X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2004

Thème de l'épreuve Réacteur à plasma
Principaux outils utilisés équations de Maxwell, mouvement d'une particule chargée, asservissements, correcteurs, diagrammes de Bode
Mots clefs réacteur à plasma, automatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2004

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Réacteur à plasma

Plus de la moitié des opérations de fabrication des composants 
micro--électroniques, tels que
les mémoires et les microprocesseurs, sont effectuées dans des << réacteurs 
plasmas >>. L'objectif
de ce problème est l'étude et l'analyse des propriétés physiques et des 
méthodes de contrôle des
deux principaux types de << réacteurs plasmas >> : les << réacteurs capacitifs 
>> et les << réacteurs
inductifs >>. Dans ces deux types de réacteurs :

(i) des champs électromagnétiques alternatifs transfèrent de la puissance à un 
gaz ionisé et
génèrent ainsi des ions et des électrons;

(ii) des champs électriques statiques extraient ces ions du gaz ionisé.

Les ions ainsi générés et extraits sont utilisés dans les procédés de dépôt et 
de gravure qui
constituent les différentes étapes de fabrication des composants 
micro--électroniques.

La photographie ci--dessous (figure 1) présente un réacteur capacitif. La 
chambre cylindrique
principale C, au centre de la photographie, est une enceinte à gaz ionisé. On 
peut distinguer deux
bandes lumineuses claires, derrière le hublot, c'est le gaz ionisé ou plasma, 
P. Des mécanismes
d'interaction champs--particules dans ce gaz ionisé sont étudiés dans les 
premières parties de
cette composition. Au--dessus de cette chambre C, on distingue un boîtier 
vertical B, << la boîte
d'accord >>, qui est un système électromécanique asservi du transfert de 
puissance dans le gaz
ionisé. Les dernières parties de cette épreuve sont consacrées à l'étude de ce 
système qui joue un
rôle essentiel dans la qualité des dépôts obtenus ou des gravures effectuées.

À droite de ce boîtier B, le cylindre vertical A est une jauge permettant de 
piloter l'alimenta--
tion en gaz. À l'arrière, on aperçoit ce système d'alimentation en gaz D et D' 
; enfin, le système
de pompage est raccordé à la chambre principale C par les canalisations S.

FIG. 1 : Réacteur a plasma de type capacitif.

L'amélioration constante des performances de ces réacteurs conditionne la 
croissance et la
productivité des industries micro--électroniques et plus généralement de tout 
le secteur des na--
notechnologies. En effet, la vitesse des procédés est proportionnelle a 
l'intensité du flux ionique
extrait du gaz ionisé; les différents paramètres physiques et techniques 
conditionnant cette in--
tensité doivent donc être identifiés et les conditions d'optimisation du flux 
ionique clairement

formulées.

La mise au point de ce type d'appareil est donc extrêmement complexe et les 
problèmes
qui doivent être résolus sont de nature scientifique et technique. Dans la 
première partie de
ce problème nous étudierons l'interaction champs--gaz ionisé dans le cas d'un 
réacteur inductif.
Dans la deuxième partie nous étudierons les mécanismes d'émission ionique d'un 
gaz ionisé.
Dans la troisième partie nous construirons une modélisation électrique d'un 
réacteur capacitif.
La quatrième partie est consacrée a l'analyse de l'optimisation du transfert de 
puissance entre un
générateur et un réacteur capacitif. Enfin, la cinquième partie est centrée sur 
l'étude du système

électromécanique asservi.

La dynamique des champs sera traitée dans le cadre de l'approximation 
quasi--stationnaire
et l'on se placera dans le cadre de la mécanique newtonienne pour l'étude de la 
dynamique des

électrons et des ions.

La charge des ions considérés sera prise égale à la charge élémentaire e, celle 
des électrons
étant ----e. Les masses des électrons et des ions seront notées respectivement 
m et A! .

--»

On utilise une base orthonormée directe (éÏt, @, ez), un point étant repéré par 
ses coordonnées
cartésiennes (:15,y, z).

Équations de Maxwell :

div Ê : --'Û-- div Ë : 0
50
rotÊ=--î--Î rotË=uoî+eouoî--Î
Données numériques :
permittivité du vide 50 = 8, 85 >< 10_12 C.m"1
perméabilité du vide ...) : 47r >< 10_7 F.m"1
masse de l'électron m = 9,1 >< 10--31 kg
unité de masse atomique u = 1,66 >< 10"27 kg
charge élémentaire e = 1, 6 >< 10--19 C.
Partie I

Interaction champs - gaz ionisé

1.1 Une plaque métallique conductrice de grandes dimensions, parallèle à yOz, 
est parcourue
par un courant surfacique de densité donnée par JS : Jo(t)êy.

1 -- Montrer, par des considérations de symétrie correctement explicitées, que 
ce courant engendre
en tout point un champ magnétique aligné selon é},

2 - Montrer de plus qu'il est uniforme, à des distances faibles devant les 
dimensions de la plaque.

1.2 Un gaz ionisé occupe le demi-espace a: > 0 (figure 2). Les effets de bords 
le long des
directions y et z seront négligés. Ce gaz ionisé, composé d'ions et 
d'électrons, est globalement
neutre. La densité électronique n est uniforme. Les ions, compte tenu de leur 
inertie, restent

immobiles.

FIG. 2

Dans le demi-espace vide a: < 0, entre plaque et plasma, on suppose le champ 
magnétique

uniforme, de la forme :
B(t) = B0(t) é}, si oe { 0 .

\V

Dans le demi-espace occupé par le plasma (:D O) règne un champ :

--+

B(oe,t) = B(oe,t) @ si a: > 0 .

Ce champ magnétique variable engendre un champ électrique que l'on supposera 
dirigé le long
de 03; : E (ac, 75) = E (a:, t) @ et qui accélère les électrons, dont on 
désigne par Ü(æ, t) la vitesse.

3 - Écrire les trois équations reliant dans le plasma B (a:, t), E (cc, t) et 
17(:L', t).

4 - Ecrire les conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique 
à l'interface plasma--
vide.

5 - La force d'origine magnétique sur les électrons est négligée. Éliminer 
alors B(oe, t), et U(æ, t)
des trois équations établies à la question 3 et montrer que E (a:, t) est 
solution de :

32É(oe,t) 1
"aî-- * Xî E 
0 a chaque instant t, en
fonction de BD (t).

7 - Application numérique : Évaluer la longueur caractéristique des variations 
spatiales des
champs dans le demi--espace a: > 0 dans le cas d'un réacteur inductif où la 
densité électronique

est de 1017 m"3.

1.3 À plus haute pression, les collisions modifient la réponse électronique. La 
<< relation
constitutive du milieu >> devient alors la loi d'Ohm : ; = 0Ê, où a est la 
conductivité du
gaz ionisé. Comme précédemment, on suppose pour sc { 0, entre plaque et plasma, 
le champ
magnétique uniforme donné par : Ë(t) = BD (t) é}.

8 - Établir dans ce régime collisionnel le système de trois équations régissant 
les dépendances
spatio--temporelles des champs et du courant dans le demi-espace oe ; O.

9 - En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B (a:, t). 
Comment appelle--t-on ce
type d'équation ? Quelle est la dimension du coefficient 1/,u00 ?

10 - On suppose BO (t) sinusoïdal, soit BO (t) = BO exp(jwt) en notation 
complexe. On recherche
une solution de l'équation établie à la question 9 sous la forme B (cc, t) = 
B(æ) exp(jwt). Établir
l'équation différentielle vérifiée par B(a:).

11 - Résoudre cette équation et exprimer B (oe,t) à chaque instant et en tout 
point du demi--
espace oe ; O.

12 -- Quelle est la longueur caractéristique des variations spatiales des 
champs dans ce régime
collisionnel ?

13 -- La conductivité 0 est reliée au temps moyen entre collisions 7' par 0 : 
neQT / m. Exprimer
le rapport entre les deux longueurs caractéristiques des questions 5 et 12 en 
fonction (1 /7w)1/2.
Établir un critère permettant de décider de la pertinence du modèle sans 
collision ou du modèle
collisionnel en fonction de la fréquence du champ et des caractéristiques du 
gaz ionisé.

14 - Application numérique : 7' est de l'ordre de 10_7 s dans les réacteurs 
industriels haute
pression. La densité 77. est de l'ordre de n = 1017 m_3. La pulsation des 
champs est notée ou, avec
w/27r : 13, 5 MHz. Quelle est la valeur de la longueur de pénétration 
collisionnelle des champs ?

Partie II

Emission ionique

2.1 Dans cette seconde partie, les champs électriques sont statiques. On 
considère un gaz
ionisé, globalement neutre, constitué d'ions et d'électrons en nombres égaux. 
Pour les réacteurs
utilisés dans les industries de microélectronique, le processus d'émission 
ionique entretenu est
dominant. Dans ces réacteurs, les électrodes sont polarisées de manière à 
extraire un flux d'ions
du gaz ionisé qui est ensuite accéléré dans une zone appelée gaine. La physique 
de cette zone est
extrêmement complexe. Nous admettrons que la gaine ne contient que des ions qui 
s'écoulent
entre une anode plane infinie située en a: = O, et une cathode plane infinie 
située en a: = D

(figure 3).

0 D
FIG. 3

Cet écoulement ionique est uni-dimensionnel et stationnaire le long de $. Les 
ions sont décrits

par leur densité n(:c) et leur vitesse U(æ) ë}. Soit çb(oe) le potentiel 
électrostatique au point $.
Les conditions aux limites de ce problème uni-dimensionnel sont, avec U positif 
:

@(0)=0 çb(D)=--U> par le
générateur qui alimente le système soit la plus faible possible.

La capacité GP du réacteur dépend de ses conditions de fonctionnement et est 
susceptible de
varier au cours du processus. On procède à sa << compensation >> en deux 
étapes. On ajoute une
inductance L en série, pour s'assurer que cette branche du circuit soit 
inductive a la fréquence
de travail (13,5 MHZ) et pour toute la plage de variation de Cp; puis on << 
accorde >> l'ensemble
avec une capacité réglable C en parallèle (figure 5). Soit Z = R+ jX 
l'impédance de l'ensemble.

I(t) L

U(t)

FIG. 5

35 - Exprimer Z _1 en fonction de L, Cp, Rp, C et w; déterminer la valeur Gad 
de C qui annule
la partie réactive X de l'impédance Z.

Cette condition étant réalisée, donner l'expression de Z, notée alors R0.

36 - Application numérique. On donne 1/ : w/27r : 13, 5 >< 106 Hz, Cp : 300 pF, 
Rp : 30 Q,
L = 1 pH. Calculer Cad et R0.

Au cours du temps, BP et Cp varient en raison des dérives thermiques et de la 
modification
de l'épaisseur des gaines ioniques. À cela s'ajoutent des fluctuations plus 
rapides dues à des
instabilités du plasma. Un fonctionnement satisfaisant du réacteur nécessite 
donc un dispositif
assurant que la condition C' : Gad demeure vérifiée pendant toute la durée du 
processus de

dépôt ou de gravure.

37 - On note 5C : C -- Cad l'écart de la capacité C a la valeur d'adaptation. 
Exprimer Z "'
en fonction de R0, 5G et w. Quelle est la contrainte sur |5C | pour que la 
partie réactive X de
l'impédance Z reste inférieure à 1% de sa partie résistive RO ?

Le dispositif à capacité variable est obtenu en considérant la translation 
d'une plaque isolante
S en PCV d'épaisseur égale à la distance inter--armatures d'un condensateur 
plan. Les armatures
de ce condensateur restent fixes et parallèles à la plaque S (Figure 6). La 
plaque S glisse sans
frottement dans l'espace inter--armatures. On obtient ainsi une capacité 
variable qui peut être
ajustée a la valeur Cad par translation de S. Un condensateur plan, dont on 
néglige les effets de
bord, a pour capacité CO lorsque l'espace inter-armatures est vide, et pour 
capacité CEUR lorsque
l'espace inter--armatures est rempli d'un diélectrique, ces deux valeurs étant 
reliées par CE : EURTCO,
où 5, est la constante diélectrique (permittivité relative).

Si un condensateur est partiellement rempli avec un diélectrique, sa capacité 
peut être consi--
dérée comme la somme d'une capacité à vide, pour la partie vide, et d'une 
capacité en présence
d'un diélectrique, pour la partie pleine de diélectrique.

U")

I(t)
"VON

Translation de la plaque

FIG. 6 : Contrôle de l'adaptation.

Un modèle fonctionnel de l'asservissement de la capacité qui assure 
l'adaptation de l'impé--
dance est donné par le schéma de la figure 7

Déphasage
perturbateur
Capacité
. de c '
- Consr ne onsrgne " . ,
Conagne 9_ commande de position Po}srtron Capacrte ,
de phase de tensron reelle , Dephasage
erreu A 'ssem t reelle C' 't + réel
Conversron ". Correcteur Conversuon de position Conversron Electriqu- ".
Tension
mesurée Capteur
de phase

FIG. 7 : Schéma fonctionnel du système d'adaptation de l'impédance.

Translation
de la plaque
Le
C
Armature 1
Armature 2
a:
0

FIG. 8 : Dispositif de variation de la capacité C .

4.2 Modélisation

Nomenclature

VHC--V

EURI'I'GUI'.

Notation

iÊ< iiiiiilf

Modèles retenus

Dans cette partie, on modélise les différents composants du système qui 
permettent de réaliser l'adaptation
de l'impédance.

38 - Établir la relation donnant la capacité C en fonction de 513, longueur de 
l'armature sans
plaque diélectrique, de lc, LG, 5, 50 et ar constante diélectrique de la 
plaque; l'air étant assimilé
au vide (figure 8).

39 - Application numérique : eT = 5, 5 = lmm, lC = 6cm, LC = 12 cm. Calculer la 
distance
oe = æe qui assure la valeur d'adaptation C = Cad = 200 pF.

On s'intéresse maintenant aux petites variations autour de ce point d'équilibre 
et on pose :
C=Cad--l--C, oe=oee+î:, etc.

On note les transformées de Laplace : Cr(p) = L[C], Xr(p) = L[î:r], Xc(p) = 
L[£ÎJC],
Cc = L[Cc] etc.

On souhaite déterminer les fonctions de transfert de chacun des composants du 
système,
linéarisé autour du point d'équilibre. Les fluctuations de la résistance du 
réacteur y sont modé--

lisées par un déphasage perturbateur.

FIG. 9 : Modélisation linéarisée du système d'adaptation de l'impédance.

N

40 - Exprimer la relation entre les variations C' et Î. En déduire la fonction 
de transfert

G1(p) : Xc(p) C?" (P)

et la fonction de transfert G2 (p) = . Préciser l'influence de ces deux
_ Cc(p) Xr(p)
fonct10ns de transfert sur la stabilité et les_performances du système.

La fonction de transfert H (p) =

qui modélise l'asservissement de la position de la

Xc(p)
plaque sera étudiée dans la partie V. Elle peut être assimilée à une fonction 
de transfert du

second ordre avec les caractéristiques suivantes : gain statique unitaire, 
dépassement de 25% et
temps de montée de 20 ms.

la relation entre le premier dépassement

Le temps de montée est défini en fonction de la pulsation propre wo et de EUR 
par :
7r

t ___--___
m w0\/1----£2

Exprimer la fonction de transfert H (p) en explicitant les valeurs numériques 
des coefficients.

On se propose maintenant de déterminer la fonction de transfert reliant la 
phase de l'impédance Z à la
valeur de Ô.

42 -- Exprimer la variation @ de la phase en fonction de R0, Ô et w. Comparer 
cette expression
au résultat donné par le graphe de la figure 10. Déduire de ce graphe la valeur 
numérique de

Hc(p)-

Variation de la phase [rad]

'--25 --20 --1 5 --1 0 --5 0 5 10 15 20 25

Variation de la capacité [pF]

PIG. 10 : Variation de la phase pour une variation de capacité.

La phase peut être mesurée par un << comparateur de phase >>, qui mesure le 
déphasage
entre le courant I et la tension U . Le conditionneur délivre une tension de 10 
V pour une phase
de 7r rad.

43 - En déduire la valeur numérique du gain de ce capteur.

4.3 Asservissement de la phase
4.3.1 Spécifications

On souhaite asservir la phase à 0 rad et donc la tension VSO à 0 V avec les 
caractéristiques
précisées dans le tableau suivant.

Critères Niveaux .

Stabilité Marge de gain MG = 8 dB;
Marge de phase M$ : 25°

Précision Erreur sur le déphasage inférieure à 0,03 rad
Régulation Insensibilité en régime permanent aux perturbations
Rapidité Bande passante a 0 dB de 250 rad/s

4.3.2 Correction avec un correcteur proportionnel

Le correcteur est choisi de la forme :

C11 (p) : KCorr

44 - Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte G BO (p)

45 - Tracer les graphes asymptotiques de Bode pour la fonction de transfert G 
BO (p)

46 - Déterminer la valeur du gain KCOTT : Ko qui permet de respecter les marges 
de stabilité
du cahier des charges.

47 - Exprimer l'erreur en régime permanent de la sortie a une perturbation en 
échelon unitaire
g0b(t) : F(t), où F(t) est l'échelon d'Heaviside. Quelle est la valeur maximale 
de l'amplitude
de la perturbation que peut tolérer le système asservi, conformément au cahier 
des charges?
Conclure quant a la pertinence d'une correction proportionnelle.

4.3.3 Correction avec un correcteur Proportionnel--Intégral

On considère que le correcteur est de la forme :

1+T1p

C2(P) = K1 T1p

48 - Justifier le choix de ce type de correcteur par rapport à un correcteur de 
type proportion-
nel. '

49 -- Déterminer la valeur de T1 pour imposer une marge de phase minimale de 
250 a la pulsation
wc : 250 rad / 8. Choisir judicieusement le gain du correcteur.

50 - Pour cette valeur de T1, calculer la valeur a conférer au gain K1 pour 
imposer une pulsation
de coupure de wc : 250 rad / s.

51 - Pour ces réglages du correcteur, donner les tracés asymptotiques de Bode 
du système
corrigé en boucle ouverte. Le cahier des charges est--il respecté ? Conclure.

Partie V

Asservissement du système électromécanique

Dans cette partie, on se propose d'analyser le système qui réalise le 
déplacement de la plaque isolante,
modélisé par la fonction de transfert H(p) (figure 9).

5.1 Description du système asservissant la position de la plaque

Le déplacement de la plaque isolante est assuré par un système asservi dont un 
modèle de la
chaîne de motorisation est donné par la figure 11 : une vis sans fin est 
solidaire de l'arbre d'un
moteur électrique. Cette vis transmet le mouvement a une roue qui est associée 
à un système
<< bielle--manivelle >>, lequel permet de transformer le mouvement de rotation 
en un mouvement
de translation.

ÿ
* !
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|
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| !
: ° ! 3
|
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' 4-
' PLAQUE
; =
I
O |
_"_L__ &
1 __

FIG. 11 : Schéma cinématique de la chaîne de motorisation.

Au bâti (O) est associé le repère R(Og, Î', Î, ?).

La liaison entre (0 et la vis (1) est modélisée par une liaison pivot d'axe 
(OO, ÎE'). On associe

et on pose 9 : (Î, fi).

On note ] le point de contact entre la vis sans fin (1) et la roue.

La liaison entre (0) et la manivelle (2) est modélisée par un pivot d'axe (A, 
7). On associe

a (2) un repère R2(À, 33--2', 'ÿä', ?) et on pose oz = (Î', QÎ5).

La liaison entre (2) et la bielle (3) est modélisée par un pivot d'axe (B , 7). 
On associe a

(3) un repère R3(A, :Î3Îg', @, ?) et on pose fl : (Î', 533).

La liaison entre (3) et (4) est modélisêe par un pivot d'axe (C', TZ"), tel que 
le point C se

déplace dans la direction Î'.

On donne :

OJ : 7", A] = R, AB : @, BC = b, 00Â : :UA--oe" +yAÎ et OOÏÎ : EUR? + (yA -- 
h)Î.

Le pas de la vis sans fin (1) est noté pv.

Conversion

Tension Vitesse

Consigne de commande de rotation
de tensmn

Position
de la plaque

Consigne
de position

Bieile
+
Manivelle

Roue
+
Vis sans fin

FIG. 12 : Schéma fonctionnel du système asservi assurant le déplacement de la 
plaque.

On se propose d'analyser le fonctionnement de la chaîne de motorisation 
adoptée, ainsi que la loi de
commande utilisée.

Le réglage initial de la position de la plaque est effectué en imposant une 
valeur de h. Les
petites variations de la plaque autour de ce point d'équilibre sont réalisées à 
l'aide du système
bielle/ manivelle décrit ci--dessus. Dans ce qui suit, on suppose que la 
distance h est constante
(h = O) et on se limite à l'étude des petites variations autour d'un point 
d'équilibre de posi--
tion ace.

5.2 Modèles retenus

5. 2. 1 Nomenclature

_--
___
_--
__--
__--
_
M =

_

tension de consigne
tension de commande du moteur

vitesse de rotation de l'arbre moteur

_ vitesse de translat10n de la plaque
Gain du capteur de pomt10n 0,3 V/ mm

_--

avec ces notations : 5136 = 566 + @.

Le comportement du système étudié peut être linéarisé autour d'un point de 
fonctionnement
et son schéma fonctionnel se met sous la forme illustrée par la figure 13.

Xc(P) Uc(P) 8(p) UM(p) Q1(lv) V(p)

' 1 X,(P)
_"- "' Nr ;
U...()
'

FIG. 13 : Modélisation linéarisée de l'asservissement de déplacement.

5. 2. 2 Spécifications

L'asservissement de la position de la plaque doit respecter les 
caractéristiques décrites dans
le tableau ci--dessous.

Critères
Stabilité Marge de gain Mg : 12 dB
_--

Rapidite Pulsation de coupure a 0 dB de 160 rad/s
Premier dépassement inférieur à 25% .

On se propose de modéliser les différents composants du système 
d'asservissement de la position de la

plaque isolante.

5.2.3 Modélisation du Moteur

90
80

70

-P 01 (D
O O 0

Vitesse du moteur [rad/s]

00
O

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
Temps [3]

PIG. 14 : Réponse indicielle du moteur électrique.

L'entraînement est assuré par un moteur à courant continu commandé en tension. 
Le relevé
de la réponse indicielle du moteur pour un échelon en tension d'amplitude de 
10V est donné

par la figure 14.

52 - À partir de cette réponse indicielle, proposer un modèle analytique pour 
la fonction de

Q
transfert HM (p) -- 1(p) . Identifier les paramètres de ce modèle.

_ UM(P)

5.2.4 Modélisation de la chaîne de transmission mécanique

53 - L'orientation du filet de la vis est telle qu'un sens positif de 9 
correspond a un sens négatif
de oz. Exprimer l'amplitude de rotation de la roue (2) pour une rotation d'un 
tour de la vis (1).
En déduire la relation entre la vitesse de rotation 9 de la vis et celle à de 
la roue.

54 - Exprimer les vitesses Y(B, 2/R0) et Y(C,4/Rg) en fonction de a, b, à et 5.

55 - Donner la relation géométrique entre les angles 04 et 5 en fonction de a, 
b et h.
56 -- En utilisant cette relation, exprimer (: en fonction de (34, 04, 6 et a.

On suppose que la vis (1) tourne d'un petit angle 59 autour d'un point 
d'équilibre défini par
l'angle 9... On note de et fle les valeurs à l'équilibre de oz et 6 dans ce cas.

57 - En déduire 6c, le petit déplacement du point C suivant l'axe ? en fonction 
de R, p... a, b,
de, h et (59.

58 - Pour optimiser le gain mécanique, on choisit comme point d'équilibre la 
situation de : 90°.

6
Calculer le pas de la vis qui permet d'obtenir --3 = N,... = O, 35 mm/ rad pour 
une valeur de

59

CL=Î.

5.2.5 Modélisation du capteur de position

Le capteur de position est un capteur LVDT (Linear Variable Differential 
Transformer),
U...(p)

: K L.
Xr(p)

modélisé par un gain :

5.3 Synthèse de la correction

On donne N,... = O, 35 mm/rad.

5.3.1 Correction avec un correcteur proportionnel C (p) : Kp

59 -- Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte H BO (p) --

60 - Donner les tracés asymptotiques de Bode du module et de la phase de H BO 
(p)

61 - Déterminer la valeur a conférer au gain Kp : K 2 du correcteur pour 
imposer une pulsation
de coupure a 0 dB de 160 rad/s.

XT (19)
Xc(p)

est une fonction

62 -- Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée H B F (p) :

du second ordre.

63 -- Calculer le coefficient d'amortissement de H BF(p) et en déduire la 
valeur du premier
dépassement (on pourra utiliser les relations données a la question 41). 
Oonclure.

5.3.2 Correction avec un correcteur par avance de phase

La figure 15 donne les tracés asymptotiques et réels de Bode de la fonction de 
transfert en
boucle ouverte H BO (p) avec un correcteur C A p (p).

Module [dB]

Pulsation [rad/s]

--100

-110

--120

Phase [deg]
|
a
0

L
A
c>

--150

----1 70

--180
10

Pulsation [rad/s]

FIG. 15 : Tracés fréquentiels du module et de la phase : réel (en pointillé) et 
asymptotique (en
trait continu).

64 - Préciser l'intérêt de ce type de correcteur par rapport a un correcteur de 
type proportionnel.

65 - À partir des tracés asymptotiques, pr0poser un modèle pour la fonction de 
transfert de
CAP(p) et en identifier les paramètres.

66 - Proposer une modification du modèle du correcteur qui annule l'effet de 
perturbations
éventuelles.

5.4 Amélioration des performances du système à deux boucles d'asservissement

Le système d'asservissement de position étudié ci--dessus est intégré au 
système global réali--
sant l'adaptation de l'impédance (figure 7).

Ainsi, le système complet est constitué de deux boucles d'asservissement 
imbriquées :

-- Une boucle externe étudiée dans la quatrième partie, dont le correcteur est 
synthétisé a la
section 4.3

-- Une boucle interne étudiée dans la cinquième partie, dont le correcteur est 
analysé a la
section 5.3.

67 - Comparer les temps de réponse des deux boucles d'asservissement. Quelle 
est la conséquence
de cette hiérarchie des temps de réponse sur les marges de stabilité de la 
boucle externe ?

On souhaite garantir une marge de phase de 450 sur la boucle externe.

Pour ce faire, on peut modifier le correcteur de la boucle externe, Ccorr(p), 
et / ou le correcteur
de la boucle interne, C(p)
68 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au 
correcteur de la
boucle interne pour garantir cette nouvelle valeur de la marge de phase de la 
boucle externe.

69 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au 
correcteur de la
boucle externe pour garantir cette nouvelle valeur de sa marge de phase, sans 
modifier la boucle
interne.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2004
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Le sujet porte sur l'étude de réacteurs à plasma, qui sont utilisés dans les 
procédés de dépôt et de gravure qui servent à la fabrication des composants 
microélectroniques.
· La première partie porte sur l'interaction entre le champ électromagnétique et
le gaz ionisé. Le but est de calculer les longueurs caractéristiques d'influence
du champ dans le plasma. Deux modèles sont présentés : un modèle sans collision 
dit « basse pression » et son pendant « haute pression », dont la relation
caractéristique est la loi d'Ohm.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'émission ionique. Mélange de
mécanique et d'électromagnétisme, elle est plutôt calculatoire. On veut établir
la relation caractéristique courant-tension en fonction de l'épaisseur de la 
gaine
d'émission des ions.
· La troisième partie s'attache à construire la modélisation électrique d'un 
réacteur capacitif à partir de considérations mécaniques, dans le but d'obtenir
l'impédance équivalente du système.
· La quatrième partie s'intéresse à l'optimisation du transfert de puissance 
entre
un générateur et un réacteur capacitif. Elle débute par de l'électrocinétique
pour établir des modèles de fonctionnement qui serviront à une étude 
d'asservissement. La fin est ainsi axée sur le dimensionnement de correcteurs.
· L'étude de l'asservissement du système se poursuit dans la cinquième partie,
qui est l'occasion de calculs mécaniques pour définir les tenants de 
l'asservissement électromécanique et dresser une sorte de bilan du dispositif, 
en termes
d'asservissement.
Ce problème est plutôt calculatoire et aisé au début, traitant 
d'électromagnétisme
et d'électrocinétique. Il se corse à l'attaque des parties traitant du 
programme d'automatique. Les calculs de mécanique du solide (questions 53 à 58) 
ne sont pas trop
compliqués.

Indications
I.

Interactions champs - gaz ionisé

2 Éliminer deux dépendances spatiales puis appliquer le théorème d'Ampère.
3 Deux équations proviennent des équations de Maxwell et la dernière est 
l'équation
du mouvement.
4 Existe-t-il des distributions surfaciques de charges et de courants dans le 
plasma ?

-
6 Le champ E peut-il diverger ?
 2

-
11 Le champ B peut-il diverger ? Utiliser j = (1 + j)/ 2 .
II.

Émission ionique

15 L'énergie mécanique d'un ion se conserve (il n'y a pas de collision dans 
cette
partie).
16 Retrouver l'équation de Poisson en combinant l'équation de Maxwell-Gauss et 
la
--

-
relation E = - grad .
17 Multiplier les deux membres de l'équation obtenue à la question 16 par  et
--

-
penser à E = - grad  pour trouver la deuxième condition initiale.

20 La masse d'un ion

12

C vaut M = 12 u.

21 Écrire l'équation de Poisson.
III.

Modélisation d'un réacteur

32 Faire le rapport des impédances inductive et résistive.
IV.

Optimisation du transfert de puissance

42 Linéariser la relation et utiliser le graphe pour déterminer la valeur du 
gain.
45 Faire en sorte que la phase reste entre  et - et soit continue.

46 Choisir un gain de correcteur K0 négatif. La marge de gain est la valeur du 
gain
pour une phase de -. La marge de phase est l'écart entre  et la phase pour un
gain unité.
47 Utiliser le théorème de la valeur finale.
49 Choisir K1 négatif.
V.

Asservissement du système électromécanique

52 Essayer un modèle du premier ordre.
53 Le pas pv de la vis est tel que, pour une rotation de la vis de , on obtient 
une
translation de pv .
- - -

55 Projeter l'égalité CB = CA + AB sur -
y.
56 Dériver l'expression obtenue à la question 55.
57 Utiliser la relation établie à la question 55 pour éliminer tan .
65 Repérer les sauts de phase sur le diagramme de Bode et déterminer lesquels 
sont
dus au correcteur. Une fonction du type 1 +  p provoque un saut de phase de
/2 centré sur la pulsation 1/ .

I.

Interaction champs - gaz ionisé

-
1 Le vecteur axial B en un point M est perpendiculaire au plan de symétrie (xMy)
-

de la distribution de courant JS = J0 (t) -
ey . Le champ magnétique en M est donc

-
dirigé selon ez .
Citons le principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains
effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets
produits. »
2 La source à l'origine du champ magnétique est invariante par translation selon

-

ey et -
ez , pourvu que soient parcourues des distances faibles devant les dimensions de
la plaque. Le champ magnétique ne dépend donc ni de y, ni de z.
C
-

B

-

JS
-

ez
-

ey

-

ex

x1

x2

Ceci permet d'appliquer le théorème d'Ampère au contour C ci-dessus, qui 
n'enlace
pas de courant :
I

 -
-
B · d  =  B(x1 ) + 0 + 0 -  B(x2 ) = 0

On a alors B(x1 ) = B(x2 ) pour x1 et x2 quelconques mais situés du même côté 
de la
plaque. Le champ magnétique est donc uniforme de chaque côté de la plaque, à des
distances faibles devant ses dimensions.

Il n'a cependant pas la même valeur de chaque côté ; on a en effet la relation
de passage, du côté 1 au côté 2, B1 - B2 = µ0 JS .

3 De la même manière que pour la question 2, l'invariance par translation selon 
-
ey

-
et ez permet d'affirmer que les grandeurs importantes ne dépendent que de x et 
de

t. Par ailleurs, les ions étant immobiles, on utilisera -
 (x, t) = -n e-
v (x, t) dans les
égalités à venir. On a alors, en reprenant tout d'abord l'équation de 
Maxwell-Faraday,
E -
B -

ez = -
ez
x
t

- -
Exprimons à présent rot B en coordonnées cartésiennes :

/x
0
 -
 -

B -
- -

rot B =   B = /y    0  = -
ey
x
/z
B(x, t)

(1)

L'équation de Maxwell-Ampère est alors écrite dans l'approximation des régimes
quasi-stationnaires comme le précise l'énoncé :
-

B -

ey = -µ0 n e-
v
x

(2)

Exprimons l'équation du mouvement d'un électron sur lequel s'exercent les 
forces de
Coulomb et de Lorentz :

-

-
-
v

= -e E - e-
v B
m
(3)
t
On a ici un champ de vitesse eulérien mais le terme d'accélération convec

tive est nul. En effet, comme -
v = v-
ey ,
-
-

-
v · grad = v
y
En outre, v ne dépend que de x et de t, d'où
--  -

(-
v · grad )-
v = 0
Il ne faut pas chercher de cohérence dans ces équations car les direc
-

-

tions de E et B ont été artificiellement imposées. En effet, -
v est selon -
ey ,

-

-
sa dérivée  v /t aussi mais un terme en ex apparaît dans la troisième équation, 
terme qui sera négligé dans la suite du problème...

-

-
Les deux équations de Maxwell non utilisées, div B = 0 et div E = 0,
sont quant à elles bien vérifiées.

4 Rien n'empêchant les électrons de passer la paroi fictive qui limite le 
plasma,
ils ne s'y accumulent pas, et il n'y a donc pas de courant surfacique ni de 
charges

-

-
surfaciques à l'interface plasma/vide. On a alors continuité de E et de B et en
particulier

-

B (0, t) = B0 (t) -
ez
5 La force d'origine magnétique sur les électrons est désormais négligée. 
Dérivons
d'abord l'équation (1) obtenue à la question 3 :

2E
2B
2B
 B
=
-
=
-
=
-
x2
x t
t x
t x
2E
v
= -µ0 n e
x2
t
2
2
 E
µ0 n e
n e2
=
E=
E
2
x
m
m  0 c2

Combinons avec l'équation (2),
puis l'équation (3),
s

En posant  p =

n e2
2E
p2
(pulsation de plasma), on a
=
E et dès lors
m 0
x2
c2
 2 E(x, t)
1
= 2 E(x, t)
x2

avec

=

c
p

Le sujet utilise le terme « fréquence de plasma » mais on préférera parler de
« pulsation de plasma » pour  p .