Mines Physique 1 MP 2004

Thème de l'épreuve La plongée sous-marine
Principaux outils utilisés thermodynamique, hydrostatique, diffusion de matière
Mots clefs plongée, compresseur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

'

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, .
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière MP

L'én0nce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 5 pages. '

° Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

° Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

° Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que I'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie. - »

LA PLONGÉE SOUS--MARINE

Si la plongée sous-marine apporte desjoies multiples, elle présente aussi des 
dangers, liés
aux aspects physiologiques et anatomiques du corps humain.

1 Plongée libre (sans bouteille)

L'eau Où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et 
incompressible,
de masse volumique p= 1,0x103kg.m°3, en équilibre dans le champ de pesanteur g 
uni--

forme, avec g= 9,81m.s"2. _La surface libre de l'eau (cote Z: O) est en contact 
avec

l'atmosphère, de pression constante P... = 1,013X 105 Pa.

Cl 1 -- Déterminer, littéralement et numériquement, la pression p(z)

de l'eau en un point de cote z; tracer le graphe de p(z).

Cl 2 --- On assimile l'air contenu dans les poumons du plongeur à un
gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression p(z) identique

à celle de l'eau à la cote 2, un volume V(z) (capacité pulmonaire)

variable (la cage thoracique se déforme sous l'effet de la pression),
et enfin par une température T,, constante et indépendante de la

profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote z sachant 
que celui--ci,
avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximale VM puis bloque sa 
respira--

tion. On donne 2 = --10 m et VM : 7>< 10'3 m3 . On définit le poids apparent du 
plongeur (et

l'on nomme flottabilité) comme la résultante de la poussée d'Archimède et des 
forces de
pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente '? 
diminue--t--elle ou
augmente--t--elle ?

E] 3 -- Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètres, les plongeurs 
utilisent souvent
un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et 
facilement lar-
gable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à 
descendre à une pro--

fondeur excessive, On appelle m la masse du plongeur, V * (z) le Volume de son 
corps et
V}, le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte que V * 
(2): VO +.V(z).

Quelle masse m, de lest choisir si l'on adopte comme règle de sécurité le fait 
que le plon--
geur doit avoir une flottabilité nulle à la profondeur de 5 mètres '?
Application numérique : V}, = O, 077 m3 et m = 80 kg .

Il Plongée avec bouteille et détendeur

Remplissage de la bouteille

Afin d'effectuer le remplissage d'une bouteille à parois
indéformables, de volume V,,, on utilise un compres-

seur constitué (Fig. 2) d'un cylindre, de deux soupapes
S et S' et d'un piston, mobile sans frottement entre les
positions extrêmes AA' et BB'. Lors de l'aller (phase
d'aspiration) la soupape S est ouverte alors que S' est

fermée ; on a alors admission de l'air atmosphérique
dans le cylindre à la pression P... . Lors du retour (phase

de compression), l'air dans le cylindre est comprimé, de
la pression Pa à la pression P,, ; la soupape S est fermée alors que la soupape 
S' s'ouvre dès

que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille P,, 
. Quand le piston
est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est V...... ; 
quand le piston est en
BB', ce volume est égal à Vmax . Les transformations de l'air sont isothermes 
(les températu-
res dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la 
température T,, de

l'atmosphère) ; les transformations sont quasi-stati ques ; l'air est 
toujoursconsidéré comme
un gaz parfait.

Fig. 2 : Compresseur

Cl 4 -- La pompe n'ayant pas encore fonctionné, l'état initial du système est 
le suivant :

' Bouteille : pression P,, = P... , température T ,, = I:, .
° Cylindre : pression P...... , température T ... position du piston AA'-
Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression P,, à l'intérieur 
de la bouteille à la

fin de cette transformation ; en déduire, sous l'hypothèse V... << V,,, la 
variation An du

nombre de moles contenues dans la bouteille. Application numérique : V}, 
=5x10"3 m3 ,

V...in =2><10"5 m3, Vmax =2xlO" m3, T,=293 K et R=8,311.mol"'.K"'.

Cl 5 --- Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu'à un instant t donné, 
la soupape S
est ouverte alors que la soupape S' est fermée ; l'état du système est alors le 
suivant :

° Bouteille : pression P,, = p , température T ,, = 72, .
° Cylindre : pression P... , température T a, position du piston AA'-

Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d'air V' dans le cylindre 
lorsque la sou-
pape S' s'ouvre, puis, en fonction de p, V,,, P..., V... et Vmax , la pression 
p' dans la bou--

teille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes 
grandeurs, la variation
Ap de la pression à l'intérieur de la bouteille. Déterminer la pression 
maximale pmax que

l'on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu.

E] 6 -- Calculer Ap et pmax pour p =0,2><107 Pa, et en conservant les données 
numériques
antérieures.

Cl 7 -- On considère l'instant t de la question 5, l'état du système étant 
identique. Le "piston

1 ,
fait a allers-retours par seconde, la durée de chaque aller-retour est notée At 
(A! = ;) . Eta--
d
blir l'équation différentielle liant p et 'ai:-- (on assimilera % à --(£-).

D 8 -- Le compresseur ayant démarré à l'instant t= 0, les conditions initiales 
étant celles qui

ont été définies à la question 4, déterminer la pression p(t) à un instant t 
quelconque.

Vh
ocVmin
retours par seconde, calculer le temps T au bout duquel la pression p dans la 
bouteille est

égale à 0,5><107 Pa.

Compte-tenu de l'inégalité V... <<107 Pa ,
p.=4,0><105 Pa, V,, =5><10'3 m3, T, =293 K et T,=288 K.

Cl 10 -- La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f. Sous la 
pression locale

p(z) et à la température T,, le volume moyen de l'air inspiré au cours de 
chaque cycle

(avant d'être ensuite rejeté à l'extérieur) est QQ ; calculer le temps At,(z)au 
bout duquel le

détendeur se bloque ; pour simplifier les calculs on admettra que le temps de 
descente du
plongeur à la profondeur z est négligeable, que ce dernier se maintient tout le 
temps Ats(z) à

la profondeur z et que le volume [20 ne dépend pas de la profondeur.

Application numérique : Z: --20 m, QO= 2,0><10"3 m', ]: 0,2 s"' et Z,: 288 K.
D 11 ---- Comparer At_.(z)au temps At,(O) mis par le détendeur pour se bloquer 
si le plongeur
reste en surface, où 2: 0 et T : Ta.

111 Un exemple de danger, l'accident de décompression

Lors d'une plongée, le détendeur équilibre la pression de l'air inhalé dans les 
poumons avec
celle de l'eau environnante. Cet air est principalement composé d'oxygène (21 
%) et d'azote

(78 %). L'azote est un gaz diluant qui, au cours de la descente, se dissout par 
diffusion dans

le sang puis dans les tissus. À température constante et à saturation, la 
quantité de gaz dis-
sous dans un liquide est proportionnelle à la pression exercée par ce gaz sur 
le liquide (loi de
Henry) ; la quantité d'azote qui se dissout dans l'organisme d'un plongeur 
augmente donc
avec la profondeur. Ce phénomène engendre des problèmes lorsque le plongeur 
remonte trop
vite à la surface : l'azote dissous, sous l'effet de la diminution de la 
pression, reprend sa

forme gazeuse. Des bulles apparaissent alors dans l'organisme du plongeur. Dans 
90 % des
cas, les accidents de décompression sont localisés dans les articulations, 
particulièrement au

niveau des tissus cartilagineux. Une hypothèse couramment admise (dite 
hypothèse de Hem-
pleman) est que ces accidents surviennent lorsque la masse d'azote stockée dans 
les cartila--
ges dépasse une valeur critique.

Cl 12 -- Le cartilage n'étant pas irrigué par le sang, les

M01éC"le échanges d'azote entre sang et cartilage ont lieu uni--
de N2 quement par diffusion, supposée unidirectionnelle, sui--
vant Ox (Fig. 3). La concentration d'azote C(x, !) dans
Fig. 3 : stockage d'azote le cartilage d'épaisseur [ (O S x S L) est supposée 
régie
. . . ÔC x,t 82C x,t
par l'équation de duffusron ------â------)----D----a--(3--)=O,
[ x"

où la constante D est le coefficientde diffusion. On cherche, pour cette 
équation, des solu-
tions de la forme C(x,t)= K + ](x)g(z'), où K est une constante. Déterminer les 
équations

différentielles vérifiées par /(x) et g(t). On introduira dans ces équations 
une constante q

homogène à l'inverse d'une longueur (et qui n'intervient, à ce stade, que par 
son carré).

D 13 ---- Montrer que, q étant fixé, la solution physiquement acceptable de 
l'équation de dif-

fusion, Cq(x, l'), peut s'écrire

Cq(x, t) : K] + [Ac, cos(qx)+ Bq sin(qx)]exp(--Dfit).

\___5f__--_--_J
=E,(x,t)

CI 14 --- Le plongeur atteint la cote 2 au temps t= 0, puis reste à cette 
profondeur ; le temps
mis pour atteindre cette cote est négligeable. On note C,.(z) la concentration 
en azote du

sang du plongeur à la profondeur 2. Déterminer les valeurs autorisées de q et 
les expressions

de K,], A,] et B,], les conditions aux limites étant Cq(0, t) : Cq(L, t) : 
C,.(z).

Cl 15 -- Imposons à présent à la solution de l'équation de diffusion la forme

C(x,t)=K+Zlfl(x,1),

]
où E{(x, t), introduit dans l'équation de la question 13, est une fonction 
périodique de la
variable x. Quelle est la période spatiale de cette fonction '?
Déterminer alors l'expression de C(x,t) à la profondeur 2. On notera Co la 
concentration à

saturation, homogène et à l'air libre, de l'azote dans le sang et on utilisera 
la condition ini--
tiale C(x,o)= Co.

Rappel :

27r

Si f(t)=AO+Z[Ancos(/zwot)+Bnsin(nwoz)l, Bn=%Lnf(u)sin(noeor)du T=ÊU_
0

n:l

FIN DE L'ÉPREUVE

Les détendeurs modernes comportent en réalité deux étages : le premier étage 
est la pièce métallique
sur la bouteille, qui abaisse la pression de celle de la bouteille (200 bars en 
début de plongée)jusqu'à
50--30 bars. Le deuxième étage est dans la bouche. Il équilibre la pression 
avec la pression ambiante
respirée par le plongeur. C'est ainsi un détendeur "à la demande" : quand le 
plongeur aspire, une
membrane est tirée par dépression, ce qui libère l'air dans étage amont, etc. 
Cette membrane revient
ensuite en place, ce qui empêche le "débit continu" et donc un gaspillage d'air.

Le problème présente l'ancien système "avec réserve" qui n'est plus guère 
utilisé de nosjours.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Jean-Luc Robert (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de quelques problèmes physiques posés par la plongée 
sous-marine :
équilibre mécanique du plongeur, remplissage et fonctionnement d'une bouteille 
d'air
comprimé, accidents de décompression.
Dans la première partie, on étudie la flottabilité du plongeur en apnée, en 
faisant
appel à l'hydrostatique. La deuxième partie aborde le principe de 
fonctionnement du
compresseur utilisé pour remplir les bouteilles, et celui du détendeur. Enfin, 
la dernière partie est une étude de la diffusion de l'azote dans les tissus 
humains.
Le sujet est très court : la clarté de la rédaction n'en est que plus 
importante.
Les deux premières parties sont très abordables et ne font appel qu'à des 
notions
élémentaires de thermodynamique. Seule la dernière partie, consistant à résoudre
l'équation de la diffusion à une dimension, et dont les questions sont assez 
laconiques,
présente quelques difficultés.
La dernière question en particulier, où l'on résout l'équation de la diffusion 
pour
une condition initiale discontinue, tranche avec le reste du sujet. En effet, 
elle est rédigée de manière ambiguë et guide très peu le candidat. Elle 
nécessite beaucoup de soin
dans la rédaction, et en particulier une bonne maîtrise du cours de 
mathématiques
sur les séries de Fourier.

Indications
Partie II
4 La quantité d'air dans l'ensemble « cylindre + bouteille » reste constante 
pendant
la compression.
5 On ne peut plus comprimer l'air du cylindre si V 6 Vmin .
dp

8 Résoudre d'abord l'équation sans second membre
= -Vmin
p(t).
dt
Vb + Vmin
Chercher ensuite une solution particulière constante.
9 Appliquer deux fois la loi des gaz parfaits.
10 Calculer la quantité d'air inspirée en un temps dt puis intégrer.

Partie III
12 Diviser l'équation de diffusion en f et g par f (x)g(t).
Rappel : si pour tous x et t, F(x) = G(t), alors F(x) = G(t) = Cte .
15 Montrer que K = Cs et pour tout q 6= 0, Aq = 0.
Prolonger C(x, 0) en une fonction créneau 2L-périodique, centrée en Cs (z).
Décomposer ce créneau en série de Fourier à l'aide de la formule donnée par
l'énoncé. Celle-ci comporte une faute de frappe : il faut lire
Z
2
f (u) sin(n0 u)du
Bn =
T (T)
Identifier ensuite les coefficients de Fourier avec les termes Bq recherchés.

I.

Plongée libre (sans bouteille)

1 Utilisons l'équation de la statique des fluides
--

grad p = --
g
En projetant cette relation sur la base cartésienne, comme l'axe (Oz) est 
orienté selon
la verticale ascendante, on obtient

p

=0

x

z(m)

p
=0
 1

5 
y

0

p(atm)
 p = -g
z
-10

On déduit des deux premières équations que
p ne dépend que de z, et en intégrant la troisième entre z = 0 et z < 0, il 
vient
p(z) = -gz + Patm
= -9, 81 . 103 × z + 1, 01 . 105 Pa

-50

L'énoncé est incohérent dans le nombre de chiffres significatifs donnés pour
les applications numériques : la valeur de Patm est donnée avec quatre chiffres
significatifs, g avec trois alors que  n'en a que deux. Plus loin dans l'énoncé,
les volumes sont donnés avec un seul chiffre significatif ! Normalement, dans
une situation où les données numériques sont connues avec des précisions
différentes, on doit calculer avec le nombre de chiffres significatifs le plus
faible. Ce qui veut dire qu'en toute rigueur, on devrait donner des 
applications numériques à deux chiffres dans cette première partie et un seul 
dans
la deuxième. Ce n'est pas raisonnable. En fait, force est de constater que
l'énoncé est totalement laxiste sur ce point comme malheureusement beaucoup de 
sujets de concours. Que faire dans une telle situation ? Choisir deux
ou trois chiffres significatifs et s'y tenir tout au long de l'énoncé. Nous 
choisissons d'en donner trois.
2 Le plongeur bloque sa respiration : la quantité d'air contenue dans ses 
poumons
reste constante. Or la température est également constante, de sorte que la loi 
des
gaz parfaits donne
p V = nRTi = Cte
On a donc

p(z) V(z) = Patm VM

soit, en utilisant le résultat de la question précédente,
V(z) =
Application numérique :

Patm VM
Patm - gz

V(-10 m) = 3, 56 L

On constate que si la profondeur (-z) augmente, la capacité pulmonaire du 
plongeur V(z) diminue ; son volume total diminue donc également. La masse 
volumique
de l'eau étant uniforme, la poussée d'Archimède  = gVtot subie par le plongeur
varie comme son volume. Elle diminue donc si la profondeur augmente, alors que 
le
poids du plongeur reste le même. Par conséquent, la flottabilité diminue quand
la profondeur augmente.
3 Le volume du lest étant négligeable, le plongeur subit une poussée d'Archimède

-

 = - (V0 + V(z)) -
g
-

P = (m + m1 ) -
g

et son poids est

La flottabilité est nulle en z0 si le poids et la poussée d'Archimède 
s'équilibrent,
c'est-à-dire si :
 -
-

-
P +  (z0 ) = 0
ou encore
d'où

II.

m + m1 =  (V0 + V(z0 ))

Patm VM
m1 =  V0 +
- m = 1, 72 kg
Patm - gz0

Plongée avec bouteille et détendeur
Remplissage de la bouteille

4 Le mouvement aller du piston remplit le cylindre d'air à la pression Patm .
À la fin de ce premier mouvement, le système contient donc un volume d'air Vmax 
+Vb
à la pression Patm . Lors de la compression (retour du piston), la température 
est
constante et la quantité d'air dans le système également (la soupape S étant 
fermée).
On peut alors écrire pV = nRTa = Cte . À la fin du cycle, la soupape S' est 
ouverte :
l'air est maintenant contenu dans le volume Vmin + Vb et il est à la pression 
Pb .
Il vient donc
Pb (Vmin + Vb ) = Patm (Vmax + Vb )
soit

Pb = Patm

Vmax + Vb
Vmin + Vb

En faisant l'hypothèse Vmin  Vb , le résultat précédent se simplifie :

Vmax
Pb = Patm 1 +
= 1, 42 . 105 Pa
Vb
Or,
d'où

n =
n =

(Pb - Patm )Vb
RTa

Patm Vmax
= 8, 32 . 10-2 mol
RTa