Mines Physique 2 MP 2011

Thème de l'épreuve À propos de conduction électrique
Principaux outils utilisés modèle de Drude, effet Hall, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

A PROPOS DE CONDUCTION ELECTRIQUE
Ce probleme etudie deux situations de conduction electrique en presence, entre 
autres, de champs
magnetiques : dans un solide semi-conducteur(partie I) et dans un fluide 
conducteur (partie II). Ces
deux parties sont completement independantes ; dans chacune de ces deux 
parties, de nombreuses
questions peuvent aussi etre abordees de maniere independante, sous reserve 
eventuellement d'admettre certains resultats fournis par l'enonce.
Les vecteurs sont notes en caracteres gras : r, j. Les vecteurs ex , ez , etc. 
. . designent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oz, etc. . . Un certain 
nombre de formules d'analyse vectorielle sont rappelees
en fin d'enonce.

I. -- Conduction dans un solide semi-conducteur
Les mesures de conductivite et d'effet Hall jouent un role important dans 
l'etude theorique des milieux
semi-conducteurs. Ces mesures sont en general menees sur des echantillons plans 
dont l'epaisseur
constante  est faible devant les autres longueurs intervenant dans le probleme. 
Le materiau considere
est un conducteur de conductivite  , comportant des porteurs de charge mobiles 
de charge q en densite
particulaire (nombre de particules par unite de volume) n. On notera R = 1/nq 
la constante de Hall
du materiau. L'ensemble de l'etude est menee en regime permanent. En l'absence 
de tout champ
magnetique, la loi d'Ohm j =  E caracterise le materiau etudie.

I.A. -- Mesure directe de la conductivite
Le courant electrique i est amene en un point A du materiau par un fil, 
perpendiculaire a la plaque,
confondu avec l'axe (Az). Ce fil est relie au materiau par une electrode 
cylindrique de faible rayon. Ce
courant electrique repart par un fil de meme nature et fixe de la meme maniere 
au point D ; l'ensemble
est represente sur la figure 1.

A propos de conduction electrique

F IG . 1 ­ Mesure directe de resistance d'une plaque mince conductrice
1 -- On considere tout d'abord une situation simplifiee, a symetrie 
cylindrique, dans laquelle on
supprime le contact de depart en D. Le courant arrivant en A se repartit donc 
dans l'ensemble du
materiau avec la symetrie de revolution d'axe (Az) : la densite volumique de 
courant j en un point M
s'y ecrit j(M) = j(r)er , ou r designe la distance de M a l'axe (Az) et er le 
vecteur unitaire radial de
cet axe. Exprimer j(r) en fonction de r,  et i. On considere deux points M1 et 
M2 de la plaque et on
note r1 = AM1 et r2 = AM2 . Determiner la difference de potentiel V (M1 ) -V 
(M2 ) en fonction de i,  ,
 et du quotient r2 /r1 .
2 -- On remet en place le contact de depart du courant en D. En procedant par 
superposition
de deux situations analogues a celle de la question 1, determiner la nouvelle 
expression de V (M1 ) -
V (M2 ) en fonction de i,  ,  , r1 , r2 , r1 = DM1 et r2 = DM2 . Que vaut cette 
difference de potentiel si
M1 et M2 sont sur la mediatrice du segment AD ? Commenter ce resultat.
3 -- On note  = AD et a le rayon des electrodes cylindriques de contact 
electrique en A et D ;
ces electrodes sont formees d'un materiau metallique tres bon conducteur 
electrique et sont donc
considerees comme equipotentielles, de potentiels respectifs VA et VD . Montrer 
que si /a  1 la
resistance electrique de la plaque s'ecrit sous la forme R  R0 ln (/a), ou l'on 
exprimera R0 en fonction de  et  .
4 -- Application numerique : l'epaisseur de la plaque
de semi-conducteur est  = 1, 0 mm. On realise le dispositif de la figure 1 avec 
 = 2 cm et a = 0, 5 mm. La
conductivite du materiau (silicium dope) est  = 2, 2 ×
104 S·m-1 . Calculer R, commenter la valeur numerique ;
la mesure de R est-elle facile ?
Pour limiter les erreurs dans les mesures de tension on
utilise la geometrie de van der Pauw qui elimine l'influence du diametre des 
electrodes. Sur la figure 2, les
electrodes A et D sont utilisees pour l'arrivee et le depart
du courant, et les electrodes P et Q pour la mesure de
difference de potentiel u = V (P) -V (Q). On definit enF IG . 2 ­ Geometrie de 
van der Pauw : les
fin la resistance parallele R// = u/i.
points A, P, Q et D forment dans cet ordre
5 -- Determiner R// en fonction de  et  .
un carre.

Page 2/5

Physique II, annee 2011 -- filiere MP

I.B. -- Effet Hall
La plaque infinie de la figure 1 est maintenant soumise au champ 
magnetostatique uniforme B = Bez ,
perpendiculaire a la plaque. Celle-ci etant tres mince, le vecteur j reste 
contenu dans le plan forme par
la plaque, on a donc jz = j · ez = 0 et les deux autres composantes de j qui ne 
dependent que de r et  .
On peut ainsi ecrire j = jr (r,  )er + j (r,  )e . Dans le cadre du modele de 
Drude, on considere que
les porteurs mobiles de charge q, de masse m et de vitesse v associes au 
courant j sont soumis a une
force de frottement visqueux de la forme F = - f v. Certains aspects de cette 
force seront developpes
dans la partie II.
6 -- En l'absence de tout champ magnetique, ecrire l'equation du mouvement d'un 
porteur de
charge associe au courant j. Montrer alors qu'en regime permanent, il existe 
une relation lineaire
entre j et E. Comment s'appelle le coefficient de proportionnalite ?
7 -- En presence du champ magnetique B que devient l'equation du mouvement ? 
Par analogie
avec la question precedente determiner, en regime permanent, la relation entre 
j, E et B mettant en
jeu la conductivite  et la constante de Hall R.
On cherche a montrer que la presence du champ magnetique B ne modifie pas, 
compte tenu des
conditions aux limites, l'allure des lignes de courant et en particulier que la 
plaque reste localement
neutre, c'est-a-dire que la densite volumique de charge  est partout nulle.
8 -- Determiner en regime permanent la valeur de div j.
9 -- Determiner, toujours en regime permanent, l'expression de rot(j  B).
10 -- En utilisant les resultats des questions 7, 8 et 9
ainsi que deux equations de Maxwell montrer qu'en regime
permanent la plaque reste en tout point localement neutre.
On considere maintenant la geometrie de la figure 3, on mesure la difference de 
potentiel u = V (P) -V (Q) et on definit
dans cette geometrie la resistance R = u/i.
11 -- Exprimer la difference de potentiel u = V (P) -
V (Q) en fonction de E, puis de Ey = E · ey . En deduire l'exF IG . 3 ­ 
Geometrie de van der Pauw :
pression de la resistance R en fonction de R, B et  .
les points A, P, D et Q forment dans
12 -- A quoi peut servir dans la pratique une telle mesure cet ordre un carre.
de resistance ?
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Conduction dans un plasma a basse frequence
Le plasma etudie ici est un fluide forme de deux types de particules : des 
electrons, de masse me et
de charge qe = -e, en densite particulaire (nombre de particules par unite de 
volume) uniforme n0 et
des ions, de masse m p et de charge q p = +e, en meme densite n0 . L'ensemble 
est soumis au champ
electromagnetique E, B en regime variable ; on notera, dans le referentiel 
d'etude, ve et v p les vitesses
des electrons et des ions en un point donne du plasma. La densite volumique de 
courant resultant des
mouvements des particules est notee j. Le plasma etant partout localement 
neutre, on aura div j = 0.

II.A. -- Courant electrique dans le plasma
13 -- Dans quelles conditions peut-on faire l'approximation rot B = µ0 j ? Quel 
est le nom de cette
approximation ? On conservera cette approximation dans toute la suite.
Page 3/5

Tournez la page S.V.P.

A propos de conduction electrique

II.B. -- Vitesses, courant et forces
14 -- Proposer un minorant (numerique) du rapport m p /me .
15 -- Quelle est la signification physique de la grandeur V definie par (m p 
+me )V = m p v p +me ve ?
Exprimer les vitesses v p et ve en fonction de V, de la densite volumique de 
courant j et de n0 et e ;
simplifier ces expressions compte tenu du fait que m p  me . On conservera 
cette approximation dans
toute la suite.
On considere un element de volume d du plasma dans lequel se trouve dN = n0 d 
ions et autant
d'electrons ; on cherche a exprimer les forces dF p et dFe respectivement 
exercees sur ces ions et ces
electrons, en negligeant toute force de pression. Les particules ne sont donc 
soumises qu'aux forces
electromagnetiques et aux effets des collisions. Compte-tenu du rapport de 
masse l'effet des collisions
est modelise uniquement par une force fv exercee par unite de volume par les 
ions sur les electrons.
16 -- Exprimer dFe en fonction de d , n0 , e, E, B, j, V et fv .
17 -- Exprimer dF p en fonction des memes grandeurs. En deduire l'expression de 
dF = dF p +dFe ,
force totale subie par l'element de volume d du plasma. Quel est le nom de 
cette force ?

II.C. -- Modele collisionnel pour le plasma
Pour decrire la force exercee par les ions sur les electrons, on considere une 
interaction de deux
particules de masses m p et me qui, a l'instant initial, se dirigent l'une vers 
l'autre avec les vitesses
v p = v p ex et ve = -ve ex (v p > 0 et ve > 0) ; le systeme est considere 
comme isole et on neglige
l'energie potentielle d'interaction dans l'etat initial, les deux particules 
etant supposees tres eloignees
l'une de l'autre (cf. fig. 4). Au cours de l'interaction de ces particules, que 
l'on n'etudiera pas en
detail, les vitesses restent toutes colineaires a l'axe (Ox). Au bout d'une 
duree suffisante, l'interaction
est terminee ; les vitesses restent des lors constamment egales a vp = -w p ex 
et ve = we ex , avec w p > 0
et we > 0 si les deux particules repartent, apres l'interaction, en sens 
inverse de leur mouvement initial.
mp

vp

ve

me

x

F IG . 4 ­ Interaction de deux particules formant un systeme isole
18 -- En appliquant deux lois de la mecanique au systeme des deux particules, 
deduire deux
equations reliant w p , we , v p , ve , m p et me . En deduire la relation v p 
+ ve = w p + we .
19 -- En utilisant les diverses expressions obtenues, montrer que me (ve - ve ) 
= - µ (ve - v p ), ou
µ = me m p /(me + m p ) est la masse reduite du systeme a deux corps forme par 
les ions et les electrons.
Le facteur numerique  que l'on determinera dans cette expression est lie au 
modele geometrique
tres simple adopte ici : vitesses des particules colineaires pendant toute 
l'interaction. Dans un modele
plus complet, on obtiendrai un autre facteur de l'ordre de  /2.
20 -- On revient maintenant au modele des deux fluides d'electrons et d'ions ; 
on rappelle que fv
designe la force exercee par unite de volume par les ions sur les electrons du 
fait des collisions. On
note  la duree moyenne d'une collision. Justifier, qualitativement, l'expression
fv = -

n0 me
(ve - v p )

21 -- Pour les mouvements a suffisamment basse frequence, on peut negliger 
l'acceleration des
electrons dans le plasma. Deduire des questions 16 et 20 la forme generalisee 
de la loi d'Ohm dans
un tel plasma,

1
j =  E+VB-
jB
n0 e
ou on exprimera  en fonction de n0 , e,  et me .
Page 4/5

Physique II, annee 2011 -- filiere MP

II.D. -- Ondes magnetohydrodynamiques dans un plasma
Le couplage entre le mouvement des particules chargees dans un fluide et le 
champ electromagnetique
regnant dans ce dernier peut, dans certaines conditions, aboutir a la 
propagation d'ondes dites magnetohydrodynamiques. De telles ondes ont ete 
etudiees pour la premiere fois par le physicien suedois
Hannes Alfven en 1942, elles sont fondamentales pour l'etude des plasmas 
astrophysiques tels que
ceux qui entourent les etoiles. Pour cette decouverte et les decouvertes 
consequentes, Alfven obtint le
prix Nobel en 1970.
Le plasma etudie ici sera considere comme tres bon conducteur (n0   donc   ) de 
sorte qu'on
peut y ecrire (cf. question 21) E = -V  B. Dans ce contexte, l'equation 
simplifiee de la dynamique
dans une unite de volume du plasma s'ecrit

m

V
= jB
t

avec m = n0 m p

On etudie un mode particulier d'oscillations du plasma dans lequel B = B0 ez + 
b(z,t), ou B0 est un
champ statique intense et b(z,t) une onde de faible amplitude, kbk  B0 , qu'on 
decrira en notation
complexe comme une onde plane progressive et monochromatique, b = b0 exp [i ( t 
- kz)] ou i2 = -1
et  > 0
22 -- Montrer que b0 · ez = 0. Exprimer, en notation complexe, la densite 
volumique de courant j
en fonction de b, k et de la permeabilite du vide µ0 .
23 -- En se limitant aux termes du premier ordre en b0 , montrer que la vitesse 
d'ensemble V du
B0 k
plasma est aussi une onde plane, V = V0 exp [i ( t - kz)] ou V0 = -
b0 .
 µ0 n0 m p
24 -- En ecrivant l'equation de Maxwell-Faraday montrer que les ondes etudiees 
se propagent
sans dispersion a la celerite cA (vitesse d'Alfven) que l'on exprimera en 
fonction de B0 , µ0 et de la
masse volumique m du plasma. Verifier l'homogeneite de la relation donnant cA .
25 -- Le plasma etudie est du mercure liquide (m = 1, 4 × 104 kg · m-3 ) dans 
un champ
magnetique B0 = 0, 5 T. On rappelle que µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 ; calculer cA ; 
commenter.
FIN DE LA PARTIE II
Petit formulaire d'analyse vectorielle
(u  v)  w = (u · w)v - (v · w)u
rot(u  v) = u div(v) - (u · grad)v - v div(u) + (v · grad)u
div(u  v) = v · rot(u) - u · rot(v)
En coordonnees cylindriques dans la base locale (er , e , ez ), pour un champ 
scalaire f et pour un
vecteur u = ur er + u e + uz ez on indique les relations suivantes :

f
f
 u
 uz
1f
1 
grad( f ) =
e +
er +
ez
div(u) =
(rur ) +
+
r
r 
z
r r

z

1 
 ur  uz
 ur
1  uz  u
er +
e +
ez
-
(ru ) -
-
rot(u) =
r 
z
z
r
r r

u · grad = ur

u 

+ uz
+
r
r 
z

FIN DE L'EPREUVE

Page 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Lacas (Professeur agrégé) ; il a été relu par 
Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet traite de différents aspects de la conduction électrique en régime 
stationnaire et lentement variable, en particulier en présence d'un champ 
magnétique
appliqué. Il se compose de deux parties indépendantes.
· La première étudie une plaque semi-conductrice parcourue par un courant en
régime stationnaire. D'abord, on s'intéresse à la mesure directe de la 
conductivité du matériau pour aboutir à la méthode « quatre points ». De 
nombreuses
questions guident la démarche, mais aucun résultat intermédiaire n'est fourni.
Ensuite, on aborde le phénomène de l'effet Hall, c'est-à-dire l'étude de la 
plaque
semi-conductrice en présence d'un champ magnétique statique et uniforme,
dans le contexte du modèle de Drude. Cette partie du sujet, plus calculatoire,
se termine par la détermination de l'expression de la résistance de Hall, aux
multiples applications dans le domaine des capteurs.
· La seconde partie aborde la conduction dans un plasma soumis à un champ
électromagnétique lentement variable. Les quatre sections qui la composent
sont indépendantes. La première place l'étude dans le cadre de l'approximation
des régimes quasi-stationnaires. La deuxième concerne une étude dynamique
préliminaire sur une « particule » de plasma. La troisième aborde le modèle
du plasma collisionnel. Aucune connaissance sur la théorie des chocs n'est
nécessaire ; on utilise les lois de conservation pour un système à deux corps.
Enfin, le sujet se termine par l'étude d'un type d'ondes pouvant se propager
dans le plasma : les ondes magnétohydrodynamiques d'Alfvén. Elle est menée
dans le cas simplifié du conducteur parfait et on cherche des solutions 
monochromatiques planes pour l'onde de vitesse dans le plasma. Elle aboutit à
l'expression de la célérité de ces ondes, ou vitesse d'Alfvén. Si l'énoncé cite 
des
conséquences astrophysiques, l'application numérique finale concerne le cas du
mercure liquide, qui constitue une situation de laboratoire.
Dans l'ensemble, la longueur du sujet est raisonnable. Si l'on excepte quelques
questions qui concernent les équations de Maxwell, ainsi que la sous-partie 
II.D, tout
le reste du sujet, c'est-à-dire plus de la moitié de l'épreuve, peut être 
traité en utilisant
le programme de première année.

Indications
Partie I
1 Utiliser la conservation de la charge en tenant compte de la géométrie 
cylindrique.
--

-
Ensuite, utiliser E = - grad V.

-

2 La médiatrice de AD constitue un axe d'antisymétrie pour -
 , donc pour E .
8 Appliquer l'équation locale de conservation de la charge.
9 Utiliser le formulaire d'analyse vectorielle et au résultat de la question 8. 
Le champ
magnétique est uniforme.

-
10 Pour montrer que  = 0, prouver que div E = 0.

11 Exprimer -
 sur l'axe (y  y) en utilisant le principe de superposition (voir I.A).
En utilisant le résultat de la question 7, en déduire la composante Ey du champ
électrique sur cet axe.
Partie II
14 Un ion a une masse au moins égale à celle d'un proton.
15 Exprimer la vitesse du centre de masse du système {ion + électron}.
17 La force exercée par les électrons sur les ions peut être obtenue grâce au 
principe
des actions réciproques.
18 Mettre en équation les lois de conservation de l'énergie et de la quantité 
de mouvement pour le système isolé des deux particules, avant et après le choc.
20 Exprimer la force moyenne en évaluant la variation de quantité de mouvement
sur un choc de durée très brève.
22 Penser aux équations de Maxwell-flux et de Maxwell-Ampère.
23 Utiliser l'équation du mouvement simplifiée.

-
 -
-

- -
24 Le plasma est un très bon conducteur : E = - V  B . Pour le calcul de rot E ,

-
il ne faut garder que le terme du premier ordre en b0 . La célérité cA s'obtient
grâce à la relation de dispersion  = f (k).

À propos de conduction électrique
I. Conduction dans un solide semi-conducteur
I.A

Mesure directe de la conductivité

1 Considérons le volume V formé par un
cylindre d'axe (Az) et de rayon r représenté
ci-contre. En régime permanent, d'après la
loi de conservation de la charge, le courant
électrique est identique à l'entrée et à la sortie de V, d'où
ZZ

-

-
i=
 · dS

i
r

V
A·

S
-

-

dS

S

-
- · d

S = j(r) r dz d

Or,
ZZ

Et donc

-
- · d

S =

Z Z
0

2

r j(r) dz d = 2 r  j(r)

0

S

Finalement,

j(r) =

i
2 r 

La dépendance en 1/r de la densité de courant dans le matériau ne traduit
pas une atténuation, mais le fait que la surface que les charges traversent est
proportionnelle à la distance r.
Pour obtenir la différence de potentiel entre deux points de la plaque, 
déterminons
le champ électrique au moyen de la loi d'Ohm

 -
-
i

-
E =
=
er

2 r  
--

-
Or, par définition du potentiel, E = - grad V ; il s'ensuit
dV
i
=-
dr
2 r  
En intégrant entre r1 et r2 , on en déduit
 
i
r2
V(M1 ) - V(M2 ) =
ln
2  
r1
2 Dans un premier temps, adaptons le résultat précédent dans la situation où, 
cette
fois, il n'y a que le contact en D. Pour cela, il faut :
· remplacer les distances r1 et r2 par r1 et r2 ;
· substituer -i à i, car cette fois le courant i est sortant.

Il vient alors

[V(M1 ) - V(M2 )]D seul

i
=-
ln
2  

r2
r1

Avec les deux contacts, la différence de potentiel s'obtient en utilisant le 
théorème de
superposition. En additionnant ce résultat et celui de la question précédente, 
il vient

i
r2
r2
ln
- ln 
V(M1 ) - V(M2 ) =
2  
r1
r1
Sur la médiatrice de [AD], r1 = r1 et r2 = r2 , si bien que
V(M1 ) - V(M2 ) = 0
Cela signifie que l'intersection du plan médiateur de [AD] et de la plaque 
semiconductrice constitue une surface équipotentielle. Ce résultat était 
prévisible, car il

s'agit d'un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant. On en déduit 
que -
,

-
et donc E (d'après la loi d'Ohm) -- vecteurs polaires -- sont normaux à ce plan 
en

-
tout point de sa surface. Or, toute surface en tout point de laquelle E est 
normal
constitue une équipotentielle.

-
En effet, envisageons un déplacement élémentaire d  à partir d'un
point M en restant sur la surface considérée. Pour tout point M,

-

-
dV = - E (M) · d  = 0
Elle constitue donc bien une équipotentielle.
En outre, signalons que le théorème de superposition s'applique ici, car
les lois de l'électromagnétisme sont traduites par des équations linéaires.
3 Soit M1 -- respectivement M2 -- l'intersection de [AD] et de la surface de 
l'électrode
située en A -- respectivement en D. Les électrodes étant des équipotentielles, 
on a
V(M1 ) = VA

et

Comme r1 = a, r2 =  - a,
la question 2

a
A·

a
·

M1

=  - a et

VA - VD =
=
=
VA - VD 

·

·D

V(M2 ) = VD
r1

M2

r2

= a, on obtient successivement, d'après

i
-a
a
ln
- ln
2  
a
-a

i
-a
ln

a

i

ln
-1

a
 
i

ln

a

si

1
a

Dans cette approximation, l'expression de la résistance électrique de la plaque
(définie par R = UAD /i) est ainsi

1
R  R0 ln
avec
R0 =
a