CCP Maths 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Étude de deux séries de fonctions liées au sinus hyperbolique
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètre
Mots clefs trigonométrie hyperbolique, produit infini

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2011 PCM2006

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Les parties 11 et 111 sont indépendantes

PARTIE 1

Soit 2 un la série de fonctions d'une variable réelle de terme général un 
défini pour tout n E N*
2æ

par: pourtout OEEÆ, un(æ)=2_22.
oe +n7r

1.1.
1.1.1. Montrer que 2 un converge simplement sur Æ tout entier.

+oo
On note U = 2 un la somme de la série de fonctions 2 un .

n=1

1.1.2. Montrer que, pour tout a > O, Zun converge normalement sur [--a, a].

La série 2 un converge-t-elle normalement sur Æ '?

1.1.3. Montrer que U est continue sur Æ .

1/3

1.2.
1.2.1. Soit n E N'". Déterminer la primitive qui s'annule en 0 de la fonction 
un.

1.2.2. Soit (on )OEN* la suite de fonctions définie par :

2

2
pourtout n EUR N",pourtout oe EUR Æ, Un(OE) : ln{l+OE--2J.
n7r

Montrer que 2 on converge simplement sur Æ .

+oo
1.2.3. On note V = z Un la somme de la série de fonctions 2 on .

n=1

Montrer que V est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction U .

1.3. On considère la suite ( pn )"E N de fonctions polynômes sur Æ définie par :

pour tout oe EUR Æ, p0(æ) : oe;

2
pourtoutnEURN'etpourtoutæEURÆ, pn(æ)=æ {l--l--OE--J.
7T

Montrer que la suite ( pn )"E N converge simplement sur Æ , lorsque n tend vers 
+oo,

vers une fonction p que l'on exprimera a l'aide de V puis de U .

+00 2
Pour tout oe EUR Æ, la limite donnant p(æ) sera alors notée : p(æ) : oeH{l + 
kÎ--2J .
k=1 77

PARTIE II

Pour tout oe EUR Æ, on note 956 la fonction d'une variable réelle, périodique 
de période 27T, telle que,
. t
pour tout t E ]--7T,71], on a1t : gæ(t) : ch[OE--] .
71
11.1.
11.1.1. Préciser pourquoi1 g est égale en tout point t E Æ a la somme de sa 
série de Fourier :
--a0(æ æ)--l-- Î<% )(cos (nt) +bn (oe )sin(nt)).

11.1.2. Pour tout n E N' et tout oe ne Æ, calculer bn(æ).
11.1.3. Pour tout n E N et tout oe EUR Æ, calculer %(OE) . On distinguera les 
cas oe : O et $ i 0.

11.2.
11.2.1. En donnant à t une valeur particulière dans la série de Fourier de gx , 
montrer que,
h 1
pourtout oe EUR Æ", U(æ) : C ($) ----.
sh(æ ) $

11. 2. 2. A partir de V(a: )=fÛ(t U(t )dt et du résultat de 11. 2. 1, donner a 
l'aide des fonctions

usuelles une expression de la fonction V définie a la question 1.2.3.
11.2.3. En déduire que, pour tout oe EUR Æ, on a:

sh(æ) =p(æ )=OEH{1+Ë ?}

2/3

PARTIE III

Soit la la fonction définie sur Æ >< ]O, +oo[ par :

pour tout (æ,t) EUR Æ >< ]O,+oo[, h(æ,t) : SMI--(m).
exp(7rt) -- 1

111.1.
III.1.1. Soit oe EUR Æ. Montrer que la fonction t |--> h(æ,t) admet, quand t 
tend vers 0 par
valeurs positives, une limite finie que l'on déterminera.
III.1.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ, la fonction t |--> h(æ,t) est 
intégrable sur ]0, +oo[.

III.2.
III.2.1. Montrer que la possède des dérivées partielles par rapport à $ en tout
point de Æ >< ]O, +oo[ et atout ordre. Calculer, pour tout (oe, t) E Æ >< ]O, 
+oo[ et

n

tout 77. E N*, Ô--n(æ,t). On distinguera les cas n pair et n impair.
a:

n

III.2.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ et tout 77. E N , la fonction t |--> 
%(æ,t)
a:

est continue et intégrable sur ]0, +oo[ .

sin(tæ)

+oo
III.3. Soit f la fonction définie sur Æ par : f (oe) : f dt pour tout oe EUR Æ.
()

exp(7rt) --
Montrer que f est de classe C00 sur Æ et que, pour tout oe EUR Æ et tout m E N ,
+00 (--1)mt2m sin(tæ) +00 (-- 1)mt2m+1 cos(tæ)

_ (2m) _ (2m+1) _
on a . æ _ dt et æ _ dt .
f ( ) f0 exp(7rt) -- 1 f ( ) f0 exp(7rt) -- 1
111.4.
III.4.1. Montrer que, pour tout t > 0, on a: =Î exp( --n7rt).

e--Xp(7rt) -- 1
III.4.2. Montrer que, pour tout 77. E N* et tout oe EUR Æ, la fonction t |--> 
exp(--nwt)sin(tæ)
est intégrable sur [O,+oo[ et exprimer L+oe exp(--nwt)sin(tæ)dt a l'aide de 
un(æ).
III.4.3. Pour tout 77. E N* , pour tout oe EUR Æ, pour tout t E [O, +oo[,
on pose : hn(æ,t) : Îexp(--kwt)sin(tæ) . Montrer que, pour tout oe EUR Æ et 
tout t E ]O, +oo[,

k=1

h,,(æ, t) = (1 -- exp(--n7rt)) Î"Î""î .

+oo
Puis, montrer que : f(æ) : lim hn(æ,t)dt pour tout oe EUR Æ.
n-->+oo 0

En déduire une expression simple de la fonction f a l'aide de la fonction U .

Fin de l'énoncé

3/3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE).

Ce problème d'analyse est consacré à l'étude des séries de fonctions

+
+
P
P
2x
x2
U(x) =
et
V(x) =
ln 1 + 2 2
2
2 2
n 
n=1 x + n 
n=1

Il est composé de trois parties, dont les deux dernières sont indépendantes 
entre elles
mais qui utilisent les résultats de la première.
· Dans la première partie, on étudie la convergence de ces séries ainsi que la
régularité des fonctions U et V. On montre en particulier que U est la dérivée
de V.
· La deuxième partie permet d'écrire des expressions des fonctions U et V
à partir des fonctions usuelles, en particulier des fonctions trigonométriques
hyperboliques. On utilise pour cela le développement en série de Fourier d'une
fonction 2-périodique construite à partir du cosinus hyperbolique. On arrive
finalement au développement en produit infini du sinus hyperbolique :

+ 
x2
x  R
sh (x) = x  1 + 2 2
k=1
k 
· La troisième partie est consacrée au calcul de l'intégrale
Z +
sin(tx)
f (x) =
dt
e t - 1
0
que l'on exprime en fonction de U après s'être intéressé à sa bonne définition
et à sa régularité. La fin du problème comporte quelques subtilités.
Ce problème, assez court et peu difficile, permet une bonne révision des 
théorèmes
d'analyse du programme de seconde année, en particulier sur les séries de 
fonctions
et les intégrales dépendant d'un paramètre. Exception faite d'une ou deux 
questions,
il n'est pas spécialement calculatoire, et aucune question ne nécessite 
d'astuce particulière, seulement de la vigilance dans le raisonnement. Il est 
tout à fait adapté pour
se mettre en confiance en analyse avant d'attaquer des sujets d'un niveau plus 
élevé.

Indications
Partie I
P
I.1.1 Utiliser la convergence de la série 1/n2 .

I.1.2 Dans l'étude de la convergence normale sur R, vérifier si

P

un (n) converge.

I.2.1 Remarquer que un est de la forme   / pour une fonction  bien choisie.
I.2.2 Utiliser l'encadrement 0 6 ln(1 + y) 6 y pour tout y > 0.
 n 

x2 
I.3 Étudier d'abord la suite de terme général ln  1 + 2 2
.
k=1
k 
Partie II
II.1.1 Montrer que gx est continue et de classe C 1 par morceaux sur R.
II.1.2 Penser à étudier la parité de gx avant de se lancer dans les calculs.
II.1.3 Utiliser les écritures ch (y) = (e y + e -y )/2 et cos(y) = (e iy + e 
-iy )/2 puis la
définition des coefficients de Fourier d'une fonction 2-périodique.
II.2.1 Évaluer gx en .
II.2.2 Ne surtout pas couper l'intégrale en deux intégrales qui divergent. 
Essayer
plutôt de calculer une primitive de l'intégrande entre  > 0 et x >  puis
de prendre la limite de l'expression trouvée quand   0+ (en justifiant ce
raisonnement, bien sûr).
Partie III
III.1.1 Utiliser les développements limités en 0 du sinus et de l'exponentielle.
III.1.2 Utiliser l'équivalence 1/(e t - 1)  e -t au voisinage de +.
III.3 Raisonner par récurrence. Attention, vérifier que f est continue sur R 
nécessite
de montrer que f est continue sur tout intervalle borné. Utiliser ensuite le
théorème de dérivation sous le signe intégrale.
P
III.4.1 Se ramener à la série géométrique z n .
III.4.2 Utiliser l'écriture sin(y) = (e iy - e -iy )/2i.

III.4.3 Utiliser la valeur de la somme des premiers termes d'une suite 
géométrique.

Partie I
I.1.1 Soit x  R. Pour tout n  N , x2 + n2  2 > n2  2 > 0 donc la fonction un est
bien définie et
2 |x|
|un (x)| 6 2 2
n 
P
Comme la série
2 |x| /(n2  2 ) est une série de Riemann convergente, par comparaiP
son la série un (x) est absolument convergente donc convergente.
P
La série un converge simplement sur R.
P
Soit  > 0. Il est indispensable de connaître la nature de laP
série 1/n ,
celle-ci
1/n diverge
P converge si et seulement si  > 1. En particulier,
et 1/n2 converge. Ces deux séries, très classiques, sont très largement 
utilisées dans les exercices et les problèmes sur la convergence des séries 
numériques, et doivent donc être connues par coeur.
I.1.2 Soient a > 0 et n  N . D'après la question précédente, pour tout x  [ -a 
; a ],
2 |x|
2a
6 2 2
2
2
n 
n 
P
Ainsi, Sup |un (x)| existe et est majoré par 2a/(n2  2 ) . Comme
2a/(n2  2 )
x[ -a ;a ]
P
converge, par comparaison la série
Sup |un (x)| converge.
|un (x)| 6

x[ -a ;a ]

Pour tout a > 0,

P

un converge normalement sur [ -a ; a ].

Cette série converge normalement sur R si et seulement si :
· pour tout n  N , un est bornée sur R ;
P
· la série kun k converge.
Pour tout n  N , un est une fonction continue sur R, qui tend vers 0 en + et -,
elle est donc bornée sur R. Alors
2
n  N
kun k > un (n) =
n(1 +  2 )

P
P
et la série 2/ n(1 +  2 ) diverge. Par comparaison, kun k diverge.
P
La série un ne converge pas normalement sur R.
P
I.1.3 D'après le théorème de continuité d'une série de fonctions, si un converge
normalement sur tout segment de R et si pour tout n  N , un est continue sur R,
alors U est continue sur R.
· Soit I un segment de R, alors I est borné
P donc il existe a > 0 tel que I  [ -a ; a ].
D'après la question I.1.2, la série
unPconverge normalement sur [ -a ; a ].
Comme Sup |un (x)| 6 Sup |un (x)|, un converge normalement sur I.
xI

x[ -a ;a ]

· Soit n  N . Les fonctions  : x  R 7 2x et  : x  R 7 x2 + n2  2 sont
continues sur R, et  ne s'annule pas, donc un = / est continue sur R.
La fonction U est continue sur R.

I.2.1 Remarquons que pour tout n  N , un est de la forme   / avec  définie à
la question I.1.3, strictement positive. La fonction vn : R  R est donc une 
primitive
de un sur R si et seulement s'il existe C  R tel que

x  R
vn (x) = ln |(x)| + C = ln (x) + C
Rappelons que si  est une fonction de classe C 1 qui ne s'annule pas sur un

intervalle I, l'ensemble des primitives de la
 fonction  / sur I est l'ensemble
des fonctions de la forme x 7 ln |(x)| + C, avec C  R.

Soit C  R, alors ln (0) + C = 0 si et seulement si C = - ln(n2  2 ). Dans ce 
cas,
la fonction vn correspondante s'écrit

x2
x  R
vn (x) = ln(x2 + n2  2 ) - ln(n2  2 ) = ln 1 + 2 2
n 
La primitive de la fonction un qui s'annule en 0 est la fonction

 R - R

vn :
x2

 x 7- ln 1 + 2 2
n 
I.2.2 Soit x  R. Par concavité du logarithme,
y > 0

0 6 ln(1 + y) 6 y

P 2
2
2 2
2 2
Par suite, pour tout
P n  N , |vn (x)| 6 x /(n  ). Comme x /(n  ) converge,
par comparaison vn (x) converge absolument et donc converge.
P
La série vn converge simplement sur R.

Il est également possible de résoudre cette question en utilisant le critère
de comparaison suivant : si (xn ) et (yn ) sont des suites de nombres réels po+
sitifs telles
P qu'au
P voisinage de , xn  yn , c'est-à-dire xn /yn  1, alors les
séries xn et yn sont de même nature. En particulier, si elles convergent,
alors
+
+
P
P
xn 
yn
n=N+1

n=N+1

et si elles divergent, alors lorsque N est au voisinage de +
N
P

xn 

n=1

N
P

yn

n=1

Dans le cas de cette question, on peut utiliser l'équivalence ln(1 + y)  y
au voisinage de 0, puis, par composition,

x2
x2
vn (x) = ln 1 + 2 2  2 2
n 
n 
P
P 2
lorsque n  . Comme
séries
vn (x) et
x /(n2  2 ) sont à termes
P les
2
2 2
positifs et que la série
P x /(n  ) converge, on déduit du critère énoncé
ci-dessus que la série vn (x) converge.