o (xm )
j=0 j!

On rinjecte ces dveloppements dans la formule du binme :
!
m
m k j xj
P
P
m-k k
m
f (x) =
(-1)
Cm
+ o (x )
j=0 j!
k=0
f (x) =

m P
m
P

k=0 j=0

(-1)m-k Ckm

kj j
x + o (xm )
j!

Notons qu'on peut sortir le  petit o  de la somme sans aucun problme, 
puisqu'une somme finie de o (xm ) reste un o (xm ).
Comparons cette version du dveloppement de f  celle obtenue plus haut ; pour
cela, on intervertit l'ordre des sommations, de manire  ordonner l'expression
suivant les puissances croissantes de x :
m
 j
m
P
P
x
f (x) =
(-1)m-k Ckm k j
+ o (xm )
j!
j=0 k=0

On a ainsi obtenu deux expressions du dveloppement limit de f en 0 :
m
 j
m
P
P
x
m
m
m-k k j
f (x) = x + o(x ) =
(-1)
Cm k
+ o (xm )
j!
j=0 k=0

Par unicit du dveloppement limit, on obtient :