X Physique MP 2014

Thème de l'épreuve Centrale inertielle
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique ondulatoire, électrostatique, oscillateur amorti, référentiel non galiléen
Mots clefs accéléromètre, effet Sagnac, gyromètre, poutre vibrante, MEMS

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.
* * *

Centrale inertielle

Une centrale inertielle est un ensemble d'accéléromètres et de gyromètres qui 
mesure
l'accélération et la vitesse angulaire d'un mobile et permet de le positionner 
dans l'espace. La
miniaturisation et le désormais faible coût de ces capteurs permettent de les 
intégrer dans de
nombreux dispositifs électroniques embarqués. On les retrouve par exemple dans 
les systèmes
de navigation automobile pour pallier la perte momentanée du signal GPS, dans 
les disques
durs d'ordinateurs portables pour prévenir des chocs éventuels et protéger les 
têtes de lecture,
dans les smartphones ou dans les manettes de jeu vidéo pour détecter les 
mouvements du

joueur.

L'objet de ce problème est l'étude de différents types d'accéléromètres et de 
gyromètres. Les

quatre parties du problème sont indépendantes.

Dans le problème g désigne l'accélération de la pesanteur que l'on prendra 
égale a 10 m - s--2

dans les applications numériques et c désigne la vitesse de la lumière dans le 
vide que l'on

prendra égale a 3 >< 108 m-s_1.

I Étude d'un accéléromètre pendulaire

L'accéléromètre ADLX qui équipe les manettes des consoles Nintendo VViiUTM est 
un
accéléromètre de type pendulaire. La fiche constructeur précise qu'il peut 
mesurer des
accélérations comprises entre --5g et +5g, que la plus petite accélération 
mesurable est de

0,01g, et qu'il peut résister a des chocs allant jusqu'à 10 OOOg.

1. Donner, en précisant la méthode utilisée, les ordres de grandeur des 
accélérations subies
par la manette de jeu placée dans la main d'un joueur agitant rapidement ou 
lentement

le bras. Les situer relativement aux valeurs annoncées par le constructeur.

Un accéléromètre pendulaire peut être assimilé a un système masse-ressort 
amorti, dont
le schéma de principe est présenté sur la figure 1. L'accéléromètre se compose 
d'une
masse d'épreuve m, astreinte a se déplacer selon un axe ?? solidaire du boitier 
extérieur
de l'accéléromètre. La masse d'épreuve est reliée au boîtier par un ressort de 
raideur k. On
note X la position de la masse d'épreuve par rapport au centre du boîtier. La 
position au
repos de la masse d'épreuve, lorsque l'axe ?? est horizontal, est X = 0. On 
suppose que la
masse d'épreuve subit également une force de frottement visqueux Ê' : --2vaü où 
v est

une constante positive.

/\ ' / / \ , ,
Bo1t1er de l'accelerometre Masse/d epreuve

\ /
Rzy k: mi

O a: ?

©1

Figure 1: Schéma d'un accéléromètre pendulaire.

Le boitier se déplace dans un référentiel R supposé Galiléen et on note 53 son 
accélération
dans ce référentiel. Lorsque le boitier subit une accélération, la masse 
d'épreuve quitte sa
position d'équilibre. La mesure de la position X permet alors de déduire 
l'accélération du

boîtier.

On suppose tout d'abord que l'accéléromètre garde une orientation fixe et 
horizontale selon

l'axe 056 (2? = 62). De plus, l'accéléromètre ne se déplace que selon l'axe 056 
(53 : a(t)e}).

On note wr : Vic/m.

2. Donner l'équation différentielle vérifiée par la variable X, faisant 
intervenir ou... y et

a(t).

On suppose que l'accéléromètre ainsi que sa masse d'épreuve sont immobiles pour 
des temps
t négatifs, et que l'accéléromètre subit une accélération constante 53 : ae} 
pour les temps t

positifs.

3. Donner l'expression de la solution de l'équation différentielle dans le cas 
faiblement
amorti où v < car et dans le cas fortement amorti où y > wT. On ne cherchera 
pas a

calculer les constantes d'intégration qui apparaissent dans les expressions.

4.

5.

Montrer que dans les deux cas, faiblement et fortement amorti, X (t) tend vers 
une

valeur stationnaire dont on donnera l'expression.

Tracer l'allure de X (t) dans les deux cas, faiblement et fortement amortis.

On appelle temps de réponse de l'accéléromètre le temps caractéristique pour 
que X (15) at--

teigne le régime stationnaire.

Donner le temps de réponse de l'accéléromètre dans les deux cas, faiblement et 
forte--

ment amorti.

Tracer l'allure du temps de réponse de l'accéléromètre en fonction du paramètre 
v,

pour une pulsation w.,» fixée.

D'après le graphe de la question précédente, quel est le temps de réponse 
minimal pour

un accéléromètre de pulsation w.,» donnée ?

D'après la fiche constructeur, l'accéléromètre ADLX possède les 
caractéristiques suivantes :

pulsation de résonance w.,» : 27r >< 5 500 rad - s_1, facteur de qualité Q : 
ca,/v : 5.

9.

10.

11.

Donner la valeur du temps de réponse de l'accéléromètre, ainsi que celle du 
déplacement

stationnaire de la masse d'épreuve pour une accélération de lg.

Pourquoi peut--on dire que les performances de ce type d'accéléromètre 
résultent d'un
compromis entre temps de réponse et sensibilité, c'est--à--dire qu'un 
accéléromètre pen--

dulaire très sensible aura un temps de réponse long ?

On considère que l'accéléromètre n'est plus horizontal et qu'il subit une 
accélération
constante ä d'orientation quelconque. Montrer que ce type d'accéléromètre n'est 
pas
capable de mesurer la composante de l'accélération 55 selon ?? mais une 
quantité que

l'on exprimera en fonction de ä, ?? et l'accélération de la pesanteur ÿ'.

II Détection électrostatique

Dans cette partie est étudié le système de détection du déplacement de la masse 
d'épreuve

de l'accéléromètre Une première méthode est la détection capacitive dont le 
principe est

présenté sur la figure 2. Une électrode est déposée sur la masse d'épreuve et 
fait face a

une électrode fixe, le tout formant un condensateur. Un mouvement de la masse 
d'épreuve

modifie la distance entre les électrodes et donc la capacité de ce condensateur.

Boîtier de l'accéléromètre

e--l--X

Électrode fixe \ /Électrode mobile

X

'--

Masse d'épreuve

Figure 2: Mesure capacitive de la position de la masse d'épreuve.

La mesure du déplacement de la masse d'épreuve revient donc a une mesure 
électronique de

la capacité d'un condensateur.

On assimile les deux électrodes a deux plans infinis parallèles séparés d'une 
distance e + X.

La différence de potentiel entre l'électrode fixe et l'électrode mobile est U.

12. Etablir l'expression du champ électrique entre les deux électrodes du 
condensateur en

fonction de U , e, X. On précisera la méthode et les arguments de symétrie 
employés.

13. En déduire l'expression de la capacité Cl du condensateur formé par les 
deux électrodes.
On exprimera le résultat en fonction de e, X , et de la capacité C du 
condensateur pour

X = 0, dont on précisera l'expression.

Cette méthode capacitive est couramment utilisée pour détecter des déplacements 
d'objets
massifs. Cependant la capacité Cl ne dépend pas linéairement du déplacement X 
et dans les
accéléromètres miniatures la force électrostatique produite par le système de 
détection peut

se révéler gênante.

14. Donner la force qu'exerce l'électrode fixe sur l'électrode mobile en 
fonction de U , e, X ,

et C . On précisera si cette force est attractive ou répulsive.

Les caractéristiques typiques d'un accéléromètre miniature sont C = O, 1 pF, e 
= 1 nm,

U = 1 V et la masse d'épreuve est de 1 ng.

15. Pour X = O, donner l'ordre de grandeur de la force électrostatique 
s'exercant sur
l'électrode mobile et discuter de la possibilité de réaliser une mesure 
capacitive
du déplacement de la masse d'épreuve d'un accéléromètre prévu pour mesurer des

accélérations de 1g.

Dans les systèmes miniatures tels que l'accéléromètre ADLX, une seconde 
électrode fixe est
placée symétriquement par rapport a X = 0 (voir figure 3). La distance entre 
cette électrode
et l'électrode mobile est donc e -- X. La première électrode fixe est portée au 
potentiel VS, la

seconde au potentiel --V3. On mesure alors le potentiel de l'électrode mobile.

Boîtier de l'accéléromètre

Électrode fixe l\.

c+X e--X

Â

./ Électrode fixe 2

Masse d'épreuve

| Fil souple Voltmètre

Figure 3: Mesure électrostatique de position a deux électrodes fixes.

16. En considérant que l'électrode mobile reste isolée et globalement neutre, 
donner le

potentiel V de l'électrode mobile en fonction X, e, et V3.

17. Dans cette configuration, quelle est la force électrostatique s'exercant 
sur l'électrode

mobile ?

18. Déduire des deux questions précédentes l'avantage d'un système possédant 2 
électrodes

fixes par rapport a celui a une seule électrode fixe.

III Accéléromètre vibrant

Dans un accéléromètre vibrant, la masse d'épreuve est fixée a une ou plusieurs 
lames vibrantes.

Un système électronique maintient constamment les lames en oscillation a leur 
fréquence

propre. Lorsque la masse d'épreuve subit une force inertielle, elle applique un 
effort de tension

sur les lames, dont les fréquences de résonance vont changer, telles des cordes 
vibrantes. La

mesure de l'accélération consiste a suivre les modifications de fréquence 
propre des lames.

Boîtier de l'accéléromètre

L

O

Masse d'épreuve

Mode de vibration

Figure 4: Principe d'un accéléromètre vibrant.

On considère l'accéléromètre de la figure 4 : au centre du boitier de 
l'accéléromètre, une

masse d'épreuve est astreinte a se déplacer selon l'axe Occ. Elle est reliée au 
boîtier par deux

lames identiques dirigées selon l'axe 055, une a sa droite l'autre a sa gauche. 
L'oscillation
des lames est transverse (oscillation de flexion). La pulsation propre ou d'une 
lame vérifie la
relation :

w : wo + ozT , (1)

où T est la tension exercée sur la lame. La lame étant rigide, la tension T 
peut être négative.

Au repos la masse d'épreuve n'exerce aucune tension sur les lames. Lorsque 
l'accéléromètre est
en mouvement la masse d'épreuve subit une force inertielle d'entrainement 
Feë'oe, Cette force
est entièrement compensée par les lames qui maintiennent constamment la masse 
d'épreuve

au centre du boîtier.
19. Écrire la différence de pulsations propres des lames en fonction de la 
force FEUR et de oz.

20. Quels avantages ce type de système où la masse d'épreuve est quasiment 
immobile
dans le boitier de l'accéléromètre possède--t--il sur les accéléromètres 
pendulaires ? On
pourra faire référence a la question 10 et également s'interroger sur la plage 
maximale

d'accélérations mesurables.

La suite de cette partie est consacrée a l'établissement de la relation (1).

On considère une lame de longueur L, de largeur (9, d'épaisseur h et de masse 
M, orientée
selon l'axe a: encastrée a ces deux extrémités en a: = 0 et a: = L. Dans son 
mode de
vibration fondamental, la déformation de la lame est uniquement transverse et 
sa dépendance
temporelle est harmonique a la pulsation w. On note y(a:, t) : Y(a:) cos(wt) le 
déplacement
de l'élément de lame situé a l'abscisse a:. On considérera uniquement de 
petites déformations
de la lame, c'est--à--dire que l'on ne conservera dans les calculs que le 
premier ordre non nul

en y et en ses dérivées.

21. Exprimer l'énergie cinétique totale Ec(t) de la lame en fonction de M, L, 
ou, t et de la
fonction Y(a:).

22. Soit l'élément de lame compris entre les abscisses a: et a: + (156. Lors 
d'une flexion de
la lame (y(oe,t) # O), exprimer, au premier ordre non nul, son allongement 
5(a:) en

fonction de y(a:, t) ou ses dérivées, puis donner l'allongement total A de la 
lame.

La lame est soumise, par un opérateur extérieur, a une force de tension 
constante axiale Të'oe
a son point d'ancrage 56 = L et --Të}; a son point d'ancrage 56 = 0. On suppose 
que cette
force est uniforme le long de la lame c'est--à--dire que pour toute abscisse a: 
la partie de la
lame a droite de a: exerce sur la partie a gauche une tension d'amplitude T 
dirigée le long de
la lame. Dans le cas de petites oscillations y(a:, t), on peut négliger la 
tension supplémentaire

créée par l'allongement de la lame qui est un effet d'ordre supérieur.

On appelle énergie potentielle de tension, que l'on notera Etension(t), 
l'énergie potentielle

élastique totale de la lame produite par son allongement.

23. Exprimer EtenSion(t) sous la forme d'une intégrale en fonction de T, ou, t 
et de la fonction

Y(a:) ou de ses dérivées.

La lame est composée de différentes tranches horizontales d'épaisseur du comme 
illustré sur
la figure 5. Lorsque la lame est courbée, ces tranches peuvent être soit 
comprimées soit étirées
en fonction de leur position verticale. Cet effet lié a la courbure donne lieu 
a une énergie
potentielle élastique. Chacune de ces tranches, située entre les absisses a: et 
a:+da3, de section
de largeur 19 et d'épaisseur h possède, pour son alongement horizontal, une 
raideur /<; :
/<: : LEb du
da: '
où E est une constante positive appelée module d'élasticité, exprimée en N - 
m_2, qui car--
actérise l'élasticité du matériau. Lors de la flexion, chaque section 
transversale de la lame
reste plane et orthogonale au plan central de la lame. On note d9 l'angle entre 
la section a

l'abscisse a: et celle a l'abscisse a: + (là?.

Les deux types de déformations, allongement et courbure, sont a priori couplés, 
cependant,

dans l'approximation linéaire, ils peuvent être calculés séparément.

LamEUR/
Section transversale

Plan central

a: oe--l--da:

Figure 5: Elément infinitésimal de la lame lors d'une flexion.

24. Exprimer l'énergie potentielle élastique de l'élément de lame due a la 
courbure seule,
c'est--à--dire en considérant que le plan central de la lame n'est pas allongé. 
On exprimera
le résultat en fonction de E, (9, h, da: et d9.

25. En déduire que l'énergie potentielle élastique de courbure Ecourbuoe(É) de 
la lame prend

1 L 32 56,15 2
Ecourbure=äB/O (--ËËC2 )) d£E'a

où B est une constante que l'on exprimera en fonction des paramètres 
géométriques de
la lame et de E.

la forme :

26. En invoquant la conservation de l'énergie lors de la déformation de la 
lame, montrer

que la pulsation propre au du mode fondamental vérifie :

w2=wâ+fiT,

où ado et 6 sont des constantes que l'on exprimera en fonction de M, L, B et 
d'intégrales
de la fonction Y ou de ses dérivées. Sous quelle(s) conditi0n(s) 
retrouve--t--on la relation

(1) ? Donner l'expression de oz.

27. En première approximation le mode fondamental possède une déformation du 
type
Y(a:) : Y0(1 -- cos(27roe / L)) Donner l'expression des constantes ado et 04 en 
fonction de
M, L, B.

Les accéléromètres a lames vibrantes sont généralement fabriqués en quartz pour 
ses ex--
cellentes propriétés mécaniques et dont le caractère piézoélectrique permet de 
réaliser très
facilement les excitations et les détections des vibrations. Cela en fait des 
capteurs de très

bonne précision et de très grande stabilité, relativement faciles a produire et 
a miniaturiser.

28. L'accéléromètre VIA (Vibrating Inertial Accelerometer) développé par 
l'ONERA,
possède une lame vibrante de 30 mn de largeur, 60 nm d'épaisseur, de 2 mm de 
longueur
et de masse 10 ng. Il est fabriqué en quartz de module d'élasticité E = 1011 N 
- m_2, ce
qui lui confère une constante B = 5, 4 >< 10_8 N - m2. Donner la fréquence de 
résonance
du mode fondamental de la lame ainsi que la constante oz. Quelle est la 
variation de
fréquence de la lame lorsque celle--ci subit la tension exercée par une masse 
d'épreuve

de 10 mg soumise a une accélération de 19.

IV Gyromètre laser

Le gyromètre laser est un dispositif interférométrique qui exploite un effet 
relativiste appelé
effet Sagnac. Dans ce problème, on donne une interprétation cinématique 
classique de cet
effet en terme de décalage de fréquence d'une onde laser réfléchie par un 
miroir en mouvement.

Cette interprétation conduit au même résultat que le traitement relativiste du 
phénomène.

Une onde plane monochromatique de pulsation wg se propageant dans le vide, se 
réfléchit sur
un miroir avec un angle d'incidence 9 par rapport a la normale au miroir. Le 
miroir est animé
d'une vitesse 17 et on note 171 la composante de cette vitesse perpendiculaire 
a la surface du
miroir. On considère les deux points A1 et A2 appartenant aux fronts d'ondes 1 
et 2 séparés

d'une distance d et représentés sur la figure 6.

Le point A1 atteint le miroir a l'instant 151 = 0.
29. À quel instant 152 le point A2 du front d'onde 2 atteint--il le miroir ?

Pour des vitesses 171 du miroir faibles devant la vitesse de la lumière les 
lois de Descartes
pour la réflexion restent valables, en particulier l'onde est réfléchie avec un 
angle --9 (voir
figure 6).

Position du miroir à l'instant t1

Àd/, A2 / / Position du miroir à l'instant t2

Front d'onde 2
Front d'onde 1

\\\\\\\\\\\\\\\\

Figure 6: Réflexion d'une onde sur un miroir en mouvement.

30. Après réflexion, quelle est la distance d' entre le front d'onde 1 et le 
front d'onde 2 ?

On exprimera le résultat en fonction de d, c, 17 L et EUR.

31. En considérant que la distance d entre les points A1 et A2, avant 
réflexion, est égale à

la longueur d'onde À, donner la nouvelle longueur d'onde du faisceau après 
réflexion.

32. Montrer qu'au premier ordre en vl/c, la pulsation of du faisceau réfléchi 
est :

UJ_ cos9)

w'=wg(1+2
c

On pourra utiliser ce résultat dans la suite.

33. Comment appelle--t--on ce phénomène ? Citer un exemple de la vie 
quotidienne où l'on
observe cet effet. Citer un exemple scientifique ou de la vie quotidienne où 
cet effet est

utilisé dans une mesure.

On considère le dispositif de la figure 7. Un faisceau laser, assimilé à une 
onde plane, est divisé
en deux par une lame semi--réfléchissante qui laisse passer la moitié de 
l'intensité lumineuse et
réfléchit l'autre moitié. Les deux ondes ainsi créées se propagent en sens 
inverse sur le trajet
carré formé par les trois miroirs M 1, M2, M3. Après un tour complet chacune 
des deux ondes
est a nouveau divisée par la lame séparatrice. L'intensité repartant vers le 
laser est perdue,

celle ressortant par l'autre voie est détectée par un photodétecteur.

L'ensemble du dispositif (laser, miroirs, lame semi--réfléchissante et 
photodétecteur) est animé
d'un mouvement de rotation par rapport a un référentiel Galiléen R. Cette 
rotation se fait
a vitesse angulaire Q constante autour de l'axe Oz perpendiculaire au plan de 
la figure, 0
étant le centre du carré formé par les miroirs et la lame séparatrice. On note 
a le côté de ce

carré.

34. Lorsque le dispositif est immobile (Q = 0 et vitesse de translation nulle), 
relier l'intensité

reçue par le photodétecteur à l'intensité 10 émise par le laser.

Gyromètre
Faisceau

A ®> Q trigonométrique

Faisceau
anti--trigonométrique

WL
: Laser

2 M1
33 Lame semi--
réfléchissante

Photodétecteur -

Figure 7: Gyromètre laser.

Dans le reste du problème on se placera exclusivement dans le référentiel du 
laboratoire

supposé Galiléen. On supposera les vitesses des divers éléments optiques très 
faibles devant

la vitesse de la lumière. Dans cette approximation, dans le référentiel du 
laboratoire, l'onde

arrivant sur la séparatrice est une onde plane dont la pulsation sera notée wL.

35.

36.

37.

38.

Lorsque le dispositif est en rotation seule (Q # 0 et vitesse de translation 
nulle), au
niveau de quels éléments optiques (miroir M1, M2, M3 et lame 
semi--réfléchissante) se

produit l'effet de la question 33 ?

Toujours lorsque le dispositif est en rotation seule, quelles sont les 
pulsations ca,: de
l'onde se propageant dans le sens trigonométrique et wa de l'onde se propageant 
dans

le sens anti--trigonométrique ?

En considérant qu'en première approximation la lumière décrit le même trajet 
carré
que lorsque l'interféromètre est au repos, quel est le déphasage 90,5 (resp. 
(aa) acquis par
l'onde se propageant dans le sens trigonométrique (resp. anti--trigonométrique) 
depuis
son premier passage par la lame semi--réfléchissante jusqu'à son second après 
un tour

complet ? En déduire la différence de phase 90,5 -- (06, entre les deux ondes.

Justifier qu'après recombinaison sur la lame, les deux ondes ressortant vers le 
pho--
todétecteur possèdent la même pulsation. En déduire, grâce a la question 
précédente,
l'intensité lumineuse arrivant sur le photodétecteur, en fonction de Q, &, [g, 
et de la

longueur d'onde À du laser.

10

39.

40.

41.

Lors d'une translation seule du gyromètre (Q = 0 et vitesse de translation non 
nulle),
expliquer pourquoi l'intensité lumineuse arrivant sur le photode'teoteur est la 
même que
dans le cas de la question 34, et donc que le gyromètre est insensible aux 
translations

(on pourra prendre l'exemple d'une translation selon l'axe ë'oe).

Fibre optique

î < : Laser |

Lame semi--réfléchissante

- Photodéte0teur
Figure 8: Gyromètre laser a fibre optique.

Dans les dispositifs réels de gyromètre laser, l'anneau carré constitué par les 
miroirs est
remplacé par une fibre optique de plusieurs centaines de mètres enroulée sur 
elle--même.
Expliquer l'avantage de l'utilisation d'une longue fibre optique par rapport 
aux miroirs.
On pourra s'appuyer sur l'expressions de la différence de phase obtenu question 
37 en

l'adaptant au système a fibre optique.

Quelle différence de phase entre les ondes trigonométrique et 
anti--trigonométrique
obtient--on dans le cas d'un gyromètre a fibre optique dont la fibre fait 1 km 
de long
enroulée sur un cylindre de 10 cm de rayon, tournant a la vitesse angulaire de 
1 rad - s--1

et utilisant un laser de longueur d'onde 800 nm ?

11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE), il a été relu
par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est conforme au nouveau programme. Il est composé de quatre parties
et s'intéresse au principe de fonctionnement de capteurs de mouvement : deux 
accéléromètres et un gyromètre d'utilisation courante dans les objets du 
quotidien.
· Dans la première partie, on décrit un accéléromètre constitué d'un système
masse-ressort. Après avoir établi l'équation du mouvement, on analyse la durée
de réponse du système. On montre qu'une fois cette durée écoulée, la position de
la masselotte permet d'accéder à l'accélération. Cette partie fait appel au 
cours
sur la réponse indicielle d'un oscillateur mécanique amorti dans un référentiel
non galiléen.
· La deuxième partie porte sur la méthode de mesure capacitive de la position
de la masselotte. On fabrique un condensateur dont l'une des armatures est
solidaire de la masselotte. La capacité de ce condensateur est directement liée
à la position de la masselotte. On constate alors que la mesure de la position
de la masselotte est faussée par la force électrostatique s'exerçant entre les
armatures. Un dispositif à trois armatures permet de s'en affranchir et réalise
une conversion linéaire tension-position.
· C'est un accéléromètre « vibrant » qui fait l'objet de la troisième partie. 
Cette
fois, la masselotte est immobile et coincée entre deux poutres vibrantes, 
excitées
à leur fréquence propre. La mise en mouvement de ce système entraîne une
variation de la contrainte exercée par la masselotte sur les poutres et conduit
à un décalage des fréquences propres. Il s'agit d'expliciter le lien entre la 
force
exercée par la masselotte et la pulsation propre en écrivant successivement
les énergies cinétique et potentielle de chaque poutre. Cette partie est très
intéressante et aussi plus calculatoire que les précédentes car elle fait appel 
à
des raisonnements sur des éléments de longueur, essentiels pour le physicien.
· La quatrième partie présente le principe de fonctionnement d'un gyromètre
laser à effet Sagnac. On commence par établir la formule du décalage par effet
Doppler, qui n'était pas au programme en 2014 mais doit être dorénavant connu
des étudiants. On applique alors cette formule au gyromètre et on montre que
l'intensité enregistrée par un photodétecteur en sortie de l'interféromètre est
liée à la vitesse de rotation du gyromètre.
Cette épreuve de difficulté progressive mêle avec harmonie calculs, sens 
physique
et maîtrise du cours. Elle est d'autant plus intéressante qu'elle présente des 
techniques
de mesure très répandues sur lesquelles il est souhaitable d'avoir quelques 
idées.

Indications
1 Considérer un mouvement sinusoïdal effectué avec le bras. Quelle est 
typiquement
son amplitude ? Compter le nombre d'oscillations lorsque le bras oscille 
rapidement ou bien lentement.

2 Prendre en compte la force d'inertie d'entraînement qui s'écrit -ma(t) -
e .
x

6 Pour chaque régime, le temps de réponse est égal à la durée caractéristique du
régime transitoire.

11 Reprendre le théorème de la résultante dynamique (question 2) et projeter 
sur -
u.

14 Quel lien existe-t-il entre la force ressentie par l'armature portant la 
charge q et
le champ électrique dû à l'autre armature ?
16 Dessiner le schéma électrique équivalent au circuit contenant deux 
condensateurs
en série, modélisant les interactions électrostatiques entre chaque paire 
d'électrodes voisines. Traduire la nullité de la charge totale de l'armature 
centrale.
19 Noter T(xi ) la tension exercée par la partie située en x > xi sur la partie 
située
en x < xi et écrire le théorème de la résultante dynamique.
21 Écrire qu'un élément de poutre de longueur dx situé à l'abscisse x possède 
une
énergie cinétique dEc (t) qui s'écrit M/L dx × y 2 /2.
p
22 La longueur d'un élément de poutre s'écrit ds = dx2 + dy 2 et (x) = ds - dx.

23 L'énergie potentielle de la poutre est le produit de la tension multipliée 
par l'élongation de toute la poutre.
24  est le coefficient de raideur du ressort dont l'élongation est ud - dx. 
L'énergie
potentielle de courbure s'écrit

d2 Ecourbure(x, t) = (ud - dx)2
2
25 Montrer que

(d)2

dx

2y
x2

2

dx

26 Expliciter la relation Em = Ec +Etension +Ecourbure comme une somme 
d'intégrales
portant sur Y et ses dérivées. Dériver cette relation par rapport au temps.
27 La moyenne sur une période de cos x et sin x est nulle. Celle de cos2 x vaut 
1/2.
29 Montrer que v (t2 - t1 ) = d cos  - c cos (t2 - t1 ).

30 Considérer les points A1 et A2 à l'instant t2 .

32 De la question 31, déduire l'expression de   . Développer cette expression à 
l'ordre
1 en v /c. Utiliser la relation cos(2) = 2 cos2  - 1.
35 La vitesse de chaque élément (miroirs et lame) est orthoradiale.

36 Montrer que a =  et utiliser la formule de la question 33 pour exprimer t .
38 Utiliser de nouveau la formule de la question 33 (pour le faisceau 
trigonométrique),
pour démontrer que les ondes ont la même pulsation en sortie de la lame.
41 Négliger la correction due à l'indice optique qui n'importe pas sur le 
premier
chiffre significatif.

Centrale inertielle
I. Étude d'un accéléromètre pendulaire
1 Lorsqu'un joueur agite rapidement la manette, on peut estimer que la manette
effectue des oscillations dont l'amplitude vaut environ 0,1 m, à raison de 5 
oscillations
du bras par seconde. Dans ce cas, le mouvement oscillatoire de la manette est 
bien
décrit par une loi de la forme :
X(t) = A cos(t + )
avec A = 0,1 m et  = 5 × 2 rad.s-1 . Dans ces conditions,
|X|  A2 = 1.102 m.s-2

Divisons cette accélération par g (pour l'exprimer en g). Il apparaît que
L'accélération subie par la manette lors de mouvements rapides vaut
typiquement 10 g, ce qui est un peu supérieur à la valeur maximale
du constructeur mais du même ordre de grandeur.
Concrètement, ce résultat montre qu'il ne sert à rien de secouer trop 
violemment la manette.
On peut estimer que les mouvements lents correspondent à des oscillations 
d'amplitude A = 0,1 m à 0,2 Hz (une oscillation dure 5 s). Le même calcul que 
précédemment
conduit à |X|  2.10-1 m.s-2 et
L'accélération subie par la manette lors d'un mouvement lent
vaut typiquement 0,01 g, ce qui est du même ordre de grandeur
que la valeur minimale du constructeur.
2 Appliquons le théorème de la résultante cinétique à la masselotte dans le 
référentiel non galiléen du boîtier,

-

-

mX -
e x = m-
g + N - k( - 0 ) -
ex - 2 mX -
ex + Fi

-

-
où Fi est la résultante des forces d'inertie et N la réaction normale à Ox du 
support.
Projetons cette relation sur l'axe Ox horizontal,
 
-
mX = -k( - 0 ) - 2 mX + Fi · -
ex

D'après l'énoncé, X =  - équilibre. Or à l'équilibre, X = X = 0 et l'équation 
précédente impose que équilibre = 0 . Par conséquent, X =  - 0 . De plus, 
l'accélération
du boîtier est unidirectionnelle donc la force d'inertie est restreinte à la 
force d'inertie
d'entraînement, qui s'écrit dans ce cas

-
-
Fi = -ma(t) 
ex
L'équation du mouvement sur l'horizontale s'écrit

mX = -kX - 2 mX - ma(t)

Transférons tous les termes en X dans le membre de gauche et divisons par m pour
faire apparaître la pulsation r :
X + 2 X + r 2 X = -a(t)
On suppose l'absence de frottement solide : ce n'est pas explicitement précisé
par l'énoncé, même si c'est probablement sous-entendu par le choix de la
modélisation par un « système masse-ressort amorti ».

3 On cherche la solution particulière Xp sous la forme d'une constante. Dans ce 
cas
Xp = Xp = 0 et l'équation du mouvement impose
Xp = -

a
r 2

L'équation sans second membre s'écrit
X + 2 X + r 2 X = 0
D'après le cours, le facteur de qualité Q de ce système s'écrit
Q=

r
2

Dans le cas faiblement amorti, Q > 1/2, ce qui correspond à  < r . Les solutions
XH de l'équation du mouvement sans second membre sont donc de la forme

p
XH (t) = Ae -t cos
r 2 -  2 t + 
(pour  < r )

Par conséquent, la solution générale de l'équation du mouvement de la 
masselotte,
soumise à une accélération constante a, s'écrit
X(t) = Ae -t cos

p

a
r 2 -  2 t +  - 2
r

(pour  < r )

Dans le cas fortement amorti, Q < 1/2 (alors  > r ) et les solutions XH de
l'équation du mouvement sans second membre sont de la forme

- -  2 -r 2 t
- +  2 -r 2 t
XH (t) = A e
+ B e
(pour  > r )
Il s'ensuit que la solution générale de l'équation du mouvement de la 
masselotte,
soumise à une accélération constante a, s'écrit
X(t) = A e

- -  2 -r 2 t

+ B e

- +  2 -r 2 t

-

a
r 2

(si  > r )

4 Dans tous les cas, les exponentielles réelles tendent à s'annuler aux temps 
longs
si bien que
X tend vers -a/r 2 lorsque t tend vers +.