X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2013

Thème de l'épreuve Un transducteur électrodynamique: le haut-parleur
Principaux outils utilisés induction, électricité, optique ondulatoire, mécanismes, asservissements
Mots clefs haut-parleur, trancanneuse, passe-haut

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Un transducteur électrodynamique : le haut--parleur

Depuis son invention en 1925, le haut--parleur, qui est un transducteur 
électrodynamique, a subi peu
de modifications fondamentales. Dans les années 70, des constructeurs ont 
cherché a améliorer son
fonctionnement en y introduisant des asservissements destinés a corriger les 
défauts de restitution du
son. Si les résultats techniques furent probants, la commercialisation en fut 
abandonnée, notamment
pour des problèmes de coût. Aujourd'hui, la miniaturisation des capteurs pour 
appareils portables et
l'exigence de qualité dans la reproduction du son suscitent un regain d'intérêt 
pour ces techniques.

Ce problème s'intéresse a des modélisations du haut--parleur, de sa fabrication 
et des asservissements.

Description et premières notations

FIGURE 1 -- Vue en coupe et schéma de haut--parleur. 1 Membrane. 2 Suspension 
de centrage.
3 Bobine. 4 Saladier. 5 Aimant. 6 Suspension. 7 Cache-Poussière. Source : http 
://autoson.fr/hp.php.

Le haut-parleur électrodynamique (Figures 1 et 2) est principalement constitué 
d'un aimant
permanent et d'une bobine mobile enroulée sur un cylindre en matériau isolant 
et assujettie a se
déplacer dans la direction axiale, notée z. L'aimant, dont les pôles sont deux 
cylindres concentriques,
génère une induction magnétique radiale Ë : Bu} (il} est le vecteur radial 
unitaire) de module
uniforme au niveau du périmètre des spires de la bobine. Cette bobine est 
modélisée par un ensemble
de spires circulaires identiques fermées de rayon a, parcourues par le même 
courant. On note EUR la
longueur du fil soumis a Ë , REUR sa résistance et LEUR son inductance propre. 
Cette bobine est solidaire

Bobine mobile

' !
1
mobile

" Membrane

4--

Aimant permanent î

Suspensions élastiques

FIGURE 2 -- À gauche : schéma de principe du haut-parleur électrodynamiqae. Le 
champ Ë est dirigé
N --> S; a droite : modèle du HP dans le plan rz.

d'une membrane, modélisée par un solide plan rigide et soumise a des forces de 
rappel par le biais de
suspensions élastiques modélisées par des ressorts de raideurs respectives KT 
(radiale) et Ka (axiale).

Lorsqu'elle est animée de la vitesse 17, la membrane subit une force de 
frottement F} : --h17 qui
s'oppose au mouvement axial (h > 0). Cette force est réputée modéliser 
globalement les frottements
mécaniques, la déformation des parties élastiques et le couplage de la membrane 
avec le milieu. Les
deux extrémités du fil de la bobine sont branchées aux bornes de sortie d'un 
amplificateur dont la
résistance de sortie est nulle et qui délivre la tension eg(t). On note i(t) le 
courant circulant dans le
bobinage. La bobine est ainsi soumise aux forces de Laplace, le couplage 
électrodynamique résulte
de la fem induite e(t), associée au mouvement de la bobine dans Ë . Nous 
adoptons la convention de
signe de la Figure 3, e(t) étant en convention générateur.

FIGURE 3 -- Conventions d'orientation des grandeurs algébriqaes.

On nomme équipage mobile l'ensemble constitué du fil, du cylindre isolant, de 
la membrane et
des suspensions qui se déplacent sous l'action des diverses forces; la masse de 
l'équipage est notée
M E. Le modèle mécanique adopté pour ce dernier est représenté dans la partie 
droite de la Figure 2.

En régime sinusoïdal, on note & l'amplitude complexe associée a a:(t) : a:(t) : 
%[Â exp(jwt)],
ainsi EQ pour la tension d'alimentation, £ pour l'intensité du courant et K 
pour la vitesse, mesurée
selon Oz.

1 Fonctionnement de base

1 . 1 Equation électrique

1. La vitesse @ étant mesurée selon Oz, établir, en précisant le contour 
d'intégration, l'expression
de la fem induite

e =% (BmÏ9) . (aûb) d9 : BÆo. (1)
Contour

1.3

10.
11.
12.

13.

1.4

Établir l'équation différentielle, dite électrique et notée [E], reliant eg(t) 
a i(t) et a v(t) en
fonction de Re, LEUR et de la grandeur oz : BÆ, caractéristique du dispositif.

. Déduire de l'équation [E] de la question 2 que, lorsque la tension 
d'alimentation est sinusoïdale

d'amplitude complexe E9 et de pulsation ou, on a EQ : âEUR£ -- ozK, en 
précisant l'expression de
ze (l'indice @ affectant l'impédance âEUR signifie ici électrique).

Equation mécanique

Donner, en fonction de i et de oz, l'expression de la force de Laplace F L qui 
s'exerce sur la
bobine et préciser l'orientation de cette force.

Identifier par leur numéro, dans la partie droite de la Figure 1, les 
suspensions élastiques
modélisées par des ressorts de raideurs respectives K,. et Ka.

L'équipage mobile est soumis a la pesanteur (g = 9, 8 m.s_2). Calculer le 
défaut d'alignement
maximal, noté 56, de la bobine dans l'entrefer, pour ME : 7 g et K,. = 2.106 
N.m_1. À titre
documentaire, l'amplitude des déplacements axiaux de la bobine est, pour le 
haut-parleur et
le régime de fonctionnement qui nous intéressent ici, supérieure a 10_4 m.

On considère ici le mouvement axial de la membrane.
(a) A partir de la relation, que l'on vérifiera,

FL=ÎLU+MEÆ+KOE vdt (2)
établir l'équation différentielle, dite mécanique et notée [M], du problème.
(b) Exprimer l'équation (2) en régime permanent sinusoïdal sous la forme EL : 
â...K en
précisant l'expression de £... (l'indice m signifie ici mécanique).

. Exprimer l'amplitude complexe, EL, de la force de Laplace en fonction de 
l'amplitude complexe

. . V . . . Oz
£ du courant dans la bobine; exprimer le rapport ? ; vérifier la dimension du 
rapport Z--.
_ --'ÏÏL
Pour quelle raison peut--on se limiter a l'étude du dispositif en régime 
sinusoïdal forcé ?

Aspects énergétiques

Déduire de l'équation [E] de la question 2 un bilan énergétique électrique.
Déduire de la relation (2) de la question 7 (a) un bilan énergétique mécanique.

Que peut--on dire du couplage électromécanique, c'est--à--dire du transfert 
énergétique entre la
puissance électrique de la fem induite associée au mouvement de l'équipage et 
la puissance
mécanique des forces de Laplace ? Détailler alors la manière dont la puissance 
délivrée par le
générateur se répartit entre formes mécaniques, magnétique et dissipatives.

Etablir que, en régime périodique (pas nécessairement harmonique), les valeurs 
moyennes dans
le temps, calculées sur une période et notées (.), sont liées par la relation

(egi) : (Rei2) + (hv2) .

Phénoménologie de la suspension pneumatique en enceinte close

Le haut-parleur est fixé sur une enceinte close, le caisson, de volume au repos 
Qg. La pression de

l'air extérieur est notée PO. Lorsque la membrane, assimilée a une surface 
plane d'aire 2 se déplace

de la petite quantité 75, la variation de pression a l'intérieur du caisson est 
notée p. L'évolution de
l'air confiné dans le caisson est isentropique.

14.

15.

Établir l'expression de la force pressante qui s'exerce sur la membrane sous la 
forme Fp : --kz
en exprimant le en fonction PO, E, Qg et de l'indice isentropique v.

Vérifier la dimension de le et, a partir d'estimations de Pg,E et QQ, estimer 
son ordre de
grandeur. Comparer votre résultat a Ka : 1, 2.103 N.m_1.

2 Impédance électrique du haut-parleur

En vue des asservissements, on veut caractériser le haut-parleur par des 
mesures simples, dont
le principe est étudié ci--dessous.

2.1

16.

17.

18.

Schéma électrique équivalent du haut-parleur

On bloque l'équipage mobile et on alimente la bobine, d'abord avec un courant 
continu, ensuite
avec un courant sinusoïdal.

(a) Montrer que l'on peut déduire de ces mesures les grandeurs Re et Le.

(b) On trouve R6 = 4 Q et LEUR : 0,1 mH. Sur quelle plage de fréquences lZEURl 
s'écarte--t--il de
plus de 1% de Re ?

Le haut-parleur en question étant utilisé dans les graves, on ne tiendra 
désormais plus
compte de Le, sauf à la question 24.
2

a --»
On pose R... : Î' où l'on rappelle que oz : BÆ et Ff : --hiî.
(a) Vérifier que la dimension de R... est celle d'une résistance.
(b) Montrer que, en régime permanent sinusoïdal, l'impédance âB : EQ / l , 
s'écrit, en termes
des paramètres w... et Q, dont on précisera l'expression et la signification 
physique

E R w w
ZB=--9=Re+--m, avec 6...=1+J'Q ___..._ (3)

1 5... w... w
Dans le plan complexe, @... défini a la question 17 est représenté par une 
droite A parallèle a
l'axe des imaginaires et d'abscisse unitaire. On admettra que l'inverse de 5... 
est représenté par

le cercle de la figure 4.

&?

'.R

FIGURE 4 -- L'inverse d'une droite parallèle à l'aæe des ordonnées est le 
cercle centré sur l'aæe des
abscisses, passant par l'origine et tangent a cette droite.

(a) Quelle est la partie utile de ce cercle ?
(b) Quelle est l'intérêt de cette représentation pour l'étude de l'impédance âB 
?

w _ 1
19. Onposeoe=-- pu1sy=oe----.
w... a:
(a) Exprimer le module [ZB] et la phase gOB de ZB en fonction de y.
(b) Donner les valeurs de y pour lesquelles [ZB] est extrémal et les 
expressions respectives,

[âBlmm et lÂ31maoe de ces extrema; quelle est la phase associée a chacun de ces 
extrema?

2.2 Mesures électriques

20. La Figure 5 représente le schéma de principe de la mesure des deux 
composantes (lâBl, 903) de
l'impédance du haut--parleur. L'amplificateur opérationnel (AO) parfait 
fonctionne en régime
linéaire. La résistance RO est une impédance de référence. Le potentiomètre P 
permet d'ajuster
la tension de la borne + de l'AG de telle manière que U AB soit constant, seule 
la fréquence
varie. On note U 35 la tension aux bornes du haut-parleur et U AS la tension 
entre la masse et
la sortie de l'AG. Les trois mesures sont faites avec trois voltmetres de même 
type.

(a) Expliquer le principe de la mesure.

(b) Justifier que) avec R0 = 10 Q et UAB = 0,1 V, on ait, a toute fréquence,]âä 
: 77[Qle,
avec 77 = 100 A.m_1.

(c) Déduire cos gOB de la mesure de UAE, UBS et UAS.

+
AO S S

î ... ZB ÎUBB

B

__ _l__..._ _' _. _ \ l
0,4 \* 4
')

. . .
. _ :
. . . . . .
. . _. .
> . <
\ ' A l
, . . .
2 . f .
. . "'
.; \ ' . --0'4 ' \
" l 1 A l l A « | . l l .'

0.2 0,5 1.0 2.0 5.0 0.2 0.5 1.0 2.0 5,0

_ eu
en fonctzon a: = --.
wm

FIGURE 6 -- Amplitude (& gauche) et phase normalisée 90--m (à droite) de Z...
7r

O

21. La Figure 6 représente le résultat, après traitement, de mesures de la 
partie motionnelle de

m

l'impédance, z = -- R... et 5... ont été définis a la question 17 .
"'° 5 (à?)
m

(a) Donner les expressions littérales des pulsations cul et @@ pour lesquelles 
la phase go... de
cette grandeur vaut respectivement +7r/4 et --7T/4.

(b) Comment déduire de ces deux pulsations la valeur du coefficient Q ?

(c) Cette observation est--elle toujours possible ?

22. On dispose uniformément sur la membrane du haut-parleur un film souple de 
masse m. Justifier
l'existence et donner l'expression de la nouvelle pulsation propre, notée w,,,, 
du système.

23. À partir des résultats des questions 17 a 22, déduire des données 
expérimentales l'ensemble
des paramètres du système, a savoir M E, h, Ka et oz. Application numérique : 
f... = 50 Hz,
Q : 1,m= 5 %, 'Z3'maoe _ 'âB'mzn : 6 Q et fm =45 HZ.

24. Les relations établies dans les questions précédentes de cette partie 
perdent de leur validité

ou . .
aux fréquences élevées (a: = -- >> 1 : déjà, on ne peut plus négliger le terme 
Lew dû a
wm

l'inductance propre de la bobine; on peut en revanche négliger -- devant se et, 
en référence aux
55

relations 3 de la question 17, convenir provisoirement que

Rm
Z = R + 'L au a: + --_. 4
_B e .7 e m 1 + ]QCÛ ( )
Pour une certaine valeur 5133 de a:, on observe sur un oscilloscope 
fonctionnant en mode a:y (non
représenté sur la Fig. 5) que le courant et la tension aux bornes du 
haut-parleur sont en phase.
(a) Que voit--on alors sur l'écran de l'oscilloscope ?
(b) Exprimer LEUR en fonction de R..., Q, w... et 553.

25. En raison de l'effet de peau, la relation (4) reste approchée : on 
considère pratiquement que,

dans un conducteur de conductivité o et en régime sinusoïdal de fréquence f, 
seule la partie

15915 . . . .
extérieure d'épaisseur (ô)mm : _ contribue a la conduction. La résistance 
effective

0 ' (f)kHz
du fil est--elle augmentée ou diminuée du fait de l'effet de peau ?

2.3 Mesures interférométriques

Pour mesurer la vitesse et le déplacement de la membrane sans perturber la 
masse du haut--
parleur, on utilise la technique sans contact de vibrométrie laser décrite 
ci--après.

L'interféromètre de Michelson de la Figure 7 est réglé pour donner des anneaux. 
Un bloc séparatrice--
compensatrice, (SO), est inséré dans le dispositif, de telle sorte que les 
faisceaux réfléchis par (M)
et le haut-parleur (HP) soient perpendiculaires. On s'efforce de faire en sorte 
que les différents
faisceaux subissent le même nombre de réflexions et de réfractions et que les 
amplitudes dans cha--
cun des bras de l'interféromètre soient égales. On convient pour simplifier que 
l'indice dans l'in--
terféromètre est partout égal a 1, ce qui revient a confondre les chemins 
géométrique et optique.

On note dâ' et dg les distances correspondant a la configuration de repos du 
système et l'on pose
47T
\Ïfo = Î (d(1' -- d3) : 2q (d? -- dg) (ce qui définit q en fonction de la 
longueur d'onde, À, de la source

monochromatique utilisée).

2.3.1 Analyse temporelle : mesure de l'amplitude vibratoire

L'objet de la Figure 7 est la membrane du haut--parleur.

A = Miroir (M)
d. \
d:
4--9
| LASER } î Objet
(Li) Bloc Séparatrice-
compensatrice (SC)

[:| Photodétecteur (:P)

FIGURE 7 -- Principe de fonctionnement d'un vibromètre laser. L'ensemble 
laser--élargisseur de fais-
ceau est symbolisé par une source ponctuelle placée au foyer objet d'une 
lentille convergente L1. Le
faisceau de référence est dirigé vers le miroir fire (M) tandis que l'autre 
faisceau est envoyé en
incidence normale vers le centre de l'objet. Dans la partie 2.3.1, cet objet 
est la membrane du
haut--parleur; dans la partie 2.3.2, cet objet est un petit miroir plan. Le 
faisceau sortant de l'interfé--
romètre est détecté sur le photodétecteur (P), qui produit une tension VD 
proportionnelle à l'intensité
lumineuse qu'il reçoit.

26. Commenter l'expression (5) ci--dessous de la tension de repos V3, en 
indiquant respectivement
le sens et l'origine du coefficient m0 et celui de l'argument de la fonction 
cosinus. À quoi peut
être due une valeur de m0 différente de 1 ?

V3 = VO (1 + m0 eos \110) . (5)

27. La position au repos du dispositif étant, dans cette question seulement, 
telle que l'ordre d'in--
terférence en P soit nul, la membrane du haut-parleur est mise en vibration 
harmonique :
d1 (t) = dä' + 51 cos(wt). Montrer que l'on peut déterminer 51 en comptant le 
nombre n de
cycles complets (27T) de rotation de phase du signal VD produit par le 
photodétecteur au cours
d'une période de vibration de la membrane.

28. Calculer 51 pour n = 28 et À = 0,65 um.

2.3.2 Analyse spectrale : mesure de la fréquence vibratoire

Le haut-parleur de la Figure 7 est remplacé ici par un petit miroir plan. 
L'interféromètre est alors
exposé a l'onde acoustique émise par le haut-parleur (mais il est isolé 
mécaniquement de ce der--
nier). Cette onde oscille harmoniquement a la pulsation w. On admet qu'elle 
introduit un déphasage
supplémentaire \11 = sz cos(wt) dans l'expression de la phase relative entre 
les deux faisceaux de

l'interféromètre, avec |zb...| << 1. L'origine de cette modulation de phase 
inclut la modulation des
trajets optiques. On pose ainsi
VD = VO [1 + m0 eos (\110 + ibM cos wt)] . (6)

29. Comment l'analyse de VD renseigne--t--elle sur l'état vibratoire de la 
membrane ?

3 Fabrication d'une bobine multi--couches

3.1 Principe d'une Machine de bobinage

Le trancannage consiste ici a enrouler automatiquement un fil, spire par spire, 
sur une bobine.
La Figure 8 montre un dessin de trancanneuse. La Figure 9 représente le schéma 
cinématique d'une
trancanneuse multicouches, la légende en décrit le principe.

FIGURE 8 -- Vue d'artiste d'une trancanneuse. Source : http 
://vis-trancannage.com

lÜl'iariot de tranoannage {1}

Tambour {ï}

Bobine
Fil e bobine:-

.Ëu*bre (E}

Liaison poulietoourroie crantée
D--l

Bâti ro:

Arbre moteur {4}

l'a.
.?
l_'>
x

FIGURE 9 -- Schéma cinématique du trancannage. Le chariot (1) est guidé en 
translation par une
liaison pivot glissant associée en parallèle à un système de guidage assurant 
la transformation du
mouvement de rotation de l'arbre d'entrée (3) en un mouvement de translation de 
ce chariot par
rapport au bâti (O). Le diamètre des poulies est noté D,, avec i = 1, 2,3 et 4.

Moteur

Le graphe des liaisons entre les éléments numérotés du schéma cinématique de la 
Figure 9 est
donné, a titre indicatif, Figure 10.

Le système de guidage (Figure 11) est composé de trois roulements précontraints 
de façon à
assurer un contact ponctuel en trois points de l'arbre (3). Ces trois 
roulements sont inclinés alterna--
tivement par rapport à l'axe de l'arbre, selon des angles opposés et réglables 
notés respectivement 6
et --Ô . Un système mécanique permet de changer instantanément le signe de cet 
angle pour chaque
roulement, donc le sens de translation du chariot dès que ce dernier arrive en 
butée de fin de course.
On note R3 le rayon de l'arbre et w3 sa vitesse de rotation orientée dans le 
sens trigonométrique dans

le plan (y, z).

30. Soient A le point de contact entre l'arbre (3) et la bague intérieure (5) 
d'un roulement (cf. Fig. 11)
-->
et O le point sur l'axe de rotation tel que OA : --R3ÿ' et Q(3/Ol = --w3aÊ'.

a) En exprimant la condition de non--glissement en A des solides en contact, 
exprimer la vitesse

Poulie/ courroie

Tambour

(2)

Hélicoïdale

Paul ie / courroie

glissant

Chariot
(1)

Arbre moteur

(4)

FIGURE 10 -- Graphe des liaisons de la Figure 9.

(1)
(5)

(3)

Point de contact

N'fl

FIGURE 11 -- Guidage assurant la transformation rotation/translation. Le repère 
(oe,y,z) est
lié au bâti. L'efiort sur les roulements est noté F dans le haut de la Figure. 
Source
http ://www.uhing.corn/en/rolling-ring-driue/

de glissement V(A(1/O) ) en fonction de £, R3 et w3. On pourra trouver 
avantageux d'introduire
le vecteur unitaire .z_5> : sin(fl)Î + cos(fl)Y.
b) Vérifier que le changement de signe de 5 inverse le sens de déplacement du 
chariot.

31. Justifier l'assimilation du système de transformation de mouvement a une 
liaison hélicoïdale a
pas réversible et réglable. Préciser le pas p' de cette liaison équivalente.

32. Justifier succinctement l'intérêt de ce choix de transformation de 
mouvement par rapport a
des solutions classiques de réalisation de liaison hélicoïdale de type 
vis--écrou.

3.2 Réglage du système en fonction du diamètre du fil

On suppose dans tout ce qui suit que la bobine est a spires jointives.

33. Donner l'expression de la vitesse de déplacement du chariot de trancanage, 
notée u, en fonction
de la vitesse de rotation w2 du tambour et du pas pf de l'enroulement du fil de 
bobine (distance
entre les centres de deux spires successives). En déduire une relation entre p' 
et pf.

34. Déduire des questions précédentes la relation permettant de régler l'angle 
6 pour la réalisation
d'une bobine constituée d'un fil de diamètre d.

35. Calculer l'angle 6 permettant de réaliser une bobine constituée d'un fil de 
diamètre d = 0, 8 mm.
On donne R3 = 10 mm, D1 : 64 mm, D2 : 16 mm, D3 : 80 mm et D4 : 16 mm.
36. Le système de réglage fait que l'angle 6 ne peut prendre que des valeurs 
discrètes. Quelles

modifications peut--on apporter au système et/ou sur quels composants 
mécaniques peut--on
facilement agir afin d'adapter le mouvement de trancannage au diamètre du fil ?

4 Asservissements du haut-parleur

37. Quels phénomènes physiques, ignorés ici, peuvent--ils altérer la fidélité 
de la réponse du haut--
parleur par rapport a son alimentation électrique ?
Dans ce qui suit, nous intéresserons a des principes d'asservissement par gain 
(sans correcteur),
sans nous préoccuper des types de capteurs qui les réalisent, ni des critères 
de choix en faveur
de tel ou tel type, ni du lien précis entre la grandeur détectée par les 
capteurs et l'état vibratoire
de la membrane.

4.1 Préliminaire : Courbe de réponse de la membrane

La grandeur provisoirement considérée ici comme pertinente pour la restitution 
du signal sonore
est l'accélération de la membrane, notée a dont l'amplitude complexe est notée 
A. En considérant

V
d'une part l'expression de ? obtenue a la question 8, d'autre part celle 23 
obtenue a la question 17,

on trouve (et l'on admettra) que, en termes de la variable de Laplace s, 
l'expression de la fonction
de transfert en boucle ouverte H A(s) : A/ Eg est

Hoes2

ÿ :
A(S) 82--l--2Ç0me--I--wäl'

(7)

1 m
avecHoe=RîM et ÇO=Ë(1+ÎÈEUR)°

N 1
38. Donner l'allure de lHA(jw)l pour CD = --2. Pour un haut--parleur, est--il 
avantageux que la

courbe de gain soit plate ou piquée ?

4.2 Asservissement de vitesse

Conformément au principe et au schéma fonctionnel représentés Figure 12, un 
capteur externe
détecte la vitesse de la membrane et réinjecte en contre--réaction a l'entrée 
la grandeur électrique
représentant cette vitesse. On note K1 (en V.s.m_1) la valeur du gain en 
contre--réaction.

39. Exprimer la fonction de transfert ÎÏ21(3) : Â/Ëg en boucle fermée sous la 
forme

N H182
HA1 : 2 2 .
8 --l--2C1wis--l--w1

(8)

40. Comparer H1, Ç1 et cul respectivement aux grandeurs Hoc, CO et au... de la 
relation (7). En
déduire les modifications apportées par cet asservissement par rapport au 
fonctionnement en
boucle ouverte, tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse 
transitoire a
un échelon.

10

Capteur Eg ... V A
de v1tesse H V 8 --'
Ki

FIGURE 12 -- Principe et schéma fonctionnel de l'asseruissement en vitesse du 
haut-parleur.

41. La partie droite de la Figure 12 montre que l'accélération se déduit de la 
vitesse par le biais
d'un filtre dérivateur. Cette manière de faire vous semble--t--elle 
pratiquement avantageuse ?

4.3 Asservissement d'accélération

On réalise a présent une contre--réaction en détectant l'accélération. On note 
K 2 la valeur du gain
de la boucle en contre--réaction.

42. Représenter le schéma fonctionnel du système. En déduire la fonction de 
transfert ÎÏÂZ en
boucle fermée sous la forme

N H252
HA2 : 2 2 .
8 --l-- 2Ç2oe28 --l-- w2

43. Comparer H2, @ et @@ aux grandeurs Hoe, CO et au... de la relation (7). En 
déduire les modi--
fications apportées par cet asservissement par rapport au fonctionnement en 
boucle ouverte,
tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse transitoire a un 
échelon.

4.4 Asservissement mixte par matériaux actifs

Il est avantageux, pour augmenter la bande passante, sans modifier 
l'amortissement, de combiner
les deux systèmes d'asservissement des deux parties précédentes. Pour ce but, 
un matériau actif est
collé sur la membrane du haut--parleur.

lf'r 4:=KV
KI " '

Ë:a

u=ü : K2-£â

FIGURE 13 -- Membrane de haut-parleur recouverte d'un matériau actif.

Oe matériau (Figure 13) délivre, après traitements électroniques appropriés, 
deux tensions en
sortie : uv : K1V et ua : K2A, où les coefficients K sont respectivement les 
efficacités en vitesse
et en pression. On réalise la contre--réaction mixte en injectant la tension u 
: uv + ua a l'entrée du
haut--parleur.

44. Quel est l'avantage de disposer d'un capteur de pression directement sur la 
membrane, plutôt
qu'à une distance finie de celle--ci ?

45. Représenter le schéma fonctionnel du système.

11

46. Un calcul standard montre que l'expression de la fonction de transfert ÎÎ23 
en boucle fermée

47.

48.

entre l'accélération A et la tension d'entrée EQ est

N Â H382
HA3 : î : 2 27
_ 8 +2Ç3w33+w3

aVEURC
1
Hoo w2 Ç0wm + äK1HOO
H3 : _, wâ : _... et Ç3W3 =
1+K2HOO 1+K2HOO 1+K2HOO

(9)

(10)

Comparer le gain) la fréquence de coupure et le coefficient de qualité obtenus 
ici avec les

expressions obtenues en boucle ouverte.

K2 étant donné) comment déterminer K1 pour que le coefficient de qualité reste 
inchangé du

fait de la contre--réaction ?

La fonction de transfert en boucle ouverte fait intervenir Hoc, w... et Cg. 
Est--il possible d'ajuster
la fonction de transfert en boucle fermée de manière a pouvoir obtenir) pour un 
but donné7

tOut jEURU(Hi, wi, Ci) ?

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2013
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur) ;
il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

L'épreuve a pour thème le haut-parleur et présente différents aspects de son 
fonctionnement, en se focalisant sur les améliorations pouvant lui être 
apportées.
· La partie 1 est classique. Elle propose l'étude électromécanique du 
haut-parleur
afin de déterminer les équations de fonctionnement, qui seront utilisées dans
les parties suivantes.
· Dans la partie 2, des méthodes pratiques, électriques et interférométriques, 
sont
exposées, qui ont pour but de trouver les grandeurs caractéristiques du 
hautparleur. Les questions ne sont pas classiques au sens strict mais ne 
surprendront
pas le candidat à l'aise en travaux pratiques.
· La partie 3, typée sciences de l'ingénieur, s'intéresse à une machine de 
bobinage,
qui peut avoir été vue en TP. Cette trancanneuse permet l'enroulement 
multicouche du fil avec inversion de sens de translation automatique.
· Enfin, la dernière partie aborde brièvement les asservissements qui permettent
une fidélité plus grande du haut-parleur, à travers deux chaînes de retour, sur
la vitesse ou sur l'accélération.
Les questions posées dans ce sujet sont variées et abordables en quatre heures.
La première partie doit permettre d'assurer une note minimale alors que la 
deuxième
nécessite d'avoir plus réfléchi sur l'électricité et l'optique ondulatoire. Les 
candidats
n'ayant négligé ni la mécanique ni la partie de cours sur les asservissements 
pouvaient
faire la différence dans les parties 3 et 4 qui, sans aller trop loin, 
demandent un peu
de temps et de réflexion. De nombreuses questions pratiques et qualitatives sont
disséminées tout au long du sujet et distinguaient les candidats ayant le plus 
de recul
sur le programme.

Indications
Partie 1
2 Dessiner un schéma électrique équivalent et utiliser la loi des mailles.
5 Les suspensions sont identifiées dans le texte pages 1 et 2 et sur la figure 
1.
6 Appliquer le principe de la statique en projection sur un axe vertical.
.
7.a Projeter le principe fondamental de la dynamique sur l'axe -
u
z

10 Multiplier l'équation [E] par l'intensité.
11 Multiplier l'équation [M] par la vitesse.
13 La moyenne de la dérivée d'un signal périodique est nulle.
14 Utiliser la loi de Laplace pour les gaz parfaits et en effectuer un 
développement
limité pour une petite variation de pression et de volume  z.
18.b Les résistances Re et Rm sont indépendantes de la pulsation  et la 
représentation permet de passer facilement de  m à 1/ m .
Partie 2
20.c Exprimer le module au carré de la tension UAS avec la somme de UAB et UBS .
21.a Le complexe d'argument /4 a sa partie réelle égale à sa partie imaginaire. 
On
doit résoudre deux équations du second ordre et ne garder que les solutions
positives.
27 La définition de la fréquence comme nombre de cycles par unité de temps 
permet
de conclure en remarquant que cos t parcourt quatre fois l'intervalle [0; 1] sur
une période.
29 Puisque | m | est faible, effectuer un développement limité de VD .
Partie 3
30.a Écrire la composition des vitesses entre les solides (1), (3) et (5). 
Utiliser la
condition de roulement sans glissement entre les solides (3) et (5). Identifier 
les
solides en translation et rotation pour écrire simplement la vitesse du point A.
33 La vitesse du chariot et la vitesse de translation du fil sont égales.
34 Le pas d'enroulement du fil doit être égal au diamètre du fil pour que les 
spires
soient jointives.
Partie 4
38 Étudier la fonction de transfert aux limites (pulsation nulle ou infinie).
48 Trouver les domaines de variation possible de (H3 , 3 , 3 ) lorsque K1 et K2
varient.

Un transducteur électrodynamique :
le haut-parleur
1. Fonctionnement de base
1.1

Équation électrique

1 Un circuit électrique en mouvement dans un champ magnétique permanent est
le siège d'un champ électromoteur dit de Lorentz de la forme
- -

-
Em = 
v B
D'un bout à l'autre du circuit, ce champ électromoteur se manifeste par une 
force
électromotrice telle que
I

- -
e=
Em · d 
circuit

Le champ magnétique étant radial, le champ électromoteur est contenu dans le 
plan

, -
). Or, la portion de circuit d-
 est orthoradiale. Le produit scalaire
(-
u
u
 = a d -
u

z

implique que seule la composante de la vitesse selon l'axe Oz contribue à la 
force
électromotrice dans la bobine, partie mobile du circuit.
Z
Z

-

-

) · (a -
) d
e=
(-
v  B) · d =
(B v -
u
u

bobine

bobine

et

e = Bv

2 Le circuit électrique équivalent au haut-parleur est constitué de la source de
tension idéale eg , de la résistance Re , de l'inductance Le et de la force 
électromotrice
exprimée à la question précédente e = B  v =  v.
Re i

Le

di
dt

i
eg

e = v

En appliquant la loi des mailles, on obtient l'équation électrique,
eg +  v = Re i + Le

di
dt

[E]

La force électromotrice est toujours fléchée en convention générateur : dans
le même sens que l'intensité.

3 Lorsque la tension d'alimentation est sinusoïdale et le circuit linéaire, on 
peut
exprimer l'équation [E] en utilisant le formalisme complexe :
Eg = Re I + j Le  I -  V
d'où

Eg = Ze I -  V

1.2

avec

Ze = Re + j Le 

Équation mécanique

-
4 La force de Laplace qui s'exerce sur un élément de bobine de longueur d  
s'écrit
- -

-

dFL = i d   B

= -i B a d -
u
z
Ainsi,

-

 = -i  -

FL = -i  B -
u
u
z
z

Cette force est dirigée dans le sens opposé à la vitesse de la bobine.
5 La suspension de raideur Kr est dite de centrage et porte le numéro 2 et
celle de raideur Ka est identifiée par le numéro 6.
6 Appliquons le principe fondamental de la statique à l'équipage mobile, en 
projection sur un axe vertical. Seuls le poids et le ressort de raideur Kr 
interviennent
verticalement ce qui conduit à
0 = -Kr  e + ME g
soit

e =

ME g
= 3.10-8 m
Kr

Le défaut d'alignement de la bobine dans l'entrefer est négligeable devant 
l'amplitude
des mouvements axiaux.
7.a Les forces suivantes sont dirigées selon l'axe Oz :

-
-
· la force de frottement Ff = -h 
v ;
-

· la force de Laplace FL exprimée à la question 5 ;
.
· la force de rappel de la suspension -K (z - z ) -
u
a

0

z

z0 est la position de l'équipage mobile au repos.Aucune autre action mécanique 
ne
possède de composante selon l'axe Oz. Le principe fondamental de la dynamique
s'écrit, en projection sur l'axe Oz,
Z t

d-
v

 - K (z - z ) -
 = -h -

-
-K

-
ME
= -h -
v - i-
u
u
v
-
i

u
v dt
z
a
0
z
z
a
dt
t0
On retrouve ainsi l'équation (2), en notant z(t0 ) = z0 et z(t) = z,
Z t
-
-

d
v

-
-

-
dFL = h v + ME
+ i  uz + Ka
v dt
dt
t0

(2)