Mines Physique 1 MP 2009

Thème de l'épreuve À propos de Heinrich Olbers
Principaux outils utilisés mécanique du point, transferts thermiques, statique des fluides
Mots clefs comète, ellipse, facteur de Boltzmann, loi de Planck, température de la Terre, luminosité du ciel, loi de Hubble, effet Doppler-Fizeau, rayonnement diffus cosmologique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS
L'astronome allemand H EINRICH W. M. O LBERS (1758--1840) decouvrit les 
asteroides Pallas et
Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il realisa la premiere observation de la 
comete qui porte son
nom (13P/Olbers). Les caracteristiques orbitales de cette comete ont ete 
determinees initialement par
C. F. G AUSS et F. B ESSEL. Elle a ete observee pour la derniere fois lors de 
son passage au perihelie
(distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines proprietes de cette 
comete sont examinees
dans la Partie I.
O LBERS a aussi etudie le paradoxe qui porte aujourd'hui son nom : si l'univers 
contient une multitude
d'etoiles distribuees a peu pres regulierement, un observateur terrestre qui 
observe le ciel dans une
direction arbitraire devrait toujours voir au moins une etoile, aussi lointaine 
soit-elle ; tout point du ciel
devrait donc sembler brillant, de jour comme de nuit. Certains aspects de cette 
affirmation paradoxale
seront discutes dans la partie II.
Les vecteurs sont notes en caracteres gras : v, F et leurs normes en italique 
kvk = v, kFk = F. Dans
le systeme de coordonnees spheriques (r,  ,  ) et dans la base orthonormee (er 
, e , e ), on rappelle
f
1f
1 f
dx
er +
la derivee d'une fonction x(t).
que grad f (r,  ,  ) =
e +
e . On note x =
r
r 
r sin   
dt

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

I. -- La comete 13P/Olbers
Les parties I.A et I.B de ce probleme peuvent etre abordees independamment.

I.A. -- Mouvements cometaires
On etudie dans cette partie le mouvement d'un corps ponctuel M de masse m, 
soumis a l'action d'un
centre attracteur fixe a l'origine O des coordonnees d'un referentiel galileen 
R. On posera r = kOMk.
L'action de ce centre attracteur est decrite par une force unique F = -m · 
gradU(r), ou U est une
fonction supposee connue. On note aussi v la vitesse de M dans R, LO = m OM  v, 
L = kLO k > 0
et C = L/m
1 -- Montrer que le mouvement de M est plan.
On choisira d'appeler (Oxy) ce plan, oriente par la convention LO = L ez ; 
l'etude du mouvement de
M dans (Oxy) s'effectuera en coordonnees polaires (r,  ).
2 -- On note E = m l'energie mecanique de M. Exprimer  en fonction de r, C, r 
et U(r).
Le point M est en fait le centre d'une comete spherique et homogene se 
deplacant dans le champ
de gravitation du Soleil (de masse M ). Pour tout le reste de la partie I.A, on 
adopte l'expression
U(r) = -K/r ou K est une constante, et l'on se place dans le referentiel 
supposee galileen dans
lequel le Soleil est fixe, homogene et spherique. De plus, on neglige 
l'influence des tous les autres
corps du systeme solaire.
3 -- Exprimer K en fonction de la constante de la gravitation universelle G et 
de la masse du
Soleil M .
4 -- A quelle condition sur  le mouvement de M verifie-t-il rmin 6 r 6 rmax <  
avec rmin 6= rmax ?
Les constantes rmin et rmax sont respectivement appelees perihelie et aphelie 
de la trajectoire.
On suppose desormais que la condition de la question 4 est verifiee. L'origine 
des instants (t = 0) et
des angles polaires ( = 0) sera choisie de sorte que r(t = 0) = rmin ,  (t = 0) 
= 0.
rmax + rmin
et
5 -- Exprimer  et C en fonction de K, rmin et rmax puis en fonction de K, a =
2
rmax rmin
p=
.
a
6 -- Quelle est, sans demonstration, la nature de la trajectoire de M ? 
Indiquer en justifiant votre
rmax - rmin
reponse, la signification physique des parametres a, p et e =
? Representer la trajectoire
rmax + rmin
de M en precisant les points et dimensions remarquables.
7 -- On etudie la partie de la trajectoire pour laquelle 0 <  <  . Quel est 
alors le signe de r ?
Exprimer r en fonction de  , K, C et r. Montrer que la duree  de parcours de 
rmin a r( ) le long de
cette trajectoire s'ecrit
r Z
r
a r( )
p
dr
=
K rmin
a2 e2 - (r - a)2

8 -- On effectue le changement de variable r = a(1 - e cos  ). L'angle  est 
appele anomalie
excentrique. Exprimer la duree  du trajet du mobile M depuis l'instant initial 
jusqu'a sa position
actuelle reperee par  , en fonction de  , e, a et K puis de  , e et de la 
periode T du mouvement de M.
Quel est le nom de la relation qui lie T , K et a ?
On considere que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est circulaire, de 
rayon a0 = 1 UA (unite
astronomique) et de periode T0 = 1 annee = 365, 25 jours. Les caracteristiques 
orbitales, assez stables,
de la comete 13P/Olbers sont les suivantes : excentricite e = 0, 930 ; distance 
au Soleil au perihelie
rmin = 1, 18 UA. On admettra que les relations  ( ) et r( ) se generalisent a 
tout point de la trajectoire
de cette comete.
9 -- A quelle date la comete reviendra-t-elle pour la prochaine fois au 
perihelie ? A quelle date la
comete se trouvera-t-elle la prochaine fois a la distance r = 26, 06 UA du 
Soleil ?
Page 2/7

Physique I, annee 2009 -- filiere MP

Comete Ikeya-Zhang photographiee en 2002 a l'observatoire de Haute-Provence.

I.B. -- La queue de la comete
En 1811, O LBERS proposa pour la premiere fois une theorie quantitative pour 
expliquer la formation
de la queue des cometes, en imaginant que les particules qui la composent sont 
soumises a une force
repulsive d'origine electrique variant comme le carre de l'inverse de la 
distance au Soleil. On connait
aujourd'hui le mecanisme de formation de la queue de la comete, en particulier 
si elle est formee de
poussieres solides.
S2

C1

C2

C3

S1
Les poussieres sont entrainees par un flux de particules (le vent solaire) 
emises par le Soleil et se
deplacant a une vitesse de l'ordre de 400 km · s-1 . On etudie pour simplifier 
(cf. ci-dessus) une comete
se deplacant en ligne droite a la vitesse de 30 km · s-1 ; la droite en traits 
pleins designe la trajectoire
de la comete, et les traits pointilles la direction du vent solaire.
10 -- En justifiant votre reponse, indiquer si le Soleil est dispose du cote S1 
ou du cote S2 sur la
figure ci-dessus.
11 -- En justifiant tout autant la reponse et sur cette meme figure, la comete 
se deplace-t-elle
dans le sens C1  C2  C3 ou dans le sens C3  C2  C1 ? Calculer l'angle  entre la 
direction
Soleil­comete et la direction moyenne de la queue de la comete.
FIN DE LA PARTIE I

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

II. -- Le paradoxe d'Olbers
Les parties II.A, II.B et II.D de ce probleme peuvent etre abordees de maniere 
independante, a condition eventuellement d'admettre les resultats donnes par 
l'enonce s'ils n'ont pas pu etre etablis.

II.A. -- Equilibre thermique et rayonnement
On etudie un gaz parfait en equilibre thermique a la temperature T (uniforme) 
dans un champ de
forces exterieures ; la force F exercee sur une molecule du gaz de masse m est 
F = mG, ou le champ
de forces G = -gradU derive du potentiel U.
On note R la constante molaire des gaz parfaits, NA la constante d'AVOGADRO, M 
= NA m la masse
molaire du gaz et k = R/NA la constante de B OLTZMANN. La pression dans le gaz 
est notee P.
z
12 -- On considere un volume elementaire de ce gaz, d'extension suffisamment 
faible pour que l'on puisse considerer le champ de gravitation G = -Gez
z + dz
constant sur ce volume. Ce volume sera constitue d'un cylindre de gaz, compris 
entre les altitudes z et z + dz, de section S et de hauteur dz, en equilibre
G
mecanique sous l'action du champ de forces G et des forces de pression. 
Exprimer la derivee dP/dz en fonction de G, P, T , m et k.
z
13 -- En deduire une equation differentielle reliant P et U, avec comme
parametres m, k et T . Montrer enfin qu'a l'equilibre thermique, la densite 
parti

E
culaire dans le gaz (n : nombre de molecules par unite de volume) verifie n = 
n0 exp -
, ou n0
kT
est une constante, et E = mU est l'energie potentielle d'une molecule dans le 
champ U.
b

b

Nous admettrons dans la suite la generalite de ce resultat : le nombre de 
molecules d'energie E
dans une assemblee de molecules a l'equilibre thermique a la temperature T est 
proportionnel a
exp (-E/kT ).
On decrit maintenant un corps solide en equilibre thermique a la temperature T 
. Les atomes formant
ce corps sont, dans ce modele, repartis en deux populations, a raison de n1 
atomes par unite de volume
a l'energie E1 et n2 atomes par unite de volume a l'energie E2 , avec E2 > E1 .
Ce solide absorbe et emet en permanence un rayonnement electromagnetique, que 
l'on decrira ici
comme une assemblee de particules (photons) ; on ne s'interesse ici qu'aux 
photons de frequences
voisines de  = (E2 - E1 )/h (ou h est la constante de P LANCK) susceptibles 
d'etre absorbes ou emis
lors des transitions entre les deux niveaux d'energie.
Selon un modele propose par E INSTEIN, les processus d'emission et d'absorption 
des photons par le
solide se compensent et sont regis par les equations differentielles
dn1
dn2
=-
= A( )n2 + [-B( )n1 +C( )n2 ] u ( , T )
dt
dt
ou u ( , T ) represente la densite volumique spectrale d'energie 
electromagnetique : si l'on note
n ( , T ) le nombre de photons par unite de volume et par unite de frequence, 
on a alors la relation u ( , T ) = h n ( , T ) ; les grandeurs positives A( ), 
B( ) et C( ), appelees coefficients
d'E INSTEIN, ne dependent que de la frequence  .
On suppose finalement que lim n1 = lim n2 = no .
T +

T +

14 -- Quelles sont les unites SI de mesure et la signification physique des 
grandeurs u (T ), A( ),
B( ) et C( ) ?
15 -- Determiner l'expression du rapport n2 /n1 a l'equilibre. En utilisant la 
relation etablie
a la question 13, montrer que l'on peut trouver 2 fonctions F( ) et H( ) telles 
que u ( , T ) =

-1
h
F( ) exp
- H( )
. On exprimera F( ) et H( ) en fonction de A( ), B( ) et C( ).
kT
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Physique I, annee 2009 -- filiere MP

II.B. -- Loi de Planck
La loi dite de P LANCK donne les expressions de la densite volumique spectrale 
d'energie u du
rayonnement a l'equilibre thermique, et du flux surfacique spectral j emis a la 
surface d'un corps
noir :
8 h 3
2 h 3

 et j ( , T ) = 

u ( , T ) = 
h
h

c3 exp
c2 exp
-1
-1
kT
kT
ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide.
16 -- Montrer que la loi de P LANCK est compatible avec les resultats de la 
question 15. Determiner
les rapports C( )/B( ) et A( )/B( ).
17 -- Montrer que le flux surfacique total j rayonne par un corps noir se met 
sous la forme
j =  T  ; On justifiera soigneusement la valeur de  et on exprimera la 
constante  en fonction de
R
-1
k, h, c et de l'integrale I = 0 e-x x3 [1 - e-x ] dx.
18 -- En utilisant la relation  |z| < 1 , (1 - z)-1 =

 zn , exprimer I en fonction de certaines

n=0

valeurs des fonctions  d'E ULER et  de R IEMANN, on rappelle que

x  R , (x) =

Z 

e-t t x-1 dt , (x + 1) = x(x) et  (x) =

0

1

 nx .

n=1

On peut calculer (1) = 1,  (4) =  4 /90, et mesurer k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , h 
= 6, 62 × 10-34 J.s,
c = 3, 00 × 108 m.s-1 , determiner la valeur numerique de  . Quel est le nom de 
cette constante ?

II.C. -- Le ciel est clair, le jour. . .
On etudie ici un modele simplifie d'univers illimite, les etoiles etant toutes 
assimilees a des spheres
de meme rayon R , de meme temperature de surface T , dont le rayonnement est 
regi par la loi de
P LANCK affirmee a la partie II.B. Ces etoiles sont reparties statistiquement 
de maniere quasi-uniforme
a raison de n etoiles par unite de volume (n R3  1) dans tout l'univers, 
considere comme une
sphere de grand rayon R et de centre O. L'espace compris entre les etoiles est 
vide.
On considere une planete spherique, de centre O, de rayon R p , disposee au 
voisinage d'une des etoiles
ci-dessus (appelee etoile locale) et a beaucoup plus grande distance de toutes 
les autres etoiles de
l'univers. La distance d entre le centre de la planete et celui de son etoile 
locale verifie d  R > R p .
On neglige toute presence d'atmosphere autour de la planete, et on fait 
l'hypothese que cette derniere
montre toujours la meme face a l'etoile locale.
Pour les applications numeriques, on adoptera les valeurs relatives au couple 
Soleil-Terre : T =
5 700 K, R = 750 000 km, d = 150 × 106 km.
19 -- Dans un premier modele, on ne tient compte que de l'etoile locale. On 
considere d'une part
que la face eclairee de la planete est a temperature uniforme Te et d'autre 
part que cette planete emet
un rayonnement conforme a la loi de P LANCK. Determiner l'expression et la 
valeur numerique de Te
en regime permanent. Quelle est, dans ce modele, la temperature de la face non 
eclairee ?
P
20 -- On etudie maintenant un modele ou la temperature de la partie
eclairee de la planete n'est pas uniforme ; un point P de la face eclairee est
z

caracterise par l'angle  fait par le rayon vecteur CP mene depuis le centre C
C
de la planete avec la direction d'eclairement. Determiner, a l'equilibre 
radiatif local, l'expression de la temperature T ( ) d'un point de la face 
eclairee en
fonction deZZ
T , R , d et  . On definit la temperature moyenne de la planete
1
T (P)dS, l'integrale etant etendue a toute la surface S de la planete. 
Determiner l'expar T =
S
pression et la valeur numerique de T .
Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

21 -- Ce modele vous parait-il satisfaisant pour decrire la temperature de 
surface de la Terre ?
Comment proposeriez-vous de l'ameliorer ?
On adopte enfin un modele plus complet, destine a rendre compte des echanges 
thermiques entre
les differentes parties adjacentes de la surface de la planete. Celle-ci est 
decrite comme une couche
spherique de rayon R p , de faible epaisseur e  R p , conductrice thermique 
avec la conductivite thermique  constante. En regime permanent, la temperature 
de sa surface T ( ) ne depend que de
l'angle  .
22 -- Rappeler et justifier qualitativement la loi de F OURIER de la conduction 
thermique. En
deduire que la temperature T ( ) verifie l'equation differentielle

dT
1 d
sin 
+  Z 4 ( ) - T 4 ( ) = 0
sin  d
d
on exprimera la constante  en fonction des donnees du problemes et la fonction 
Z( ) en fonction de
T , R et d pour 0 6  6  . On ne cherchera pas a resoudre cette equation 
differentielle.

II.D. -- . . . et la nuit ?
Dans les modeles developpes ci-dessus, la temperature des planetes sur leur 
face sombre apparait
comme tres faible ; elles ne sont en effet eclairees que par « cette obscure 
clarte qui tombe des etoiles »
(C ORNEILLE). Nous allons estimer, avec O LBERS, que la quantite de lumiere 
recue ainsi est pourtant
a priori loin d'etre negligeable.
Dans cette partie, on etudie une planete isolee, sans etoile locale, et donc 
plongee dans une nuit
perpetuelle : la surface de la planete n'est eclairee que par un ciel nocturne. 
Revenant au modele
presente au debut de la partie II.C, on suppose les etoiles reparties 
uniformement a raison de n
par unite de volume, a une distance variable r du centre C de la planete, 
spherique de rayon R p . On
rappelle que r varie de r0 > R p a R  r0 .

Une etoile

r
Le rayonnement de chaque
etoile est isotrope
Planete (le schema n'est pas a l'echelle)

2R p

23 -- Exprimer le nombre dN d'etoiles comprises entre deux spheres de centre C 
et de rayon r et
r +dr. En deduire la puissance thermique recue par la planete de la part de ces 
etoiles. On negligera ici
tout phenomene d'absorption ou d'ombre : les etoiles ne s'occultent pas. En 
deduire que la puissance
totale recue par la planete s'ecrit P =  R , ou on exprimera  en fonction de la 
constante  des
questions 17 et 18 ainsi que de T , R , R p et n .
24 -- Le paradoxe de la nuit noire ou paradoxe d'Olbers peut etre exprimee 
ainsi : « si l'univers est
infini, le rayonnement provenant des etoiles l'est aussi et le ciel de nuit 
devrait etre clair ; si par contre
l'univers est fini, il n'est pas stable et s'effondrera. » Expliquer brievement 
la nature de l'instabilite
evoquee ici.

Page 6/7

Physique I, annee 2009 -- filiere MP

Le paradoxe de la nuit noire ne se presente plus dans le cadre des modeles 
d'univers modernes (en
particulier dans le modele cosmologique standard, ou « big bang »). Dans ce 
modele, l'univers est
fini et une etoile quelconque situee a la distance r de la planete de 
l'observateur s'eloigne de celui-ci
radialement a la vitesse V = H0 · r, ou H0 = 2, 5 × 10-18 s-1 est la constante 
de H UBBLE.
On sait aussi, en supposant valide la cinematique classique non relativiste, 
que la longueur d'onde a
apparente de la lumiere recue de la part d'une etoile qui emet de la lumiere a 
la longueur d'onde 
est a =  (1 +V /c), ou c = 3, 0 × 108 m · s-1 est la vitesse de la lumiere : 
c'est l'effet D OPPLER F IZEAU.
25 -- En utilisant la loi de P LANCK donnee en II.B, montrer que la longueur 
d'onde m correspondant au maximum d'emission de rayonnement d'energie thermique 
d'un corps solide a la temperature
T , verifie la relation m = µ /T . On exprimera la constante µ en fonction de 
h, k, c et x solution non
nulle de l'equation 3 - x = 3e-x . Comment s'appelle cette loi ?
26 -- En utilisant la loi precedente et en supposant valide la cinematique 
classique non relativiste,
determiner la temperature apparente Ta d'une etoile situee a la distance r de 
l'observateur. Faire
l'application numerique pour une etoile semblable au Soleil, mais situee a dix 
milliards d'anneeslumiere de la Terre (une annee-lumiere est la distance 
parcourue dans le vide par la lumiere pendant
une annee).
27 -- En considerant toujours la cinematique classique non relativiste, montrer 
que l'effet D OPPLER F IZEAU permet de lever le paradoxe d'O LBERS dans un 
univers infini. On donne n  10-57 m-3
ainsi que le flux surfacique moyen recu du Soleil sur la Terre j  1 kW.m-2 .
28 -- Le modele du « big bang » prevoit que l'univers est age d'environ 13,7 
milliards d'annees.
Montrer que dans le cadre de ce modele et sans meme considerer l'effet D OPPLER 
-F IZEAU, le paradoxe d'O LBERS ne tient plus. On notera Rth la distance 
maximale de l'etoile observable dans le cadre
du modele du « big bang ».
29 -- La longueur d'onde du maximum du rayonnement thermique du Soleil est  = 
520 nm.
Les processus physiques les plus anciens observes, et donc les plus lointains, 
sont associes au rayonnement diffus cosmologique. Ce rayonnement a une 
temperature apparente Ta = 2, 7 K. Quelle est
la longueur d'onde apparente a associee au maximum d'emission du rayonnement 
diffus cosmologique ? Dans quel domaine spectral se situe-t-elle ? Savez-vous 
quand et par qui ce rayonnement a ete
decouvert ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Clothilde Heyrendt (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Ce problème s'intéresse au mouvement d'une comète observée au XIXe siècle par
l'astronome allemand Heinrich Olbers et au paradoxe qui porte son nom, selon 
lequel
le ciel devrait être aussi brillant la nuit que le jour.
· La première partie porte sur le mouvement d'un point matériel soumis à une
force centrale, d'abord dans le cas général puis dans le cas particulier de la
force de gravitation ; on détermine alors les caractéristiques de la trajectoire
elliptique de la comète 13P/Olbers. Cette partie se conclut par deux questions
qualitatives concernant la queue de la comète.
· Dans la seconde partie, on introduit un modèle décrivant les processus 
d'émission et d'absorption des photons par les solides, dont on vérifie qu'il 
est compatible avec la loi de Planck du rayonnement du corps noir. Partant de 
cette
dernière, on établit la loi de Stefan, que l'on utilise ensuite dans le cadre 
d'un
modèle simplifié de l'univers pour arriver au paradoxe d'Olbers. Enfin, un 
modèle plus réaliste permet de lever ce paradoxe.
Les principaux thèmes abordés par ce sujet sont la mécanique de première année
et le rayonnement d'équilibre thermique. Si certains passages sont proches du 
cours,
les informations fournies par l'énoncé permettent d'évaluer la capacité des 
candidats
à répondre à des questions plus originales.
Comme le rappelle le jury du concours dans son rapport, « le programme (...)
est celui des deux années de classes préparatoires. (...) Travailler le cours 
sur les
mouvements à force centrale ne consiste pas à entrer un long formulaire dans la
mémoire de sa calculatrice. La seule chose à connaître est l'énoncé des lois de 
Kepler
et l'équation d'une conique en coordonnées polaires. Tout se retrouve à partir 
de là. »

Indications
Partie I
1 Le point matériel M est soumis à une force centrale : pour montrer que son 
mouvement est plan, il suffit d'appliquer le théorème du moment cinétique.
2 Exprimer le moment cinétique à l'aide des coordonnées polaires pour relier C 
à .
4 Introduire l'énergie potentielle effective pour déterminer la nature du 
mouvement
de M en fonction de la valeur de .
5  et C sont des constantes : écrire leurs expressions en r = rmin et r = rmax 
puis
combiner les quatre équations ainsi obtenues pour obtenir le résultat demandé.
7 Une fois établie l'expression de r, utiliser dt = dr/r pour exprimer dt et 
intégrer
cette relation.
Partie II
14 Utiliser l'analyse dimensionnelle des équations différentielles du modèle 
d'Einstein
pour déterminer les unités SI de mesure de A(), B() et C().
15 À l'équilibre, les densités atomiques n1 et n2 sont constantes, ce qui 
permet de
simplifier les équations du modèle d'Einstein.
17 Le flux surfacique total j(T) s'obtient par intégration du flux spectral j 
(, T)
sur l'ensemble des fréquences.
22 Pour établir l'équation différentielle demandée, effectuer un bilan 
thermique prenant en compte les rayonnements thermiques émis et incident ainsi 
que la conduction thermique. Penser à distinguer deux cas selon que l'on 
considère le côté de
la planète en regard de l'étoile locale ou le côté non éclairé.
27 Reprendre le calcul de la question 23 en tenant compte de l'effet 
Doppler-Fizeau
et comparer le flux surfacique reçu de l'ensemble des étoiles, sans étoile 
locale,
au flux surfacique reçu du Soleil.

I. La comète 13P/Olbers
I.A

Mouvements cométaires

1 Le point matériel M est soumis à la force
--

-
F = -m grad U(r)
Comme la fonction U ne dépend que de r, son gradient s'exprime
--
dU -

grad U(r) =
er
dr

-
dU -

et il vient
F = -m
er
dr
Appliquons le théorème du moment cinétique en O, dans le référentiel R, au corps
ponctuel M
-
P-

dLO
= MO,ext
dt
- P-

où LO et MO,ext sont respectivement le moment cinétique en O de M et la somme
des moments en O des forces extérieures agissant sur M. Le point matériel M 
n'étant

-
soumis qu'à la force F , la résultante des moments en O vaut
P-

-- -
 -

MO,ext = OM  F = 0

--
-

puisque les vecteurs OM et F sont colinéaires. On a ainsi
-

dLO -
= 0
dt
et le moment cinétique en O de M est constant. Or, ce moment cinétique est 
défini par
-
-- 
L = m OM  -
v
O

--
-

où 
v est la vitesse de M dans R. Par conséquent, le vecteur position -
r = OM est
-
perpendiculaire au vecteur constant LO . On en déduit que la trajectoire de M 
est
-
contenue dans le plan perpendiculaire à LO et passant par O, c'est-à-dire que
Le mouvement de M est plan.
Le point où l'on applique le théorème du moment cinétique doit être fixe
dans le référentiel d'étude, ce qui est bien le cas pour le point O dans R.
Le jury précise que « de nombreux candidats calculent le moment cinétique
en supposant que la vitesse s'écrit

-

v = r -
e + r -
e
r

Ils ne se rendent pas compte que cela revient déjà à supposer que le mouvement 
est plan (...) et ils ne prouvent rien. »

2 L'énergie mécanique de M s'exprime
E = Ec + Ep
où Ec et Ep sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de 
M.
Or, l'énergie cinétique de M vaut par définition
1
Ec = m v 2
2

Afin d'exprimer Ec en fonction de r, C et r, écrivons -
v en coordonnées polaires

-

v = r -
e + r  -
e
r

1
m(r2 + r2 2 )
2
et il reste à exprimer  en fonction (entre autres) de C, qui est défini par
-
L
C=
avec
L = k LO k
m
Il vient

Ec =

L étant constant, C est une constante. On l'appelle « constante des aires » car
1 -- 
dA
C
= kOM  -
vk=
2
2
dt
représente la vitesse aréolaire (en m2 .s-1 ) de M, c'est-à-dire l'aire dA 
balayée
--

par le rayon vecteur -
r = OM pendant un intervalle de temps élémentaire dt.
Ce résultat constitue la loi des aires (deuxième loi de Kepler).
--

OM(t + dt)

-
v dt

O
--
OM(t)
-
Or, d'après la définition de LO , on a
-
-- 
LO = m OM  -
v

= mr-
er  (r -
er + r  -
e
)
-

2 -
L = m r  e
O

z

-

Il vient alors, puisque LO = L -
ez ,
L = m r2 
d'où
et on obtient ainsi

et
2 =

Ec =

C = r2 

C2
r4

1
C2
m r2 + 2
2
r

-
Calculons ensuite l'énergie potentielle de M. Une force F dérivant d'une énergie
potentielle Ep vérifie la relation
--

-
F = - grad Ep
Or, on a ici
Ainsi,

--
--
-

F = -m grad U(r) = - grad [m U(r)]
Ep = m U(r)

à une constante additive près, que l'on choisit nulle.