X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2000

Thème de l'épreuve Modélisation d'un conducteur. Réduction de NO en N2O.
Principaux outils utilisés électrostatique, atomistique, thermochi- mie, oxydoréduction, catalyse, cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2000

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'épreuve comporte deuæ problèmes indépendants, qui seront affectés du même 
poids dans le barème
de notation. L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Premier problème

L'objet de ce problème est l'étude de la répartition de charges << induite >> 
dans un conducteur

par une charge ponctuelle q située dans son voisinage, et le calcul de la force 
exercée alors sur
la charge, l'ensemble étant en équilibre électrostatique.

On donne 50 = 8,85 >< 10"12 Fm_1.

Première partie

Un matériau conducteur semi--infini est limité par sa surface libre plane que 
l'on prendra
comme plan oeOy. Sur l'axe Oz, perpendiculaire à cette surface et orienté vers 
l'intérieur du
conducteur, on place à l'extérieur du conducteur une charge ponctuelle q 
positive, en A, à la

distance h de la surface libre (Fig. 1). On suppose dans cette première partie 
que le matériau
est un conducteur parfait.

La) Quel est, à l'équilibre, le champ élec-
trique Ë à l'intérieur du conducteur ? Que peut-
on dire du potentiel électrique dans le conduc-
teur ? On prendra le potentiel nul à grande dis--
tance, aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur du
conducteur.

b) Montrer que les charges électriques ap--
paraissant dans ce conducteur parfait sous l'in-
fluence de la charge q sont nécessairement si-
tuées à la surface du conducteur.

Figure 1

c) Etablir la relation entre le champ électrique Ë(M ) dans le vide au 
voisinage immédiat
d'un point M de la surface et la densité surfacique de charge 0(M) sur le 
conducteur.

2. On admettra que dans le demi--espace vide (2 < 0) le champ électrique et son 
potentiel,
créés par la charge q en A et le conducteur, sont identiques à ceux qui 
seraient donnés, en
l'absence de milieu conducteur, par la même charge q en A et une charge --q 
placée au point
image A' , symétrique de A par rapport au plan mOy.

&) Vérifier que le plan 3303; est, pour ce système de deux charges, une surface 
équipoten--
tielle; préciser la valeur de son potentiel.

b) En déduire le champ électrique Ë(M ) au voisinage d'un point M de la surface 
du
conducteur, situé à une distance 7" de l'origine 0 (Fig. 1). Préciser direction 
et sens de Ë(M )

c) Déterminer la densité surfacique de charge a(r).

80

87"

3
(1) Montrer que l'on a l'inégalité simple 5 5%.

3.a) Calculer la charge totale portée par la surface du conducteur.

b) Calculer la force ÎA exercée par le conducteur sur la charge q placée en A.

Deuxième partie

Dans un conducteur réel, non parfait, les charges mobiles sont << réparties >> 
au voisinage de
la surface sur une épaisseur moyenne À dite << épaisseur d'écran >>. La 
distribution des porteurs
de charge mobiles (électrons) dans le conducteur n'est plus surfacique, mais 
caractérisée par un
nombre de particules par unité de volume n(r, z), ou densité volumique, en un 
point générique de
coordonnées cylindriques (r, 9, z) d'axe Oz. Lorsque le conducteur est 
localement neutre, cette
densité volumique est égale à no, où ne est aussi le nombre volumique de 
charges (positives)
fixes, liées au noyaux du cristal constituant le conducteur. On prendra comme 
conditions aux
limites loin à l'intérieur du conducteur : limz_,oo n(r,z) = no. Le conducteur 
est maintenu à
température uniforme et constante. Dans cette deuxième partie, on analyse 
l'importance de
l'étalement des charges.

On définit le potentiel électrochimique fi(r, 2) d'un électron, de charge --e, 
dans le conducteur
comme la somme de deux contributions : une partie u, potentiel chimique local 
par électron, qui
ne dépend que de la densité n(r, z) et de la température T, et une autre 
--eV(r, 2), où V(r, z)
est le potentiel électrique local dans le conducteur, soit :

ÿ(r, z) = # [n(7', z),T] -- eV(r, z).

1. On admet que la règle générale d'équilibre entre phases d'un système pour 
une espèce
chargée (égalité des potentiels électrochimiques) s'applique ici aux potentiels 
électrochimiques

locaux, soit :
[I,(r z)= ,ü(r, 2 --> 00).

a) Montrer qu'à grande distance : fi(7', z --> 00) = u(n0, T).

ôM(n, T)

b) Réécrire l'équation d'équilibre a l'aide de ( Ôn

) , du gradient de n(r,z) et du
T
champ électrique Ë(r, z).

0) En déduire les expressions de la composante radiale ET(T, z) et de la 
composante Ez(r, 2)
selon l'axe Oz.

ôu(m T)
Ôn

champ au voisinage de la surface. Quel rôle joue la composante radiale ?

2.a) On a toujours : < > > O. Représenter sur un schéma les composantes du
T

b) Exprimer le rapport ET/Ez à l'aide des dérivées partielles de n(r, z) .
3.a) Donner une estimation simple de |ân/ôzl en fonction de n, no et À.

b) En admettant que l'inégalité de la question 2.d) de la première partie 
s'étend à la
densité volumique de charge p(r, z) : ----e[n(r, z) -- no], donner une borne 
supérieure à lôn/Ô7'l,
exprimée en fonction de n, no et b.

c) En déduire une estimation simple du rapport E / E Dans quelle limite le 
modèle du
conducteur parfait utilisé dans la première partie est-- il valable. '7

Troisième part ie

La) Dans la pratique, on a ln -- no] /no << 1. Montrer que la condition 
d'équilibre du conduc-
teur donnée à la question 1. de la deuxième partie peut se réécrire comme :

p(r,z) (W)!" : --EUR2V(T',Z).

ÔTLO

b) Ecrire la relation générale existant par ailleurs entre la densité de charge 
p(r, z) et le
potentiel électrostatique V(r, 2).

c) En déduire l'équation aux dérivées partielles linéaire devant être 
satisfaite par p(r, z) ;

Ô#(no, T)) _
T

on introduira la longueur d'écran À définie par À2 = --6--g (
e 8710

2. En coordonnées cylindriques, le laplacien s'écrit :

A

IN

ô_2+13(3)+r6_2
ôz2 rôr Tôr 7"2 892'

3

Pour des raisons d'analyse dimensionnelle, il est possible d'effectuer le 
changement de variable
et de fonction : p(r, 2; À, h)27rrdrdz = f)(R, Z; À/h)27rRdeZ, où l'on a 
utilisé les coordonnées
réduites sans dimensions R = T' / h et Z = z/À, et explicité la dépendance dans 
les paramètres
/\, h. Relier p et ,5. Ecrire l'équation aux dérivées partielles linéaire 
satisfaite par fi(R, Z; À/h) .

3. On suppose dorénavant que À/h << 1.

a) Montrer qu'un terme de l'équation précédente de la question 2. devient alors 
négligeable,
et en déduire que dans cette limite 5 se met sous la forme : fi(R, Z; À/h << 1) 
= f(R)g(Z), où
g(Z ) est une fonction que l'on déterminera.

b) Dans le même cadre d'approximation, on admettra que la densité volumique de 
charge
totale p(7", z) obéit à la règle de somme :

°° pdz = G...,
/0

où a(r) est la densité surfacique de charge trouvée dans la première partie 
pour un conducteur
parfait. Déterminer f (R) .

c) En déduire finalement l'expression de p(r, z).

4. Quelle est, pour z > 0 , l'expression du potentiel électrostatique V(r, z) 
dans le conduc--
teur? Déterminer le rapport V(7', z)/V0 où V6 est le potentiel créé en 0 par la 
charge q seule.
Tracer les graphes de V(r,z)/VO en fonction de R = r/h pour 2 = 0 et z = À; on 
prendra
/\ / h = O, 1. Commenter le résultat en comparant au cas du conducteur parfait.

5. Dans un métal, le potentiel chimique d'un électron de conduction est 
pratiquement iden--

ñ2
tique a celui de température nulle et est donné par n : Ë(37r2n0)2/3, où h = 
hplanck/27T est

6
la constante de Planck << réduite >> et me la masse de l'électron.

47r50 R2

a) En introduisant le << rayon de Bohr >> (10 = 2
mae

% 0,05 nm, exprimer la longueur

d'écran /\ M dans un métal en fonction de ao et de no.

b) Pour du cuivre, la densité électronique est no = 8, 6 >< 1028 m'3 . Calculer 
la valeur de
ÀCu correspondante.

6. Dans un semi--conducteur faiblement dopé, la densité électronique est faible 
et les électrons
de conduction se comportent à la température ordinaire comme un gaz classique. 
Leur potentiel
chimique satisfait à :

?

<ôp(n...T)> _ k3T
6710 T _ 7'Lo

où 163 est la constante de Boltzmann.

a) Donner, dans ce cas, l'expression ÀSC de l'épaisseur d'écran en fonction de 
T et no en

remplaçant simplement, dans l'expression de À donnée dans la question Le) de 
cette troisième
partie, 50 par une permittivité & pour tenir compte des propriétés 
diélectriques du matériau.

b) Selon le dopage, ne varie entre 1018 et 1025 m_3. Calculer les valeurs 
correspondantes
de Àsc a la température ambiante pour laquelle k3T = 25 >< 10"3 eV, en prenant 
EUR = 15 60 .

7. On s'intéresse maintenant à la force îA exercée sur la charge q en A.
a) En donner l'expression formelle sous forme d'une intégrale double contenant 
p(r, 2).

b) Evaluer cette intégrale à l'aide du résultat de la question 3.c) de cette 
troisième partie;
on effectuera pour cela un développement limité de l'intégrand jusqu'au premier 
ordre en z/h,
en justifiant qualitativement cette approximation.

Comparer le résultat à l'expression obtenue à la question 3.b) de la première 
partie dans le
cas d'un conducteur parfait.

Deuxième problème

Réduction du monoxyde d'azote en monoxyde de diazote

Données

Constante de Faraday : T = 96500 C mol--1.

AfH° (kJ mol--1)
CO(g) -110,5 198 \ Cu+ + 2or : Cu015 \ ATG°:-55 kJ molf1
cog(g) \ -393,5 214 \ PdClî'/Pd ": ----0,62 V
\ NO(g) \ "90 211 co2(g)/00(g) °= -o,12 v
| N20(g) | A-82 220 \ Cu2+/Cu+ E°= "0,17 v

Le monoxyde d'azote NO est un sous produit des processus de combustion à haute 
tempé--
rature qui pose de nombreux problèmes en matière d'environnement. L'oxydation 
de NO par
l'oxygène de l'air produit le dioxyde d'azote N02 qui est à l'origine des 
pluies acides. De plus

NO est un catalyseur de la réaction 03 + O --> 2 02 qui contribue à 
l'accroissement du << trou
d'ozone >>.

Par conséquent, il est essentiel de pouvoir limiter au maximum la formation de 
NO ou bien
de pouvoir transformer NO en des produits respectant mieux l'environnement. 
L'objet de ce
problème est d'aborder divers aspects de la réaction de réduction par CO de NO 
en monoxyde
de diazote N20 catalysée par un complexe du palladium.

La) Donner les configurations électroniques à l'état fondamental de N et 0.

b) Justifier qualitativement la différence d'électronégativité entre N et 0. 
Comment cela
se traduit--il sur la position relative en énergie des orbitales atomiques de N 
et O ?

c) Proposer une structure de Lewis pour NO. Pourquoi cette molécule se 
dimérise--t--elle
facilement ?

d) Proposer une structure de Lewis pour N20 compatible avec le résultat de la 
question
1.b) (0 n'est lié qu'à un seul atome d'azote). Quelle est la géométrie de N20 ? 
Justifier.

2. On s'intéresse à la thermodynamique de la réduction de NO par CO en phase 
gaz suivant
la réaction (1) :

2N0(s) + CO(g) --» 002(g) + N20(g) (l)

&) Donner l'expression en fonction de la température de ATGî enthalpie libre 
standard de

cette réaction (on se placera dans l'approximation d'Ellingham). Justifier 
simplement le signe
de ATS°1.

b) Quelles sont les influences respectives d'une augmentation de température ou 
de pression
sur la position de l'équilibre (l) ?

3. La cinétique de la réaction (1) est lente en phase gaz et il est nécessaire 
d'utiliser un cata--
lyseur. Un système catalytique efficace est constitué d'un mélange, en milieu 
acide chlohydrique
concentré, de dichlorure de palladium PdC12 et de dichlorure de cuivre Cqu.

a) Quel est dans le composé CuC12 le degré d'oxydation du cuivre ? Donner la 
configuration
électronique de l'état fondamental de l'ion cuivre à ce degré d'oxydation (Z=29 
pour Cu).

b) En milieu acide chlorhydrique concentré, le composé PClCl2 se trouve sous la 
forme
d'ion complexe PdClîÎ La première étape dans le processus catalytique est la 
réduction du
Pd(H) en Pd(0) par le monoxyde de carbone CO selon la réaction (2) :

PdCl[ + CO(g) + 3H20 _» Pd + COg(g) + 2H30+ + 401" (2)

Donner la valeur de ATG3, enthalpie libre standard à 298 K de cette réaction.

c) L'étape suivante est l'oxydation de Pd(0) par le Cu(H). Montrer 
qualitativement que
l'oxydation du Pd par le Cu2+ pour donner PdCl[ et Cu+ n'est pas possible 
thermodynami--
quement. Calculer le potentiel normal standard du couple Cu2+/CuCl2_ . 
Conclusion.

4. Une fois qu'une concentration suffisante en Cu(I) est atteinte en solution, 
la réaction (3)
se produit :

PdCl[ + NO(g) + Cu015 _» PdClg(NO)2_ + cu2+ + 3 or (3)

Dans cette réaction, le complexe PdClg (NO)2_ est un intermédiaire qui réagit 
ensuite avec
NO et CuOl£ pour donner N20 selon la réaction (4) :

PdClg(N0)2_ + NO(g) + cuoig + 2H30+ --> mer; + NgO(g) + 31120 + Ou2+ + or (4)

&) Retrouver simplement que la réaction (1) est bien catalysée par un mélange, 
en milieu
acide chlorhydrique fort, de dichlorure de palladium PdC12 et de chlorure 
cuivrique CuOlg.

On a pu montrer expérimentalement que la réaction (4) est l'étape cinétiquement 
détermi--
nante dans la transformation catalytique de NO en N20. Dans tout ce qui suit, 
on utilisera la
concentration en NO (notée [NO]) dans la solution sachant qu'il est possible de 
faire le lien entre
[NO] et la pression partielle pNO qui est le paramètre expérimental.

b) Toutes les données cinétiques ont été mesurées selon la méthode de la 
vitesse initiale.
Rappeler brièvement le principe de cette méthode.

c) La vitesse initiale de la réaction (4) est mesurée en suivant en 
spectrophotométrie visible
l'évolution temporelle de la concentration [Ou2+] en Ou2+. Montrer qu'aux temps 
courts [Ou2+]
varie de manière linéaire en fonction du temps (équation (5)).

[cu2+] = k... -t (5)

On admettra que la concentration initiale en Cu2+ est négligeable.

(1) Comme la réaction (4) est l'étape cinétiquement déterminante, quelle 
relation simple
existe-t--il entre [PdC13 (NO)2_]O et [PdClî_lo, concentration initiale en Pd 
(Il) '? Pour différentes
valeurs de [PdClî_]o, on a mesuré kobs dont les valeurs sont reportées dans le 
tableau 1 (les

concentrations des autres réactifs sont constantes et en excès). Quel est 
l'ordre partiel par rapport
à PdClg(NO)2_ de la réaction (4) ?

([Pd01î--]Ox1o3moiL--l | 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 (

(kobsxio5molL--ls--l (2,9 7,0 11,1 15,0 19,2 22,8!

Tableau 1
Influence de la concentration initiale en Pd(II) sur la cinétique de la 
réaction (4)

5. De la même manière, on montre que l'ordre partiel par rapport a NO est 1, 
celui par
rapport à H30+ et ClÎ est 0 et que pour CuClä la situation est plus compliquée 
(voir la
question 5.d)). Le but de cette dernière question est de proposer un mécanisme 
pour la réaction
(4) qui soit en accord avec les données expérimentales.

&) On pourrait tout d'abord envisager la formation d'un composé dinitrosyl qui 
conduirait

à N20 par couplage réducteur selon le mécanisme suivant :

Substitution PdClg(NO)2_ + NO(g) :: Pdoi2(N0)g + or
--1
Réduction Pdoi2(N0)g + Quoi; Æ» PdClg(NO)Ê_ + ou" + 2cr

Élimination réductrice PdC12(NO)ä + 2H30+ + 2Cl_ ------> PdCl[ + NgO(g) + 3H20

La réaction d'élimination réductrice est en fait composée de plusieurs étapes 
élémentaires mais
seule l'équation bilan a été écrite car l'étape de réduction est généralement 
l'étape cinétiquement
déterminante. Expliquer pourquoi la première étape de ce mécanisme est en 
contradiction avec
l'observation expérimentale d'un ordre nul par rapport à C1".

b) Un autre mécanisme pourrait être proposé dans lequel la première étape est 
une attaque
du ligand nitrosyl NO de PdCl3 (NO)2_ par une molécule de NO pour donner un 
complexe A2".
Ce complexe est réduit par CuCl£ pour donner A3". Ensuite le complexe A3- 
réagit de manière
rapide avec H30+ pour donner N20 et H20. Le mécanisme peut--être résumé ainsi :

PdC13(NO)2_ + NO(g) ;:1 A2--

A2-- + 011015 £» A3-- + Cu2+ + 2or
A3' + 2H30+ + cr --+ mer; + N20(g) + 3H20

Montrer que la vitesse globale de la réaction est identique a la vitesse de 
formation de A3_.

c) En appliquant l'approximation de l'état quasi--stationnaire, exprimer la 
vitesse U de la
réaction en fonction de 1--91, k_1, k'2, [PdClg(NO)*], [NO] et [CuCl2_]. Les 
observations expéri--
mentales sont--elles bien reproduites ?

d) Dans le tableau 2 sont reportées les valeurs de kobs pour différentes 
valeurs de la
concentration initiale en CuC15 .

[CuClï]0 mol L_1 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175 0,2 '
kobs >< 10"molL'1 $"1 2,9 4,7 6,0 6,9 7,6 8,2 8,7 9,0 '
Tableau 2

Influence de la concentration initiale en Cu(I) sur la cinétique de la réaction 
(4)

Tracer kobs en fonction de [Cu015 ]g et commenter l'allure de la courbe en 
relation avec la loi
de vitesse déterminée ci--dessus. Quelle courbe faudrait--il tracer pour 
vérifier que le mécanisme
ci-dessus est en accord avec les données expérimentales ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Péter Horvai (ENS Ulm) et Yannick Alméras (ENS
Ulm) ; il a été relu par Nancy Loosemore (ENS Lyon) et Franck Stauffer (ENS 
Lyon).

Ce sujet se divise en deux problèmes indépendants.
Le premier est un problème de physique, plus précisément d'électrostatique. On
étudie la répartition de charges induite dans un conducteur par une charge 
ponctuelle située dans son voisinage, ainsi que la force exercée alors sur la 
charge. On
commence par l'étude du cas d'un conducteur parfait, puis on modélise un 
conducteur réel en introduisant le potentiel chimique des électrons. On reste 
toujours dans
l'approximation d'une couche d'écran mince.
Ce problème ne requiert que des connaissances élémentaires en électrostatique, 
la
difficulté résidant plutôt dans quelques calculs plus « astucieux ».

Le second problème, de chimie, propose l'étude de la réduction du monoxyde
d'azote NO en monoxyde de diazote N2 O (ou protoxyde d'azote), catalysée par un
mélange de dichlorure de palladium PdCl2 et de chlorure cuivrique CuCl2 en 
milieu
acide chlorhydrique fort.
­ Dans un premier temps, des notions d'atomistique sont utilisées pour analyser
la structure de chacun de ces oxydes d'azote ;
­ dans un deuxième temps, une étude thermodynamique des étapes de la réduction 
est menée, faisant appel aux cours de thermochimie, d'oxydoréduction et
de catalyse ;
­ enfin, une étude cinétique est proposée, en utilisant la méthode de la vitesse
initiale.

Indications

Problème de physique
I.1.b Écrire la première équation de Maxwell.
I.1.c Écrire le théorème de Gauss pour un cylindre infinitésimal.
I.2.a Utiliser l'antisymétrie de la distribution de charges.
I.2.b Utiliser l'équivalence des deux sytèmes des charges.
I.2.c Utiliser les résultats des questions I.1.c et I.2.b.
I.2.d Calculer |/r| et utiliser une inégalité algébrique simple.
I.3.a Intégrer la densité surfacique de charge.

-
I.3.b F A est parallèle à Oz, donc il suffit de calculer cette composante.
II.1.a Utiliser les hypothèses de la question I.1.a et de l'introduction de la 
deuxième
partie.
--

-
II.1.b µ
e est constante  grad µ
e= 0
 1   
II.1.c Le gradient en coordonnées cylindriques est
,
,
; identifier les
r r  z
composantes.
II.2.b Utiliser le résultat de la question II.1.c.
II.3.a Utiliser n(r, z) et non n(r, 0).
II.3.c Se servir de la question II.2.b et des deux estimations précédentes.
III.1.a Au lieu d'utiliser la question II.1.b, partir de µ
e(r, z) = µ(n0 , T) et développer
µ(n, t) autour de n0 .

III.1.b Écrire l'équation de Laplace.

III.1.c Substituer le résultat de la question III.1.a dans celui de la question 
III.1.b,
puis réappliquer le laplacien pour passer de V à .
III.3.a Il y a un terme en (/h)2 ; l'équation devient une équation 
différentielle ordinaire en la coordonnée Z : R peut être vu comme un paramètre.
III.4 Au lieu d'intégrer sur l'espace le potentiel créé par la distribution (r, 
z) que
l'on vient d'expliciter, utiliser le résultat des questions III.1.b et III.1.c 
pour
éviter les calculs.
III.6.b Il faut connaître la charge de l'électron.
III.7.a C'est la formule classique. Aussi utiliser la symétrie pour trouver la 
direction

-
de F et calculer seulement cette projection.
III.7.b Ne pas développer l'exponentielle.

Problème de chimie
1.c NO est un radical : il possède un électron libre.
1.d La formule de Lewis la plus probable respecte la règle de l'octet et fait 
intervenir une séparation de charges respectant l'électronégativité plus 
importante
de l'oxygène.
2.a Dans l'approximation d'Ellingham, les grandeurs standard r H1 (T) et r S1 
(T)
sont indépendantes de la température.
2.b Calculer la variance permet de savoir s'il y a déplacement ou rupture de
l'équilibre. Utiliser les lois de modération pour obtenir les sens d'évolution.
3.b Utiliser la relation de Nernst.
3.c Passer par le calcul de r GCu2+/CuCl- pour obtenir ensuite ECu2+/CuCl- par
2
2
la relation de Nernst pour la demi-équation rédox
Cu2+ + 2 Cl- + e- - CuCl-
2

(a)

Pour cela, utiliser (b) et (c) :
Cu+ + 2 Cl- - CuCl-
2

(b)

Cu2+ + e- - Cu+

(c)

5.c L'approximation de l'état quasi-stationnaire peut être appliquée au complexe
A2- .
5.d La représentation la plus significative est celle qui donne une droite.

Premier problème

Première partie
I.1.a À l'équilibre le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur parfait 
est
nul. Par conséquent le potentiel est constant. Si on prend le potentiel nul à 
grande
distance, il est nul dans le conducteur.
I.1.b L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit

-

div E =
0
où  désigne la densité de charge électrique. Or le champ est nul à l'intérieur 
d'un
conducteur parfait à l'équilibre, donc

-
 = 0 div E = 0
Ainsi, c'est seulement sur la surface du conducteur que les charges peuvent 
apparaître.
I.1.c On utilise le théorème de Gauss (forme intégrale de la loi de Maxwell)
Z
 -
-

Q = 0
E . dS

-
où Q désigne la charge totale à l'intérieur de la surface  et d S le vecteur 
élément
de surface infinitésimal orienté vers l'extérieur. En prenant un cylindre 
infinitésimal
perpendiculaire à la surface, coupé en deux par la surface, de base A et 
hauteur h,
centré sur le point de coordonnées (x, y, 0), on a avec le théorème de Gauss et 
sachant
que le champ au voisinage de la surface d'un conducteur parfait est 
perpendiculaire
à la surface (à cause de la relation de passage qui impose la continuité de la 
composante tangentielle du champ électrique, et parce que celle-ci est nulle à 
l'intérieur du
conducteur parfait) :
A (M) = 0 A [E(x, y, h/2) - E(x, y, -h/2)]
En simplifiant par A et en passage à la limite quand h  0 :
(M) = 0 [E(x, y, 0+ ) - E(x, y, 0- )]
I.2.a En effet, le système des deux charges étant antisymétrique par rapport au
plan xOy, il en est de même du potentiel. Donc pour tout point du plan xOy on a
V(x, y, 0) = -V(x, y, 0)
d'où V(x, y, 0) = 0 . Par suite, le plan xOy est un plan équipotentiel, de 
potentiel
nul.
L'idée est ici que, sur le bord du demi-espace vide, les deux systèmes de
charges (deux charges d'une part ; une charge en face du conducteur semiinfini 
de l'autre part) créent le même potentiel, et qu'à l'intérieur du demiespace 
ils donnent la même distribution de charge. Alors on sait que le poTéléchargé 
gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .