Mines Physique 2 MP 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique II -- Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 5 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie. '

Électrostatique et rayonnement

Présentation
Cette épreuve concerne le problème de « l'énergie manquante », qui surgit 
lorsque l'on consi-

dère la décharge soudaine de deux condensateurs dans un circuit non inductif et 
de résistance nulle.
Attribuer de force une résistance aux fils (et donc changer le modèle) permet 
de retrouver cette éner--
gie mais, sur le plan des phénomènes, ne résout pas grand--chose. On aborde 
dans ce problème une
étude plus précise de la situation : les lois de Kirchhoff sont mises en 
question et l'on fait intervenir le
phénomène, usuellement (et légitimement) négligé, du rayonnement.

La première partie présente de façon simple le phénomène de l'énergie 
manquante. La
deuxième, proche du cours, décrit le rayonnement d'une boucle de courant. La 
troisième partie traite
du rayonnement dans un circuit idéal à deux condensateurs. La quatrième partie 
traite numériquement
un circuit réel simple. La cinquième partie est consacrée à une étude 
qualitative assez fine de la hié-
rarchie des diverses constantes de temps dans un circuit RLC série. Les parties 
I et II peuvent se trai-
ter en toute indépendance.

1. Circuit de deux condensateurs, régime quasi stationnaire

Cl 1 ---- Le circuit ouvert de la figure 1 (page suivante) comprend deux 
condensateurs de capa--
cités respectives G et @. Le premier condensateur porte la charge a.... Le 
second n'est pas

chargé. Quelle est l'expression de l'énergie électrique fïÇ emmagasinée dans ce 
circuit '?

Cl 2 -- On ferme l'interrupteur. Quelle est la tension U f d'équilibre des 
condensateurs ?

Cl 3 --Quelle est l'énergie
FVf emmagasinée mainte-
R
q1o nant dans le circuit ? Expri-

mer in--W; en fonction de

C1 C2 Cia @ et EUR10-
i(t) D 4 -- Une interprétation de
,;5_ cette perte d'énergie est que
. _ , _ la résistance du circuit n'est
Fig. ] : deux condensateurs F lg. 2 : F zg. ] + une reszstance pas nulle. C' 
est ce que mon-

tre la figure 2. La tension
(fj, et l'énergie PÏÇ sont-elles changées, du fait de l'introduction de la 
résistance R ?

Cl 5 ---- Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la charge q 1(l') 
pendant la décharge du

condensateur @ ? En déduire l'expression du courant i(t) circulant dans le 
circuit, puis celle
de l'énergie Q dissipée dans la résistance. Cette énergie dépend--elle de R ?

D 6 ---- Quelle est la constante de temps du circuit '? L'approximation des 
régimes quasi-sta-
tionnaires est-elle valide pour le circuit de la Fig. 1 ?

II Rayonnement d'une boucle de courant

Le milieu étant le vide, une spire de centre O,
de rayon a, placée dans le plan (xOy) d'un
repère galiléen Rg(O, x, y, z), est parcourue par
le courant i(t). Les coordonnées sphériques du
point courant P sont (r, 6, (p) où r=OP, 9
désigne la colatitude et (pla longitude. Un point
M de la spire est repéré par sa longitude (...

(Fig. 3); on note u'(M) le vecteur unitaire

- tangent a la sp1re en ce pomt, et {M, : ---, ou
c

c est la célérité du rayonnement dans le vide.

L'élément de spire d s : (ad (p M) u'(M)
Flg' 3 " sp1re de rayon a; (0x' v) = (p contribue au potentiel vecteur au point 
P par
l'élément

dA(t,P)=-Ëêï--'--(--tA_4----ît_5ÂÆ2 ds, .

où ,uo désigne la splitéabilité du vide.

Il faut un temps caractéristique T, satisfaisant les inégalités à<< 57." << r, pour que le cou-- rant i(t) passe d'une certaine valeur l'O à la valeur nulle. E] 7 -- Montrer que, à chaque instant, on peut considérer le courant Comme identique en tout point de la spire. D 8 -- Montrer sans calcul que le potentiel vecteur A(t, P ) est porté par le vecteur unitaire % (représenté Fig. 3). En déduire que la composante AÇP s'écrit : 2"i(t-- t....) A=L'g. (p 475 0 MP acos((p--tpM)d(pM. a I" Cl 9 ---- Vérifier que, au deuxième ordre près en --, et en posant u= t-- --, on a r c a . . . a di (lt) . MP= r, 1----sm(9)cos(tp--çüü , l(t--ÎMP)=Z(H)+-- d sm(9)cos((p--(pM) et r c u __ ."0 2di(u) - A(p--4 lirca du sm(6) Cl 10 -- En déduire la composante dominante du champ d'induction magnétique B en un point P situé à une distance r >> CT de l'origine. En coordonnées sphériques, 
le rotationnel

d'un vecteur V : V,u, + Ve u@ + V,, "ça s'exprime par :

l<>l ... avi .. ... w

69 ô(p r2s1n0 dr ôça rsin6 ôr

avec u9Auw=ur, u(pAur=u9 et urAuÛ=u(p.

D 11 -- Déterminer le champ électrique E avec la même approximation. Comparer 
la struc-
ture de l'onde au voisinage du point P avec celle d'une onde plane.

Cl 12 -- En déduire l'expression du vecteur de Poynting. Montrer, en précisant 
la valeur de K,
que la puissance rayonnée à travers la sphère de centre O passant par P est :

d2 l' 2
Æay=K(d_Ë--] ...

Indication numérique : avec u0 : 47t>< lO"7 H.m_1 et C: 3><108 m.s'1 , on trouve la relation K: 2, 47>< 10"33 0'2 , où 0' est la surface de la spire, en m2 D 13 ---- Un dipôle rayonnant de moment dipolaire électrique po (dipôle de Hertz), oscillant à la pulsation a), rayonne dans tout l'espace la puissance moyenne Établir un lien entre cette expression et la relation [1] III Rayonnement dans un circuit à deux condensateurs On rend compte du rayonnement dans le circuit de la figure 1 en introduisant une boîte noire X, régie par la relation [1], et qui, parcourue par le courant i(t), dissipe la puissance Ray. On appelle VX la tension aux bornes de X. Le circuit équivalent lorsque l'interrupteur est fermé est représenté figure 4. Cl 14 -- Montrer, en précisant la valeur de C, que VX satisfait l'équation différentielle (où la constante K est celle qui intervient dans la relation [1]) : +_ __ KC dl C] 15 --- Il se trouve que la solution « physique » de [2] est de la C1 C2 forme VX : VO exp(st) ! Déterminer alors les valeurs possibles de s. La solution de [2] peut--elle être une superposition de fonc- tions correspondant à diverses valeurs de s '? Æ Cl 16 -- Le choix, que l'on fera, de la solution donnée par la Fig. 4 : Fig. ] +boîte noire seule valeur réelle de s est--il admissible du point de vue physi- que '? r ' d2 - r ' 9 I ' r r Cl 17 ---- Determ1ner ä---Zz t---- et expnmer l energ1e rayonnee entre le temps != -- et I' C - EUR != oo. Le résultat obtenu ne devrait pas manquer de susciter un commentaire. IV Un circuit plus réaliste Le circuit de la figure 5 comprend une résistance R, une inductance L, la boîte noire X, régie encore par la relation [1], et un condensateur de capacité CL, équivalent aux deux condensateurs précédents. D 18 ---- Montrer que l'équation différentielle relative à VC, tension aux bornes de EUR., a des solutions Fig. 5 : un circuit RLC série exponentielles VC : AC exp(--ql), avec q réel et positif, pourvu que L R 1 ' 5 2 q ___q +--q------O. 3 K K KC3 ... Que se passe--t-il lorsque K--> 0 ?
D 19 -- Donner un sens à l'affirmation suivante : la résistance radiative est 
Rmd : Kq".

Cl 20 -- Quelques résultats numériques pour le circuit RC radiatif (L = 0), 
avec Q. = 100 MF ,

a = 5 cm et dans la gamme 10°7QS RS 10"3 Q, sont présentés ci-dessous.

1,15x10" 1,14x10' 1,13x10' 1,01x10° 8,21x10" 2,00x10"
85,62 16,491,50><10'4 4,82x10" 1,54x10" 4,82x10"" Commenter ces résultats. Par exemple : dans quels cas a--t--on affaire à un déclin radiatif, ou au déclin ordinaire d'un circuit RC '? pourquoi, lorsque la résistance R est suffisamment petite, q est--il essentiellement constant ? que vaudrait q pour R=1£2 ? Esquisser l'allure d'une sorte de « diagramme de Bode » donnant ln( R)?) en fonction de ln(R). À quelle forme asymptotique de l'équation [3], qui se ramène ici à Kq5 + Rq----l--=O, correspond C S chacune des asymptotes de ce diagramme ? On pourra introduire la résistance de coupure 1 ? R.=(--KÎ] , R, z6,86><10"9. C, (. VDiscussion des effets radiatifs On considère un circuit RLC série ordinaire, avec C: 0,68 pF, £= 20><10"9 H, [E: 3,5 kg}, correspondant à une résistivité p = O, 80 Elm. Cl 21 -- Justifier que, dans ce circuit, la dépendance temporelle de la charge dans le conden-- sateur puisse être q(t) : % exp(--sf) , avec 5--1 == TRC : RC . E] 22 -- Les câbles de connexion sont, à l'intérieur, électriquement neutres. Ils portent cependant des charges surfaciques, qui contrôlent les champs électriques ; en réalité, ces deux grandeurs se contrôlent mutuellement. L'échelle de temps de cette interaction est le temps de réarrangement des charges surfaciques, c'est-à--dire le temps que met l'information à se propager dans le circuit. Ce temps est, en grossière approximation, T, = ;, où EUR est la ta111e caractensüque du c1rcu1t. On pose 0: =LC_ D15cuter, selon les valeurs de a, le T1 régime de retour à l'état d'équilibre des charges dans le condensateur. On justifiera, en parti-- culier, que pour a <<1, les effets radiatifs sont importants. Qu'en est-il pour le circuit considéré, dans lequel EUR = 5 cm ? Cl 23 -- La résistance est modélisée par le parallélépipède représenté " ci-contre, de section S et d'épaisseur e. La permittivité diélectrique du matériau est prise égale à celle du vide : 80 = 8,85 ><10'11 F.m"1 ; la capa- cité ainsi constituée est CM=Eo--. Il existe donc une autre échelle de 9 temps dans ce circuit, TM : £0p. Comment intervient-elle? FIN DE L'ÉPREUVE