X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2008

Thème de l'épreuve Étude de quelques aspects de l'hélicoptère
Principaux outils utilisés mécanique du point et du solide
Mots clefs portance, traînée, accéléromètre, hélicoptère, pale, rotor, aéronef, sustentation, torseur, asservissement

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2008

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Étude de quelques aspects de l'hélicoptère
C'est en novembre 1907 que le premier véritable décollage au monde d'un 
hélicoptère à plus de
1,50 mètre du sol est réussi, à Coquainvilliers, près de Lisieux (Normandie), 
il y a donc un peu plus
de 100 ans. Cet engin à double rotor de 203 kilos (figure 1) est piloté par son 
jeune inventeur et
constructeur, Paul Cornu, alors âgé de 26 ans. Le moteur entraînant les rotors 
est un Antoinette de
24 CV (1 CV = 736 W). D'autres essais significatifs d'hélicoptères emportant un 
homme sont réalisés la
même année par Louis Breguet et Charles Richet à Douai.

Figure 1 - La machine de Paul Cornu (1907).
Un hélicoptère est un aéronef à voilure tournante dont la sustentation et la 
propulsion sont assurées
simultanément par le ou les rotors pendant toutes les phases du vol. 
L'hélicoptère peut effectuer un vol
stationnaire et permet ainsi des missions inaccessibles à la plupart des autres 
aéronefs. Un hélicoptère
moderne de type Robinson R44 est présenté page suivante sur la figure 2.

1

Figure 2 - Photographie d'un hélicoptère moderne Robinson R44 Raven II.
Le sujet proposé est composé de trois parties qui abordent plusieurs aspects du 
fonctionnement d'un
hélicoptère :
­ la mécanique du vol : le principe de la voilure tournante et le 
fonctionnement du rotor anti-couple
sont étudiés dans la première partie ;
­ la constitution et l'analyse cinématique de la tête de rotor sont étudiées 
dans la seconde partie ;
­ le contrôle de position verticale par accéléromètre est l'objet de la 
troisième partie qui conclut le
sujet.
I. Principe d'une voilure tournante
Forces aérodynamiques
Un objet placé dans un écoulement d'air subit une force aérodynamique. On 
décompose cette force en
une composante dans le sens du vent relatif : la traînée, et une composante 
perpendiculaire : la portance.
La portance d'un aéronef est créée par l'écoulement de l'air autour de sa 
voilure. Si le profil conduit à
des vitesses relatives différentes entre la partie inférieure et la partie 
supérieure, la différence de pression
ainsi générée induit une force résultante sur la voilure (voir profil sur la 
figure 3). Dans un écoulement
horizontal, l'équilibre vertical de l'aéronef peut être atteint si la portance 
compense son poids. Le maintien
en vol horizontal est assuré par une force de traction qui s'oppose à la 
traînée.
Portance
Déplacement
Traînée

Ecoulement
Traction

Poids

el
co r d

Figure 3 - Définition des forces qui s'exercent sur une voilure dans un 
écoulement fluide.

2

La traînée s'applique dans la direction de l'écoulement (dans le sens du 
mouvement relatif du fluide)
et la portance perpendiculairement à l'écoulement, vers le haut (direction 
opposée au poids). La portance
et la traînée sont données en première approximation par des expressions 
similaires en fonction de la
vitesse V de l'écoulement :
1
 SCz ()V 2 pour la portance,
2
1
fx =  SCx ()V 2 pour la traînée.
2
fz =

Dans ces expressions, S désigne la surface projetée du profil de la voilure 
selon la normale à sa corde
(figure 3) et  la masse volumique de l'air ( = 1, 3 kg · m-3 dans les 
conditions normales). Cx () et
Cz () sont respectivement les coefficients de traînée et de portance ; ils 
dépendent de l'angle d'incidence
 (aussi appelé angle d'attaque) que fait la corde du profil avec la direction 
de l'écoulement.
Voilure tournante
Dans le cas d'un hélicoptère, l'écoulement de l'air est provoqué par le 
mouvement circulaire des pales
par rapport au corps de l'appareil, ce qui crée un mouvement relatif par 
rapport à l'air.
~z
~xr

~x

l

O
pale

O

R

~yr
dac
(a)

Sens de
rotation

r

~z

dr

~y

axe
du
rotor

~xr
~xp

(b)

~yp = ~yr

Figure 4 - Description du modèle de l'hélicoptère : (a) vue de dessus et repère 
tournant lié au rotor ;
(b) géométrie simplifiée de la pale et repère de la pale.
On considère, dans la suite, que l'hélicoptère est en vol stationnaire (pas de 
mouvement par rapport
au sol) en air calme, dans les conditions normales. Le rotor entraînant les 
pales tourne autour du cockpit
suivant l'axe vertical (O, ~z ). Cette rotation relative est repérée par 
l'angle  (figure 4.a).
I.1 Exprimer la vitesse de l'écoulement Vair (r) de l'air en fonction de la 
distance r au moyeu
du rotor et de la vitesse angulaire  de rotation de l'axe.
On considère le cas d'une voilure tournante constituée de deux pales identiques 
(cas de l'hélicoptère
Robinson R44). On néglige les interactions aérodynamiques entre les pales.
Afin d'alléger les calculs qui suivent, la géométrie des pales du rotor 
principal est simplifiée : les pales
sont supposées cylindriques (non de révolution) de longueur R, de largeur l (la 
corde) (figure 4.b). On
néglige tous les effets liés à la longueur finie et à la turbulence. 
L'incidence  correspond à l'angle que
-

fait l'axe -
x
p de la pale avec l'axe xr du rotor.

3

I.2 En utilisant les expressions générales données dans l'introduction, 
exprimer la portance
dFz et la traînée dFx d'un élément de pale de longueur dr, de surface projetée 
dS = l.dr et
situé à une distance r de l'axe du rotor. Les lignes d'action de ces forces 
élémentaires se
coupent sur l'axe (O, -
y
r ).
I.3 Exprimer les éléments de réduction au point O des torseurs résultants de la 
portance
et de la traînée sur une pale en fonction de sa longueur R et des variables 
pertinentes.
I.4 Montrer que ces torseurs sont des glisseurs dont le point d'application est 
situé à une
même distance Rg de l'axe du rotor. Déterminer cette distance.
I.5 Donner l'expression du couple total C s'appliquant sur le rotor autour de 
son axe de
rotation par rapport au cockpit. L'incidence est identique sur les deux pales.
I.6 Exprimer la puissance minimale P0 nécessaire pour obtenir une portance 
totale F suffisante pour assurer le décollage de l'appareil de masse M en 
fonction de Cx , Cz et des
variables pertinentes.
La dépendance du coefficient de portance Cz avec l'angle d'incidence  de la 
pale sur l'air
(figure 3) est modélisée par la loi Cz = 0  jusqu'à un angle d'incidence limite 
max = 15 avec
0 =0,1 et  exprimé en degrés. Le coefficient de traînée Cx dépend en première 
approximation du
carré du coefficient de portance, selon la relation approchée Cx = 1 + 2 Cz2 
avec 1 = 1, 5 × 10-2 et
2 = 7 × 10-2 , cette relation n'étant valable que dans l'intervalle 0    15 . 
Les valeurs numériques
proposées pour les i prennent en compte les effets complexes du flux engendré 
par le rotor ; elles sont
obtenues expérimentalement. La dépendance de Cz en fonction de  est présentée 
sur la figure 5.

Figure 5 - Évolution du coefficient Cz en fonction de l'angle d'incidence.
I.7 À puissance constante, quel est qualitativement l'effet d'une augmentation 
de l'angle
d'incidence des pales sur la vitesse de rotation de la voilure et sur le couple 
de traînée
produit ? Peut-on conclure sur la portance ?
En pratique, la vitesse de rotation de la voilure est maintenue quasiment 
constante au cours du vol (à
quelques pourcents près) et le contrôle de cette vitesse au cours des 
différentes phases du vol est effectué
par le pilote grâce à une modulation de la puissance fournie par le moteur. Il 
est en effet nécessaire de
maintenir la vitesse de l'extrémité des pales par rapport à l'air 
significativement en dessous de la vitesse
du son (c = 340 m · s-1 au niveau de la mer dans les conditions normales). On 
limite donc la vitesse de
l'écoulement d'air à Vmax = 0.6 c en bout de pale.

4

I.8 Exprimer la vitesse angulaire maximale max utilisable en fonction de la 
longueur R de
la pale et de c, pour rester dans le domaine de sécurité. La calculer 
numériquement pour
R = 5 m.
On suppose maintenant que le rotor est entraîné à vitesse constante à sa 
vitesse angulaire limite max ,
et que l'hélicoptère est initialement posé au sol avec un angle d'incidence des 
pales  = 0 . La masse
totale de l'hélicoptère est M = 1300 kg et le rotor possède deux pales de 
longueur R = 5 m, de largeur
l = 26 cm.
I.9 Exprimer la puissance délivrée par le moteur dans cette configuration. La 
calculer numériquement.
Le pilote actionne maintenant la commande dite « de pas collectif » qui 
augmente l'angle  d'incidence
des pales, tout en maintenant la vitesse du rotor constante à max grâce à 
l'ajustement de la puissance
fournie par le moteur.
I.10 Pour quelle valeur de l'angle d'incidence dec l'hélicoptère va-t-il 
quitter le sol ? La
calculer numériquement, en prenant pour intensité du champ de pesanteur g = 9, 
8 m · s-2 .
I.11 Calculer en kW puis en CV, la puissance développée par le moteur au moment 
du
décollage.
I.12 Le rapport puissance/masse des moteurs d'aviation récents atteint environ 
2 CV/kg.
Expliquer brièvement pourquoi la motorisation a été pendant longtemps la 
limitation principale des hélicoptères.
En pratique, les pales du rotor principal sont légèrement vrillées par 
construction ; l'angle d'incidence
est de la forme (r) = 1 -  r/R, où 1 est la partie variable sur laquelle agit 
le pilote, et  un vrillage
obtenu par construction.
I.13 Donner un encadrement portant sur 1 et  assurant qu'aucun point de la pale 
n'offre
une incidence négative ou excédant l'angle d'incidence limite max .
I.14 Exprimer les éléments de réduction au point O du torseur résultant de la 
portance
d'une pale vrillée.
I.15 Donner l'angle d'incidence eq d'une pale non vrillée générant la même 
portance que la
pale vrillée de paramètres (1 , ). Montrer que cet angle doit respecter la 
condition eq  /4.
I.16 Évaluer la distance R au centre de rotation du rotor à laquelle s'applique 
effectivement
la portance Fz dans le cas d'une pale vrillée. Exprimer R /Rg en fonction de 
/eq . Justifier
succinctement l'intérêt du vrillage des pales.
I.17 Calculer maintenant le couple de traînée de l'hélice C  dans le cadre 
d'une voilure
vrillée. Soit C(eq ) le couple de traînée d'une hélice non vrillée pour  = eq . 
Montrer que
le rapport C  /C(eq ) vaut :
1+

ã
Å
720 2 
24
 - eq
240Cxeq
7

avec Cxeq à identifier. Peut-on définir un angle opt pour un vrillage optimal 
en ce qui
concerne la traînée ?

5

Rotor anticouple
Dans la suite de l'énoncé, on considère le cas des pales non vrillées. 
L'application du couple fourni par
le moteur sur l'axe du rotor de l'hélicoptère produit en retour un couple 
opposé qui tend à faire tourner
le corps de l'hélicoptère en sens inverse du rotor. Pour contrer cet effet, 
plusieurs techniques existent, la
plus courante étant d'utiliser un second rotor monté dans un plan vertical à 
l'extrémité de la queue de
l'appareil et dont la portance est cette fois dans un plan horizontal (figure 
6). On se place toujours dans
le cas du vol stationnaire.

Figure 6 - Rotor anticouple d'un hélicoptère Robinson R44.
I.18 Lors d'une augmentation de l'angle d'attaque des pales du rotor principal 
(action
du pilote sur le pas collectif ) d'un angle  à un angle  =  +  (où l'angle  est 
petit)
exprimer la variation C du couple fourni par le moteur. On supposera  constante 
lors de
la variation.
L'axe du rotor de queue est situé à une distance d de l'axe du rotor principal, 
et est équipé de deux
pales de longueur Rac . La portance et la traînée de ce rotor sont données par 
les mêmes expressions que
pour le rotor principal. Comme pour ce dernier, la vitesse angulaire du rotor 
anticouple est constante au
cours du vol et proportionnelle à celle du rotor principal selon ac =  . Seul 
change l'angle d'attaque des
pales, commandé par le pilote grâce aux palonniers (pédales). On néglige toute 
interaction aérodynamique
entre les deux rotors et entre les pales elles-mêmes. Les dimensions des pales 
du rotor anticouple sont :
Rac = 80 cm, lac = 10 cm, avec les mêmes notations que sur la figure 4.b. Le 
centre du rotor anticouple
est situé à une distance horizontale dac = 6 m de l'axe du rotor principal 
(figure 4.a).
I.19 Donner la vitesse angulaire de rotation du rotor anticouple pour obtenir 
une vitesse
d'écoulement de l'air Vair = 0, 6 c en bout de pale. La calculer numériquement 
et en déduire
la valeur du rapport de vitesses angulaires .
I.20 Pour une variation d'angle d'incidence  du rotor principal, calculer la 
variation correspondante ac de l'angle d'incidence des pales du rotor 
anticouple pour conserver la
direction initiale du corps de l'appareil.
I.21 Est-il nécessaire de modifier l'angle d'incidence des pales du rotor 
anticouple lors d'une
accélération horizontale de l'appareil ?

6

II. Tête de rotor
Le pilote d'un hélicoptère possède 3 systèmes principaux de commandes, le 
levier de pas général (ou
collectif), le levier de pas cyclique (manche), et les palonniers (pédales). Le 
« collectif » contrôle l'angle
d'incidence commun de toutes les pales par l'intermédiaire des plateaux fixe et 
mobile, ce qui modfie la
portance générée par le rotor. Le manche contrôle le pas cyclique qui 
introduit, par l'intermédiaire des
mêmes plateaux, une action différenciée sur l'angle d'incidence de chaque pale.

Figure 7 - Vues de la tête du rotor principal d'un hélicoptère Robinson R44.
Les illustrations de la figure 7 présentent le mécanisme du rotor principal 
d'un hélicoptère. On peut
y distinguer les pièces principales suivantes :
­ Une pale (1), capable de pivoter autour d'un axe orthogonal à celui du rotor.
­ Une biellette (2), chargée de transmettre le mouvement du plateau mobile (6) 
à la pale.
­ Une biellette de commande (3), permettant de soulever ou d'incliner le 
plateau fixe (5).
­ Le compas mobile (4) qui solidarise l'axe du rotor avec le plateau mobile (6).
­ Le plateau dit fixe (5), pouvant monter et descendre, ainsi que pivoter 
autour d'axes uniquement
orthogonaux à celui du rotor. Il transmet le mouvement des biellettes de 
commande au plateau
mobile.
­ Le plateau mobile (6) possède, en plus des mouvements du plateau fixe, la 
capacité de tourner
sur lui-même, puisqu'il est entraîné par l'axe du rotor par l'intermédiaire du 
compas mobile. Il
repose sur le plateau fixe (articulation avec roulements). Le plateau mobile 
est chargé de donner
une inclinaison (variable ou non) aux pales, en agissant sur les biellettes.

Le but de cette partie est d'identifier, à partir d'une solution existante, la 
cinématique permettant le
réglage du pas collectif puis du pas cyclique.

7

Pivot

(0, ~z)

Cockpit

Rotor

L1

(, , )

L2

Pivot
(0, ~yr )

Plateau
Fixe

Pale

Pivot
(A, ~zf )

L3
Plateau
Mobile

Figure 8 - Graphe de liaison du rotor.
Au cockpit (figure 4.a), solide de référence, est associé le repère R := (O ; 
~x, ~y , ~z ). Le point O désigne
un point situé sur l'axe de révolution du rotor.
Le rotor est en rotation par rapport au cockpit autour de l'axe vertical (O, ~z 
). L'angle  mesure
r , -
l'orientation relative du repère Rr := (O ; -
x
y
z ) lié au rotor et de R.
r,~
-
 -

Le repère Rp := (O ; -
x
p , yr , zp ) est associé à une pale qui ne peut que pivoter d'un angle  autour
-

de (O, yr ) par rapport au rotor.
Pale et rotor sont tous deux en liaison avec le plateau mobile auquel est lié 
le repère
-
-
 -

Rm := (A ; x
z et commun aux deux plateaux, fixe et
m , ym , zf ), A étant un point porté par l'axe ~
mobile (figure 9).
La liaison L3 entre la pale et le plateau mobile fera l'objet d'une étude 
détaillée. La liaison L2 entre le
rotor et le plateau mobile possède plusieurs degrés de liberté dont une 
translation suivant (O, ~z ) repérée
-
 -

par . Ce plateau mobile est articulé au plateau fixe, repère associé Rf := (A ; 
-
x
f , y1 , zf ), par une liaison
-
pivot. Ce degré de liberté est paramétré par , angle de rotation autour de 
l'axe (A, z
f ).
Le plateau fixe peut se translater dans la direction (O, ~z ) (la même 
translation que le plateau mobile)
-
et pivoter dans deux directions par rapport au cockpit. Le paramètre  (OA = ( - 
L)~z ) repère la
~ (A, Rf /R)  ~z = ~0 tandis que  et  repèrent les deux rotations qui sont
translation qui est telle que V
-

telles que  (Rf /R) · ~z = 0.
· Liaison L1 : Plateau fixe - Cockpit
C'est par cette liaison que se fait la commande. Elle doit donc faire 
apparaître clairement la possibilité
de régler le pas collectif (inclinaison identique et constante des pales sur un 
tour de rotor) et le pas cyclique
(variation différenciée en fonction de  de l'angle d'incidence des pales). 
Cette liaison, réalisée à partir
de biellettes, permet d'obtenir une translation suivant l'axe du rotor ainsi 
que deux rotations suivant des
axes orthogonaux à ce dernier.

8

II.1 Exprimer les éléments de réduction du torseur cinématique de cette 
liaison. S'agit-il
d'une liaison normalisée ? Dans le cas négatif, proposer une association de 
liaisons simples
pour la réaliser.
II.2 Parmi les degrés de liberté de la liaison L1 , préciser ceux qui sont 
associés au réglage
du pas collectif et ceux qui interviennent dans celui du pas cyclique.
· Liaison Plateau mobile - Plateau fixe
II.3 Dégager la fonction principale de la liaison entre les deux plateaux dans 
la cinématique
globale.
· Liaison L3 : Pale(s) - Plateau mobile
L'étude de cette liaison complexe peut se décomposer simplement en analysant, 
un à un, l'effet des
degrés de liberté de commande.
On vérifie d'abord la conséquence d'une translation du plateau fixe (donc du 
plateau mobile) en
l'absence de toute rotation :   0. Le schéma cinématique de la figure 10 
précise alors le comportement
du système.

~y1

~xr

~y

~yr

~xp

~x1

~zp

~xr

~x

~z

~xf

~yr

~x1

~ym

~y1

~zf

~xm

~y1

~z

~zf

~z

~xf

Figure 9 - Définition des rotations des différents repères.
-
La translation du plateau mobile par rapport au rotor est repérée par (t) tel 
que OA = ( - L)~z.
-
-
La biellette d'extrémités B et C, de longueur L, est initialement excentrée de 
la valeur e = ||AB|| = ||OC||.
-

-

L'orientation relative de la pale est fournie par l'angle (t) = ( xr , xp ).
II.4 Établir la loi de levée /L = f () où  = e/L. Représenter graphiquement son 
évolution
pour différentes valeurs de .

9

~zp

~z
C

~xr
O
~xp

e

L

B

A

Figure 10 - Translation du plateau mobile.
II.5. Montrer que l'on peut simplifier la relation précédente pour aboutir à 
une linéarisation
de la loi de commande lorsque  reste faible.
On bloque maintenant la translation (  0), mais on incline le plateau fixe d'un 
angle  = 0 (valeur
constante non nulle) autour d'un axe ~y1 positionné par l'angle  qui est 
constant. On étudie, dans cette
configuration, l'effet de la rotation d'angle .
II.6 Quelle est qualitativement la nature du mouvement du plateau mobile par 
rapport au
rotor ? Quelle est l'amplitude angulaire de la rotation relative dans la 
liaison L2 ?
II.7 En première approximation  =  lorsque 0 reste modéré. Montrer que tout se 
passe
comme si l'on imposait une translation verticale sinusoïdale au point B. 
Vérifier que son
amplitude s'obtient facilement à l'aide de 0 et e. Pour quelle valeur 
particulière de  passet-on par un extremum de cette translation ?
II.8 Donner finalement la loi  = g (0 , ) donnant l'évolution de l'incidence 
d'une pale au
cours d'une révolution complète du rotor.

III. Contrôle d'accélération et régulation en vol stationnaire vertical
Si l'on souhaite maintenir l'hélicoptère en vol stationnaire vertical, il est 
nécessaire, dans un premier
temps, de pouvoir détecter les perturbations dues à la turbulence 
atmosphérique, de manière à générer
une réponse appropriée. C'est donc par l'étude d'un accéléromètre (de type 
capacitif) que débute cette
étude avant de se pencher sur son intégration dans une boucle de contrôle.
· Principe général
L'objectif est ici de montrer que la mesure d'une accélération peut se ramener 
à celle d'un déplacement, grandeur bien plus accessible expérimentalement. 
C'est par l'intermédiaire d'un système mécanique
"Masse-ressort-amortisseur" que s'effectue ce lien.

10

On considére une masse m liée à une armature extérieure par un ressort de 
raideur k et un amortisseur de coefficient visqueux µ, disposés verticalement 
(figure 11) ; seuls les déplacements selon Oz sont
envisagés.

~uz
~z

m

~z

µ

k

Figure 11 - Structure mécanique du capteur.
On suppose galiléen le référentiel terrestre Rg auquel on associe la direction 
ascendante ~z. Pour
simplifier l'écriture du problème, dans la suite on utilise -
uz , vecteur unitaire associé à R, et dirigé
-

suivant la verticale descendante : uz  -~z. Le boitier contenant le capteur est 
supposé ne subir qu'un
déplacement vertical si bien que le référentiel R lié au capteur est en 
translation par rapport à Rg . Á ce
c = -ac -
titre -
a
uz désigne l'accélération d'entraînement de R par rapport à Rg , alors que 
l'accélération
de la pesanteur s'écrit ~g = g -
uz .
En l'absence d'accélération du capteur (ac = 0), la masse possède une position 
d'équilibre ; c'est
par rapport à cette position que l'on repère son déplacement par z -
uz , z étant algébrique et compté
positivement dans le sens de la verticale descendante.
On adoptera les valeurs numériques suivantes : k = 38, 6 N · m-1 , µ = 0, 15 N 
· s · m-1 et m = 96 mg.
III.1 Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote z en faisant 
intervenir ac , m, k et µ.
III.2 Donner la fonction de transfert mécanique liant les transformées de 
Laplace de la cote
z et de l'accélération ac , H(p) = Z(p)/Ac (p).
III.3 Mettre la fonction de transfert sous forme canonique. En calculer 
numériquement les
paramètres.
III.4 Représenter le diagramme de Bode de la fonction de transfert H(p).
III.5 Quelle est la nature du filtre mécanique ainsi obtenu ?
· Structure capacitive de l'accéléromètre et couplage électromécanique
Le capteur est constitué d'une armature contenant une électrode oscillante 
(partie mécanique mobile étudiée précédemment) réalisée dans un matériau 
conducteur. Les faces supérieure et inférieure de
l'armature constituent des électrodes reliées à des générateurs de tensions 
respectives v1 et v2 (figure
12). L'électrode centrale est maintenue à un potentiel nul, par l'intermédiaire 
d'un circuit à amplificateur
opérationnel permettant, à travers les variations de charge, une mesure 
indirecte du déplacement z.

11

électrode 1
C1

+z
électrode centrale

C2

v1

-z
électrode 2

vo

v2
vs (t)
vs (t) = Ks q(t)

Figure 12 - Structure électrostatique du capteur.
L'association de l'électrode 1 et de l'électrode centrale se comporte comme un 
condensateur de capacité variable C1 dont la variation est directement reliée 
au déplacement de l'électrode. Idem pour
l'ensemble électrode 2 et l'électrode centrale. À l'équilibre, l'intervalle 
entre électrodes est identique et
noté  ; hors équilibre ces intervalles deviennent  + z et  - z. Les armatures 
possèdent la même surface
S, si bien qu'à l'équilibre C1 et C2 ont une valeur identique C0 .
On adoptera les valeurs numériques suivantes : S = 16 cm2 et  = 100 µm.
1
On note 0 =
× 10-9 F·m-1 la permittivité du vide. L'air sera assimilé à du vide pour le 
calcul
36
des capacités.
III.6 Donner l'expression de la capacité "d'équilibre" C0 . La calculer 
numériquement.
III.7 Déterminer C1 et C2 dans le cas général, puis C = C2 -C1 . Quelle est 
alors l'expression
de la charge q sur l'électrode centrale dans le cas où v2 = -v1 ?
III.8 Pour de faibles déplacements, donner l'expression linéarisée de C 
fonction de z. Faire
l'application numérique pour un déplacement de l'ordre du micromètre. Préciser 
dans ce
cas le lien entre q et z.
III.9 Que se passe-t-il lorsque l'électrode centrale s'écarte significativement 
de sa position
d'équilibre ?
On suppose pour la suite que le signal issu de l'électrode centrale est 
l'entrée d'un montage convertisseur permettant d'obtenir une tension de sortie 
vs (t) proportionnelle à la charge q(t) dans la gamme
de fréquence de travail ; la fonction de transfert est globalement Vs (p)/Z(p) 
= Ks .
Il faut maintenant prendre en compte les effets électrostatiques sur la 
dynamique de l'électrode
-

centrale. On définit alors Fi , la force électrostatique, nécessairement 
dirigée selon -
uz , de l'électrode i sur
l'électrode centrale. On note vi la tension d'alimentation de l'électrode i.
III.10 Donner l'expression de l'énergie électrostatique Wei stockée par le 
condensateur i
puis celle de l'énergie totale Wel .
-

III.11 La force électrostatique Fel qui s'exerce sur l'électrode centrale est 
donnée, à po-
dWel -
tentiels fixés, par F~el =
uz . En déduire l'expression de Fel en fonction de v1 , v2 , C1
dz
et C2 .

12

III.12 Montrer que la force électrostatique totale s'exerçant sur l'électrode 
centrale est
donnée par :
ã
Å
-
v22
v12
1 C0
-
+
uz
-
Fel =
2 
(1 + z/)2
(1 - z/)2
On applique une tension sinusoïdale v1 (t) = U sin(1 t) de fréquence f1 = 10 
kHz et d'amplitude
U = 15 V sur l'électrode 1. On impose de plus v2 (t) = -v1 (t).
III.13 Linéariser l'expression précédente en z/. Quel est le contenu 
fréquentiel de v12 ?
III.14 Vérifier que l'effet des forces électrostatiques est raisonnablement 
modélisable par :
-

-

Fel = Kel z uz , où l'expression de la raideur Kel (indépendante du temps) est 
à préciser en
fonction de C0 , U et . La calculer numériquement.
III.15 Établir l'équation différentielle du mouvement de l'électrode centrale 
en tenant
compte de cet effet supplémentaire. Exprimer la fonction de transfert H(p) = 
Z(p)/Ac (p).
Préciser la valeur de la raideur globale dans la fonction de transfert.
III.16 Faire l'application numérique pour les paramètres caractéristiques de 
H(p). Conclure.
III.17 On suppose que les linéarisations invoquées précédemment sont légitimes 
tant que
le déplacement de l'électrode centrale n'excède pas 30 % du déplacement 
possible. Donner
alors l'accélération maximale mesurable par cet instrument.
· Boucle de contrôle de vol stationnaire
On souhaite programmer un automate de type « pilote automatique » assurant un 
vol stationnaire
vertical. On définit, dans cette optique, un effort perturbateur (supposé 
uniquement dirigé suivant la
verticale) comme entrée du schéma bloc : f (t). Le signal de sortie est 
l'accélération du cockpit ac (t).
C'est une variation de portance qui doit permettre d'annuler l'effet de la 
perturbation. On considère pour
cela l'incrément de portance -Fz (t) tel que Fz (t) = Fzeq - Fz (t), où Fzeq 
est la portance générée à
l'équilibre.
III.18 En tenant compte de la valeur de Fzeq , écrire la relation liant ac , f 
et Fz . Lorsque
ac > 0, quel doit être le signe de Fz pour avoir un asservissement ?
La boucle de régulation inclut le capteur d'accélérométrie étudié précédemment 
de transfert H(p),
puis un actionneur de fonction de transfert globale D(p) (figure 13).
F (p)

Ac (p)

1/M

Fz (p)
Z(p)
H(p)

D(p)

Figure 13 - Schéma de la régulation.

13

La fonction de transfert D(p) de l'actionneur résulte de l'association du 
moteur de commande du
plateau fixe du rotor avec le système de tringlerie du rotor. Le moteur de 
commande du plateau est
piloté par le signal de sortie de l'accéléromètre. Le moteur est alimenté par 
une tension vs (t) issue de
l'accéléromètre. Il convertit ce signal, via des vérins, en une translation (t) 
du plateau fixe. Globalement le système est assimilable à un système du premier 
ordre de gain statique Km et de temps caractéristique T .
III.19 Préciser l'expression de (p)/Vs (p).
III.20 Le moteur et les vérins possèdent chacun un comportement du premier 
ordre. Identifier l'origine physique de tels comportements. Les temps 
caractéristiques sont très différents,
si bien qu'un des organes impose sa dynamique du premier ordre alors que 
l'autre se comporte comme un gain. Quel organe limite la dynamique de 
l'actionneur ? Justifier votre
réponse.
Les questions précédentes permettent d'assimiler à un gain pur K1 la fonction 
de transfert entre
déplacement du plateau collectif  d'une part et l'angle d'incidence des pales  
d'autre part. Il en est
de même entre  et Fz (gain K2 ).
III.21 Que valent K1 et K2 ?
III.22 Former alors la fonction de transfert globale D(p) = Fz (p)/Z(p) et 
compléter le
schéma bloc de la figure 14.
F (p)

Ac (p)

1/M
Fz (p)

(p)

(p)

Vs (p)

Z(p)
H(p)

Figure 14 - Schéma détaillé de la régulation.
III.23 Exprimer la fonction de transfert Ac (p)/F (p) du système ?
III.24 L'accélération ac est-elle vraiment pertinente dans le cadre de 
l'asservissement proposé ? Sinon que faire pour y remédier ?

14

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2008
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Arnaud Riegert (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier quelques aspects de l'hélicoptère, qui fait partie 
des
systèmes à voilure tournante. La rotation des pales crée une force de portance 
par
réaction sur l'air, ce qui maintient l'appareil en l'air. Le problème principal 
de ce
mode de propulsion est l'apparition d'un couple, dû à la rotation des pales, 
qui a
tendance à faire tourner l'aéronef sur lui-même. Ce couple peut être éliminé 
par la
présence d'un rotor sur la queue de l'appareil.
· La première partie représente la moitié du problème. Elle traite de la 
mécanique
de la sustentation et de la compensation du couple de traînée par le rotor de
queue. Il s'agit d'établir les torseurs associés à la portance et à la traînée 
de
l'aéronef, dans le cas de pales droites puis vrillées. La fin de cette partie 
est
consacrée aux relations liant le rotor principal au rotor anticouple.
· L'étude de la tête de rotor, dans la deuxième partie, s'intéresse aux liaisons
entre les pièces qui le composent. Elle est assez courte et propose d'établir 
des
lois de commande par l'analyse de mécanismes.
· La troisième partie traite d'asservissements à travers trois sous-parties. Le 
but
est d'exprimer les fonctions de transfert de la boucle de régulation de vol 
stationnaire. Elle débute par l'établissement, assez classique, de la fonction 
de transfert d'un système {masse-ressort-amortisseur}. Quelques aspects des 
condensateurs sont étudiés ensuite afin de modéliser un accéléromètre de type 
capacitif.
Enfin, un léger problème de régulation est abordé et la fonction de transfert de
la boucle est établie, réalisant ainsi une synthèse de tout le problème.
Ce sujet doit se traiter rapidement. Il est un peu plus facile que ceux des 
précédentes années. Il permet de faire le point sur ses capacités de calcul 
d'éléments de
réduction de torseurs et de fonctions de transfert. Les parties de physique 
pure étant
très proches du cours, elles n'offrent pas de réelle difficulté.

Indications
Partie I
I.3 Intégrer les éléments de portance et de traînée le long d'une pale. Faire de
même avec les moments
Z R
--
-

M=
r-
yr  dFz
0

I.4 Utiliser la formule du changement de point d'un moment pour trouver le point
où le moment est nul.
I.5 Le couple s'appliquant sur le rotor autour de son axe de rotation s'exprime

comme la valeur absolue de la projection du moment total sur l'axe -
z,
C=|

P-
 
M·-
z|

I.6 La puissance est le comoment du torseur des actions mécaniques et du torseur
cinématique. Trouver ensuite la vitesse de rotation nécessaire au décollage en
écrivant que la portance 2 Fz compense le poids M g.
I.7 Étudier la dépendance de la portance en fonction de l'angle .
I.10 Le coefficient 0 est exprimé en inverse de degrés.
I.14 Reprendre les calculs effectués à la question I.3 en remplaçant le 
coefficient de
portance Cz par son expression en fonction de l'angle  puis en fonction du
rayon r.
I.15 Utiliser une partie de l'inégalité obtenue à la question I.13.
I.16 Utiliser la formule du changement de point d'un moment pour trouver le 
point
où le moment est nul.
I.17 Reprendre les calculs effectués à la question I.3 en remplaçant le 
coefficient de
portance Cx par son expression en fonction de l'angle  puis en fonction du
rayon r.
Partie II
II.1 Le torseur cinématique d'une liaison équivalente à l'association en 
parallèle
de liaisons doit être compatible avec tous les torseurs cinématiques de ces
liaisons. Le torseur cinématique d'une liaison équivalente à l'association en
série de liaisons est égal à la somme des torseurs cinématiques de ces liaisons.
II.4 Écrire que la longueur BC de la biellette est constante.
Partie III
III.1 Effectuer un bilan des forces et appliquer le principe fondamental de la 
dynamique à la masse m.
III.4 Commencer par tracer rapidement le diagramme de Bode asymptotique.
III.6 Utiliser la formule donnant la capacité d'un condensateur plan en 
fonction de
sa géométrie.
III.13 Linéariser le sinus au carré présent dans la tension au carré.

I. Principe d'une voilure tournante
Voilure tournante
I.1 L'écoulement de l'air étant provoqué par le mouvement circulaire des pales 
par
rapport au corps de l'appareil, on a directement
Vair (r) = r 
I.2 Les expressions données dans l'énoncé permettent d'écrire, avec dS =  dr,

1

 dFz =   Cz ()  2 r2 dr
2

 dF = 1   C ()  2 r2 dr
x
x
2

I.3 La résultante des torseurs des actions mécaniques dues à la portance et à la
traînée sont
Z R
-

1

Fz =
  Cz ()  2 r2 dr -
z
0 2

et

-

1

Fz =   Cz ()  2 R3 -
z
6
Z R
-

1

Fx =
  Cx ()  2 r2 dr -
x
r
2
0

-

1

Fx =   Cx()  2 R3 -
x
r
6

Explicitons maintenant au point O les moments associés à la portance et à la 
traînée
Z R
--
--

Mz (O) =
r-
yr  dFz
0

=

Z

0

et

R

1
-

2 2-
r yr 
  Cz ()  r z dr
2

--
1

Mz (O) =   Cz ()  2 R4 -
x
r
8

Z R
--
1

 dr
Mx (O) =
r-
yr 
  Cx ()  2 r2 -
x
r
2
0
--
1

Mx (O) = -   Cx ()  2 R4 -
z
8

I.4 Pour montrer que ces torseurs sont des glisseurs, cherchons le point G où le
moment est nul,
--

-
Mz (G) = 0
--
-- -
 -

Mz (O) + GO  Fz = 0
1
1

  Cz ()  2 R4 -
z = Rg -
yr    Cz ()  2 R3 -
x
r
8
6

Il existe donc bien un point G pour lequel le moment du torseur de portance est 
nul,
ce qui prouve que c'est un glisseur dont le point d'application est situé à une 
distance
Rg de l'axe du rotor telle que
Rg =

3
R
4

Les calculs sont menés de la même manière pour la traînée et on tombe sur le 
même
point d'application.
-

z

Fz

Fx
Fz
Fx
3R/4

I.5 Le couple total C s'appliquant sur le rotor autour de son axe de rotation 
est
la somme des couples associés à la portance et à la traînée, pour chaque pale, 
en

projection sur l'axe -
z . Seules les forces de traînée contribuent donc à ce couple et
ainsi, de par la symétrie du problème et d'après l'expression obtenue à la 
question I.3,
C=

1
  Cx  2 R4
4

I.6 La portance suffisante pour assurer le décollage compense juste le poids P 
= M g
de l'hélicoptère. Exprimons le torseur des actions mécaniques qui s'exercent 
sur l'hélicoptère
(
)

(2 Fz - M g)-
z
{T } =

-C-
z
(O,R)
Or, puisque seules les pales sont en mouvement, le torseur cinématique associé 
au
mouvement de l'hélicoptère lors du décollage n'est autre que

 -
z 
{V} =
 
 -
0
(O,R)
La puissance développée étant égale au comoment de ces deux torseurs, on a ainsi

1
P = -C  = -   Cx  3 R4
4
Exprimons à présent la vitesse de rotation minimale 0 qui assure le décollage.
On a, pour 2 Fz = M g,
1
  Cz 0 2 R3 = M g
3
et donc

0 =

r

3Mg
  Cz R3