CCP Maths 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Étude d'un ensemble de matrices à coefficients dans {-1, 1}
Principaux outils utilisés espaces euclidiens, déterminants, matrices orthogonales, matrices symétriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2004

' PCM1005

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la conci-
sion de la rédaction. '

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'nonce', il la signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.

****

Notations

Soit N l'ensemble des entiers naturels, N* = N\ {O} et Nn : {1,2, . . . , n} Si 
n et p sont des en-
tiers supérieurs ou égaux à 1, on note Mn,p(R) le R-espace vectoriel des 
matrices à coefficients dans
R ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M...n(R) est noté plus 
simplement Mn(R) et EURSt
muni de sa structure d'algèbre, In représentant la matrice identité. GLn(R) 
désigne l'ensemble des
matrices inversibles de M n(R), Sn(R) l'ensemble des matrices symétriques de 
MAR) et On(R)

l'ensemble des matrices orthogonales de MAR).

Pour A : (OEij)1ÊiSn appartenant à Mñ,p(R), 'A désigne la matrice transposée de 
A : c'est un
1_J'Sp

élément de Mp...(R), Ker (A) est le noyau de A défini par : Ker (A) = {X EUR 
Mp,1(R) | AX : O}
et Im (A) estl'image de A définie par: lm(A) : {Y EUR Mn,1(R) | ElX EUR Mp,l(R) 
, Y : AX}
R" est muni de son produit scalaire canonique noté < - , -- > et de la norme 
associée notée || - H
et on identifiera selon l'usage M... (IR) à IR".
Une matrice S de 8n(R) est dite positive si :

VX EUR M...(R), 'XSX _>_ 0

et définie positive si : '
VXE M...(R) \. {o.} , tXSX > 0

On note S,? (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives d'ordre n 
et S;Ï+(R)
l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives d'ordre n.

PARTIE I
1.1 Soit M la matrice de M4(R) donnée par :

1
0
M_1
0

[\DOl\DM

1 1
0 0
1 1
0 0

3) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Ker (M) et Ker('M 
) Existe-
t--il une relation d'inclusion entre les noyaux Ker (M) et Ker ('M ) ?

b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Im (M) et Im('M ) 
Existe-t-il
une relation d'inclusion entre les images Im (M) et Im ('M ) ?

1.2 Soit A E M..,,.(R).

a) Montrer que Ker ('AA) = Ker (A) et Ker (A'/l) = Ker (tA).
b) Montrer que rg ('AA) = rg (A'/l) = rg (A).
c) Montrer que Im ('A/l) = Im ('A) et Im (A'A) = Im (A).

1.3 Soit q un entier naturel non nul et 8 : (cm, 332, . . . ,:cq) un système de 
q vecteurs de R'".
On note F le sous-espace vectoriel engendré par 8 , r = dim F et G = (g,-,) la 
matrice de Mq(R)
définie par g.,- =< a:,-- ,a:,-- > pour tout (i, j ) EUR Nä. Le déterminant de 
G est appelé déterminant de
Gram du système 8 et sera noté 7(æ1,æ2,. . . ,a: a:q.) Soit (61, 62,. . . 
e,...) une base orthonormale de

F, on note pour tout j de N.,, :cj =Z b,, e,-- et B la matrice de M. q(R ) de 
terme général bij.

3) Montrer que G: tB B et en déduire rg (G)--_ -- rg ($ )
b) Montrer que G est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes 
positives.
c)' En déduire que 7(oe1,oe2, . . . , oeq) Z 0 et que 7(a:1, @, . .. ,oeq) = 0 
si et seulement si la
famille (m1, @, . .. ,xq) est liée.
(1) Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et 
suffisante
d'égalité est un cas particulier de ce résultat.
I.4 Montrer que 7(oe1,oe2, . . . , :vq) reste invariant si l'on ajoute à l'un 
des vecteurs cc,-- une combi--
naison linéaire des autres.
15 Dans cette question q est supérieur ou égal à 2.
a) On note L le sous-espace vectoriel engendré par (332, 333, . . . ,:c,,) et 
pL(oe1) la projection
orthogonale de m1 sur L, puis on pose h1 = :z:1 ---- pL(oe1). Montrer que :

7(OE1,OE2,.... 7æq) : thll27(æ2aoe3au ' 7OEq)

b) En déduire successivement :

i) 7(a:1, @, . .. ,æq) S 7(æ1)7(x2, 503, . .. ,xq) avec égalité si et seulement 
si æ1 est ortho--
gonal à L.

ii) 7(æ1,oe2, . .. ,æq) 5 "7(OE1)')'(OE2) - - - 7(æq) avec égalité si et 
seulement si les vecteurs
oe1,oe2, . . . , % sont deux à deux orthogonaux.

1.6 Soit A : (a,--j) EUR GLn(R) et cl, c2, . . .cn ses vecteurs colonnes.
3) Montrer que :

n
. Idet Al 5 H llckll
k=l
avec égalité si et seulement si les vecteurs cl, . . . , cn sont deux à deux 
orthogonaux.

b) On suppose de plus : V(i,j) EUR Nâ , |%'| 5 1. Montrer que:
[det A| _<_ n'a"

avec égalité si et seulement si A est une matrice à coefficients dans {--1, +1} 
et dont les vecteurs
colonnes sont deux à deux orthogonaux.

PARTIE II

On note :

. "H,. l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans {---1, +1} 
dont les vecteurs
colonnes sont deux à deux orthogonaux.

. Dn l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n à coefficients diagonaux dans 
{--1, +1}.
. E l'ensemble des entiers naturels n pour lesquels "H,. est non vide.

II.] Déterminer explicitement toutes les matrices éléments de "Hg.
11.2 3) Montrer que toute matrice A de "H.. vérifie 1'AA : nl n.
b) Réciproquement toute matrice carrée A vérifiant 'AA = nIn est--elle dans 
"H,. ?
c) Montrer que si A est à coefficients dans {--1, +1} et vérifie 'AA : nl... 
alors A est dans
%...
II.3 On appelle permutation a de Nn toute bijection de Nn sur lui--même et 
matrice de permuta-
tion P(") associée àla permutation a, la matrice d'éléments Pig") donnés par :

V(z'.j) e Nî. , Pi" = a.....

1 si k=l

où ôkl désigne le symbole de Kronecker: &... = {0 si k # l

Soit 0 une permutation de N,, et A EUR M,,(R).

a) Donner le terme général de la matrice tP(°)A. Comment obtient--on cette 
matrice tP(")A
à partir de A ?

b) Donner le terme général de la matrice AB.... Comment obtient--on cette 
matrice AP...
à partir de A ?

c) Montrer que si A appartient à %... il en est de même de 'A, des matrices 
'P(")A et AP...
" pour toute permutation a ainsi que des matrices AA et AA pour toute matrice A 
de D...
11.4 Si A : (OEij) EUR MAR) et B EUR M,,(R), on définit le produit direct de A 
et B par:

a11B CL12B

A® B : (CZng (lng

) EUR M2n(R)

a) Montrer que si A EUR H2 et B EUR 'H... alors A ® B EUR 11%.
b) En déduire que E contient toutes les puissances de 2.
c) Montrer que l'ensemble {A ® B | (A, B) EUR Hg >< 7--12} est strictement 
inclus dans 7--[4.

II.5 Soit n EUR E, n > 2.
a) Montrer qu'il existe un élément de H,, dont tous les coefficients de la 
première colonne

valent 1. Déduire alors de l'orthogonalité des vecteurs colonnes 1 et 2 d'une 
telle matrice que n est

pair. On pose n : 2m.
b) Montrer qu'il existe un élément de H,, dont tous les coefficients de la 
première colonne

valent 1 et dont la deuxième colonne est constituée de m coefficients égaux à 1 
suivis de m coeffi--
cients égaux à --1. Déduire alors de l'orthogonalité du troisième vecteur 
colonne avec les vecteurs

colonnes 1 et 2 que n est un multiple de 4.

PARTIE III

III.1 Soit S EUR S,,(R). Montrer que S EUR S,Ï+(R) si et seulement si toutes 
ses valeurs propres

sont strictement positives.
III.Z Soit M EUR GLn(R). On souhaite montrer l'existence de R orthogonale et S 
symétrique

définie positive telle que M : RS.
3) Montrer que la matrice tM M est symétrique définie positive.

b) En déduire qu'il existe S EUR SË+(R) tel que 'M M = S 2 .
c) Montrer que S est inversible et que M S "'1 est orthogonale.
d) Conclure. Dans toute la suite du problème on admettra l'unicité d'une telle 
factorisation.

III.3 Soit 2 EUR 8; (R), À1,À2, . . . ,)... ses valeurs propres non 
nécessairement distinctes, D la
matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont À1,À2, . . . , )... et Q EUR 
O,,(R).

a) Montrer que Tr(E) : Z A,.
'i=1

b) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale QI telle que Tr(QE) : Tr(Q1 D) 
et en

déduire :
Tr(QE) s M)

c) Montrer que sup [Tr(QE)] : Tr(Z).
Q60n(R)

III.4 Soit n EUR E. Pour toute matrice A : (dû) de %... on pose :

f(A)= z aij=Z(Zaij)

1565an ' j='

3) Montrer que l'application f ainsi définie de "H.. dans R admet une borne 
supérieure que
l'on notera a...

b) Soit T : (t,--j) la matrice triangulaire inférieure d'ordre n définie par 
tij : 1 si z' 2 j et
tij : 0 si i < j. Montrer que f(A) : Tr(AT).

c) D'après la question III.2, on sait que T = R5 avec R orth_ogonale et S 
symétrique définie
positive. Montrer alors que f (A) 5 \/7Î Tr(S ), puis que an 5 \/H Tr(S )

(1) Lorsque n = 2, évaluer 012 et x/Î Tr(S )

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 1 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Emmanuel Delsinne (ENS Cachan) et Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à
l'Université).

Ce problème porte sur les espaces euclidiens ; il étudie quelques propriétés de
l'ensemble Hn des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans {-1, +1} dont 
les
vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.
· L'outil principal de cette étude est la matrice de Gram d'une famille de 
vecteurs,
dont le terme général est le produit scalaire (xi | xj ) d'éléments de la 
famille.
Les résultats essentiels sur ce sujet sont établis dans les questions I.3 à I.5,
ce qui permet de conclure la première partie par une majoration du déterminant
des matrices de Hn .
· Dans la partie II, ce résultat est utilisé pour préciser les valeurs 
possibles de n.
· Enfin, dans la partie III, on étudie une fonction sur Hn . Hormis pour sa 
toute
dernière question, la partie III est indépendante du reste de l'énoncé.

Ce sujet présente de manière progressive un thème d'étude classique, par des 
questions classiques ; il établit en outre les principaux résultats sur les 
matrices de Gram.
Il constitue par conséquent un excellent sujet de révision sur les espaces 
euclidiens.

Indications
Partie I
I.3.a Utiliser la question I.2.b.
I.3.c Montrer, en le justifiant, que le déterminant de G est le produit de ses 
valeurs
propres.
I.4 Écrire proprement la matrice obtenue en ajoutant à un des vecteurs une
combinaison linéaire des autres.
I.5.a Se souvenir que h1 est orthogonal à x2 , x3 , . . ., xq .
I.5.b.ii Raisonner par récurrence.
I.6.a Utiliser (en le justifiant) le fait que t A A est la matrice de Gram du 
système
de vecteurs (c1 , c2 , . . . , cn ).

I.6.b Montrer que, pour i  Nn , kci k = n.
Partie II
t

II.2.a Interpréter A A grâce à la question I.6.a.
II.3.c Utiliser abondamment le résultat de la question I.6.b.
II.4.a Se ramener à un calcul de déterminant par blocs.
II.5.a Obtenir cette matrice en multipliant une matrice de Hn par une matrice
de Dn convenablement choisie. Montrer ensuite que la deuxième colonne
contient autant de +1 que de -1.

II.5.b Utiliser la question précédente et permuter les lignes à l'aide de la 
question
II.3.a.
Partie III
III.1 Se souvenir que toute matrice symétrique se diagonalise dans une base
orthonormée.
III.3.b Utiliser (en le justifiant) le fait que les coefficients de Q1 sont 
dans [ -1 ; 1 ].
1
III.4.c Montrer que  A est une matrice orthogonale.
n
III.4.d Utiliser les résultats de la question III.2.b et l'unicité de la 
factorisation
introduite à la question III.2.

Partie I
I.1.a Soit X  M4,1 (R). En notant t X = (x, y, z, t),

x + y + z - 2t =

2t =
X  Ker (M)  M X = 0 
x
+
y
+
z=

2t =

0

0
x+y+z = 0

0
2t = 0
0

ce qui permet de trouver t X = (x, y, -x - y, 0) et de conclure que

t
t
(1, 0, -1, 0), (0, 1, -1, 0) est une base de Ker M.

De la même façon, en omettant les équations répétées plusieurs fois,

x+z = 0
X  Ker ( t M)  t M X = 0 
-2x + 2y + 2t = 0
t

ce qui donne X = (x, y, -x, x - y) et donc

t
t
t
(1, 1, -1, 1), (0, 1, 0, -1) est une base de Ker ( M).

t

Cherchons les vecteurs X qui sont à la fois dans Ker (M) et dans Ker ( M).
De tels vecteurs doivent vérifier en même temps les deux systèmes, c'est-à-dire 
que

x+y+z = 0

2t = 0
X  Ker (M) 
 x = y = z = t = 0
x
+
z=0

-2x + 2y + 2t = 0
t

Le seul vecteur commun à Ker (M) et à Ker ( M) est (0, 0, 0, 0).

Il n'y a pas de relation d'inclusion entre Ker (M) et Ker ( t M).
I.1.b La base de Im (M) se détermine en lisant tout simplement les colonnes de 
M.
On omet les vecteurs répétés plusieurs fois et ceux qui sont visiblement une com
binaison linéaire des autres. On trouve ainsi Im M = Vect (1, 0, 1, 0), (-2, 2, 
0, 2) .
A priori cela ne fournit qu'une famille génératrice de Im M, mais comme cette 
famille
ne contient que deux vecteurs non colinéaires, elle est libre, et donc

t
t
(1, 0, 1, 0), (-2, 2, 0, 2) est une base de Im M.

Pour t M on procède de même, mais cette fois ci avec les lignes de M. On trouve 
que

t
t
t
(1, 1, 1, -2), (0, 0, 0, 2) est une base de Im M.
t

Soit X un vecteur qui est à la fois dans Im M et dans Im M. Comme X  Im M,
t
X = (a - 2b, 2b, a, 2b), avec (a, b)  R2 . De même, X = (c, c, c, -2c + 2d) avec
(c, d)  R2 . Or,

 c = a - 2b
a = 2b = c
(a - 2b 2b a 2b) = (c c c - 2c + 2d) 

2b = -2c + 2d
t

L'unique solution de ce système est a = b = c = d = 0.

t

Il n'y a pas de relation d'inclusion entre Im (M) et Im ( M).

I.2.a Si X  Ker (A),
AX = 0

t

=

A AX = 0

=

t

Ainsi Ker A  Ker ( A A).
t
Réciproquement, si X  Ker ( A A),
t

t

X  Ker ( A A)

t

A AX = 0 = X A AX = 0 = kAXk2 = 0 = AX = 0 = X  Ker (A)

On vient de prouver que Ker ( t A A)  Ker A. En conclusion,
t

Ker (A) = Ker ( A A)
t

En appliquant ce résultat à A, on a immédiatement
Ker ( t A) = Ker (A t A)
I.2.b D'après le théorème du rang et la question précédente,
t

t

rg ( A A) = n - dim Ker ( A A) = n - dim Ker (A) = rg (A)

et de même rg (A t A) = rg (A), donc
t

t

rg ( A A) = rg (A A) = rg (A)
t

I.2.c Comme on vient de montrer que Im (A) et Im (A A) ont la même dimension,
il suffit de montrer qu'un de ces deux ensembles est inclus dans l'autre.
t
t
Or, si Y  Im (A A), alors il existe un vecteur X tel que Y = A A X. Mais alors Y
t
est l'image de A X par A et donc Y  Im (A).
t
Ainsi Im (A A)  Im (A) et par suite
t

Im (A A) = Im (A)
En appliquant ce résultat à t A, on trouve
t

t

Im ( A A) = Im ( A)
t

I.3.a Notons cij les coefficients de B B (avec (i, j)  Nq 2 ). On peut calculer 
cij
à l'aide de la formule donnant le produit de deux matrices :
r
P
bki bkj
cij =
k=1

Or précisément

gij = hxi , xj i
 r

r
P
P
=
bki ek ,
bkj ek
=
gij =

k=1

k=1

r P
r
P

bki bj hek , e i

k=1=1
r
P

bki bkj

k=1

Cette dernière égalité est obtenue en utilisant le fait que hek , e i = 1 si k 
= 
et hek , e i = 0 sinon. Ainsi,
t

G = BB