Mines Physique 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Gratte-ciels et tours
Principaux outils utilisés oscillateurs mécaniques, électrocinétique des régimes sinusoïdaux forcés
Mots clefs frottement fluide, filtre du second ordre, diagramme de Bode, fonction de transfert, analogie électromécanique, puissance des actions intérieures, anti-résonance, oscillateurs couplés, régime pseudo-périodique, dissipation de l'énergie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2007 PHYS. 11 MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECOND ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 2 -MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a pas
été démontré.
. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui

vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème tien--
dra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

GRATTE-CIELS et TOURS

L épreuve est constituée de sept parties largement indépendantes entre elles. 
Cependant, il
est crucial d 'obtenir l 'expression correcte de H1 & la question 2.

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie
donner la valeur numérique.

La minimisation des oscillations provoquées par le vent est une difficulté à 
laquelle sont
confrontés les concepteurs de structures de génie civil (ponts, viaducs, 
antennes ...). L'objet
de ce problème est l'étude d'un dispositif efficace pour cette minimisation, le 
« Tuned Mass
Damper >> (TMD). C'est un oscillateur accordé et amorti, généralement dissimulé 
au sommet
de la structure, et couplé au mouvement de cette dernière, de telle manière 
que, idéalement,
il oscille en opposition de phase avec elle et << détourne » ainsi de 
l'énergie. Dans un repère
galiléen, le mouvement du sommet S de la tour et celui du TMD s'effectuent 
selon une

direction horizontale fixe. On note x(t) l'élongation linéaire de S et u(t) 
celle du TMD

par rapport à la tour. À l'équilibre mécanique, x (t) = u (t) = O .

Physique II 2007 ; filière MP.

Le système {tour, TMD} est ainsi modélisé (Fig. 1) par deux oscillateurs 
unidimensionnels
couplés mis en mouvement par la force extérieure f0 (t) . Le premier 
oscillateur (la tour) est

modélisé par une masse m soumise à la force de rappel élastique f , = --kx et a 
la force de

elas.
frottement fluide @ = --hfc . Le second oscillateur (le TMD) est modélisé par 
une masse m1
soumise à la force de rappel élastique f1 = klu et a la force de frottement 
fluide % = --hlù .

Les constantes k , h , k1 et h1 sont positives.

T ' TMD
f} ÜLll fn
_1|_] | |
+; "'
l l": H H :

U I .1' + H
ng. ! : Principe .ïùïffiffié du .5}2HëmEUR TflrfÜ

1 -- Mise en équation

On suppose que les oscillations de la tour s'effectuent sans frottement (h =D).

L'application de lois fondamentales de la dynamique, d'une part aux systèmes 
{tour, TMD},
d'autre part au seul système {TMD}, donne les deux équations (système [A])

[A]

D 1 -- Établir le système [A] avec concision. On réécrit [A] sous la forme [B]

mË+ml(x+ü)=--kx+fl(t)
m1(x+u') = --klu --hlù.

(l+a)X+aü+wâx=aJl) (B1)
56 + a + 2171w1ù + oeiu = o (132)
Exprimera, @, a)], 771 et a0(t) en fonction des grandeurs intervenant dans la 
modélisation.

Préciser la signification physique des grandeurs wo et a)].

D 2 -- On s'intéresse à la réponse du système a l'excitation % (t) = ÊR(AO 
exp(ioet)), où le

symbole 9% représente la partie réelle et i2 = --l. Les amplitudes complexes de 
u(t), a0(t) et
, . . â)1 .
x(t) sont notees respectrvement [_], A et)_(. On pose enfin ,5' = -- ,B = a-- . 
Exprimer
% 1

. CO
en fonction de ,3 et de Z = --. Quelle est la nature de
0

la fonction de transfert H1 (z) = =
_ À
cette fonction ? Est-il avantageux d'avoir |H 1| plutôt grand ou plutôt petit ?

D 3 -- Les occupants de la tour sont sensibles à l'accélération b = 56 . 
Établir l'expression de

Page 2 sur 6.

Physique II 2007 ; filière MP.

2
Z

= ( ) 2 , où 5 est l'amplitude com-
1 + a + 05H1 z -- 1

la fonction de transfert H 2 (z) =

|$|loe

plexe de b(t). Est-il avantageux d'avoir |H2| plutôt grand ou plutôt petit ?

2 -- Analyse qualitative du système

Nous analysons quelques cas particuliers du comportement du système {tour, TMD} 
en
régime libre, c'est-à-dire en l'absence de force extérieure fo (t) . L'ensemble 
aura été mis en

mouvement, par exemple, par un déplacement initial du TMD en l'absence de vent. 
On
continue de supposer que h = O .

2--1Casoù 771=O

D 4 -- Réécrire le système [B] et les expressions de H1 et de H 2 dans le cas 
où 771 = 0.

Pourquoi est-il préférable de choisir 05 le plus grand possible ? Quelles sont 
les limites
pratiques d'une augmentation de 05 ?

. Limite a --> 0
D 5 -- On considère le comportement du système {Tour, TMD} lorsque & tend vers 
0.
Réécrire dans ce cas le système [B] et les expressions limites de H1 et de H 2 
. Quel rôle

joue alors le TMD sur le mouvement propre de la tour ? Quel rôle joue la tour 
sur le mou-
vement propre du TMD ? Montrer que le mouvement du TMD est en phase ou en 
opposition
de phase avec celui de la tour.

D 6 -- Conclure sur le rôle du paramètre h1 .

. Limite 05 --> OO (un cas irréaliste !)
D 7 -- Qu'advient-il de H1 et de H 2 lorsque la masse du TMD tend vers l'infini 
?

0 Cas général pour 05

D 8 -- Pour quelle valeur de Z , notée ZAR , la fonction H1 est-elle infinie ? 
Que vaut alors la

fonction de transfert H 2 ? C'est le phénomène d'antirésonance.

D 9 -- Montrer qu'il existe deux valeurs de Z , notées ZR1 et 2R2 avec ZR1 < 
ZR2 , pour les-

devient infini (résonances d'amplitude). Établir l'inégalité

quelles le gain G2 = |H2
ZR1 < ZAR < ZR2. Calculer ZR1, 2R2 et ZAR pour 05 = 0,1 et ,3 = 0,95. Tracer 
l'allure de la

courbe représentative de G2 (2) .

2 --2 Cas où 771 est infini

D 10 -- Analyser le système étudié dans le cas limite 771 --> OO . Exprimer et 
calculer la valeur
de Z , notée 20O , pour laquelle G2 est maximum (a = 0,1 et ,3 = 0,95 ). Tracer 
l'allure de

la courbe représentative de G2 (2) .

Page 3 sur 6.

Physique II 2007 ; filière MP.

2 --3 Cas où 771 est quelconque

D 11 --La valeur de 771 est désormais quelconque. Justifier la pertinence du

choix ,8 =

1 . . . .
\/_ . Peut-on effectivement fixer ,3 a sa guise ? Sur quels paramètres est-rl
1 + oc

possible de jouer sans remettre en question le choix des architectes ?

3 - Choix des paramètres

On adoptera dans toute la suite la relation ,8 = ; pour les valeurs numériques, 
on

1
\/1+0c

prendra a = 0,1 (et donc ,Û % 0,953 ).

12 -' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '- Cl 12 -- La Fig. 2 montre les courbes de
1-3 C "a... HA OE=Ü'I gain G2 (2) correspondant a 771 = 0,1,
a "Gg{3} / 771 = 0,3 et 771 =0,6. Associer a

chaque courbe A, B et C la valeur de 771

;2P& '. qui lui correspond en justifiant
." "'.

B
"* Â \ / ,» % m,_ qualitativement votre réponse.
2 j"" ' '" "."--""""; Cl 13 -- La figure 2 semble montrer que,

:..--""'" _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 quel que soit 771, toutes les courbes de
0.5 1.2 1

'-'.A
Ü'.'l
|.

gain passent par deux points fixes,
Fig; "? ' Courbes ('Ïr' gain pmu" troie valeur=a u:'h'* :}

. ...--l . ' .. ..- 1' I L. [' | . ' '
d'absc1sses respectives Z A et ZB. C'est

bien le cas ! Quelle méthode utiliseriez-vous pour établir cette propriété 
curieuse ? Seule la
méthode est demandée, il n'est pas question ici de poursuivre les calculs 
jusqu'à leur terme.

Les abscisses ZA et ZB vérifiant (1+1/,[9'2)24 --422 +2,[)'2 =0 , calculer ZA 
et ZB.

Cl 14 -- La Fig. 3 représente une famille
de courbes correspondant a des valeurs

croissantes de 771, entre 0,18 et 0,21.

Proposez un critère de choix pour la
valeur optimale, 7701", de ce parametre.

A titre documentaire, un ouvrage

3 _ affirme, sans justification, que
3. 30c
770pt -- -- , la courbe
=].EE- 0.5 3.55 IL l.ü5 1.1. 1.15- 1.2 8(1+OE)
Fig. 3 : Ê-l.l.Llli" 1ur:a.En du gain {& : Ü,I }. correspondante est en 
pointilles sur la

Fig.3. La courbe en trait gras possède un
maximum local en Z = Z A .

4 - Quelques considérations numériques

Cl 15 -- Exprimer la réponse u (t) du TMD a l'excitation % (t) = AO cos(wlt). 
Calculer son

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Physique II 2007 ; filière MP.

amplitude maximale en fonction de A0 , pour 05 = 0,1, 771 = 0, 2 et 13 = 
27Ï/600 = 68 .

D 16 -- Les occupants ressentent généralement des malaises lorsqu'ils subissent 
une
accélération supérieure à 0,015 g, où g =9,81 m.s_2 est l'accélération de la 
pesanteur.

Quelle condition sur/l0 l'excitation doit-elle vérifier si l'on se fixe ce 
critère de tolérance ?

Cette condition remplie, calculer l'amplitude maximale des oscillations du TMD 
et celle de
la tour. Comparer avec la situation obtenue en l'absence de TMD.

D 17 -- La Park Tower est une tour haute de 257 m et large d'environ 23 m. Les 
études ont
prévu des d'oscillations de période propre 13 = 6 s pouvant constituer une 
nuisance. Les

essais en soufflerie ont révélé des accélérations excessives, voisines de 0,030 
g. Le

dispositif retenu, un TMD de 300 tonnes, soit 1,4% de la masse effective de la 
tour, a permis
de réduire les accélérations maximales d'un facteur 2. Le TMD étant assimilé à 
un pendule
simple, évaluer numériquement sa longueur ] ainsi que l'amplitude maximale des
oscillations de la tour.

5 - Limites du modèle : autres résultats expérimentaux

En raison de sa forme anguleuse, peu aérodynamique, la Trump World Tower (Fig. 
ci-des-
sous) est très sensible à l'action du vent. Ce choix architectural a requis 
l'utilisation d'un
' TMD de 600 tonnes, soit 2,8 % de la masse effective de la tour. Une série
' de tests a été menée afin de contrôler et d'ajuster le fonctionnement du
TMD. La période propre des oscillations de la tour en régime libre est

TO = 6,2 s. Le taux de dissipation de l'énergie mécanique E (t) associée

E t --E t+T
au mouvement, D(t) = ( ) E(() ), vaut 2 % par oscillation en
[
l'absence de couplage avec le TMD. Le coefficient h de la Fig. 1 ne peut
donc plus maintenant être considéré comme nul. Le taux de dissipation de 
l'énergie en

présence du TMD est de 7% par oscillation.

D 18 -- On pose 77 = . Calculer 77.

h
2ÿmk
D 19 -- Comment peut-on procéder pour mesurer le taux de dissipation de 
l'énergie en
régime libre et en l'absence du TMD ?

6 - Comportement fréquentiel du TMD ; analogie électrique

D 20 -- On étudie dans cette partie la réponse u (t) du TMD au mouvement 
sinusoi'dal de la
tour de la forme x (t) = x0 cos (cat) , d'amplitude x0 constante. Représenter 
les diagrammes

de Bode asymptotiques concernant le gain G1 (60) et le déphasage ç01 (co). Pour 
quelle

valeur du paramètre 77 apparaît-il un phénomène de résonance d'amplitude ?

Cl 21 -- Proposer un circuit RLC série ayant la fonction de transfert --H1 puis 
compléter ce

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Physique II 2007 ; filière MP.

montage afin de reconstituer H1. Exprimer alors &)1 et 77 en fonction de R, L 
et C. Est-il

possible de trouver des valeurs réalistes pour ces composants en adoptant les 
valeurs
numériques 77 = 0,2, ,6' = 0,95 et 600 = 1,01 rad.s_1 ? Si non, est-il possible 
pour autant de

simuler le comportement de la tour a l'aide d'une maquette électrique ?

7 - Considérations énergétiques,
Cl 22 -- Exprimer, en régime sinusoi'dal, la moyenne temporelle de la puissance 
des actions
intérieures en fonction de h 1 , a), G1 et 360. On la notera  .

". / Cl 23 -- Commenter la Fig. 4, qui repré-
1Ü p1(u} / sente l'allure de la puissance réduite
5 ""' P
. / p1 =<--â> en fonction de la pulsation
s ' ----*"' XO

{ réduite u=£,pour77=0,2.

; / @

Cl 24 -- Dans les systèmes dits actifs, le
TMD mis en mouvement par effet
inertiel subit également une excitation
Fig. 4 : Allure ds la puisssuss réduits p1{u) propre, asservie au mouvement de 
la
en functiuu ds ls pulsatiuu réduits u : aim. tour. Il est alors possible de 
contrôler le
déphasage ç01(a)) par rapport a la

@ m
È".

D.5 ]. 1.5 2 2.5

'n...
3

situation précédente. Quelle est alors la valeur optimale de fil ? Quels 
peuvent être les

inconvénients de ces systèmes actifs ?

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'EPREUVE

Détail du TMD de la Tour Taipei 101, à Taiwan (le plus haut gratte-ciel du 
Monde).

Page 6 sur 6.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par
Arnaud Riegert (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon).

Cette épreuve comporte un seul problème, composé de sept parties relativement
indépendantes. Il est cependant indispensable de réussir la première partie, 
sans quoi
on ne peut aller plus loin. C'est un sujet assez simple sur le plan des 
calculs, qui
sont plutôt nombreux au demeurant mais jamais très difficiles. En revanche, il 
est
nécessaire d'avoir développé un bon sens physique car les questions 
qualitatives sont
nombreuses. Ces dernières ne doivent pas être négligées ; en effet, elles 
contribuent
pour une part non négligeable à l'opinion que le correcteur se fait de la copie.
Le sujet traite des dispositifs mécaniques servant à stabiliser les grandes 
structures, telles que les gratte-ciels et les différents grands ouvrages de 
génie civil.
Dans la première partie, on s'attache à mettre en équation le problème : on 
définit
deux fonctions de transfert, la première caractérisant le couplage entre une 
tour et
un système d'absorption appelé Tuned Mass Damper (TMD), et la seconde 
permettant d'évaluer la sensibilité de l'édifice à une perturbation extérieure 
en présence du
couplage avec le TMD. Puis, dans la deuxième partie, on étudie quelques cas 
limites :
d'une part quand la tour et le TMD sont couplés de manière purement élastique, 
et
d'autre part le cas opposé où ils sont couplés de façon rigide. On voit ensuite 
dans la
troisième partie comment optimiser le choix des paramètres du couplage entre la 
tour
et le TMD dans le cas général. Ceci conduit à s'intéresser aux ordres de 
grandeurs
des principales variables du problème dans la quatrième partie. La cinquième 
partie
étudie alors les limites du modèle adopté dans le problème, qui consiste à 
négliger la
force de frottement fluide exercée sur la tour, approximation sans laquelle les 
calculs
seraient relativement lourds. La sixième partie dresse une analogie avec 
l'électrocinétique qui permet de se ramener à un problème bien connu, celui du 
filtre passe-haut
du second ordre ; enfin, on conclut par un calcul de la puissance dissipée, qui 
permet
de se faire une idée de l'efficacité du dispositif.
Ce problème, de difficulté raisonnable, a le mérite d'aller au-delà de la 
stricte
application du cours. Il constitue en cela un bon exercice de révision car il 
permet
de tester son sens physique sur des exemples simples. Il s'agit en outre d'un 
sujet
d'actualité en génie civil qui ne peut manquer d'intéresser de futurs 
ingénieurs.

Indications
Partie 1
1 Distinguer forces intérieures et forces extérieures pour le système {tour, 
TMD}.
2 Utiliser l'équation (B2). L'expression de  donnée dans l'énoncé est 
incorrecte.
On a en fait
r
1 k1
1
=
=
0
 k
3 Utiliser l'équation (B1).
Partie 2
9 Penser à justifier l'existence de z R1 et z R2 . Pour montrer que z R1 < z AR 
< z R2 ,
distinguer le cas  < 1 du cas  > 1.
10 Il s'agit en fait de la valeur de z pour laquelle |H2 | diverge.
Partie 3
12 Utiliser les résultats des questions 9 et 10.
Partie 4
15 Penser à passer en notation complexe pour cette question, afin de simplifier 
les
calculs. Remarquer que l'énoncé impose une pulsation particulière  = 1 pour
l'excitation a0 (t).
17 La valeur de  est maintenant de 0, 014.
Partie 5
18 Il faut redémontrer qu'en régime pseudo-périodique faiblement amorti, le 
facteur
de qualité Q d'un oscillateur s'écrit
Q = 2

Énergie mécanique de l'oscillateur
Énergie perdue pendant une période
Partie 6

21 Faire attention que l'énoncé donne les valeurs de  et 0 , et non directement 
la
valeur de 1 .
Partie 7
22 Se rappeler qu'en notation complexe
ha(t) b(t)it =

1
Re {a(t) b (t)}
2

Gratte-ciels et tours
1. Mise en équation
1 Rappelons le principe du TMD par un schéma.
Tour

0

TMD

h

h1

k

k1
x

x+u

Notons xG1 l'élongation linéaire du centre de masse du système {tour,TMD}. En 
négligeant la force de frottement fluide  qui s'applique sur la tour, le 
principe fondamental de la dynamique, appliqué dans le référentiel du sol 
supposé galiléen, conduit à
(m + m1 ) xG1 = -k x + f0 (t)
Concernant le système {tour,TMD}, le bilan des forces ne prend en compte
que les forces extérieures, c'est-à-dire les forces de rappel élastique f et de
frottement fluide  auxquelles est soumise la tour, ainsi que l'excitation f0 .
Les forces f1 et 1 qui s'exercent sur le TMD sont des forces intérieures.
L'abscisse du centre de masse xG1 est reliée à celle du centre de masse de la 
tour x
et à celle du centre de masse du TMD u par la relation
(m + m1 ) xG1 = m x + m1 (x + u)
Par conséquent,

m x + m1 (x + u) = -k x + f0 (t)

Quant au seul système {TMD}, l'élongation de son centre de masse xG2 n'est autre
que x+u. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce système s'écrit 
alors
m1 (x + u) = -k1 u - h1 u

On vient d'établir le système
(
m x + m1 (x + u) = -k x + f0 (t)

[A]

m1 (x + u) = -k1 u - h1 u

L'expression donnée dans l'énoncé de la force de rappel élastique f1 à laquelle
est soumise le TMD comporte une erreur de signe. En fait,
f1 = -k1 u

Le système [A] peut se réécrire sous la forme suivante
(
(m + m1 ) x + m1 u + k x = f0 (t)
m1 (x + u) + h1 u + k1 u = 0

On peut alors diviser les deux membres de la première équation par m, ainsi que
ceux de la seconde par m1 , d'où l'on tire le système [B] :

r

m1
k
f0 (t)

2
 (1 + ) x +  u + 0 x = a0 (t) avec  =
, 0 =
et a0 (t) =

m
m
m
r

k
h

1
1

avec 1 =
et 1 = 
 x + u + 2 1 1 u + 1 2 u = 0
m1
2 k1 m1

Les grandeurs 0 et 1 sont les pulsations propres respectives des systèmes {Tour}
et {TMD} non couplés.
La prise en compte d'une force de rappel élastique f dans le bilan des forces
s'exerçant sur la tour est justifiée tant que l'on regarde de faibles 
déplacements x. On peut estimer grossièrement la constante de raideur k par un 
calcul d'élasticité des matériaux. Pour plus d'informations, on pourra consulter
l'épreuve PSI X/ENS Modélisation 2006 publiée dans la collection Annales
des Concours, tome PSI Physique-Chimie 2006.
2 En notation complexe, l'équation (B2) s'écrit
- 2 X -  2 U + 2i 1 1  U + 1 2 U = 0
d'où

- 2 X =  2 U - 2i 1 1  U - 1 2 U

On en déduit l'expression de la fonction de transfert H1 :
H1 (z) =

- 2
U
= 2
2
X
( - 1 ) - 2i 1 1 

En divisant le numérateur ainsi que le dénominateur par 0 2 , on trouve 
finalement
H1 (z) =

z2
( 2 - z 2 ) + 2i 1  z

où  =

1
0

et z =

0

La fonction de transfert H1 (z) est une fonction complexe. Il faut bien entendu 
que |H1 |
soit le plus grand possible, car dans ce cas le TMD détourne de l'énergie et la 
tour
est stabilisée : en effet, l'énergie élastique d'un oscillateur varie comme le 
carré du
déplacement, et par conséquent plus |H1 | est grand, plus le rapport entre 
l'énergie
emmagasinée par le TMD et celle de la tour est important.
Il y a une erreur dans l'énoncé concernant l'expression de  :
r
r
1
k1 m
1 k1
=
=
=
0
m1 k
 k