X Physique MP 2006

Thème de l'épreuve Étude d'un système de rayonnement millimétrique
Principaux outils utilisés optique, rayonnement, électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Étude d'un système de détection de rayonnement millimètrique

Dans ce problème, nous étudions un système de détection de rayonnement 
millimètrique
utilisant une antenne collectrice couplée à des détecteurs de rayonnement 
ultra--sensibles appelés

bolomètres.

Le principe général consiste à concentrer le rayonnement vers un cristal 
absorbant (bolomètre)
refroidi a très basse température, lié thermiquement a un résistor dont la 
résistance dépend
fortement de la température. Le rayonnement incident chauffe le cristal, 
faisant donc varier cette
résistance. Les variations sont détectées par un système électronique 
approprié, permettant ainsi
la mesure de la puissance du rayonnement incident.

Dans la partie I, nous étudions le principe de la détection de rayonnement avec 
un bolomètre.
La partie II est consacrée au système cryogénique permettant d'amener les 
détecteurs a leur
température de fonctionnement. La partie III est dédiée au système optique 
concentrateur de
rayonnement permettant de focaliser celui--ci sur le détecteur. À l'exception 
de la dernière question

du problème, les trois parties sont indépendantes.

Formulaire :

+00 2
/ e_oe dac = \/7--r

--oo
+oo
/ oe2e_oe2 da: = @
_oe 2
/ da: arctan( )
= w .
1 + 5132

Données numériques :

kB (constante de Boltzmann) = 1,38 >< 10"23 J- K_1À
0 (constante de Stefan) = 5, 67 >< 10_8 W- m'2 - K"4
D,; (distance Terre--Lune) = 3, 85 >< 108 m.

___-

I. Principe de la détection de rayonnement avec un bolomëtre

Comme illustré sur la figure 1 un bolomètre est constitué d'un absorbeur qui 
reçoit le rayon-
nement que l'on désire détecter. Sa température T, supposée uniforme, est 
mesurée à l'aide d'un
thermomètre incorporé, constitué d'un matériau conducteur dont la résistance 
R(T) varie avec la

1dR

température T ; cette variation est caractérisée par le coefficient & : 
--------. L'ensemble possède

. . R dT
la capac1té thermique Cth.

Un barreau, conducteur thermique, homogène, de longueur L, de section S et de 
conducti--
vité thermique A et sans échanges thermiques latéraux, relie le bolcmètre a un 
thermostat de

température T b fixe.

rayonnement incident puissance P,

absorbeur
courant de [
polarisation H
-R(T)
I ...
L, S, Â barreau
conducteur
thermostat / Tb

Figure 1 -- Schéma d'un bolomètre

1.1. Dans cette première partie, on étudie le comportement du bolomètre en 
régime station--
naire, a la température de fonctionnement T : T0.

I.1.a) Exprimer la température T (au) en tout point du barreau conducteur 
repéré par son
abscisse oe; on prendra T(O) : T0 et T(L) = Tb.

I.1.b) Donner l'expression de PC(TO), puissance perdue par le bolomètre par 
conduction dans

le barreau. Définir la conductance thermique G du barreau en fonction de ses 
caractéristiques
À, L et S. Exprimer Pc(TO) en fonction de G, Tb et T 0-

I.1.c) Donner l'équation d'équilibre thermique du bolomètre7 reliant le courant 
[ traversant
la résistance R, la puissance radiative incidente P... la conductance C du 
conducteur thermique et
les températures T0 et Tb. Montrer que cette relation détermine la température 
de fonctionnement
TO du bolomètre.

1.2. On suppose a présent que le rayonnement incident comporte une petite 
variation p(t)
d'amplitude faible devant PT. Elle produit une variation de la température T 
(t) du bolomètre de
la forme T(t) = T0 + 6 (t) avec |5(t)l << To. Dans la suite de cette partie, le 
bolomètre est polarisé

à courant constant ] = 10.

ch

dT To
la puissance perdue par le bolomètre par conduction PC(T ) en fonction de 
PC(TO), Gd et 5(t).

1.2.3) On définit la conductance thermique dynamique Gd = . En linéarisant, 
exprimer

1.2.b) Exprimer de même la résistance du bolomètre R(T ) en fonction de R(T0), 
cm = cv(To)
et 5(t). '

I.2.c) Obtenir l'équation différentielle relative à ô(t), régissant l'évolution 
thermique du bo--
lomètre en présence du rayonnement incident P7° + p(t). À quelle condition sur 
& l'équilibre
thermique analysé en 1.1 est--il stable '? Préciser en particulier le signe de 
oz qui assure la stabilité.

I.2.d) On suppose que la variation du rayonnement incident est de la forme
p(t) = pg exp(iwt), induisant une variation de température 5 (t) = 50 exp(iwt). 
En déduire que 60
peut s'exprimer sous la forme :

Po _-
60(w) = -------------------------- e "p
Ge 1 +w27'62

où l'on donnera les expressions de Ge, de T8 et de 90 en fonction des 
paramètres définis précé--
demment. Quelle interprétation peut-on donner a Te ?

I.2.e) Application numérique : ao = --20 K_1, C... = 5 >< 10_11 J - K_1, R(Tg) 
= 1 MQ,
10 = 20 nA, Gd = 1 nW - K--1. Calculer Te.

I.2.f ) Exprimer la << fonction de transfert >> S (w) = v / p où ?) est la 
variation de tension lue
aux bornes du bolomètre en présence de la variation de puissance radiative 
incidente p. Donner
la valeur de |S(w)| avec les valeurs numériques précédentes et pour une 
fréquence f = 100 Hz.

1.3. L'agitation thermique des électrons dans la résistance engendre des 
fluctuations de ten--
sion aux bornes du bolomètre7 appelées bruit Johnson. Pour prendre en compte ce 
phénomène,
la résistance du bolomètre est modélisée par une résistance idéale R en série 
avec un générateur
de tension aléatoire de f.é.m. e(t) de valeur moyenne temporelle nulle.

Pour en faire l'analyse, considérons le circuit de la figure 2 formé par le 
circuit du bolomètre
et un condensateur de capacité C . L'ensemble est à la température T.

F figure 2 - Condensateur et dipôle équivalent à la résistance du bolomètre

I.3.a) On étudie d'abord le cas d'une f.é.m. sinusoïdale ef(t), de fréquence f 
; l'énergie

moyenne stockée dans le condensateur est notée Uf. Calculer Uf en fonction de 
C, R , f et eî. où

ef désigne la valeur moyenne temporelle de ef.

I. 3. b) La f. é. m. fluctuante e(t) peut être considérée comme la 
superposition de composantes
sinus01dales incohérentes plus précisément, pour l' intervalle de fréquence { 
f, f + d f] la contri--

bution de2 à la valeur moyenne e2 est donnée par de2-- -- u( f )d f La quantité 
u( f ) s'appelle la
densité spectrale associée. En pratique, dans le domaine de fréquences 
d'utilisation du bolomètre,

cette densité spectrale est indépendante de la fréquence, soit u( f ) : ?... 
constante. En déduire la
moyenne temporelle U de l'énergie stockée dans le condensateur.

Les fluctuations de la répartition des électrons se traduisent, au niveau des 
armatures du
condensateur, par une charge aléatoire q; la probabilité de trouver cette 
charge dans l'intervalle
[q, q + dq] est donnée par P (q)dq où P (q) est une densité de probabilité 
normalisée de la forme :

1 U
P(q) : W exp <--Æ) où U (q) est l'énergie stockée dans le condensateur en 
fonction

de sa charge _q.

I.3.c) Calculer, a partir de la distribution P(q), la valeur moyenne (U} de 
l'énergie stockée
dans le condensateur en fonction de kg et T.

I.3.d) En supposant égales les valeurs moyennes Ü et (U), obtenir la valeur 
moyenne de la
densité spectrale u0. Exprimer alors c2 en fonction de R, le B et T dans la 
bande de fréquences de

largeur A f .

I.3.e) Le bolomètre est a la température T = 100 mK pour laquelle sa résistance 
est de
1 MQ. Calculer la valeur numérique de ./u0.

1.4. La valeur de la résistance R(T) est lue au moyen du circuit électronique 
représenté sur
la figure 3a; Rp est une résistance fixe avec Rp >> R(T )

I.4.a) Exprimer la tension de sortie 115 en fonction de R, HP et VA et des 
résistances du circuit,
justifier le choix Rp >> R(T ) Quel est l'intérêt de ce montage à amplificateur 
opérationnel?

I.4.b) L'amplificateur opérationnel n'est pas parfait ; en particulier la 
tension de sortie n'est

pas nulle lorsque les entrées @ et @ sont au même potentiel. On modélise ce 
défaut par un
générateur de tension vd en série avec l'entrée @ (figure 3b) ; vd est appelée 
tension de décalage.
Comment cela modifie--t--il la tension de sortie ?

C. (1

F igure 3 - Électronique de lecture du bolomètre

On applique une tension alternative VA (t) au point A. Montrer comment cela 
permet d'obtenir
un « signal » non perturbé par la tension de décalage vd.

On applique en fait une tension carrée VA(t) illustrée sur la figure 3c. 
Expliquer l'avantage
que cette forme présente pour le fonctionnement du bolomètre par rapport a une 
variation

sinusoïdale ?

I.4.c) On remplace le schéma précédent par celui de la figure 3d. À l'équilibre 
(puissance du
rayonnement incident donnée par P,... constant, R(Tg) = R0), comment doit--on 
choisir R3 pour
annuler la composante alternative 175 de la tension de sortie vs ?

I.4.d) Dans la condition déterminée précédemment, exprimer 135 lors d'une 
petite variation
p(t) du rayonnement incident (of. question I.2.), en supposant les variations 
lentes devant Te et
la période de VA.

I.4.e) Application numérique : on donne R0 = 1 MQ, Rp = 100 MQ, R1 = 10 M),
R2 = 100 kQ, V0 = 10 V. Calculer R3 remplissant la condition I.4.c). Préciser 
algébriquement,

puis numériquement, le lien entre 775 et p(t).

II. Cryogénie

Un bolomètre fonctionne à une température de l'ordre de 100 mK. Dans ce 
problème, nous
effectuerons seulement une étude comparative entre deux types de cryostats 
permettant de des---
cendre la température du système de détection a celle de l'hélium liquide que 
l'on prendra égale

à 4K.

sorties des vapeurs

- _ _ .. /_\ ..... /Tÿ"ieâäaËK\ ___________
|

l
: | sorties des
| --> »
| | Azote vapeurs
| | échangeurs |
| écran gazeux l
| | thermique
| | T2 ecran & T1
| | ' écran à T2
' |
| __________ .| |_ __________
cryostat A cryostat B

F igure 4 - Cryostats & hélium liquide

II.1. Considérons le cryostat A de la figure 4 constitué d'une réserve de 75 
litres d'hélium
liquide à la température TO : 4 K, protégée du rayonnement externe par une 
coquille cylindrique
(fermée aux deux extrémités) de 80 litres d'azote liquide à la température T1 : 
77 K. L'ensemble
est entouré d'un écran de protection (écran thermique) à la température T2 
situé a l'intérieur
d'une enceinte maintenue à la température ambiante T3 : 290 K. Le réservoir 
d'hélium est un
cylindre de 0,6 m de haut et de 0,4 m de diamètre. Les échanges thermiques 
entre les différentes
parois s'effectuent uniquement par rayonnement, le vide étant réalisé dans tous 
les espaces inter--
médiaires. On admettra que tous les flux surfaciques d'énergie transférée par 
rayonnement sont
donnés par la loi de Stefan pondérée par un coefficient 5. On prendra EUR = 5%. 
On négligera les
fenêtres faites dans le cryostat pour l'entrée du signal. On négligera 
également les épaisseurs du
réservoir d'azote, de l'écran thermique et des espaces intermédiaires devant 
les dimensions du
réservoir d'hélium, de sorte que tous les réservoirs et écrans sont considérés 
de même surface

totale d'échange S.

II.1.a) Comment faire en sorte que les échanges thermiques ne s'effectuent que 
par rayonne--
ment ?

II.1.b) Décrire l'équilibre thermique des différents éléments du cryostat. En 
déduire le sys--
tème d'équations correspondantes en fonction de EUR, a, S, des enthalpies de 
vaporisation LHe et
L..., des débits massiques DHe et DN2 et des températures T,-- pour i allant de 
0 à 3.

II.1.c) Application numérique. Calculer S, déterminer la température T2 de 
l'écran ther--
mique, calculer les débits DHe et DN2; exprimer la consommation d'hélium et 
celle d'azote en
litre / jour. En déduire l'autonomie du cryostat.

II.2. On envisage a présent le cryostat B de la figure 4 permettant d'utiliser 
le pouvoir de
refroidissement de la vapeur d'hélium pour remplacer le refroidissement par 
l'azote. La traversée
de chaque écran par l'hélium gazeux s'effectue par un échangeur thermique; 
l'hélium y passe de
sa température T,; a celle TEUR de l'écran (TEUR > T,). Le réservoir d'hélium a 
les mêmes dimensions
que précédemment. Les mêmes approximations restent valables.

II.2.a) Évaluer numériquement les énergies absorbées par la vaporisation d'un 
litre d'azote
liquide ou d'héIium liquide, ainsi que les énergies absorbées par les gaz 
résultant de cette vapori--
sation lors de leur réchauffement jusqu'à 290 K ; on supposera les capacités 
thermiques massiques
c indépendantes de la température. En déduire qualitativement l'intérêt du 
système de refroidis--

sement décrit dans cette question.

II.2.b) Écrire les équations régissant l'équilibre thermique du cryostat 
(réservoir d'hélium et
écrans thermiques).

II.2.C) Afin d'évaluer les températures T1 et Tg des deux écrans ainsi que la 
consommation
d'hélium DHe, on effectue les hypothèses simplificatrices suivantes : TO << 
T1,T g et T14 << T 24.
En posant pour l'hélium TG = L / EUR, montrer alors la relation

4 1/4
(%> ---- 1+
T1 TG TG

Évaluer T1 par méthode graphique ou par approximations successives; en déduire 
Tg; évaluer
DHEUR en litre / jour.

II.3. Comparer les performances de ces deux systèmes cryogéniques.

III. Étude du système optique

Dans cette partie, on étudie le système optique permettant de coupler les 
détecteurs aux
sources de rayonnement observées. Ce système consiste en une antenne de type 
Cassegrain, au
foyer de laquelle sont placés un ou plusieurs collecteurs (cônes de Winston) 
qui concentrent le

rayonnement sur le ou les bolomètres.

III.1. L'antenne du système optique est formée de deux miroirs sphériques 
positionnés comme
indiqué sur la figure 5. Le miroir primaire M1 de rayon R1 et de longueur 
focale f1 est concave,
tandis que le miroir secondaire Mg de rayon Rg et de longueur focale fg est 
convexe (les longueurs
f1 et fg sont positives). Les points S,- sont les sommets des miroirs, et F,-- 
les foyers. L'axe optique
est orienté positivement vers la droite. L'étude est effectuée dans 
l'approximation de Gauss.

III.1.a) Compléter le trajet, après réflexion sur M1 puis sur Mg, du rayon 
incident en P pro--
venant d'une source située à l'infini sur l'axe du système en expliquant 
brièvement la construction
graphique. On désigne par F le point où le rayon croise l'axe optique après 
réflexion sur les deux
miroirs.

III.1.b) Exprimer la relation de conjugaison avec origine en Sg pour la 
réflexion sur Mg. En
déduire SgF permettant de positionner le point F en fonction de fg et de F1 Sg.

vers le collecteur
suivi du bolomètre

axe optique

miroir M

miroir Ml

Figure 5 -- Antenne Cassegrain

III.1.C) Justifier les hypothèses du schéma : 'S2S1I < f1 et |F152| < f2.

III.1.d) Pour des raisons techniques, le foyer F doit être situé à l'arrière du 
miroir primaire '
(S'1F > 0). Quelles sont les valeurs extrêmes de F1S2, exprimées en fonction de 
f1 et de f2, qui
remplissent cette condition ?

III.2. Intérêt du montage.

III.2.a) Le système reçoit le rayonnement d'une source « à l'infini » ; cette 
source est << vue »
sous l'angle oz. Déterminer la taille de son image dans le plan focal en F du 
système.

III.2.b) Montrer que la longueur focale f d'une lentille mince unique qui 
donnerait une
image de même taille est donnée par :

: f1f2
f2 -- F152'

III.2.C) Application numérique. On donne f1 : 2 m, f2 : 2 m et P'ng = 0,8 m. 
Vérifier
que la condition obtenue en III.1.d. est remplie. Calculer f et S2F .

f

III.2.d) Oonclure en donnant le ou les avantages du montage Cassegrain par 
rapport au
système constitué d'une seule lentille convergente.

III.2.e) Le miroir secondaire obstrue partiellement le miroir primaire. Avec 
les valeurs numé-
riques du III.2.C. et R1 = 50 cm, calculer le rapport R2/R1 optimal pour que, 
pour une source
ponctuelle située à l'infini sur l'axe, le miroir secondaire collecte tous les 
rayons réfléchis par M1.
En déduire la surface collectrice effective de l'antenne.

III.3. On étudie maintenant un collecteur de rayonnement (<< cône de Winston ») 
situé
juste devant le bolomètre. Il est constitué d'une surface de révolution 
réfléchissante; la section
méridienne est un arc AA' d'une parabole de foyer F, l'axe A de révolution du 
collecteur étant la
médiatrice de FA' . L'extrémité A de l'arc est le point où la tangente à. la 
parabole est parallèle
à l'axe A. On désigne par BB' l'arc symétrique de AA' par rapport a A, B' étant 
confondu
avec F. Le rayon d'ouverture du collecteur est noté a, le rayon de sortie a' et 
sa longueur L
(figure 6).

On rappelle l'équation polaire avec origine en F d'une parabole, de distance 
focale fW (dis--

tance de F au sommet) :
2f W

p(sû) = ----1 _ COS 90

où l'angle polaire 

d = f %, avec Hd = , où À est la longueur d'onde du rayonnement. III.4.a) On veut observer à la longueur d'onde /\ = 1 mm avec une antenne dont le miroir primaire a un rayon R1 = 50 cm. Donner la valeur numérique du rayon d'entrée a du cône de Winston telle que (I>d = a. A quelle propriété observationnelle correspond ce choix ? III.4.b) Déterminer la relation entre HW, R2 et S2F permettant de détecter l'ensemble des rayons réfléchis par le miroir secondaire. En déduire la valeur de la longueur L du collecteur le plus approprié. III.5. En présence du bruit Johnson étudié dans la partie I, l'incertitude commise sur la mesure de la tension liée à la présence d'un signal pendant le temps d'observation T est donnée par u0/7'. Si l'on considère que l'on peut mesurer un signal dès que sa puissance est plus importante que celle du bruit, à quelle distance peut--on détecter, en 10 secondes d'observation avec le système étudié dans ce problème, une source isotrope de rayonnement millimètrique d'une puissance de 10 W (utiliser les données numériques données au fur et a mesure du problème) ? Commenter.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et David Chapot (Professeur agrégé).

Ce sujet comporte trois parties très largement indépendantes. Il porte sur 
l'étude
d'un détecteur de rayonnement millimétrique, aborde des problèmes très variés 
et balaie une grande partie du programme. Chaque partie fait appel à un thème 
distinct et
si aucun résultat (ou presque) des parties précédentes n'est nécessaire à la 
résolution
des questions d'une autre partie, il est important de garder en tête l'optique 
générale
du problème pour comprendre ce qui est demandé.
· La première partie est dédiée à l'étude du détecteur. Son principe repose sur
l'utilisation d'une résistance qui dépend de la température et on est tout 
d'abord
amené à effectuer une série de bilans thermiques pour relier les variations de
la résistance à celles du rayonnement incident. Dans un deuxième temps, on
effectue une étude énergétique d'un circuit RC pour relier les variations de
rayonnement incident sur le détecteur à des variations de tension à ses bornes.
Finalement, la résistance est placée dans un montage à amplificateur 
opérationnel pour pouvoir mesurer précisément la différence de potentiel à ses 
bornes.
· Le détecteur doit être maintenu à très basse température et il est donc placé
dans un cryostat. La deuxième partie du sujet étudie deux modèles de cryostat
différents. On est à nouveau amené à effectuer plusieurs bilans thermiques.
· La troisième partie est principalement dédiée à l'étude du dispositif optique
nécessaire au détecteur. On étudie tout d'abord une antenne de type Cassegrain,
puis un collecteur de rayonnement.
Ce sujet est relativement long et les questions sont de difficultés très 
inégales.
Au vu de la diversité du sujet, il est important, mais difficile, de garder 
suffisamment de recul sur l'épreuve pour bien comprendre ce qui est demandé, 
d'autant que
certaines questions ont une formulation quelque peu elliptique.

Indications
Première partie
I.1.c À l'équilibre, la somme des puissances reçues est égale à celle des 
puissances
dissipées.
I.2.a Faire un développement limité de P(T) au voisinage de T0 .
I.2.c Utiliser le premier principe de la thermodynamique pendant un intervalle 
de
temps dt. L'équilibre est stable si toute perturbation initiale disparaît aux
temps longs.
I.3.a En notation complexe, la valeur moyenne de V2 est donnée par V2 = V V /2.
I.3.b Pour obtenir la contribution de la tranche fréquentielle [ f ; f + df ], 
il faut
remplacer ef 2 dans la question précédente par u(f ) df . Il suffit ensuite 
d'intégrer sur f pour obtenir la valeur moyenne U.
Z +
I.3.c Par définition,
hUi =
U(q) P(q) dq
-

I.4.a En régime linéaire, les tensions aux bornes  et  de l'amplificateur 
opérationnel sont égales. Penser à appliquer le théorème de Millman à chacune de
ses bornes.
I.4.b Que devient le théorème de Millman appliqué à la borne  ? Remonter à R(T)
à partir de v s .
I.4.d Utiliser la relation de la question I.2.d. Pour des variations de p(t) 
lentes
devant  e , on a 1 +  e  e  1.

Deuxième partie
II.1.b À l'équilibre thermique, la différence entre la puissance thermique 
reçue et la
puissance thermique dissipée sert entièrement à vaporiser l'hélium liquide ou
l'azote liquide.
II.2.b Cette fois-ci le surplus de puissance rayonnée sert à réchauffer 
l'hélium gazeux.
II.2.c Procéder par dichotomie.

Troisième partie
III.1.a L'image par M1 d'un rayon venant de l'infini se situe au foyer image F1 
;
il faut donc construire l'image de F1 par M2 . À cet effet, on peut construire
l'image d'un point à la verticale de F1 et la projeter sur l'axe optique.
III.1.c Pour obtenir une image réelle par un miroir convexe, il faut un objet 
virtuel.
III.3.a Appliquer l'équation polaire en A .
III.3.d Un miroir parabolique concentre en son foyer tout rayon parallèle à son 
axe.
Étudier la provenance de tous les rayons qui arrivent entre A et B . Attention :
les axes des paraboles ne sont pas confondus avec l'axe optique du système !

I. Principe de la détection de
rayonnement avec un bolomètre
I.1.a Comme il est précisé dans l'énoncé que l'on néglige les échanges 
thermiques
latéraux, on ne considère que les échanges aux extrémités du barreau. On 
suppose de
plus que les phénomènes de rayonnement sont négligeables par rapport au 
transport
d'énergie par conduction et que le gradient de température est suffisamment 
faible
pour que l'on puisse utiliser la loi de Fourier. L'équation de la chaleur 
s'écrit, avec
l'axe des x orienté selon le vecteur unitaire -
ux dirigé du bolomètre au thermostat,
T(x, t)
j(x, t)
=-
t
x
où  est la masse volumique du barreau, c sa capacité calorifique massique et 
j(x, t)
la densité de flux de chaleur donnée par la loi de Fourier :
c

T(x, t)
x
En régime permanent, la dérivée temporelle de la température est nulle. 
L'équation
de la chaleur devient par conséquent
d2 T(x)
=0
dx2
et s'intègre en
T(x) = a + b x
En utilisant les conditions aux limites T(0) = T0 et T(L) = Tb , on trouve
j(x, t) = -

T(x) = T0 +

Tb - T0
x
L

Pour retrouver rapidement l'équation de la chaleur, on effectue un bilan local 
sur une tranche [ x ; x + dx ] du barreau : cette tranche reçoit en x une
puissance j(x, t) S, cède en x + dx une puissance j(x + dx, t) S et la 
différence
entre ces deux puissances se traduit par une variation d'énergie interne :
T(x, t)
S dx  c
t
Par conséquent,
T(x, t)
j(x, t) - j(x + dx, t)
j(x, t)
c
=
-
t
dx
x
I.1.b La puissance perdue par le bolomètre est égale au flux de chaleur à 
travers

n'importe quelle section du barreau. Le vecteur -
 étant normal aux sections droites
de celui-ci, on obtient
Pc (T0 ) = j S

-
D'après la question précédente,  est donné par
- = - Tb - T0 -

u
x
L
Finalement,

Pc (T0 ) =

S
(T0 - Tb )
L

La conductance thermique G d'un barreau de longueur L, de section S et de
conductivité  est alors donnée par
G=

Pc (T0 )
S
=
T0 - Tb
L

La conductivité traduit l'importance du transfert thermique par le matériau 
pour une différence de température donnée. Or, le transfert thermique
est d'autant plus important que la section et la conductivité du matériau
sont grandes. Au contraire, une longue distance séparant les deux sources de
chaleur se traduit par un faible gradient thermique et donc par un transfert
thermique moindre. On retrouve bien intuitivement les dépendances de la
conductance avec , S et L.
La similitude du vocabulaire employé ici et de celui de l'électrocinétique
traduit une analogie réelle des phénomènes étudiés. Le barreau de conductivité 
thermique  est en contact avec deux systèmes à l'équilibre à des températures 
différentes T0 et Tb . La différence entre ces grandeurs intensives
se traduit par un flux thermique Pc à travers le barreau. Si la différence de
température n'est pas trop grande, l'intensité de ce flux est proportionnelle à
la différence T0 - Tb (réponse linéaire). En électrocinétique, c'est le 
potentiel
électrostatique qui joue le rôle de grandeur intensive et le flux de charges
est l'intensité I du courant qui circule dans le circuit. Ainsi, le courant I
qui traverse une résistance est proportionnel à la différence de potentiel à
ses bornes, le coefficient de proportionnalité étant la conductance G = 1/R.
On rappelle d'ailleurs la formule de la conductance d'un matériau de longueur
L, de section S et de conductivité  :
S
L
et l'on reconnaît une expression analogue à celle de la conductance thermique
définie précédemment. Le barreau peut donc être vu comme une résistance
thermique, soumise à une différence de potentiel T0 - Tb et traversée par un
courant Pc (T0 ).
G=

T0

Tb

Pc (T0 )

x
Uth = T0 - Tb = Rth Ith

I.1.c Effectuons un bilan énergétique du bolomètre. Celui-ci reçoit une 
puissance
thermique R I2 par effet Joule, une puissance Pr par rayonnement et cède une 
puissance Pc (T0 ) par conduction. À l'équilibre thermique, la puissance totale 
reçue est
égale à la puissance cédée :
R I2 + Pr = G (T0 - Tb )
De l'équation précédente, on déduit la température d'équilibre du bolomètre
T0 = Tb +

R I2 + P r
G