X Physique MP 2006

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Étude d'un système de détection de rayonnement millimètrique

Dans ce problème, nous étudions un système de détection de rayonnement 
millimètrique
utilisant une antenne collectrice couplée à des détecteurs de rayonnement 
ultra--sensibles appelés

bolomètres.

Le principe général consiste à concentrer le rayonnement vers un cristal 
absorbant (bolomètre)
refroidi a très basse température, lié thermiquement a un résistor dont la 
résistance dépend
fortement de la température. Le rayonnement incident chauffe le cristal, 
faisant donc varier cette
résistance. Les variations sont détectées par un système électronique 
approprié, permettant ainsi
la mesure de la puissance du rayonnement incident.

Dans la partie I, nous étudions le principe de la détection de rayonnement avec 
un bolomètre.
La partie II est consacrée au système cryogénique permettant d'amener les 
détecteurs a leur
température de fonctionnement. La partie III est dédiée au système optique 
concentrateur de
rayonnement permettant de focaliser celui--ci sur le détecteur. À l'exception 
de la dernière question

du problème, les trois parties sont indépendantes.

Formulaire :

+00 2
/ e_oe dac = \/7--r

--oo
+oo
/ oe2e_oe2 da: = @
_oe 2
/ da: arctan( )
= w .
1 + 5132

Données numériques :

kB (constante de Boltzmann) = 1,38 >< 10"23 J- K_1À 0 (constante de Stefan) = 5, 67 >< 10_8 W- m'2 - K"4 D,; (distance Terre--Lune) = 3, 85 >< 108 m. ___- I. Principe de la détection de rayonnement avec un bolomëtre Comme illustré sur la figure 1 un bolomètre est constitué d'un absorbeur qui reçoit le rayon- nement que l'on désire détecter. Sa température T, supposée uniforme, est mesurée à l'aide d'un thermomètre incorporé, constitué d'un matériau conducteur dont la résistance R(T) varie avec la 1dR température T ; cette variation est caractérisée par le coefficient & : --------. L'ensemble possède . . R dT la capac1té thermique Cth. Un barreau, conducteur thermique, homogène, de longueur L, de section S et de conducti-- vité thermique A et sans échanges thermiques latéraux, relie le bolcmètre a un thermostat de température T b fixe. rayonnement incident puissance P, absorbeur courant de [ polarisation H -R(T) I ... L, S, Â barreau conducteur thermostat / Tb Figure 1 -- Schéma d'un bolomètre 1.1. Dans cette première partie, on étudie le comportement du bolomètre en régime station-- naire, a la température de fonctionnement T : T0. I.1.a) Exprimer la température T (au) en tout point du barreau conducteur repéré par son abscisse oe; on prendra T(O) : T0 et T(L) = Tb. I.1.b) Donner l'expression de PC(TO), puissance perdue par le bolomètre par conduction dans le barreau. Définir la conductance thermique G du barreau en fonction de ses caractéristiques À, L et S. Exprimer Pc(TO) en fonction de G, Tb et T 0- I.1.c) Donner l'équation d'équilibre thermique du bolomètre7 reliant le courant [ traversant la résistance R, la puissance radiative incidente P... la conductance C du conducteur thermique et les températures T0 et Tb. Montrer que cette relation détermine la température de fonctionnement TO du bolomètre. 1.2. On suppose a présent que le rayonnement incident comporte une petite variation p(t) d'amplitude faible devant PT. Elle produit une variation de la température T (t) du bolomètre de la forme T(t) = T0 + 6 (t) avec |5(t)l << To. Dans la suite de cette partie, le bolomètre est polarisé à courant constant ] = 10. ch dT To la puissance perdue par le bolomètre par conduction PC(T ) en fonction de PC(TO), Gd et 5(t). 1.2.3) On définit la conductance thermique dynamique Gd = . En linéarisant, exprimer 1.2.b) Exprimer de même la résistance du bolomètre R(T ) en fonction de R(T0), cm = cv(To) et 5(t). ' I.2.c) Obtenir l'équation différentielle relative à ô(t), régissant l'évolution thermique du bo-- lomètre en présence du rayonnement incident P7° + p(t). À quelle condition sur & l'équilibre thermique analysé en 1.1 est--il stable '? Préciser en particulier le signe de oz qui assure la stabilité. I.2.d) On suppose que la variation du rayonnement incident est de la forme p(t) = pg exp(iwt), induisant une variation de température 5 (t) = 50 exp(iwt). En déduire que 60 peut s'exprimer sous la forme : Po _- 60(w) = -------------------------- e "p Ge 1 +w27'62 où l'on donnera les expressions de Ge, de T8 et de 90 en fonction des paramètres définis précé-- demment. Quelle interprétation peut-on donner a Te ? I.2.e) Application numérique : ao = --20 K_1, C... = 5 >< 10_11 J - K_1, R(Tg) = 1 MQ, 10 = 20 nA, Gd = 1 nW - K--1. Calculer Te. I.2.f ) Exprimer la << fonction de transfert >> S (w) = v / p où ?) est la 
variation de tension lue
aux bornes du bolomètre en présence de la variation de puissance radiative 
incidente p. Donner
la valeur de |S(w)| avec les valeurs numériques précédentes et pour une 
fréquence f = 100 Hz.

1.3. L'agitation thermique des électrons dans la résistance engendre des 
fluctuations de ten--
sion aux bornes du bolomètre7 appelées bruit Johnson. Pour prendre en compte ce 
phénomène,
la résistance du bolomètre est modélisée par une résistance idéale R en série 
avec un générateur
de tension aléatoire de f.é.m. e(t) de valeur moyenne temporelle nulle.

Pour en faire l'analyse, considérons le circuit de la figure 2 formé par le 
circuit du bolomètre
et un condensateur de capacité C . L'ensemble est à la température T.

F figure 2 - Condensateur et dipôle équivalent à la résistance du bolomètre

I.3.a) On étudie d'abord le cas d'une f.é.m. sinusoïdale ef(t), de fréquence f 
; l'énergie

moyenne stockée dans le condensateur est notée Uf. Calculer Uf en fonction de 
C, R , f et eî. où

ef désigne la valeur moyenne temporelle de ef.

I. 3. b) La f. é. m. fluctuante e(t) peut être considérée comme la 
superposition de composantes
sinus01dales incohérentes plus précisément, pour l' intervalle de fréquence { 
f, f + d f] la contri--

bution de2 à la valeur moyenne e2 est donnée par de2-- -- u( f )d f La quantité 
u( f ) s'appelle la
densité spectrale associée. En pratique, dans le domaine de fréquences 
d'utilisation du bolomètre,

cette densité spectrale est indépendante de la fréquence, soit u( f ) : ?... 
constante. En déduire la
moyenne temporelle U de l'énergie stockée dans le condensateur.

Les fluctuations de la répartition des électrons se traduisent, au niveau des 
armatures du
condensateur, par une charge aléatoire q; la probabilité de trouver cette 
charge dans l'intervalle
[q, q + dq] est donnée par P (q)dq où P (q) est une densité de probabilité 
normalisée de la forme :

1 U
P(q) : W exp <--Æ) où U (q) est l'énergie stockée dans le condensateur en fonction de sa charge _q. I.3.c) Calculer, a partir de la distribution P(q), la valeur moyenne (U} de l'énergie stockée dans le condensateur en fonction de kg et T. I.3.d) En supposant égales les valeurs moyennes Ü et (U), obtenir la valeur moyenne de la densité spectrale u0. Exprimer alors c2 en fonction de R, le B et T dans la bande de fréquences de largeur A f . I.3.e) Le bolomètre est a la température T = 100 mK pour laquelle sa résistance est de 1 MQ. Calculer la valeur numérique de ./u0. 1.4. La valeur de la résistance R(T) est lue au moyen du circuit électronique représenté sur la figure 3a; Rp est une résistance fixe avec Rp >> R(T )

I.4.a) Exprimer la tension de sortie 115 en fonction de R, HP et VA et des 
résistances du circuit,
justifier le choix Rp >> R(T ) Quel est l'intérêt de ce montage à amplificateur 
opérationnel?

I.4.b) L'amplificateur opérationnel n'est pas parfait ; en particulier la 
tension de sortie n'est

pas nulle lorsque les entrées @ et @ sont au même potentiel. On modélise ce 
défaut par un
générateur de tension vd en série avec l'entrée @ (figure 3b) ; vd est appelée 
tension de décalage.
Comment cela modifie--t--il la tension de sortie ?

C. (1

F igure 3 - Électronique de lecture du bolomètre

On applique une tension alternative VA (t) au point A. Montrer comment cela 
permet d'obtenir
un « signal » non perturbé par la tension de décalage vd.

On applique en fait une tension carrée VA(t) illustrée sur la figure 3c. 
Expliquer l'avantage
que cette forme présente pour le fonctionnement du bolomètre par rapport a une 
variation

sinusoïdale ?

I.4.c) On remplace le schéma précédent par celui de la figure 3d. À l'équilibre 
(puissance du
rayonnement incident donnée par P,... constant, R(Tg) = R0), comment doit--on 
choisir R3 pour
annuler la composante alternative 175 de la tension de sortie vs ?

I.4.d) Dans la condition déterminée précédemment, exprimer 135 lors d'une 
petite variation
p(t) du rayonnement incident (of. question I.2.), en supposant les variations 
lentes devant Te et
la période de VA.

I.4.e) Application numérique : on donne R0 = 1 MQ, Rp = 100 MQ, R1 = 10 M),
R2 = 100 kQ, V0 = 10 V. Calculer R3 remplissant la condition I.4.c). Préciser 
algébriquement,

puis numériquement, le lien entre 775 et p(t).

II. Cryogénie

Un bolomètre fonctionne à une température de l'ordre de 100 mK. Dans ce 
problème, nous
effectuerons seulement une étude comparative entre deux types de cryostats 
permettant de des---
cendre la température du système de détection a celle de l'hélium liquide que 
l'on prendra égale

à 4K.

sorties des vapeurs

- _ _ .. /_\ ..... /Tÿ"ieâäaËK\ ___________
|

l
: | sorties des
| --> »
| | Azote vapeurs
| | échangeurs |
| écran gazeux l
| | thermique
| | T2 ecran & T1
| | ' écran à T2
' |
| __________ .| |_ __________
cryostat A cryostat B

F igure 4 - Cryostats & hélium liquide

II.1. Considérons le cryostat A de la figure 4 constitué d'une réserve de 75 
litres d'hélium
liquide à la température TO : 4 K, protégée du rayonnement externe par une 
coquille cylindrique
(fermée aux deux extrémités) de 80 litres d'azote liquide à la température T1 : 
77 K. L'ensemble
est entouré d'un écran de protection (écran thermique) à la température T2 
situé a l'intérieur
d'une enceinte maintenue à la température ambiante T3 : 290 K. Le réservoir 
d'hélium est un
cylindre de 0,6 m de haut et de 0,4 m de diamètre. Les échanges thermiques 
entre les différentes
parois s'effectuent uniquement par rayonnement, le vide étant réalisé dans tous 
les espaces inter--
médiaires. On admettra que tous les flux surfaciques d'énergie transférée par 
rayonnement sont
donnés par la loi de Stefan pondérée par un coefficient 5. On prendra EUR = 5%. 
On négligera les
fenêtres faites dans le cryostat pour l'entrée du signal. On négligera 
également les épaisseurs du
réservoir d'azote, de l'écran thermique et des espaces intermédiaires devant 
les dimensions du
réservoir d'hélium, de sorte que tous les réservoirs et écrans sont considérés 
de même surface

totale d'échange S.

II.1.a) Comment faire en sorte que les échanges thermiques ne s'effectuent que 
par rayonne--
ment ?

II.1.b) Décrire l'équilibre thermique des différents éléments du cryostat. En 
déduire le sys--
tème d'équations correspondantes en fonction de EUR, a, S, des enthalpies de 
vaporisation LHe et
L..., des débits massiques DHe et DN2 et des températures T,-- pour i allant de 
0 à 3.

II.1.c) Application numérique. Calculer S, déterminer la température T2 de 
l'écran ther--
mique, calculer les débits DHe et DN2; exprimer la consommation d'hélium et 
celle d'azote en
litre / jour. En déduire l'autonomie du cryostat.

II.2. On envisage a présent le cryostat B de la figure 4 permettant d'utiliser 
le pouvoir de
refroidissement de la vapeur d'hélium pour remplacer le refroidissement par 
l'azote. La traversée
de chaque écran par l'hélium gazeux s'effectue par un échangeur thermique; 
l'hélium y passe de
sa température T,; a celle TEUR de l'écran (TEUR > T,). Le réservoir d'hélium a 
les mêmes dimensions
que précédemment. Les mêmes approximations restent valables.

II.2.a) Évaluer numériquement les énergies absorbées par la vaporisation d'un 
litre d'azote
liquide ou d'héIium liquide, ainsi que les énergies absorbées par les gaz 
résultant de cette vapori--
sation lors de leur réchauffement jusqu'à 290 K ; on supposera les capacités 
thermiques massiques
c indépendantes de la température. En déduire qualitativement l'intérêt du 
système de refroidis--

sement décrit dans cette question.

II.2.b) Écrire les équations régissant l'équilibre thermique du cryostat 
(réservoir d'hélium et
écrans thermiques).

II.2.C) Afin d'évaluer les températures T1 et Tg des deux écrans ainsi que la 
consommation
d'hélium DHe, on effectue les hypothèses simplificatrices suivantes : TO << T1,T g et T14 << T 24. En posant pour l'hélium TG = L / EUR, montrer alors la relation 4 1/4 (%> ---- 1+
T1 TG TG

Évaluer T1 par méthode graphique ou par approximations successives; en déduire 
Tg; évaluer
DHEUR en litre / jour.

II.3. Comparer les performances de ces deux systèmes cryogéniques.

III. Étude du système optique

Dans cette partie, on étudie le système optique permettant de coupler les 
détecteurs aux
sources de rayonnement observées. Ce système consiste en une antenne de type 
Cassegrain, au
foyer de laquelle sont placés un ou plusieurs collecteurs (cônes de Winston) 
qui concentrent le

rayonnement sur le ou les bolomètres.

III.1. L'antenne du système optique est formée de deux miroirs sphériques 
positionnés comme
indiqué sur la figure 5. Le miroir primaire M1 de rayon R1 et de longueur 
focale f1 est concave,
tandis que le miroir secondaire Mg de rayon Rg et de longueur focale fg est 
convexe (les longueurs
f1 et fg sont positives). Les points S,- sont les sommets des miroirs, et F,-- 
les foyers. L'axe optique
est orienté positivement vers la droite. L'étude est effectuée dans 
l'approximation de Gauss.

III.1.a) Compléter le trajet, après réflexion sur M1 puis sur Mg, du rayon 
incident en P pro--
venant d'une source située à l'infini sur l'axe du système en expliquant 
brièvement la construction
graphique. On désigne par F le point où le rayon croise l'axe optique après 
réflexion sur les deux
miroirs.

III.1.b) Exprimer la relation de conjugaison avec origine en Sg pour la 
réflexion sur Mg. En
déduire SgF permettant de positionner le point F en fonction de fg et de F1 Sg.

vers le collecteur
suivi du bolomètre

axe optique

miroir M

miroir Ml

Figure 5 -- Antenne Cassegrain

III.1.C) Justifier les hypothèses du schéma : 'S2S1I < f1 et |F152| < f2. III.1.d) Pour des raisons techniques, le foyer F doit être situé à l'arrière du miroir primaire ' (S'1F > 0). Quelles sont les valeurs extrêmes de F1S2, exprimées en fonction de 
f1 et de f2, qui
remplissent cette condition ?

III.2. Intérêt du montage.

III.2.a) Le système reçoit le rayonnement d'une source « à l'infini » ; cette 
source est << vue » sous l'angle oz. Déterminer la taille de son image dans le plan focal en F du système. III.2.b) Montrer que la longueur focale f d'une lentille mince unique qui donnerait une image de même taille est donnée par : : f1f2 f2 -- F152' III.2.C) Application numérique. On donne f1 : 2 m, f2 : 2 m et P'ng = 0,8 m. Vérifier que la condition obtenue en III.1.d. est remplie. Calculer f et S2F . f III.2.d) Oonclure en donnant le ou les avantages du montage Cassegrain par rapport au système constitué d'une seule lentille convergente. III.2.e) Le miroir secondaire obstrue partiellement le miroir primaire. Avec les valeurs numé- riques du III.2.C. et R1 = 50 cm, calculer le rapport R2/R1 optimal pour que, pour une source ponctuelle située à l'infini sur l'axe, le miroir secondaire collecte tous les rayons réfléchis par M1. En déduire la surface collectrice effective de l'antenne. III.3. On étudie maintenant un collecteur de rayonnement (<< cône de Winston ») situé juste devant le bolomètre. Il est constitué d'une surface de révolution réfléchissante; la section méridienne est un arc AA' d'une parabole de foyer F, l'axe A de révolution du collecteur étant la médiatrice de FA' . L'extrémité A de l'arc est le point où la tangente à. la parabole est parallèle à l'axe A. On désigne par BB' l'arc symétrique de AA' par rapport a A, B' étant confondu avec F. Le rayon d'ouverture du collecteur est noté a, le rayon de sortie a' et sa longueur L (figure 6). On rappelle l'équation polaire avec origine en F d'une parabole, de distance focale fW (dis-- tance de F au sommet) : 2f W p(sû) = ----1 _ COS 90 où l'angle polaire 
d = f %, avec Hd = , 
où À est la

longueur d'onde du rayonnement.

III.4.a) On veut observer à la longueur d'onde /\ = 1 mm avec une antenne dont 
le miroir
primaire a un rayon R1 = 50 cm. Donner la valeur numérique du rayon d'entrée a 
du cône de
Winston telle que (I>d = a. A quelle propriété observationnelle correspond ce 
choix ?

III.4.b) Déterminer la relation entre HW, R2 et S2F permettant de détecter 
l'ensemble des
rayons réfléchis par le miroir secondaire. En déduire la valeur de la longueur 
L du collecteur le
plus approprié.

III.5. En présence du bruit Johnson étudié dans la partie I, l'incertitude 
commise sur la
mesure de la tension liée à la présence d'un signal pendant le temps 
d'observation T est donnée
par u0/7'. Si l'on considère que l'on peut mesurer un signal dès que sa 
puissance est plus
importante que celle du bruit, à quelle distance peut--on détecter, en 10 
secondes d'observation
avec le système étudié dans ce problème, une source isotrope de rayonnement 
millimètrique d'une
puissance de 10 W (utiliser les données numériques données au fur et a mesure 
du problème) ?
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