CCP Maths 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Racines carrées de matrices
Principaux outils utilisés diagonalisation, polynômes d'endomorphismes et de matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

me.--52-- .v " mm.--fin--

... m@b0...æ<äæææ<ä

o.... BEBE .. a:oË...oËoe Ë5Ëma

oe...=o_z=vup>dcm ":::--.eu ...oe=°uzo_u

, '

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la
concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

****

Notations et objectifs

Soit il un entier supérieur ou égal à 1. On note :

.M...1(Ë.) le Ë.-espace vectoriel des matrices réelles à " lignes et 1 colonne.
JHH(IË.) le Ë.-espace vectoriel des matrices carrées réelles à " lignes et " 
colonnes.
GL... (IR) l'ensemble des matrices inversibles de .MH (IR).

ÊM la matrice transposée d'une matrice M".

L...... la matrice unité de JHfl(IË).

Sfl(Ë.) l'ensemble des matrices symétriques de .MH (IR).

SQ" (È) l'ensemble des matrices symétriques positives de ;MH(Ë.), c'est-à-dire 
l'ensemble des
matrices S' de Sfl(IË.) vérifiant :

VX & M...1(IR), fxsx ;: 0

SQ"" (IR) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .Mfl(Ë.), 
c'est-à-dire l'en-
semble des matrices S de S...... (IR) vérifiant :

VX & M..,...1æ.)\{ü} , fXSX :» 0

Le but du problème est d'introduire et d'étudier la notion de racine carrée 
d'une matrice de
;Hfl(IË.) : si A est une matrice de JHfl(IË.), on dit que R est une racine 
carrée de A si R2 = A.

1/4

La première partie propose de montrer qu'une matrice donnée peut admettre une 
infinité de
racines carrées ou n'en n'avoir aucune. La seconde partie montre l'existence et 
l'unicité d'une
racine carrée symétrique positive de A lorsque A est symétrique positive et 
introduit la notion de
valeur absolue d'une matrice symétrique réelle. Enfin la dernière partie est 
consacrée à l'étude d'un
algorithme de calcul de la racine carrée d'une matrice symétrique définie 
positive.

PARTIE 1

Pour @ réel, soit M} la matrice de .Mg(lË.) donnée par :

1 1--4a --1--|--4u
Mà= --3u --1--|--2a 2--l--a
--3a --2--a 3--l--4a

et f,, l'endomorphisme de Ë.3 dont la matrice dans la base canonique de Ë.3 est 
M}.
1.1 Déterminer suivant les valeurs de a, le rang de la matrice M} -- (1 + 
3a)Ï;,. Quelle valeur
propre de 11513 a-t-on ainsi mise en évidence ? Préciser la dimension du 
sous-espace propre associé.
1
1.2 Montrer que V = 1 est vecteur propre de M"... puis déterminer les valeurs 
propres de
1
M,,.
1.3 a) Montrer que pour tout & réel, M',,_ est trigonalisable.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs de a pour lesquelles M} est diagonalisable.
1.4 Dans cette question, on suppose @ = 1.
a) Déterminer P inversible et D diagonale dans .Mg(lË.) telles que P"1MrlP = B, 
puis
déterminer une racine carrée de ME.
& Ü
Ü &
En déduire que 1511 admet une infinité de racines carrées dans .M 3(1Ë.).
1.5 Dans cette question, on suppose & = Ü et on pose N = M} -- IE,. Calculer NE 
et en déduire
l'existence de a: et {? réels tels que ü:Ïg + HN soit une racine carrée de 
11513 dans .Mg,(lË.).

b) Montrer que la matrice m = admet une infinité de racines carrées dans .M 2 
(IR).

. 1
1.6 Dans cette question, on suppose a = -- -- et on note a = f_Ë_ .
E': &: Ü
a) Déterminer tous les éléments X = y de .M 3,1(1Ë.) tels que i1--'ÎÏ_; y = 1
3
3 3 1

b) Déterminer une base B de Ë.3 telle que la matrice de n dans cette base soit

U=

DDC:

1 Ü
Ü Ü
Ü 1

c) Déterminer les matrices commutant avec U . En déduire que U ne possède pas 
de racine
carrée dans .M;,(IË.).
d) La matrice M'_ % possède-t-elle une racine carrée dans .M 3(1Ë.) ?

2/4

PARTIE II

II.] Soit al., ag, . . . ,a" n réels distincts deux a deux et Ep l'application 
de lË.fl_1[X| dans lË."
définie par :

cp : @ n--}-- (Q(OE1LQ(OE2L--- ,Q(%))

a) Montrer que Ep est une application linéaire injective.
b) En déduire que quels que soient les réels 51,52, . . . ,b... il existe un 
unique polynôme @
de Ë.fl_1[X] vérifiant :
Q(Ü'l) : 515 Q(Ü'Ë) : 525 ' ' ' 5Q(Ü'fl) : 511

11.2 Soit f et 9 deux endomorphismes de lË." diagonalisables et vérifiant f 13 
g = 9 13 f .

a) Démontrer, sans se contenter d'énoncer le résultat du cours, que tout 
sous-espace propre
de f est stable par 9.

b) Soit À1,Àg, ... ,la... les valeurs propres distinctes de f et E:... E:... . 
.. ,EÀF les sous-
espaces propres de f respectivement associés. Pour tout £ & {1,2, . .. , 33}, 
on note 9.- l'endomor-
phisme de EJ". induit par 9. Montrer que pour tout £ & {1 ., 2, . . . , 33]-- 
il existe une base B.- de E}...-
formée de vecteurs propres de 9. En déduire qu'il existe une base B de Ë." 
telle que les matrices de
f et 9 dans cette base soient toutes deux diagonales.

II.3 Soit A et B deux matrices de ;M..(IË.) diagonalisables et vérifiant AB = 
BA. Montrer
qu'il existe P E GLH (&) telle que P"1AP et P"1BP soient toutes deux diagonales.
II.4 Soit 5 E S..,(lË).

a) Montrer que S est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres 
sont positives.

b) Montrer de même que S est définie positive si et seulement si toutes ses 
valeurs propres
sont strictement positives.

II.5 Soit 5 E Sï(lË.). On note À1,Àg,. .. 5)'-.Ï3., ;: EUR {1, 2, . .. ,a}, les 
valeurs propres deux a
deux distinctes de S .
a) Montrer qu'il existe un unique polynôme @ de degré inférieur ou égal à p -- 
1 vérifiant :

Vke{1,2,....p},otàu=\/Ë

b) Montrer que Q(S ) est symétrique positive.
0) Montrer que (Q(S))Ë = 5.
d) On souhaite montrer l'unicité d'une matrice symétrique positive qui soit une 
racine
carrée de 5. Soit donc T & SJ(Ë.) telle que T2 = 5.
Montrer que T commute avec 5 puis avec Q(S ) et conclure.
L'unique matrice symétrique positive racine carrée de S est alors notée «/Ê .
e) Dans cette question, on suppose que S admet seulement deux valeurs propres 
distinctes

211 et JLE. Montrer que:
1
«/Ê= _ S af}. }. L.,
|_Â1--l-- Î2| + 1 2 |

11.6 Soit 5 E S..,(IË).
a) Montrer que 52 E SQ" (È). On note alors |S | = @ et cette matrice est 
appelée valeur
absolue de la matrice S .
b) Montrer que les matrices |S | + S et |S | -- S sont dans S; (IR).

EUR) Soit 51 = (à Î) et 52 = (_à _Î). Calculer |51| et |Së|.

3/4

PARTIE III

Soit & un réel strictement positif. On considère les deux suites réelles (& k) 
kg,; et (Em) ;OEN définies
par leurs premiers termes au = &, bü = 1 et les relations de récurrence :

1 1 1 1
VkENJÜÈ+1=_(ÜÈ+_)gbk+1=--(EÏÈ+--)
2 En; 2 CM;

III.1 Montrer que pour tout È- G N, ak :=-- Ü et En, :=-- Ü.
Ük

III.2 On définit les suites (uk)kefi et (ÜÈ)HEËT en posant pour tout È- G N, uk 
= akbk et U;, = [T)--'
:=
a) Etudier la suite (ÜÈ)ÈEË.

b) Etablir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite (uk) 
kett-
c) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 1, H:; à 1.
d) Etudier la convergence de la suite (fik) kett-
III.3 Déduire des questions précédentes que les suites (Ük)keN et (bk)kefi 
convergent et préciser
leurs limites respectives.
III.4 a) Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible.
b) Montrer que l'inverse d'une matrice symétrique définie positive est 
symétrique et
définie positive.
c) Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est 
symétrique
définie positive.
1115 Soit A une matrice symétrique définie positive d'ordre n. On considère les 
deux suites de
matrices (Ak)kefi]' et (BÈ)È.ÈN définies par leurs premiers termes A... = A, En 
= L, et les relations
de récurrence :

1
Vk EN, Ak+1 = ä(Ak+BJÏI) : Bk+l : (BÈ+AEI)

bailli--'-

Montrer que pour tout È- G N, A;, et B;, sont symétriques définies positives.
III.6 Soit D diagonale et P orthogonale telle que A = PDP--1.
a) Montrer que B est symétrique définie positive.
b) On pose pour tout k & N, D:, = P_1AÈP et $;, = P_IBÈP. Montrer que les 
matrices
D:, et $;, sont des matrices diagonales inversibles vérifiant :

(fil; + D,?)

bailli--'-

1
DÜ=D5 Âü=Ïn,Dk+1=ä(Dk--FÂEI) ,«5k+1=

c) Montrer que les suites (DÈ)ÈÈH et (Ak)kefi]' sont toutes deux convergentes 
dans .M,,(Ë.)
vers une même limite L que l'on précisera.
III.7 a) Montrer que l'application de .M,,(Ë.) dans lui-même qui a 111 associe 
PM'P"1 est
continue.
b) En déduire que les suites (AÈ)ÈEË et (BÈ);OEN sont aussi convergentes dans 
.M,,(IË.) et
préciser leur limite.

Fin de l'énoncé

4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Vincent Puyhaubert (Professeur en
CPGE).

Cette épreuve consiste en un sujet d'algèbre linéaire traitant de la notion de 
racine
carrée d'une matrice de Mn (R). Il est constitué de trois parties pouvant être 
abordées indépendamment, hormis la question II.5.d qui est indispensable pour 
rédiger
proprement la fin du sujet.
· Dans la première partie, on s'intéresse à des matrices appartenant à une 
droite
affine de M3 (R). En particulier, on en diagonalise deux afin d'étudier 
l'existence
de leurs racines carrées.
· La deuxième partie est consacrée aux matrices symétriques positives d'ordre n.
On montre comment, à partir des valeurs propres, construire un polynôme
fournissant la racine carrée positive d'une matrice donnée.
· Enfin, dans la troisième partie, on se restreint aux matrices symétriques 
définies positives d'ordre n et l'on construit par récurrence des suites de 
matrices
convergeant vers les racines carrées positives de matrices données.
Globalement, ce sujet est de longueur raisonnable, de difficulté moyenne, et 
composé de questions bien détaillées. Par ailleurs, certains résultats et 
techniques abordés
au cours du problème sembleront familiers : notamment, la méthode exposée dans 
la
deuxième partie aura fort probablement été rencontrée durant l'année écoulée à 
l'occasion d'un exercice ou d'un devoir. Ainsi, toutes les conditions sont 
réunies pour
qu'un candidat bien préparé puisse traiter ce problème dans son intégralité et 
en
toute sérénité.

Indications
PARTIE I
I.1 Distinguer le cas a = 0.
I.2 Utiliser la trace de Ma pour déterminer les valeurs propres manquantes.
I.3.b Reprendre les résultats des questions précédentes.
I.4.a Utiliser la forme particulière de M1 - 4 I3 pour trouver des vecteurs 
simples
dans son noyau.
I.4.b Faire appel aux réflexions.
I.6.b Partir de U pour trouver les conditions vérifiées par les éléments de la 
base B.
Utiliser le résultat de la question précédente.
I.6.c Noter qu'une matrice commute avec chacune de ses racines carrées.
PARTIE II
II.1.a Penser aux morphismes de substitution.
II.2.b Caractériser la diagonalisabilité au moyen d'un polynôme annulateur.
II.4 Se placer dans une base de vecteurs propres de S.
II.5.d Faire usage de la question II.3.
II.5.e Déterminer Q puis calculer Q(S).
II.6.b Se placer dans une base de vecteurs propres de S.
II.6.c Employer le résultat de la question II.5.e.
PARTIE III
III.2.d Étudier d'abord la monotonie de la suite (uk )kN .
III.3 Exprimer ak et bk en fonction de uk .
III.4.a Montrer que son noyau est réduit au vecteur nul.
III.5 Reproduire la récurrence faite lors de la question III.1, en utilisant 
les résultats
de la question III.4.
III.6.b Utiliser les résultats des questions III.5 et III.6.a.
III.6.c Attention, l'énoncé contient une erreur : ces deux suites convergent 
mais vers
des limites différentes. Pour les déterminer, appliquer les résultats de la 
question III.2 aux suites des termes diagonaux des matrices Dk et k .

PARTIE I
I.1 On a, pour tout réel a,

-3a 1 - 4a
Ma - (1 + 3a) I3 = -3a -2 - a
-3a -2 - a

-1 + 4a
2+a 
2+a

Comme les deux dernières colonnes de cette matrice sont opposées, son rang est 
égal
à celui de ses deux premiers vecteurs colonnes. Déterminons-le :
· si a = 0, le premier vecteur colonne est nul, contrairement au second, si bien
que la matrice obtenue est de rang un.
· si a 6= 0, les deux premiers vecteurs colonnes sont colinéaires si, et 
seulement
s'ils sont tous deux proportionnels au vecteur (1, 1, 1), ce qui revient à 
écrire
que 1 - 4a = -2 - a soit 3 = 3a d'où a = 1. La matrice considérée est donc de
rang un dans ce cas précis et de rang deux dans les autres. Ainsi,
La matrice Ma - (1 + 3a) I3 est de rang un lorsque a  {0, 1}, sinon de rang 
deux.
Dans tous les cas, le noyau de fa - (1 + 3a) Id n'est pas réduit à l'espace 
nul. La
matrice Ma admet donc 1 + 3a pour valeur propre. De plus, le théorème du rang et
le résultat précédent montrent que
dim Ker (fa - (1 + 3a) Id ) = 3 - rg (fa - (1 + 3a) Id )
Ainsi,

La matrice Ma admet 1 + 3a pour valeur propre et le sous-espace
propre associé est de dimension deux si a  {0, 1} et un sinon.
Comme le signale le rapport du jury, il n'est pas nécessaire d'expliciter le
sous-espace propre pour déterminer sa dimension.

I.2 Un calcul immédiat montre que Ma V = V pour tout réel a. De plus, V est
non nul. Par conséquent,
V est un vecteur propre de Ma associé à la valeur propre 1.
· Si a = 0, on sait d'après la question précédente que l'espace propre associé
à 1 + 3a = 1 est de dimension deux, donc 1 est une valeur propre de M0 de
multiplicité au moins égale à deux. Comme le polynôme caractéristique de cette
matrice est de degré trois et admet 1 pour racine double, il est scindé. En 
outre,
la somme de ses trois racines est égale à la trace de M0 soit 3, si bien que la
troisième racine est encore 1. En conclusion
Lorsque a = 0, la matrice M0 admet 1 comme valeur propre de multiplicité trois.
· Si a 6= 0, la matrice Ma admet pour valeurs propres distinctes 1 et 1 + 3a
(cf. question I.1). Son polynôme caractéristique est donc, comme précédemment, 
scindé et la somme de ses trois racines vaut
Tr Ma = 3 + 6a = 1 + (1 + 3a) + (1 + 3a)
si bien que la troisième racine est 1 + 3a. De ce fait,
Lorsque a 6= 0, la matrice Ma admet 1 comme valeur propre de
multiplicité un et 1 + 3a comme valeur propre de multiplicité deux.

I.3.a On a vu à la question précédente que le polynôme caractéristique de Ma est
scindé pour toute valeur du réel a, ce qui permet d'affirmer que la matrice Ma 
est
trigonalisable sur R.
I.3.b Reprenons les résultats de la question I.2 :
· si a = 0, la matrice Ma admet 1 pour unique valeur propre mais M0 6= I3 , ce 
qui
prouve que M0 n'est pas diagonalisable.
· si a 6= 0, la matrice Ma admet 1 comme valeur propre de multiplicité un et 
1+3a
comme valeur propre de multiplicité deux ; elle est donc diagonalisable lorsque
l'espace propre associé à 1 + 3a est de dimension deux, c'est-à-dire d'après la
question I.1 lorsque a = 1.
Ainsi

La matrice Ma est diagonalisable lorsque a = 1 uniquement.
Dans cette question et la question I.2, il fallait bien penser à examiner le
cas où les valeurs propres 1 et 1 + 3a sont confondues, comme le signale le
rapport du jury.

1 -3 3
I.4.a Dans cette question, a = 1 et M1 = -3 1 3 .
-3 -3 7
On sait depuis la question I.3 que M1 est diagonalisable et que ses valeurs 
propres
sont 1 (de multiplicité un) et 4 (de multiplicité deux).
· Comme V  Ker (M1 - I3 ) d'après la question I.2, c'est une base de ce 
sousespace propre.

-3 -3 3
1
0
· Ensuite M1 - 4 I3 = -3 -3 3 ; les vecteurs W = 0 et Z = 1
-3 -3 3
1
1
appartiennent clairement à son noyau et ne sont pas colinéaires : ils forment
ainsi une base du sous-espace propre de dimension deux Ker (M1 - 4 I3 ).
Il en découle que (V, W, Z) est une base de vecteurs propres de M1 , dans 
laquelle
l'endomorphisme f1 a pour matrice D = Diag(1, 4, 4). En notant P la matrice
(évidemment inversible) de passage de la base canonique dans cette base de 
vecteurs
propres, on a alors P-1 M1 P = D. En conséquence,

1 1 0
La matrice inversible P = 1 0 1 et la matrice
1 1 1
diagonale D = Diag(1, 4, 4) vérifient P-1 M1 P = D.
Autrement dit, M1 = P D P-1 . Comme D = Diag(1, 2, 2) vérifie D2 = D, on a
(P D P-1 )2 = P D2 P-1 = P D P-1 = M1
Ceci signifie que P D P-1 est une racine carrée de M1 . Les calculs nous 
conduisent à

1 1 0
1 0 0
1
1 -1
P D P-1 = 1 0 1 0 2 0  0 -1 1 
1 1 1
0 0 2
-1 0
1