CCP Maths 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Polynômes d'Hermite et analyse de Fourier
Principaux outils utilisés Séries entières, intégrales à paramètres, séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs Polynômes d'Hermite, transformée de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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SESSION 2009

A PCM2006

CONCOURS (OMMUNS POIYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la 
précision et a la conci-
sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout ce problème, on note F la fonction sur IR ><(D, F(a:, z) : exp <--zæ -- %) ,

et f la fonction sur IR à valeurs dans IR définie par :

2
V3: EUR IR, f(sc) : F(æ,0) : exp (--%--) .
PARTIE I

1.1. Soit z 603 un nombre complexe fixé, quelconque.

I.1.1. Ecrire les développements en série entière de la variable réelle 3: des 
fonctions
:1: +--> exp(--zæ) et w +----> exp _? . On prec1sera les rayons de convergence 
des ser1es ent1eres

obtenues.

I.1.2. A l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que l'on peut écrire, pour tout 
33 EUR IR :
+oo
F(æ, z) : ZA,,(z)æ" ,
n--O

où A,, est une fonction polynomiale de degré n.
Pour tout n EUR IN on définit la fonction polynomiale H,, par H,, : (--1)"n!A...
Donner les expressions de H0(z) et de H1(z) en fonction de z.

I.1.3. Calculer la dérivée de la fonction æ +-----> F (a:, z) à l'aide de F.
En déduire que pour tout 77. EUR IN et tout 2 EC on a Hn+2(z) : an+1(z) -- (n + 
1)H,,(z).
Donner les expressions de H2(z), H3(z) et H4(z) en fonction de 2.

1/3

1.2

1.2.1. Montrer que pour tout 513 EUR IR on a f"(a:) + a:f'(:E) + f(îlï) =
dn+2f

En déduire que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a (a:) + a:

----1 " d"
1.2.2. Pour tout 77. EUR IN on pose Kn : ( ) f .
f dai"

Montrer que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a Kn+2(æ) -- æKn+1(æ) + (n 
+ 1)Kn(æ) : O.
Exprimer K0(æ) et K1(æ) pour tout 55 EUR IR. En déduire que Hn : K" pour tout 
71 EUR IN.

1.3.
1.3.1. Montrer que pour tout 71 EUR IN et tout 55 EUR IR on a H;L+1(a:) : (n + 
1)Hn(æ).
1.3.2. En déduire que pour tout n EUR IN et tout 3: EUR IR on a HZ(CE) --- 
a:Hâ(æ) + an(æ) : 0.

1.4. Pour tout n EUR IN on définit la fonction go,. de la variable réelle 3: 
par :

5132
V3: EUR IR, gan(a:) : (--1)"Hn(æ) exp (--î> .
5132
Montrer que pour tout 513 EUR IR on a ng(a:) -- Îgan(æ) : Àngon(æ), où )... est 
un nombre réel que

l'on déterminera.

1.5. Pour tout couple (p, q) EUR IN2 on pose :
+00 +00
Ip,q : Iq,p =/ SÛp dt.

OO "OO
11.1. Montrer que f est définie et continue sur IR.

11.2. Montrer que f est de classe C1 sur IR.

11.3.

11.3.1. Montrer que f'(1/) : --47r2yf(y) pour tout 1/ EUR IR.
On pourra par exemple, entre autres méthodes, utiliser l'égalité --t : 2i7rv + 
(--2i7w -- t).

2/3

II.3.2. Calculer f(0). En déduire l'expression de f(u) en fonction de V.

PARTIE III

On considère la série de fonctions de terme général u,, défini par :

uO=f et VnEURlN"', Va:EURIR, u,,(cc) =f(æ--2nw)+f(oe+2nw).

Pour tout n EUR IN soit U,, la fonction définie par U,, -- --îî: u,,.

On remarquera que pour tout a: E IR on a U,,( =Î f( a: ---- 2k7r).

k=--n

III.1. Soit A un nombre réel strictement positif.

A
III.1.1. Soit n EUR IN tel que n 2 -2----. Etudier les variations sur le 
segment [--A,+Al des
7r

fonctions 3: »----> f(a: -- 27m) et a: 1--+ f(a: + 271%).

(27...-- _ A)?)

En déduire que pour tout a: E [--A, +A], on a 0 S un(ïlî) S 2exp ("'

2
+OED
III.1.2. Montrer que la série de fonctions î: u,, converge normalement sur 
[-----A, +A].
n=0
III.2.
+oe>
III.2.1. Déduire de la question précédente que la série de fonctions 2 u,, 
converge simplement
n=O

sur IR tout entier. On note U sa somme.

III.2.2. Montrer que U est continue sur IR. On admettra que U est de classe C1 
sur IR.

III.2.3. Montrer que U est paire.

III.2.4. Exprimer, pour tout a: E IR, U,,(â: + 27r) au moyen de U,,(æ), f(a: + 
2(n + 1)7r) et
f (a: ---- 2n7r). En déduire que U est périodique de période 277.

III. 3. Soita -- 20+ Î a,, cos ...: la série de Fourier de U.

III.3.1. .] ust1fier l égalité de U avec la somme de sa série de Fourier.

% (2k+J)w
III.3.2. Montrer que l'on a / U;,(æ) cos næ dæ : / f(æ) cos m: da: pour tout 
77. EUR IN
'--W --(2k+l)w
et tout k EUR IN.
III.3.3. Pour tout 71 EUR IN, justifier l'égalité / U(a:) cos ...: dæ : klim 
U;,(æ) cos na: dæ.
% +OE) _" _fi
En déduire que / U (33) cos na: da: : . f(æ) cos na: da:.

III.3.4. Déduire de ce qui précède une expression de a,,, pour tout n EUR IN, a 
l'aide de f et de
n, puis exprimer a,, en fonction de n.

Fin de l'énoncé

3/3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d'analyse propose une étude de quelques propriétés de la fonction

 R - R
 2
f:
x

 x 7- exp -
2

· La première partie introduit la famille des polynômes d'Hermite (Hn ) à partir
du développement en série entière de la fonction

 R × C - R

F:
x2

 (x, z) 7- exp -zx -
2

On montre que ces polynômes vérifient une relation de récurrence d'ordre 2,
qu'ils peuvent s'exprimer en fonction des dérivées de f , qu'ils sont solutions
d'une famille d'équations différentielles d'ordre 2, et enfin qu'ils sont 
orthogonaux pour un certain produit scalaire.

· La deuxième partie introduit la transformée de Fourier de f :

Z +
x2
fb() =
exp -2ix -
dx
2
-

On montre qu'elle vérifie une équation différentielle d'ordre 1, ce qui permet 
de
la déterminer explicitement.

· La troisième partie est consacrée à l'étude de la série de fonctions
U(x) =

+
P

f (x - 2n)

n=-

dont on commence par vérifier qu'elle converge, puis que sa somme est continue
et 2-périodique. On montre enfin que ses coefficients de Fourier s'expriment
simplement en fonction de f .
Ce problème ne comporte pas de difficulté particulière. La partie I, 
essentiellement
calculatoire, est sensiblement plus longue que les deux autres. Elle requiert 
un peu
d'habileté dans la manipulation des dérivées. La partie II fait appel aux 
théorèmes du
cours sur les intégrales à paramètre et demande de résoudre une équation 
différentielle
d'ordre 1. La partie III fait appel aux théorèmes du cours sur les séries de 
fonctions
et aborde rapidement les séries de Fourier.
Moyennant un peu d'investissement dans les calculs de la première partie, ce 
sujet
assez accessible permet donc une bonne révision d'une grande partie du programme
d'analyse.

Indications
Partie I
I.1.1 Écrire le développement en série entière de la fonction exponentielle.
I.1.2 Voir F(x, z) comme le produit des deux développements en série entière 
donnés
à la question précédente.
I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x, z) et 
l'identifier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport 
à x) de
F(x, z). Effectuer les changements d'indice nécessaires pour remettre tous les
x à la même puissance.
I.2.2 Utiliser la relation trouvée à la question I.2.1 puis remarquer que Hn et 
Kn
vérifient la même relation de récurrence.
I.3.1 Travailler avec l'expression définissant Kn .
I.3.2 Dériver la relation obtenue à la question I.3.1 et utiliser la relation 
de récurrence sur Hn obtenue à la question I.1.3.
I.4 Calculer les dérivées première et seconde de n et utiliser le résultat de la
question I.3.2.
I.5.2 Travailler avec l'expression de Ip,q faisant intervenir Hp et Hq et 
utiliser les
expressions de Kp et Kq pour l'intégration par parties.

Partie II
II.1 Majorer le module de F(t, 2i) par f (t).
II.3.1 Utiliser la formule de Leibniz et le résultat de la question II.2 pour 
dériver
« sous l'intégrale ».
II.3.2 Résoudre l'équation différentielle vérifiée par fb.
Partie III
III.1.1 Prendre garde au fait qu'on a choisi n de sorte que 2n > A.
III.2.3 Montrer que les un sont paires, et qu'il en est donc de même pour les 
Un .
III.3.2 Échanger somme et intégrale et utiliser la 2-périodicité du cosinus pour
effectuer un changement de variable faisant apparaître f (x) dans l'intégrale.
III.3.3 Utiliser le théorème de convergence dominée. Se servir de la 
convergence nork
P
male de Uk sur [-; ] pour majorer
kuj k par la somme de cette série.
j=0

1
III.3.4 Écrire cos(nx) = [exp(inx) + exp(-inx)].
2

Le rapport du jury fait état d'un sujet « assez court et sans sérieuse
difficulté », en précisant que « tous les résultats pouvant intervenir dans la
suite du problème étaient donnés dans l'énoncé », et qu'il « n'était pas 
demandé aux candidats de faire preuve d'astuce, mais seulement de connaître
les théorèmes fondamentaux du programme ».
Il signale que « la connaissance [de ceux-ci] semble en progrès », mais qu'il
« n'en est pas de même concernant leur application », et que « la vérification
dans des cas particuliers des conditions permettant leur utilisation est souvent
traitée avec désinvolture, et parfois donne lieu à des expressions délirantes ».
Ainsi peut-on conseiller aux candidats de faire preuve de plus d'esprit 
critique, « le manque de fondements solides à leurs connaissances [les exposant]
souvent à commettre de graves bévues ». Le rapport du jury insiste également
sur la nécessité de la rigueur dans la rédaction, et rappelle en conclusion 
qu'il
est indispensable de systématiquement démontrer tout ce que l'on affirme !

PARTIE I
I.1.1 D'après le cours, la fonction x 7 exp(x) est développable en série 
entière avec
un rayon de convergence infini, et on a pour tout x  R,
 xn
P
exp(x) =
n=0 n !

En composant cette égalité avec les fonctions polynomiales x 7 -zx et x 7 -x2 
/2,
on obtient les développements en série entière sur R suivants :
 2
 (-z)n
 (-1)n
P
P
x
n
exp(-zx) =
x
et
exp -
=
x2n
n
2
n=0 n !
n=0 2 n !
Rappelons qu'une fonction f : C  C est dite développable en série entière
avec un rayon de convergence R > 0 s'il existe une suite de nombres complexes 
(an )nN telle que pour tout nombre complexe x de module strictement

P
inférieur à R, la série
an xn est convergente, et que sa somme vaut f (x).
n=0

Si la série est convergente sur tout disque de C, alors le rayon de convergence
est dit infini.

P
Pour normaliser le second développement en une série entière
an xn , définissons
n=0

0
si n est impair
(n) = (-1)k

s'il existe k  N tel que n = 2k
2k k !
 2

P
x
puis écrivons
exp -
=
(n)xn
2
n=0

C'est cette écriture qui est adoptée dans la suite du corrigé. Il est néanmoins
possible de faire les calculs en gardant une série entière en x2 , mais alors
il faut être prudent dans la manipulation des indices, comme le montre la
question suivante ­ pour laquelle le rapport de jury précise d'ailleurs que
« [peu nombreux] sont ceux qui ont obtenu une expression cohérente ».
I.1.2 Le produit de deux fonctions développables en série entière, de rayons de
convergence respectifs R et R , est développable en série entière et son rayon 
est
supérieur ou égal au minimum de R et de R . Puisqu'elle est le produit des deux
fonctions dont on a donné le développement à la question précédente, la fonction
x 7 F(x, z) est donc développable en série entière sur R et son développement 
est
donné par le produit de Cauchy
!

P (-z)n n
P
P
P (-z)p
n
x
(n)x
=
(q) xn
n=0
n=0 p+q=n p !
n=0 n !
En posant, pour tout n > 0,

An (z) =

on a donc pour tout x  R

F(x, z) =

P (-z)p
(q)
p+q=n p !

P

An (z)xn

n=0

Soit n  N. Montrons maintenant que An (z) est un polynôme en z, de degré n.
On a l'expression
P (-z)p
An (z) =
(q)
p+q=n p !

Puisque (q) ne dépend pas de z, il est clair que An (z) est un polynôme en z de 
degré
au plus n. De plus, pour tout p  [[ 0 ; n ]], le coefficient devant z p est 
(-1)p (n-p)/p !.
En particulier, le coefficient d'ordre n vaut (-1)n (0)/n !. Puisqu'on a (0) = 
1,
on en conclut que
Pour tout n  N, An (z) est un polynôme en z de degré n.
 2

P
x
=
(n)xn est ici pratique car elle permet d'appliL'écriture exp -
2
n=0
quer directement la formule de Cauchy

  P
P
P
P
an xn
bn xn =
ap bq xn
n=0

n=0

n=0

p+q=n

 (-1)n
P
x2n , il faut être
n
n=0 2 n !
très vigilant dans la manipulation des indices et prendre garde à ne sommer
que sur les puissances paires de x :

P (-z)n n
P (-1)n 2n
F(x, z) =
x
x
n
n=0 n !
n=0 2 n !
!

P
P (-z)p p (-1)q 2q
=
x q x
2 q!
n=0 p+2q=n p !
!

P
P (-1)p+q z p
F(x, z) =
xn
q
n=0 p+2q=n 2 (p !)(q !)

Si l'on souhaite garder pour f (x) le développement