CCP Maths 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Stabilité de polynômes et de matrices
Principaux outils utilisés polynômes, matrices, systèmes différentiels
Mots clefs polynômes, normes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PCM1002

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont interdites

1/7

L'objectif du problème est de définir et d'étudier les notions de polynôme, de 
matrice et
de système différentiel stable.

La partie I traite le cas particulier de la dimension 2 et aborde un 
contre-exemple en dimension
3. La partie Il introduit les outils théoriques qui se spécialisent dans la 
partie III pour montrer
en partie IV le critère de Routh--Hurwitz pour la stabilité des polynômes 
unitaires de degré 3.

La partie V est une application de la partie IV a un systéme différentiel 
d'ordre 3 particulier.

La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties II, III, IV 
et V sont, pour
une grande part, indépendantes les unes des autres.

Le résultat principal de la partie II et celui de la partie IV sont résumés 
clairement en fin de
partie.

Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment
dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Notations :
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou (C.

Notons K[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K,
M...,,(K) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes à 
coefficients dans K,
M,,(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K,

I,, la matrice identité d'ordre n.

Pour P E K[X], on note ZK(P) l'ensemble des racines de P qui sont dans K, 
c'est--à--dire
l'ensemble des éléments À E K qui sont tels que : P(À) = 0.

On dit que P est unitaire si P est non nul et si son coefficient dominant est 
égal à 1.
Pour A E M,,(K), on note Tr(A) la trace de A, 'A la matrice transposée de A, 
det(A) le
déterminant de A et XA le polynôme caractéristique de A, c'est--à--dire XA EUR 
K[X] tel que :

pour tout À E K, x (À) = det(A -- AL,).

A
L'ensemble ZK(XA) est noté SpK(A) et l'ensemble des matrices M EUR MAK) telles 
que :

MM = I,, est noté O,,(K).

Pour oe = (æ1, . . . ,æn) dans K", on définit Aæ comme étant l'élément y = (w, 
. . . ,yn) E K"
y1 OE1

tel que : 3 = A
yn 3777.

Pour tout 2 EUR (C, on note ÊRe(z) la partie réelle de z, |z| le module de z et 
? le complexe
conjugué de 2.

Définitions :
Pour P E K[X], on dit que P est stable si :

pour tout À EUR Z@(P), ÊRe(À) < 0.

Pour A E M,,(K), on dit que A est stable si XA est stable.

2/7

Partie 1 : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS

Soient & et 19 deux réels. On note P(X) = X2 + aX + b et A = a2 -- 419.
On note 21 et 22 deux nombres complexes tels que : P(X) = (X -- 21)(X -- 22).

O 1 O
SoitQ(X)=X3+XZ+X+1etB= --1 0 1

O O --1
1.1. Montrer que a = --(21 + 22) et b = 2122.

1.2. On suppose dans cette question que A > O.
1.2.a. Vérifier que si P est stable, alors a > 0 et 19 > O.
1.2.b. Montrer réciproquement que si a > 0 et 19 > 0, alors P est stable.

1.3. On suppose dans cette question que A = 0.

Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0.

1.4. On suppose dans cette question que A < 0.
1.4.a. Justifier que 22 = %.
1.4.b. Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0.

1.5. On suppose dans cette question que n = 2 et que A E M2(R).
1.5.a. Exprimer XA en fonction de Tr(A) et det(A).
1.5.b. Etablir que A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (--1)"det(A) > 
0.

1.6. On suppose dans cette question que n = 3.
1.6.a. Trouver les racines complexes de Q.
1.6.b. Vérifier que Tr(B) < 0 et que (--1)"det(B) > O.

1.6.c. Montrer que ni Q ni B ne sont stables.

Partie 11 : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII

Soit n un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note H - H une 
certaine norme sur
le K--espace vectoriel K". On définit l'ensemble : B = {oe E K" tel que HoeH = 
1}.

Pour A E M.,,(K), on définit : H|AH\ = sup (HAOEH) (l'existence de cette borne 
supérieure sera
oeEB

établie dans la question 11.1.c.).

On admet que l'application A l--> H|AH| définit ainsi une norme Hl - ... sur 
l'espace vectoriel
MAK) qui s'appelle la norme subordonnée a H - H : en effet, elle dépend du 
choix de la norme
H ' H-
11.1.

11.1.a. Rappeler la définition d'une norme sur K".

11.1.b. Vérifier que l'application oe l--> HAæH est continue sur K".

11.1.c. Montrer l'existence de % E 13 tel que : Væ E B, HAæH S HAOEQH. Cela 
justifie
donc la définition de H|AH| = sup (HAOEH) et on a alors H|AH\ = HAOEQH.
30613

3/7

II.1.d. Montrer que ...]"... = 1.
II.1.e. Etablir que pour tout oe E K" et A E M.,/(K), on a : HAoeH $ ...AH| - 
HoeH.
II.1.f. Montrer que, pour tout A E M.,,(K) et B E M.,,(K), on a :

...ÆH -- HIBHI S HIA -- B... et H|ABHI S HM... - MB...-

II.2. Montrer que, pour tout À EUR (C, on a : ÊRe(À) = lim (

u-->O+

|1+uÀ| --1)

u

II.3. Soit A E M.,,(K). On se propose dans cette question de montrer 
l'existence du réel :

M(A) = lim (

u-->O+

wn+w4--a)_

u

Ce réel est appelé mesure de Lozinskiî de A (il dépend du choix de la norme 
initiale).

In A -- 1
Pour u > 0, on note u(A,u) = ... + u ... .

u

II.3.a. Montrer que pour tout u et ?) éléments de Kî :
#(A» u) -- #(Aa @) = H|u_lfn + A... -- ...U_1In + A... -- (TF1 -- 0--1)-

II.3.b. En déduire que si 0 < u S @, alors : u(A, u) -- u(A, @) S O.
II.3.C. Vérifier que pour tout u > 0, on a : --H|AH| $ u(A,u) EUR ...A....
II.3.d. En déduire l'existence du réel u(A) = lim+ (u(A, u)) .

u-->O

II.4. On suppose dans cette question que K = (C. Soit À EUR SpC(A).

II.4.a. Montrer qu'il existe oe E (C" tel que Aæ = Àæ, HæH = 1 et puis que, 
pour tout
réel u strictement positif, on a : H(In + uA)oeH = |1 + uÀ|.

II.4.b. En déduire que : ÊRe(À) S u(A).

II.4.c. Donner une condition suffisante sur u(A) pour que A soit stable.

Le résultat principal de cette partie II est que :

pour tout À EUR SpC(A), ÊRe(À) EUR u(A)

où

M(A) = lim (

u-->O+

wn+w4--4)_

u

4/7

Partie III : NORMES ET MESURES DE LOZINSKII ASSOCIEES

Dans cette partie, a tout élément oe = (æ1, . . . ,æn) de (C", on associe la 
matrice--colonne
OE1 OE1 OE_1

X = 3 EUR Mn,1(CC). De plus, si X = 3 EUR Mn,1(CC), on note X = ; EUR Mn,1(CC)
OEn OEn @

et ÊXV = (5171, . . . ,Çlîn) EUR M1...(C).

On munit (C" du produit scalaire canonique et de sa norme associée définis par 
les formules :

V(OEay) EUR (cn)  : tÎY : Z Î?Âyi et HoeH2 : \/ <ÇIÎ,ÇC> :

73=1

On remarque que ce produit scalaire et cette norme sur (C" donnent par 
restriction le produit
scalaire canonique et sa norme associée sur R" définis par :

n n
V(oe,y) E R",  = ÉXY = 2 oe,y, et HoeH2 = VO+ u
Dans toute cette partie, on désigne par A un élément de M,,(R).

III.1. Montrer que pour tout oe E R" et pour tout u > 0 :
...%+uÆMË=WX+uOEOEÆ+ÆX+uÆWÆMZ

III.2. Montrer qu'il existe M EUR O,,(R) et des réels 041, . . . ,ozn tels que 
ozl ? - - - 2 o... et
% ...)
%+A=M 2_ m1
(0) o... y1
III.3. On suppose dans toute cette question que oe E R" et HoeH2 = 1. On pose ; 
= ÊMX.

" %
III.3.a. Montrer que 2 y,? = 1.

z"=1 n
III.3.b. Vérifier que H(In + uA)æHâ = 1 + u 2 oz,y,--2 + u2'ÎXË4AX.
z"=1
III.3.C. Montrer l'existence de deux réels v et 5 tels que, pour tout X EUR 
Mn,1(R)
vérifiant tXX = 1, on ait : v S 7ÎXË4AX $ 5.
III.3.d. Montrer que pour y et 5 choisis comme en III.3.c, on a, pour tout u > 
0 :

\/1 + oz1u + vu2 «un. + uA)...2 < \/1 + a... + 5u2.

% A
III.3.e. En déduire que u2(A) = % = max {À E R tel que À EUR SpR ( ; )} .

5/7

III.4. Soit H une matrice de M,,(R) inversible. Pour oe E (C", on pose HæHH = 
HHæH2.

On admet que l'on définit ainsi des normes sur (C" comme sur K" qui donnent sur 
M,,(R)
une même norme subordonnée notée ... - ... H et une même mesure de Lozinskii 
notée MH-

III.4.a. Montrer que, pour tout A E M,,(R), ...A...H = ...HAH_1...2.
III.4.b. En déduire que, pour tout A E M,,(R), on a : uH(A) = u2(HAH_1).

Partie IV : UN CRITERE DE STABILITE EN DEGRE 3

Soient &, b et 0 trois réels.

On considère le polynôme réel P unitaire de degré 3 écrit sous la forme :
P(X) = X3 + aX2 + bX + 0.
On dit que P vérifie la propriété % si :
a>O, b>O, c>O et ab--c>O.

Par le théorème de D'Alembert--Gauss, on note 21, 22 et 23 trois nombres 
complexes tels que :

P(X) = (X _ Zl)(X _ ZZ)(X _ 23).

IV.1. Montrer que: a = --(21 + 22 + 23), b = 2122 + 2223 + 2123, c = --212223 et
ab -- C = --2Î22 -- 2Î23 -- 2321 -- 2â23 -- 2â21 -- 2â22 -- 2212223.

IV.2. Montrer que l'une des racines de P est un nombre réel.

On suppose dans toute la suite de cette partie que 21 est un réel qui sera noté 
oz1 et que 22
et 23 s'écrivent sous la forme 22 = dg + 7552 et 23 = 043 + 7553 avec des réels 
dg, 043, 52 et 53.

IV.3. On suppose dans cette question que fig = O.
IV.3.a. Montrer que 53 = O.
IV.3.b. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %.

IV.4. On suppose dans cette question que 52 = O.
IV.4.a. Justifier que dg = 042 et que 53 = --52.
IV.4.b. Vérifier que : a = --(d1 + 2042), b = 2041on + 04% +fiâ, c = --ozl(ozâ 
+fiâ) et

ab -- c = --2042(04Î + ozâ + 5%) -- 4ozlozâ.
IV.4.C. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %.

IV.5. Montrer que si P vérifie la propriété 7--[, alors ÊRe(zl), ÊRe(22) et 
ÊRe(z;,) sont non nuls.

IV.6. On suppose dans cette question que P vérifie la pr0priété 7--L

O 1 O
ab -- c 0
On pose alors A' = --c' 0 1 avec a' = a, b' = et c' = -- si bien que a' , b' et
0 --b' --a' a a

c' sont trois réels strictement positifs.

\/d'b'0' 0 0
0 a'b' 0
0 0 @

On note H la matrice diagonale inversible suivante : H =

On pose B' = HA'H_1.

6/7

IV.6.a. Montrer que XA' (X) = --P(X).

'ÏB' _|_ B' O O O
IV.6.b. Calculer explicitement B' et vérifier que : ? = 0 0 0
0 0 --a

IV.6.C. En déduire que ,uH(A') = O.
IV.6.d. En conclure que P est stable.

Le résultat principal de cette partie IV est que :

un polynôme a coefficients réels, unitaire de degré 3 est stable si et 
seulement si ce polynôme
vérifie la propriété 7--[.

Partie V : EXEMPLE DE SYSTEME DIFFERENTIEL STABLE

--2 O --1
Soit C' = 2 1 --1
2 2 --1

On considère le système différentiel (8) suivant, d'inconnue t l--> X (t), une 
fonction de classe
C1 de R+ dans M3)...R) :
Vt EUR R+, X'(t) = CX(t).

On dit que ce système différentiel (S) est stable si, quelle que soit la 
solution X de (S), on a :

lim (X(t)) = O.

t-->+oo

V.1. Vérifier que, pour tout À E R, --XC(À) = À3 + 2)\2 + 3À + 4.
V.2. En déduire que C est stable.

V.3. Montrer l'existence d'une matrice U E Mg(CC) inversible et de trois réels 
oz1 < 0, 042 < 0

CY1 O O
et 52 # 0, tels que : C = UDU_1 avec D = 0 042 + fig 0
O O CY2 -- 252

On ne cherchera pas à trouver explicitement U ni les réels ozl, dg et 52.

VA. On note, pour tout t E R+, Y(t) = U_1X(t).
V.4.a. Montrer que X est solution de (8) si et seulement si Y est de classe C1 
sur
R+ et pour tout t E R+, on a : Y'(t) = DY(t).
V.4.b. En déduire l'expression de Y(t) en fonction de t E R+ dans ce cas.
V.4.c. Montrer qu'il existe X1, X2 et X3 dans M371(R) tels que, pour tout t E 
R+ :

X(t) = e°'"'X1 + 6%" cos(figt)Xg + 6%" sin(figt)Xg.

On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices X1, X2 et X3.
V.4.d. Vérifier que le système différentiel (S) est stable.

Fin de l'énoncé

7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) ; il a
été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Gilbert 
Monna
(Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur la notion de stabilité d'un polynôme, d'une matrice et d'un
système différentiel, en prenant le cheminement inverse de celui habituellement 
utilisé
dans ce domaine. La définition est en premier lieu introduite pour les polynômes
et les matrices, pour lesquels elle n'est pas franchement intuitive : un 
polynôme P
(respectivement une matrice A) est stable lorsque toutes ses racines 
(respectivement
celles de A ) sont de partie réelle strictement négative. Le cas des systèmes 
linéaires,
à l'origine en réalité du vocabulaire, est abordé en fin de sujet.
· La partie I traite le cas de la dimension 2 : des conditions nécessaires et 
suffisantes de stabilité d'un polynôme et d'une matrice sont établies dans ce 
cas
particulier. On étudie ensuite un exemple qui montre que les conditions 
précédentes ne sont pas suffisantes en dimension 3.
· La partie II introduit les outils théoriques de norme subordonnée et de mesure
de Lozinskii en dimension finie quelconque. On y établit une relation entre les
valeurs propres complexes d'une matrice et la mesure de Lozinskii de cette
matrice ainsi qu'une condition suffisante pour qu'une matrice soit stable.
· La partie III reprend les outils de la partie II, qui se spécialisent, et les 
notions
de norme et mesure associées à des matrices sont introduites.
· La partie IV s'appuie sur les résultats des parties II et III pour établir le 
critère
de Routh-Hurwitz qui concerne la stabilité des polynômes unitaires de degré 3.
· La partie V est une application de la partie IV. On y introduit pour la 
première
fois la notion de stabilité d'un système différentiel linéaire avant de 
l'étudier sur
un exemple de taille 3. Les systèmes de ce type servent par exemple à l'étude
locale d'équations différentielles non linéaires.
Toutes les questions de ce sujet sont conformes au programme en vigueur depuis
la rentrée 2014. Il constitue un bon entraînement, d'autant que les 
raisonnements
sur les polynômes sont classiques. La manipulation des normes est délicate dans
certaines questions.

Indications
Partie I
I.2.a Utiliser les égalités démontrées à la question I.1 pour déterminer le 
signe de a
et b.
I.2.b Se servir de la question I.1. pour obtenir le signe des réels z1 et z2 .
I.4.b Exploiter le fait que z1 et z2 sont conjugués, démontré à la question 
I.4.a,
ainsi que les égalités de la question I.1.
Partie II
II.1.c Utiliser le résultat de continuité prouvé à la question II.1.b.
II.1.f Appliquer le résultat de la question II.1.c à la matrice AB, et se 
servir de la
réponse à la question II.1.e pour conclure.
II.3.b Utiliser les inégalités démontrées à la question II.1.f et le fait que 
la norme
de l'identité vaille 1, prouvé en II.1.d.
II.3.c Se servir des résultats des questions II.1.f et II.1.d.
II.4.b Choisir x comme à la question II.4.a.
Partie III
t

III.2 Appliquer le théorème spectral à la matrice A +A.
III.3.b Exploiter l'égalité établie à la question III.1.
III.3.d Utiliser le résultat de la question III.3.a pour obtenir une majoration 
de la
quantité k (In + uA) xk22 , puis appliquer le résultat de la question II.1.c à 
la
matrice In + uA.
III.3.e Appliquer le théorème d'encadrement pour obtenir la valeur de µ2 (A).
Partie IV
IV.2 Employer le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que P admet
une racine réelle.
IV.3.b Se servir des égalités établies à la question IV.1 afin de déterminer 
les signes
de a, b, c et ab - c.
IV.4.b Exploiter les résultats de la question IV.1 pour établir les formules 
demandées.
IV.4.c Utiliser les formules démontrées à la question IV.4.b.
IV.6.c Penser au lien entre µH et µ2 établi à la question III.4.b puis 
appliquer le
résultat de la question III.3.e.
IV.6.d Utiliser les résultats des questions II.4.b et IV.6.c en choisissant 
comme norme
initiale la norme k·kH , puis se servir des questions IV.6.a et IV.5 pour 
conclure.
Partie V
V.2 Le résultat principal de la partie IV permet d'obtenir le résultat de cette
question en montrant que le polynôme P vérifie la propriété H.
V.3 Utiliser la stabilité de C établie à la question V.2.
V.4.c Déduire la forme des solutions du système (S) en se basant sur les 
résultats
des questions V.4.a et V.4.b.
V.4.d Se servir du théorème d'encadrement pour calculer les limites des 
composantes
de X(t) lorsque t tend vers +.

I. Stabilité dans des cas particuliers
I.1 On a P(X) = X2 +aX+b d'une part, et, d'autre part, le théorème de d'Alembert
Gauss assure l'existence de z1 et z2 appartenant à C tels que
P(X) = (X - z1 )(X - z2 )

En développant la deuxième expression, on obtient

P(x) = X2 - z1 X - z2 X + z1 z2 = X2 - (z1 + z2 )X + z1 z2

Par unicité des coefficients d'un polynôme, on obtient le système suivant :
(
a = -(z1 + z2 ) (coefficient de degré 1)
b = z1 z2
(coefficient de degré 0)
Ainsi,

a = -(z1 + z2 ) et b = z1 z2
On peut aussi utiliser les relations coefficients-racines en n'oubliant pas de
préciser que P est unitaire. On obtient alors directement le résultat souhaité.

I.2.a On suppose ici que  > 0 et P est stable. Alors z1 et z2 sont les deux 
racines
réelles distinctes de P. Donc Re(z1 ) = z1 et Re(z2 ) = z2 . Comme P est stable,
on obtient z1 < 0 et z2 < 0. D'après la question I.1, on trouve
a>0

et b > 0

I.2.b Dans cette question,  > 0, a > 0 et b > 0 par hypothèse. Comme  > 0,
z1 et z2 sont toujours les deux racines réelles distinctes de P. D'après la 
question I.1,
z1 z2 = b > 0, si bien que z1 et z2 sont de même signe. Comme z1 + z2 = -a < 0,
on en déduit que z1 et z2 sont toutes deux strictement négatives. Ainsi,
P est stable.
I.3 Si  = 0, la seule racine de P est réelle et vaut -a/2. Donc, si a > 0 et b 
> 0,
on en déduit que P est stable.
Réciproquement, si P est stable, alors -a/2 < 0, ce qui donne a > 0. D'autre
part, puisque  = a2 - 4b est nul, on obtient b = a2 /4 > 0. Finalement,
P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0.

I.4.a Maintenant  < 0. Les deux racines de P sont complexes et données par les
formules

-a - i -
-a + i -
et z2 =
z1 =
2
2
qui font d'elles des nombres complexes conjugués, distincts, avec une partie 
imaginaire
non nulle. Il vient
z2 = z1
Une autre preuve consiste à remarquer que si z 2 + az + b est nul, il en est de
même de son conjugué qui n'est autre que z 2 +az +b, a et b étant réels. Ainsi,
pour un polynôme à coefficients réels, le conjugué d'une racine est aussi une
racine. Or, P n'a que deux racines ici : elles sont donc conjuguées.

I.4.b Posons z1 =  + i. D'après la question I.4.a, z2 =  - i. Supposons tout
d'abord a > 0 et b > 0. D'après la question I.1, z1 + z2 = 2 et z1 + z2 = -a < 
0,
donc a = -2.
· Supposons que a > 0 et b > 0. Le fait que a > 0 implique  = Re(z1 ) < 0
et Re(z2 ) < 0, si bien que P est stable.

· Réciproquement, si P est stable, puisque  = Re(z1 ) < 0, on en déduit a > 0.
De plus, 4b > a2 puisque  < 0. Ainsi b > 0.
Finalement,

P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0.

I.5.a Dans cettequestion,
 on se place dans le cas où n = 2 et A  M2 (R). Elle est
a b
donc de la forme
avec a, b, c et d réels. Alors, pour tout   R, on a
c d
A () = det(A - I2 )
= (a - )(d - ) - bc
A () = 2 - (a + d) + ad - bc
Or, on sait que Tr(A) = a + d et det(A) = ad - bc. Ainsi,
A () = 2 - Tr(A) + det(A)
On pouvait également donner directement le résultat en utilisant les trois
coefficients du polynôme caractéristique au programme dans le cas de la
dimension 2.
I.5.b Par définition, A est stable si et seulement si A l'est. D'après les 
questions
précédentes I.2, I.3 et I.4, A est stable si et seulement si -Tr(A) > 0 et 
det(A) > 0.
Comme pour n = 2, (-1)n = 1, on obtient le résultat
A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (-1)n det(A) > 0.
I.6.a On considère maintenant le cas n = 3. On a Q(X) = X3 + X2 + X + 1.
Une racine évidente de Q est -1, et ensuite en factorisant, on obtient
Q(X) = (X + 1)(X2 + 1) = (X + 1)(X - i)(X + i)

Ainsi,

Les racines complexes de Q sont -1, i et -i.

I.6.b Il suffit d'effectuer le calcul, et on obtient
Tr(B) = -1 < 0
On peut développer le déterminant de B par rapport à la première ligne :
0 1
det(B) = -1 0
0 0
Finalement,

0
-1 1
1 =-
= -1 = (-1)3
0 -1
-1

(-1)n det(B) = 1 > 0