X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2003

Thème de l'épreuve La glace dans la nature
Principaux outils utilisés diffusion thermique, premier principe de la thermodynamique
Mots clefs glace, banquise, élaboration d'un modèle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

La glace dans la nature

L'objet de ce problème est l'étude des couverts de glace a la surface de la 
terre.

Dans une première partie, on étudie la croissance d'une couche de glace lorsque 
sa tempéra-
ture de surface est contrôlée, en utilisant pour cela l'approoeimation quasi 
stationnaire. Puis l'on
eoeamine les effets d'un manteau de neige sur la formation de la couche de 
glace à la surface
d'un lac. On évoque enfin dans la dernière partie l'évolution saisonnière de la 
glace arctique.

Toutes les parties sont largement indépendantes les unes des autres. Sauf 
indication
contraire, la pression P est constante et égale à la pression atmosphérique 
moyenne, soit

1,01325 >< 105 Pa.
_ Une grande attention devra être apportée auæ applications numériques.

Données numériques :

Capacité thermique massique de la glace cG = 2, 09 >< 103 J - kg"1 - K--1
Capacité thermique massique de l'eau cE = 4, 18 >< 103 J - kg"1 - K"1

Conductibilité thermique de la glace /\G = 2, 215 W - m'1 -- K"1
Conductibilité thermique de la neige )... = 0,3 W - m"1 - K--1
Masse volumique de l'eau ,O0 = 1,00 >< 103 kg -- m--3
Masse volumique de la glace pg = O, 915 >< 103 kg - m--3
Masse volumique de la neige pn = 0,33 >< 103 kg - m"3
Enthalpie de fusion de la glace L = 0,333 >< 106 J - kg"1

les données précédentes sont supposées indépendantes de la température.

Température de fusion de la glace T F = 0,00 °C

Bilan radiatif à la surface de la banquise arctique :

Coefficients
TJ = 15,7°C TN = --43,3°C

BJ=1,4W.m--2--K--l BN=1,8W-m"2-K_l

I. Le problème de Stefan

La figure 1 illustre le problème de la formation d'une couche de glace tel 
qu'il fut formulé dans
le travail pionnier de Stefan (1891). La surface d'un volume d'eau initialement 
à la température
de fusion TF est mis en contact a l'instant t = 0 avec une paroi plane, 
maintenue en position fixe
et à température T 5 < T F. Une couche de glace apparaît et se développe 
progressivement au sein
du fluide. On note { (t) la position de l'interface entre l'eau et la glace; la 
glace occupe l'espace
0 { 2 < EUR(t). Soit T (;(Z, t) le champ de température dans la glace, supposé 
unidimensionnel. On
suppose que Tg(2 : 0, t) = T5.

Figure 1

1. La diffusion thermique.

a) Exprimer la loi de Fourier reliant au sein de la glace la densité de courant 
d'énergie .ÏQ
au gradient de température.

' b) Effectuer un bilan énergétique sur un volume élémentaire de glace pour 
obtenir l'équa--
tion de la diffusion thermique, dite << de la chaleur >>.

c) Quelles sont les conditions aux limites pour le champ de température de la 
glace?
Permettent--elles de déterminer T(;(Z, t) ?

(1) Que peut-on dire de la température au sein de l'eau ?
e) Pourquoi l'eau est-elle mise en mouvement par l'avancée de l'interface ?
2. Soient HG l'enthalpie massique de la glace et H E celle de l'eau que l'on 
suppose indépen--
dantes de la température. On désigne par UG : {(t) la vitesse de l'interface et 
par UE la vitesse

verticale de l'eau.

a) En raisonnant sur un cylindre vertical de section S, exprimer à l'aide de 
EUR (t) la masse
d'eau qui s'est transformée en glace entre les instants t et t+ dt.

b) Effectuer le bilan enthalpique de cette masse entre ces deux instants (on 
négligera la
variation d'énergie cinétique de l'eau qui gèle).

c) En déduire la relation suivante :

ÔT -
/\GÔ-- = PG LEUR(t) ...
Z 503

3. On suppose que {(t) est suffisamment faible pour admettre que la 
distribution de tempé--
rature dans la glace est à tout instant celle de l'état stationnaire pour 
l'épaisseur de glace formée
à cet instant (approximation quasi stationnaire).

&) Pourquoi n'a--t--on jamais rigoureusement de régime permanent ?

b) Que devient l'équation de la chaleur dans l'approximation quasi 
stationnaire? En dé--
duire le profil puis le gradient de température au sein de la glace.

c) Déduire alors de l'équation (1) une équation différentielle portant sur 
EUR(t). Montrer que
EUR(t) = \/ 2Dt où D est une constante que l'on explicitera.

(1) Application numérique : calculer D pour T 5 : --30°O. Calculer l'épaisseur 
de glace
après un jour, une semaine, un mois, six mois.

II. Effet d'une couche de neige

On souhaite étudier l'effet d'un couvert de neige sur la croissance de la 
glace. On suppose
qu'il existe une couche de neige d'épaisseur hn constante, présente dès 
l'instant initial sur une
très mince couche de glace (figure 2). On note TnG la température à l'interface 
neige / glace.

Figure 2

1. Quelle est la forme des profils de température au sein de la neige et de la 
glace en régime
quasi stationnaire ? Quelle condition doit être vérifiée à l'interface neige / 
glace ?

2. Soit JQZ la composante verticale de la densité de courant d'énergie ÎQ. 
Exprimer JQZ en
fonction de TnG ---- T S; puis de TF ---- T ng. Exprimer alors JQZ en fonction 
de TF --- TS et de £(t).

3. En déduire la nouvelle équation différentielle portant sur EUR . Montrer que 
la solution satis--

faisant aux conditions initiales est :

EUR(t) = \/2Dt +£ä ---- &

où {n est une longueur caractéristique que l'on explicitera.

4. Application numérique : Calculer l'épaisseur de glace obtenue après un jour, 
une semaine,
un mois et six mois pour TS : --30°C et hn : O, 2 m.

5. La neige joue--t--elle un rôle dans la croissance des couverts de glace ?
III. Variation saisonnière de la glace arctique

Dans cette partie, toutes les températures sont exprimées en degré Celsius et 
toutes les
durées en jour. On admet que l'évolution de la banquise au--delà du cercle 
polaire est entièrement
contrôlée par l'équilibre qu'elle entretient avec l'atmosphère. Un modèle 
simple prédit que le flux
surfacique d'énergie reçue par la banquise est de la forme

JQ(O_) = Bi(Ti -- T)

où T est la température de surface de la banquise.

Les paramètres B.-- et T.; peuvent prendre deux valeurs suivant la saison. On 
admettra qu'il
n'existe que deux saisons appelées saison chaude J et saison froide N. Chacune 
dure six mois.
On ne prend pas en compte la salinité de l'eau de mer; on considère que la 
banquise gèle à 0°C
et qu'elle est entièrement caractérisée par sa température de surface T (L') 
(en contact avec l'air)
et son épaisseur h(t) (figure 3). On se place dans l'approximation 
quasi--stationnaire (cf. 1.3.) et
l'on note t1/2 la durée d'une demie année.

Figure 3

La saison froide

Au début de la saison froide, la banquise a une épaisseur ho et une température 
uniforme de

0°C.

1. Première phase. On admet que la banquise ne fait que se refroidir et son 
épaisseur reste
égale à ho. On modélise a tout instant la distribution de température de 0°C à 
T(t) dans la
banquise par une loi linéaire.

a) Quelle quantité d'énergie (par unité de surface) doit--on fournir à la 
banquise quand sa
température de surface change de dT '?

b) En déduire l'équation d'évolution de T (t)

c) On admet que cette phase dure tant que le flux thermique dans la banquise 
calculé dans
ce modèle reste inférieur au flux surfacique. A quelle température TO a--t--on 
égalité des densités

de courant thermique en surface '?
(1) Au bout de quelle durée to la température de surface a--t-elle atteint T 0 ?

O t d = ----------, h : --.
n m ro mm 70 ZBN N BN

e) Application numérique : calculer h N puis T 07 T0 et to pour une épaisseur 
initiale ho de
1 m, 3 m et 5 m.

2. Deuxième phase : la couche de glace se met à croître; on suppose toujours la 
distribution
de température linéaire mais avec un flux thermique égal à celui imposé à la 
surface.

a) Exprimer la densité de courant thermique au sein de la banquise en fonction 
de T (t) et
de h(t). Montrer que la condition d'égalité des flux détermine T en fonction de 
h; exprimer T

en fonction de h a l'aide de TN et de hN.

b) Reprendre dans le cadre de ce modèle l'équation (l).

Lh2 LÀ
__pG N -- __P_G__g__ Montrer que, pour to < 75 < t1/2,

2ÀgTN _ 2Bä,TN

On pose TN :

t--t h ?
h(t)--hN{ °+(1+--°) --1
TN hN

c) Application numérique : calculer l'épaisseur de la banquise mm et sa 
température de
surface T1/2 a la fin de la saison froide pour une épaisseur initiale ]'L0 de 1 
m, 3 m et 5 m.

La saison chaude

L'apparition du soleil change le bilan thermique au niveau de la surface de la 
banquise. Il
devient positif et la banquise va se réchauffer avant de fondre en surface.

3. Troisième phase. La banquise commence d'abord par se réchauffer jusqu'à ce 
que toute
sa masse atteigne O°O. On adopte le même modèle qu'en III.1.

GCGh .
a) On pose 71 : L--Æ. Montrer que la durée t1 de ce réchauffement s'écr1t

23,
T
t1=7'11n( --Î1_ÎÇÊ>.

b) Application numérique : calculer t1 pour une épaisseur initiale ho de 1 m, 3 
m et 5 m.
4. Quatrième phase. La banquise fond par sa surface au contact de l'air.

&) Montrer que, dans cette étape, l'épaisseur de la banquise décroît 
linéairement avec le
temps.

b) Application numérique : calculer les épaisseurs obtenues à la fin de la 
saison chaude
pour un couvert en début de saison froide ho de 1 m, 3 m et 5 m.

À partir des résultats numériques, montrer que ce modèle rend plausible pour 
h(t) l'existence
d'une solution périodique de période un an.

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X Physique 2 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-David Picon (École Polytechnique).

Ce sujet étudie la formation de la banquise. Dans une première partie, on 
s'intéresse à la diffusion thermique et l'on établit les équations qui vont 
être utilisées
dans la suite du problème. Pour la suite du problème, on se place en régime 
quasistationnaire. Dans une deuxième partie, on examine l'influence d'une 
couche de neige
sur la formation de la banquise. Enfin, dans la troisième partie, la plus 
longue,
on construit un modèle simple qui permet de rendre compte des variations de 
l'épaisseur moyenne de la banquise sur une année.
Ce problème est d'une longueur raisonnable et comporte peu de questions 
calculatoires. En outre, les résultats théoriques nécessaires à la poursuite du 
problème
sont donnés. C'est un très bon sujet pour travailler la diffusion thermique et, 
plus
généralement, pour comprendre les différentes étapes de la construction d'un 
modèle.
Soulignons qu'il y a de nombreuses applications numériques, essentielles si l'on
veut pouvoir conclure à la dernière question ; ces applications numériques 
étant nombreuses et répétitives, le candidat sachant programmer sur sa 
calculatrice un même
calcul sur plusieurs valeurs à la fois peut gagner un temps précieux. Rappelons 
enfin
que les applications numériques sont en général des questions « payantes » et 
qu'il
convient donc de s'entraîner régulièrement lors de sa préparation aux concours 
pour
récolter ces points le moment venu.

Indications
Première partie
I.1.e Une masse m de glace occupe plus d'espace que la même masse d'eau.
I.2.b Prendre comme système la masse d'eau qui gèle entre t et t + dt. 
L'enthalpie
de ce système varie uniquement à cause du changement d'état.
Deuxième partie
II.2 Calculer JQz dans la neige et dans la glace.
II.3 L'équation différentielle obtenue est à variables séparables. Après 
intégration,
on obtient une relation qui donne t en fonction de  2 et . Pour inverser cette
relation, il suffit de mettre les termes en  sous forme canonique, c'est-à-dire
écrire  2 + 2 a  = ( + a)2 - a2 .
Troisième partie
III Exprimer les températures en degrés Celsius permet d'éliminer des calculs la
température TF , ce qui simplifie grandement les écritures.
III.1.b Écrire la conservation de l'énergie à l'interface entre l'air et la 
glace ; en
d'autres termes, traduire l'égalité entre la variation d'énergie de la banquise
calculée à la question précédente et le flux conducto-convectif.
III.1.c Pour écrire le flux thermique JQ (0+ ), utiliser la question III.1.a et 
le fait que
T(t) = T0 .
TG
puis obtenir une équation différentielle à variables
III.2.b Calculer d'abord
z h
séparables et l'intégrer entre t0 et t > t0 .
III.3.a On peut tout à fait définir une nouvelle origine des temps au début de 
la saison
chaude. Utiliser alors l'équation différentielle obtenue à la question III.1.b 
en
modifiant les variables, mais il ne faut pas reprendre la solution de cette
équation car les conditions initiales sont différentes.
III.4.a Le flux thermique JQ (0- ) est constant et sert à faire fondre la glace.
III.4.b Conduire un raisonnement analogue à celui qui a permis d'établir 
l'équation (1). Attention au fait que dh est négatif (la banquise fond).

La glace dans la nature
I.

Le problème de Stefan

I.1.a La loi de Fourier dans la glace s'écrit, compte tenu des notations de 
l'énoncé,
-

TG -

JQ (z, t) = -G
ez
z
-
où 
ez est le vecteur unitaire vertical descendant.
I.1.b Soit d = S dz un volume élémentaire de glace de masse dm = G d . Il 
constitue un système fermé et sa variation d'enthalpie pendant la durée dt est
dH = G cG S dz (TG (z, t + dt) - TG (z, t))
soit, au premier ordre,

dH = G cG S

TG
dt dz
t

En l'absence de travail autre que celui des forces de pression et de toute 
source d'énergie thermique au sein du
volume d , le premier principe de la thermodynamique
s'écrit simplement

JQ (z, t)
z

dH = S (JQ (z, t) - JQ (z + dz, t)) dt
z + dz

JQ (z + dz, t)

JQ
S dz dt
z
On traduit maintenant l'égalité des deux expressions
de dH, en tenant compte de la loi de Fourier,

G c G

Par conséquent

dH = -

TG
 2 TG
S dt dz = G
S dt dz
t
z 2
TG
G  2 TG
=
t
G cG z 2

I.1.c Les conditions aux limites s'écrivent

TG ((t), t) = TF
TG (0, t) = TS
Ces conditions sont insuffisantes pour déterminer TG (z, t) car on ne dispose 
pas de
l'état « initial » et l'on n'a aucune information sur la dépendance temporelle 
de .
C'est le changement d'état (solidification) qui impose que la température à
la frontière z =  soit constante, égale à TF .

I.1.d Il y a coexistence des deux phases liquide et solide. L'eau, qui est à la 
température de changement d'état, se maintient à cette température.
Il ne faut jamais oublier que lorsque l'on a équilibre et coexistence de
deux phases, alors la température au voisinage de l'interface est toujours la
température de changement d'état.
On peut s'étonner de ce résultat car la solidification est une transformation 
qui libère de l'énergie. En fait, l'énergie libérée compense les pertes
thermiques par diffusion vers l'atmosphère, plus froide.
Sous une pression donnée, il est possible de trouver de l'eau liquide à une
température inférieure à la température de solidification. Dans ce cas, l'eau
est dans un état métastable (eau surfondue, c'est le cas dans les pluies 
verglaçantes par exemple) puisque l'état thermodynamiquement stable est l'eau
solide. On suppose donc, dans tout le problème, que l'on est sous contrôle
thermodynamique.
I.1.e La glace est moins dense que l'eau : à masse égale, l'eau est plus 
volumineuse
que la glace. En progressant, le front de solidification entraîne la mise en 
mouvement
de l'eau.
I.2.a Soit S une section donnée. Entre t et t + dt, une masse dmG gèle, où dmG 
est
donnée par
dmG = G S  dt
I.2.b Calculons la variation d'enthalpie de cette masse dmG en négligeant la 
variation d'énergie cinétique. Cette variation s'écrit simplement
dH = dmG (HG - HE )
dH = -dmG L
I.2.c Entre t et t + dt, ce système (fermé) reçoit un transfert thermique S JQ 
() dt,
de sorte que l'on peut écrire
-dmG L = S JQ () dt
ce qui conduit bien à

G

TG
z

= G L (t)

(1)

I.3.a Dans ce modèle, l'eau et la glace forment un système fermé qui perd, par 
diffusion thermique, de l'énergie par sa surface en contact avec l'atmosphère. 
Comme
il n'y a aucune autre source d'énergie à l'intérieur de ce système, ni aucun 
autre
échange avec l'extérieur, son énergie ne peut que diminuer : un état 
stationnaire est
donc impossible.
En effet, un état stationnaire impliquerait un transfert thermique J constant
(éventuellement nul). Comme la température de surface TS et la température de
l'interface TF ont des valeurs fixées, ce flux thermique ne saurait être nul. 
Dans ce
cas, pour conserver J il faudrait que l'épaisseur de banquise soit constante, 
ce qui
est impossible si J est non nul (en effet, J est responsable du changement 
d'état au
niveau de l'interface : l'épaisseur de la banquise varie nécessairement).