CCP Maths 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Fonctions de la forme x↦ f(xn): séries et intégrales
Principaux outils utilisés changements de variable, intégrales dépendant d'un paramètre, séries de fonctions

Corrigé

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SESSION 2013 PCM2006

-î- CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

On s'intéresse ici a des suites et séries de fonctions en liaison avec des 
intégrales.

Dans la partie I7 on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les 
questions 1 et 2
pour l'une, la question 3 pour l'autre) qui interviennent dans les parties II 
et III. Les parties II et
III sont indépendantes.

Partie I : calculs préliminaires

I - 1.
I - 1.1.
+00
1 -- t
Justifier l'existence de l'intégrale K = / %... dt.
0
I - 1.2.
A sin(t)
Pour tout A > 07 justifier l'existence de l'intégrale D(A) : / t dt.
0

I - 1.3.

Grâce à une intégration par parties7 prouver que D(A) a une limite (réelle) 
quand A tend vers

+oo --
t
--l--oo7 égale à K. C'est--à--dîre que : K = / s1n( ) dt : lim D(A).
0 t A-->+oo

I - 2.
I - 2.1.

+00 1 -- cos(t)

t2 e"'"' dt est définie et continue sur lR+.

Justifier que l'application L : a: le /
0

I - 2.2.
Montrer que7 pour tout réel a > 07 l'application L est de classe C2 sur 
l'intervalle [a, +oo[.

Etablir ensuite que l'application L est de classe C2 sur l'intervalle ]0, +oo[.

1/4

I - 2.3.

1 -- cos(t) 1 -- cos(t)

Justifier que les fonctions t 1% t2 et t 1% sont bornées sur ]0, +oo[.

Etablir alors que les fonctions a: 1% loeL'(oe)l et a: 1% loeL(oe)l sont 
majorées sur IR:

, . _ . / _ . _
En déduire que . oeli>moe L (a:) -- oeli>moe L(a:) -- O.

I - 2.4.
Pour tout réel a: > 07 exprimer L" (a:) sans utiliser d'intégrale.

On pourra remarquer que cos(t) : Re(e").

I - 2.5.
En déduire L'(a:) pour a: > 0, puis L(a:) pour oe>0. Oonclure que K = %-

I-3.

I - 3.1.

est intégrable sur ]0, 1[.

Justifier que la fonction u 1%

ln(u)
1

I - 3.2.

1
Pour tout [EUR EUR ]N7 justifier l'existence et calculer / uk ln(u) du-
0

I - 3.3.

Grâce à un développement en série de 1 pour U E ]0, 1[ et en précisant le 
théorème utilisé7

1 +00
1 1
justifier que : / n(u) du : Ë (

0 u--1 k--O k+1)2
+00 1 7T2
Par ailleurs7 on donne sans avoir a le justifier : z _ = ---
k=O (k + 1)2 6

Partie II : étude de quelques suites d'intégrales

II-1.

Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.
II - 2.
II - 2.1. On considère ici une application continue f : [O7 +oo[ + IR.

1
Pour tout n EUR ]N7 on pose In : / f(t") dt. Déterminer lim In.
0

n-->+oo

u) est intégrable sur ]0, 1].

II - 2.2. On suppose ici de plus que u 1% f(

Déterminer lim nl... On pourra transformer nln grâce a un changement de 
variable.
n-->+oo

II - 2.3. Application 1.

1
Déterminer un équivalent quand n + +00 de / sin(t") dt (grâce a une intégrale).
0

2/4

II - 3. On considère maintenant que f : [(), +oo[ + IR est une application 
continue et intégrable sur

IR+.

II - 3.1.
Soit 77. E ]N*.

+oo
Grâce a un changement de variable approprié, justifier l'existence de A,, = / f 
(t") dt.
1

II - 3.2.
Déterminer lim nA,, (grâce a une intégrale que l'on ne cherchera pas a 
calculer).
n--> 00
II - 4.

A
II - 4.1. Pour tout 77. EUR ]N,n>2 et tout A > 1, on pose C,,(A) : / sin(t") dt.
1

Grâce a un changement de variable et une intégration par parties, exprimer 
C,,(A) en fonction

An
1 _
de / c_3s(u)u% du et de A.
1

11.
II - 4.2.
+oo
En déduire que C,,(A) a une limite quand A + +oo, prouvant l'existence de / 
sin(t") dt
1

pour tout 77. E ]N, 7122.

II - 4.3. Application 2.

+00
Déterminer lim n / sin(t") dt grâce a K calculée en I-2.5 .
n-->+oo 0

Partie III : étude de séries de fonctions

III - 1. Un premier exemple.

III - 1.1.
+oo
Pour tout a: E ]--1,1[, calculer F(a:) : 2 $" ainsi que F'(oe).
n=1
III - 1.2.
, . . . . / - 2 /
Determ1ner li1 oe-->1

1--oe"

\n.
1--a:

III - 3. Dans cette question7 f est une application réelle continue et 
croissante sur [0,1[ avec

f (U)

f(0) : 0 et telle que u le -- soit intégrable sur 10,11.
u

Soit 513 610,11.
III - 3.1.
+00 1
Justifier l'existence de G(a:) : / f(oe") dt et l'égalité G(a:) : --1 1 / @ du.
0 H(OE) 0 U
III - 3.2.

Pour tout 77. EUR lN"7 justifier l'encadrement :
n+1 n
] f(sc') dt < f(oe") < ] f(OE') dt-
n n--1

III - 3.3.

+oo
En déduire l'existence de F (a:) = 2 f ($")7 ainsi qu'un encadrement de F (a:) 
par deux intégrales
n=1

dépendant de $.
III - 3.4.

Conclure avec soin que : li1

III - 4. Un dernier exemple.

+oo
Pour tout a: E ]--1,1[7 on pose enfin cette fois : F(a:) : -- z ln(1 -- oe").
n_1

III - 4.1.
Montrer que F est définie et de classe C1 sur ]--17 11 et exprimer sa dérivée 
sous la forme d'une

série de fonctions.

III - 4.2.

1
1
Grâce a III - 3.4.7 montrer que li1

III - 4.3.
Par une méthode similaire a celle de III - 3.7 montrer que :

1_ 1 2+OO nsc" _ 1ln(u)d

oe-->1

En déduire li1

Fin de l'énoncé

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE -- 131164 -- D'aprèsdocumentsfournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Yves Bienvenu (ENS Ulm), il a été relu par
Pauline Tan (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet d'analyse, composé de trois parties largement indépendantes, propose
d'étudier des intégrales impropres, desZsuites d'intégrales et des séries de 
fonctions,
X
notamment des intégrales de la forme f (tn ) dt ou des séries de la forme
f (xn ).
· La première partie, intitulée « calculs préliminaires », établit notamment le
résultat célèbre
Z +
sin t

dt =
t
2
0
grâce à la fonction

L(x) =

Z

0

+

sin t -tx
e
dt
t

via le calcul de sa dérivée seconde. On montre aussi que
Z 1
ln u
2
du =
6
0 u-1
en intégrant terme à terme un développement en série de l'intégrande.
· Dans la deuxième partie, on applique inlassablement le théorème de convergence
dominée pour donner des limites ou des équivalents à des suites d'intégrales,
en particulier à
Z +
sin(xn ) dx
0

P
· La troisième partie est consacrée à l'étude de séries de la forme f (xn ) et
à leurs limites en 1. Les outils mis en oeuvre sont les théorèmes sur les séries
de fonctions : exploitation de la convergence normale pour intégrer, dériver,
calculer des limites. La dernière question est extraordinairement difficile.
Il n'est pas envisageable de terminer cette épreuve en moins de quatre heures.
Typique des CCP, répétitive, peu inventive, cette épreuve vous permettra de 
revoir
les principaux théorèmes d'analyse.

Indications
Partie I
I.1.3 Prendre comme primitive du sinus la fonction 1 - cos.
I.2.2 Appliquer soigneusement le théorème de dérivation sous le signe somme.
Les hypothèses doivent être méticuleusement vérifiées.
I.2.5 Trouver L comme primitive de L obtenue à la question II.2.4 ; puis pour L,
pratiquer une intégration par parties. Attention aux constantes d'intégration.
Remarquer que K = L(0).
I.3.3 Développer en série entière 1/(1 - u) et appliquer un théorème convenable
d'interversion sommation-intégration.
Partie II
II.2.2 Sur un segment [  ; 1 ], faire le changement de variable u = tn .
II.2.3 Poser à nouveau u = tn .
II.3.1 Poser encore et toujours u = tn !
II.4.3 Décomposer l'intégrale sur [ 0 ; + [ en une intégrale sur [ 0 ; 1 ] et 
une intégrale
sur [ 1 ; + [. Pour la première intégrale, utiliser la question II.2.3. Pour la
seconde, utiliser la question II.4.2.
Partie III
III.2.2 Pour étudier (1 - x) F(x), injecter l'inégalité dans la série et 
reconnaître un
développement en série entière célèbre.
III.3.1 Poser u = xt .
III.3.4 Multiplier par 1 - x l'encadrement de la question III.3.3 et étudier 
les deux
termes extrêmes au voisinage de 1.
III.4.2 Vérifier soigneusement les hypothèses qui président à la sous-partie 
III.3 et
appliquer sa conclusion. Faire un changement de variable t = u - 1.
III.4.3 Très difficile. Écrire d'abord des encadrements comme en III.3, les 
intégrer,
les sommer, et analyser le comportement des majorants et minorants pour
obtenir la convergence.

I. Calculs préliminaires
1 - cos t
t2
est définie et continue sur ] 0 ; + [. Établissons qu'elle est intégrable sur ] 
0 ; 1 ] et
sur [ 1 ; + [.
I.1.1 La fonction

f : t 7-

· Rappelons le développement limité de cosinus en 0
cos t = 1 -

t2
+ o(t2 )
2

t2
2
donc f tend vers 1/2 en 0. La fonction est ainsi prolongeable par continuité sur
le segment [ 0 ; 1 ] et, par conséquent, intégrable sur ] 0 ; 1 ].
· D'autre part, sachant que pour t  R
On en déduit l'équivalent

1 - cos t 

|1 - cos t| 6 1 + |cos t| 6 2
on a f (t) = O 1/t quand t tend vers +, d'où l'intégrabilité sur [ 1 ; + [
d'après le critère de Riemann.
2

L'intégrale K =

Z

0

+

1 - cos t
dt existe.
t2

Rappelons qu'une fonction continue sur un intervalle de la forme ] a ; b ] qui
admet une limite finie en a fini est intégrable sur ] a ; b ]. On dit que 
l'intégrale
est faussement impropre. Il faut savoir les repérer au premier coup d'oeil.
I.1.2 Soit A > 0. La fonction t 7- t-1 sin t est continue sur ] 0 ; A ] et tend 
vers 1
en 0, de sorte que la fonction est prolongeable par continuité sur le segment [ 
0 ; A ].
Ainsi,
Z A
sin t
dt est définie pour tout A > 0.
L'intégrale D(A) =
t
0
I.1.3 Prenons  > 0. Les fonctions sinus et inverse sont de classe C 1 sur [  ; 
A ].
En choisissant comme primitive du sinus la fonction t 7- 1 - cos t, 
l'intégration par
parties fournit :
Z A
h 1 - cos t iA Z A 1 - cos t
sin t
dt =
+
dt
t
t
t2

Or, à cause du développement limité du cosinus en 0,
1 - cos 

--- 0
0 2 0

donc en faisant tendre  vers 0 dans les deux membres de l'égalité de 
l'intégration
par parties, on obtient :
Z A
1 - cos A
1 - cos t
D(A) =
+
dt
(E)
A
t2
0

Faisons à présent tendre A vers +. Le premier terme tend vers 0 puisque 1 - cos 
A
est borné. Quant au deuxième terme, il tend vers K d'après la première question.
Il vient
lim D(A) = K

A+

Ici, une rédaction propre passe obligatoirement par l'introduction d'un  afin
de faire l'intégration par parties sur un segment où les fonctions sont de
classe C 1 , puis un passage à la limite en deux temps.
I.2.1 Définissons une fonction h par

 R+ × R+ - R
h:
 (x, t) 7- 1 - cos t e -tx
t2
Alors :
· l'application x 7- h(x, t) est continue sur R+ quel que soit t  R+ ;
· l'application t 7- h(x, t) est continue donc continue par morceaux sur R+ quel
que soit x  R+ ;
· on a la majoration suivante uniforme en x :
x > 0

t > 0

|h(x, t)| 6

1 - cos t
= f (t)
t2

et f est intégrable sur R+ d'après la question I.1.1.
À l'aide du théorème de continuité sous le signe intégrale, on en déduit que
La fonction L est continue sur R+ .
I.2.2 Soit a > 0. Reprenons la notation h de la question précédente.
· L'application x 7- h(x, t) est de classe C 2 sur R+ quel que soit t, de 
dérivées
première et seconde
h
1 - cos t -tx
(x, t) = -
e
x
t

 2h
(x, t) = (1 - cos t) e -tx
x2

et

· Pour x > a, les applications t 7- h(x, t) et t 7- h/x (x, t) sont intégrables
sur R+ à cause des majorations suivantes par des fonctions intégrables sur R+ :
t > 0

|h(x, t)| 6 h(0, t) = f (t)

et

h
1 - cos t -ta
(x, t) 6
e
x
t

Cette dernière fonction est en effet intégrable sur ] 0 ; 1 ] car le 
développement limité du cosinus prouve qu'elle tend vers 0 en 0, et sur [ 1 ; + 
[ car elle y est
majorée par t 7- 2 e -ta .
· Concernant la dérivée seconde, elle est majorée uniformément en x :
t > 0

x > 0

2h
(x, t) 6 2 e -ta
x2

où la fonction t 7- 2 e -ta est intégrable sur R+ .