Mines Physique 1 MP 2001

Thème de l'épreuve De la Terre à la Lune: le tir du boulet de Barbicane
Principaux outils utilisés interaction gravitationnelle, mécanique du point, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2001PHYS. MPI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIOUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNIÇATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIÛNS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière MP
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d' énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

. Par convention typographique, les vecteurs sont en gras et leur norme en 
italique : "V" =

DE LA TERRE A LA LUNE

Une odyssée problématique de l'espace

Certaines affirmations des oeuvres de Jules VERNE traduisent de façon 
romanesque des données
scientifiques, ou des hypothèses d'une grande modernité. Dans cette épreuve, on 
s'intéresse à quel-
ques--unes des péripéties du roman De la Terre à la Lune Où, à l'initiative de 
son président
BARBICANE, se forge et se réalise au sein du Gun Club de Baltimore le projet 
d'envoyer un objet sur
la Lune, à l'aide d'un canon.. L'épreuve comprend plusieurs parties 
indépendantes les unes des autres,
et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Dans ce problème, 
exprimer signifie donner
l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.

Dans tout le problème, on néglige la rotation propre de la Terre et celle de la 
Lune. La
Lune est supposée suivre une orbite circulaire autour du centre de la Terre.

Principales notations et valeurs numériques (voir d'autres valeurs en fin 
d'énoncé)

Rayon de l'orbite de la Lune autour du centre de la Terre d = 384000 km.
Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9, 81 m.s"2

Constante de gravitation G = 6,67 X 10"11 N . m2 . kg"2.
Masse de la Terre MT : 5,97 ><1024 kg.

Tournez la page S.V.P.

masse de la Lune m = O, 0735 >< 1024 kg (on adoptera la valeur : --5-- = 82 = à)
r

rayon de la Terre RT : 6378 km '
rayon de la Lune r : 1736,6 km

Dans la suite du problème, on pourra introduire les périodes de révolution 
TT(Æ) dans le

champ gravitationnel de la Terre, à la distance ! du centre de la Terre et T 
L(z) période de

révolution dans le champ gravitationnel de la Lune, à la distance 2 du centre 
de la Lune.

A. Préliminaires

D 1 -- Exprimer g en fonction de G, MT et RT. Exprimer TT (d), période du mouve-

. . . . R
ment lunaire autour de la Terre en fonction de G, M T et d, puis en fonction de 
g, RT et ----L.

Calculer T T (d).

B. En négligeant la gravitation lunaire

Dans cette partie, on néglige l'attraction lunaire. Un boulet de masse ,u est 
envoyé de la

dx

surface terrestre vers l'espace. On note x sa distance au centre de la Terre et 
V: --57 sa

vitesse'. Le boulet est lancé à la verticale ; on suppose la trajectoire 
rectiligne et le boulet
soumis uniquement à l'attraction terrestre.

D 2 -- Exprimer l'énergie mécanique totale du boulet en fonction de g, x et RT.

D 3 ---- Exprimer et calculer en fonction de g et de R, la vitesse de 
libération V,, , vitesse
initiale minimale nécessaire pour atteindre l'infini.

Cl 4 --- Exprimer et calculer en fonction deg, RT etD la vitesse initiale 
minimale V(D)

nécessaire pour atteindre un point D situé à la distance D du centre de la 
Terre. Vérifier le
résultat pour D : RT et pour D infini.

D 5 ---- Exprimer la conservation de l'énergie mécanique du boulet avec la 
condition ini-
tiale v(0)= V(D). Le résultat se lit comme une équation différentielle. Poser 
dans cette

équation x(t) : Dsinz[w(t)] et trouver la solution sous la forme t = T, 
(D)f(w). Exprimer
la valeur initiale % : w(0) en fonction de RT et de D. Dans la suite, on 
utilisera la fonction

1 2

x(w)=w--,sin(zw) [x(w)=--3--w'pourlwl«x).

Cl 6 --- Exprimer, en fonction de % et de TT (D), le temps T(D) mis pour 
atteindre le
point D.

D 7 -- La destination du boulet a beau être la surface lunaire, on lance ce 
dernier avec la
vitesse initiale V(d), comme'si l'on voulait lui faire atteindre le centre de 
la Lune avec une

' Le symbole v est la lettre « v », en italique (comme dans voir) et non pas le 
v (nu) grec.

Page 2 sur 7.

vitesse nulle. Établir alors l'expression approchée suivante de la durée T, du 
trajet :

1 3

»«=W) 1--f-(f-r- -i (fil--

d

Calculer T,. Exprimer et calCuler la vitesse du boulet au point d'impact sur la 
Lune.

D 8 ----Il n'est évidemment pas question de pointer le canon vers la Lune! En
s'appuyant sur la question 7, exprimer et calculer l'angle 9, que doit faire, 
au moment du tir,

l'axe Terre-Lune avec la ligne de tir, supposée verticale. Jules VERNE donne 6, 
: 64°.

C. Avec la gravitation lunaire

Problème statique : position d'équilibre d'un point sur l'axe Terre--Lune

D 9 --- Exprimer et calculer en
fonction de d, MT et de la

masse m de la Lune, la posi--
tion du point d 'équigravitê E
situé sur l'axe Terre--Lune
(fig. 1). On note "; sa distance

au centre de la Terre. Montrer
que, si le boulet atteint ce
point, il atteint la Lune.

BARBICANE considère que
Fig. 1 : notations pour le système Terre--Lune ce point est un point

d'équilibre du système Terre-Lune ; est--ce vrai, d'un point de vue dynamique ?

D 10 -- On veut une expression de la vitesse V (EUR), tenant compte de 
l'attraction lunaire,

et donc plus précise que celle que l'on obtiendrait, à la question 4, pour D = 
EUR. BARBICANE

affirme : Avant une demi--heure, je veux avoir trouvé la formule demandée . .. 
Effectivement,
il propose peu après la formule suivante, donnant la vitesse v à la distance x 
du centre de la
Terre, pour une vitesse initiale vo :

Le résultat de BARBICANE est-il correct '? L'ingénieur NICHOLL l'identifie comme
« l'intégrale de l'équation des forces vives ». Donner une interprétation plus 
moderne, indi-

quer l'ordre de grandeur de chacun des termes. Exprimer et calculer V(EUR) 
nécessaire pour
atteindre le point d'équigravité.

D 11 -- Le modèle de la sphère d'influence (SI) stipule que pour RT 5 x <Ç, 
seule

intervient l'attraction terrestre ; au-delà, seule intervient l'attraction 
lunaire. La sphère cen-
trée sur la Terre et de rayon EUR est la sphère d'influence de la Terre par 
rapport à la Lune. Une

sonde spatiale est dans la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil 
si la force gra--

Tournez la page S.V.P.

Page 3 sur 7.

vitationnelle de la Terre est plus importante que celle du Soleil. Calculer le 
rayon de la
sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil ; la masse du Soleil est 
de 2,0 x1030 kg

et la distance moyenne de la Terre au Soleil est de 1,5><108 km. Selon ce 
modèle, la Lune
serait--elle un astéroïde terrestre ou solaire '?

Cl 12 --- On maintient cependant le modèle SI de la question 11... La vitesse 
initiale du
boulet est maintenant V(ê). Sans faire le calcul, et en s'appuyant sur les 
résultats précédents,

indiquer comment l'on pourrait exprimer dans ces conditions la durée 72 du 
trajet Terre-

Lune. Il sera utile de considérer l'invariance des équations de la mécanique 
par renversement
du temps, t --> --t.

D. Résistance de l'air

Un modèle fruste

Û13-- On néglige la pesanteur terrestre. On note Y (Y =20 km) l'épaisseur de

l'atmosphère, u(u= 104 kg) la masse du boulet, vo sa vitesse initiale, Vy sa 
vitesse au

sommet de l'atmosphère, et R : --kvv (k = 0,1 kg.m") la force de résistance de 
l'air. Cette

, . . - . V
force est opposee a la Vitesse et sa norme est R : kv2. Exprimer et calculer le 
rapport --'--'--.
Vo
, ' . VY 2 ' . . , , .
Comparer votre resultat a celui de BARBICANE :----- : î.Eta1t-1l coherent de 
negltger la
V0
pesanteur ?

Un modèle moins fruste

La résistance de l'air dépend de la densité de ce dernier et par suite de 
l'altitude y au--
dessus de la surface terrestre. Selon un modèle standard d'atmosphère, la masse 
volumique

de l'air suit la loi OE(y) = OE(O) exp(--qy). Nous adopterons l'expression R= 
Av2 exp(--qy),
avec A = 0,6 kg.m'1 (correspondant à la masse volumique au sol de w(0) = 1,255 
kg.m'3 ) et

q = 1,4 X 10"4 m". Pour le calcul de Vy, on continue de négliger la pesanteur.

D 14 ---- Exprimer la vitesse du boulet en fonction de y. Quelle doit être la 
vitesse à la
sortie du canon pour que le boulet atteigne la vitesse de libération V,, (cf. 
question 3) à la

sortie de l'atmosphère terrestre ?

D 15 -- Dans ces conditions, exprimer et estimer un ordre de grandeur de
l'échauffement du boulet si un pourcentage n = 5 % du travail de la force 
résistante est

transformé en énergie thermique. Exprimée en J .kg"'.K" la capacité thermique 
massique du
boulet dépend de sa température T selon la loi c(T) : 5 x 10"2 T .

Cl 16 -- Une méthode de protection contre cet échauffement consiste à recouvrir 
le

boulet d'un matériau réfractaire (« bouclier protecteur »), capable de se 
vaporiser en absor-
bant une grande quantité d'énergie : c'est le phénomène d'ablation. Justifier 
que, pendant le
temps dt, la variation de masse dm du bouclier protecteur est Âdm : --nRvd t, 
où Il est la

chaleur massique d 'ablation du matériau ; typiquement, À : 25 >< 106 J .kg" .

Page 4 sur 7.

Écrire le système différentiel reliant à l'instant t et à l'altitude y, la 
masse m et la vitesse
v du boulet.

Remarque : L" intégration du système différentiel ci--dessus, qui n'est 
absolument pas demandée,
montre que, à la sortie de l'atmosphère, le boulet aura perdu une fraction 
importante de sa masse ini--
tiale, peut--être de l'ordre du tiers.

E. Canon et poudre

%////////////////////M Le canon (fig. 2) est cylindrique à base

%» -- _____ 1ïî'3ï.':î.îïfîîääïäï:£..@îä .fîî

, une longueur X , sa masse volum1que est
ÆÆWW p =2 >< 103 kg.rÏ1". L'explosion produit
un gaz de masse molaire Ma =20 g, à la

température T. On note R la constante des
gaz parfaits, R: 8, 311 K".

X

Fig. 2 : canon, poudre et « boulet » (cf question 21 )
D 17 --- En admettant que la masse

du gaz est égale à celle de la poudre, exprimer le nombre N de moles gazeuses 
en fonction
de p, Ma, S 'eth.

D 18-- On tente l'hypothèse que le gaz est parfait et que son évolution est 
isotherme.
Écrire alors l'équation du mouvement du boulet (de masse #) et exprimer la 
relation entre X

et X0 pour que la vitesse de sortie du boulet ait une valeur Wdonnée.

D 19 -- Quelle relation doit relier X0 et la longueur totale du canon, X, pour 
que cette

ÊV... nr.--104 kg et T = 2000 K;

dernière soit minimale '? Application numérique : W = 2

calculer X et X0.

D 20 -- Reprendre les deux questions précédentes, sous l'hypothèse d'une 
évolution

polytr0pique d'un gaz parfait, _où pression P et volume V sont liés par PV" 
=C'°. Pour
l'application numérique, on prendra a = 2,0. Avec un modèle légèrement 
différent, les résultats

de BARBICANE sont X = 297 m et X() = 66 m.

[:| 21 -- Le boulet dans le canon est en réalité une capsule cylindro--conique 
à l'intérieur

de laquelle trois explorateurs de l'espace et deux chiens ont pris place. Le 
parcours
d'accélération est X,, =X --Xo =230 111. On définit l'accélération moyenne comme

l'accélération constante a qui donne à la sortie du canon la vitesse vo = 17000 
m.s"l . Calcu--

ler a. À titre documentaire, la plus grande accélération à laquelle un être 
humain standard
puisse résister est amax :... g ; peut--on espérer des dispositifs ou des 
équipements permet--

tant de survivre à l'effarante accélération a ?

F. Retour sur la sphère d'influence

Selon les considérations de la question Il, la Lune devrait être un satellite 
du Soleil. On
cherche donc une meilleure partition de l'espace que" celle que l'on peut 
déduire en
s'appuyant sur le point d'équigravité.

Tournez la page S.V.P.

Page 5 sur 7.

Formulafions générales

On considère (fig. 3) 11 objets ponctuels en interaction gravitationnelle, de 
masses res--
pectives m; et de positions R,-- par rapport à un point d'accélération nulle 
dans le. référentiel

d'R, F" mfm-.
galiléen. L'équation du mouvement de l'objet iest m, dt2 '=G 2 r,}, avec
" j=l,j$i rê

y
r... = R . ----R, , le vecteur r,-j pointe vers l'objet << j ». On nomme « 1 » 
l'objet de référence

(parexemple la Terre) et l'on étudie le mouvement de l'objet
« i » (par exemple le boulet) autour de l'objet « 1 >>. La trajec--
toire de l'objet étudié est perturbée par la présence des objets
« j » (par exemple la Lune) ; il s'agit d'évaluer cette perturba--
\ 0 tion.

Fig. 3 _- notatibm D 22 --- Le système considéré est constitué de la Terre
(M,,RT), de la Lune (m,RL) et du boulet B(,u,RB). En

considérant les trois équations vectorielles du mouvement, établir et commenter 
l'équation,
donnée ci-dessous, du mouvement du boulet par rapport à la Terre (les notations 
sont trans--
parentes). Cette équation montre la perturbation de la Lune, notée PL, sur une 
trajectoire

géocentrique.

r r
LB - YZ
3 +. 3
- (fm) (fn)
__ ,-------------1 \.___.'f--------------J
AT PL

CI 23 -- Établir l'équation du mouvement du boulet par rapport à la Lune sous 
la forme

, 75 ___-__" l2124-Les rapports

------'ÂI
___-_!II

___-"_|
=-fi"---l

-" ..."--_|
Ü----Ël

0.92

1.5
1.25

calibrent les perturbations
relatives d'un astre sur
l'autre. Revenant à la situa--
tion particulière où Terre,
boulet et Lune sont alignés,
exprimer pT et p,_ en fonc--

. x
t1on de u=-â et de

8= __r_n__ ; la fig. 4 montre
\IMT

). Que valent ces rapports au

0.75

0.5

0.25-

Fig. 4 : pL (en trait plein) et pT (en tirete') en fonction de u = x/d

l'allure des résultats. Vérifier la relation pT (u, 8 2)= pL(lu --- u,--:--2-
point d'équigravité ?

Page 6 sur 7.

Critère de Lagrange pour le problème à trois corps

Cl 25 -- Selon LAGRANGE, la séparatrice (surface de part et d'autre de 
laquelle, pour le

mouvement du mobile, on néglige l'influence de l'un des deux astres) est 
déterminée par
l'équation pT = pL. TÏSSERAND a montré que la séparatrice est sphéroïdale et 
que, dans le

cas du système Terre-Lune, le rayon de la sphère d'influence de la Lune est
- 2

5
r, (L) = (--5--] d. Considérant la figure 3, le résultat de TISSERAND est--il 
vérifié ?

T

Quelques données supplémentaires (à confronter, éventuellement, à vos résultats)

_ V.,, (km.s"') Période orbitale (jour) Période rotation Gout)

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Page 7 sur 7.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm), Olivier Choffrut (Mines
de Paris) et Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par Yannick Alméras 
(professeur en CPGE).

Ce sujet traite de la modélisation théorique et des difficultés pratiques 
posées par
l'ouvrage « De la Terre à la Lune » de Jules Verne. Il se subdivise en six 
parties
largement indépendantes :
· la partie A sert de préliminaire ;

· la partie B modélise le trajet d'un boulet tiré vers la Lune en négligeant 
l'influence de celle-ci ;
· la partie C introduit l'effet de la Lune et le modèle de la sphère 
d'influence ;
· la partie D modélise l'influence de l'atmosphère terrestre sur le boulet ;
· la partie E étudie le canon permettant de tirer le boulet ;

· la partie F tente une légère approche du problème à trois corps.

Ce sujet, bien que calculatoire par endroits, reste très intéressant et montre 
notamment les cohérences et incohérences de morceaux choisis de l'oeuvre de 
Jules
Verne. Il est amusant de constater qu'un autre ouvrage de Jules Verne, « Voyage 
au
centre de la Terre », a inspiré un sujet du même type tombé au même concours en
1995 (option P , deuxième épreuve).
La relation fondamentale de la dynamique, la conservation de l'énergie et 
quelques
aspects de la thermodynamique sont utilisés pour répondre aux questions posées.

Indications
3 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique, sachant que l'on néglige la 
rotation
de la Terre et l'attraction des autres astres.
5 Faire le bilan d'énergie entre les positions x et x = D pour qu'intervienne 
V(D).
Il faut séparer les variables et intégrer pour faire apparaître la fonction f 
().
7 Il faut effectuer soigneusement des approximations successives compte tenu de
RT /d  1 et r/d  1. Le comportement de la fonction Arcsin au voisinage
de 1- pour des angles inférieurs à /2 est utile :
 
Arcsin (1 - )  - 2  avec 0 <   1
2
9 Que représente physiquement le centre d'équigravité pour un objet de masse 
quelconque ?
10 Écrire la conservation de l'énergie mécanique entre RT et x < d quelconque.
11 Raisonner par analogie avec la question 10.
13 Utiliser le théorème de l'énergie cinétique.
14 La méthode de calcul est la même que pour la question 13.
15 On peut négliger a priori la température initiale du boulet devant sa 
température
finale.
16 Faire attention aux signes.
19 Il faut minimiser la fonction X(X0 ).
20 Même démarche que pour les deux questions précédentes.
22 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour la Terre et le boulet.
23 Raisonner par analogie formelle avec la question 22.

A.

Préliminaires

1 On se place dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On lui attache 
un
repère de centre OT , le centre de la Terre. Soit un objet de masse µ, repéré 
depuis OT
---

. Il n'est soumis qu'à son poids dû à la force attractive de la
par -
r = O M = r-
u
T

r

Terre. Si l'objet est placé à la surface de la Terre, on a
G MT -
 = µ-

-µ
u
g
r
RT 2
Or

-

g = -g -
u
r

d'où

g=

G MT
RT 2

La Lune suit une orbite circulaire de rayon d autour de la Terre. Son 
accélération
radiale vaut, par conséquent,
2

v 
-

ar = - -
ur = - 2 d -
u
r
d
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la Lune de masse m donne
alors
G MT -
G MT

m-
ar = -m
u
soit
-m  2 d = -m
r
d2
d2
Or

=

d'où

2
TT (d)

TT (d) = 2

s

d3
G MT

G MT = g RT 2

Comme
on a aussi

TT (d) = 2 

s

RT
g

d
RT

3

Application numérique : TT (d) = 2, 37.106 s  27, 4 jours
Ce résultat est en accord avec la valeur de 27, 32 jours donnée par
l'énoncé, l'hypothèse d'une orbite lunaire circulaire étant justifiée par la 
faible
excentricité de sa trajectoire réelle (e = 0, 055).
Par ailleurs, on peut noter que l'on retrouve la loi de Kepler, à savoir
T2 /a3 = Cte où a est le demi-grand axe de l'orbite considérée (ici, d = a).

B.

En négligeant la gravitation lunaire

2 L'énergie mécanique E du boulet de masse µ se décompose en énergie cinétique
et énergie potentielle d'interaction terrestre, et s'écrit donc dans le 
référentiel géocentrique
E = Ec + Ep
 2
1
dx
G MT
-µ
E= µ
2
dt
x
G MT = g RT 2

Comme
on a

E=

1
µ
2

dx
dt

2

-µ

g RT 2
x

3 En l'absence de forces extérieures et intérieures non conservatives, 
l'énergie mécanique du boulet se conserve. En particulier, entre les situations 
x = RT et x tendant
vers l'infini :
E(RT ) = E()
avec

E() = Ec () + Ep () = Ec ()

puisque l'énergie potentielle est nulle à l'infini par convention. Supposons 
que l'on
communique la vitesse v(RT ) au boulet au niveau de la surface terrestre, en x 
= RT ;
alors la conservation de l'énergie mécanique donne
1
µ v 2 (RT ) - µ g RT = Ec ()
2
Comme l'énergie cinétique est nécessairement positive ou nulle, on en déduit

v > V = 2 g RT = 11, 19 km.s-1
La vitesse de libération correspond à une vitesse du boulet nulle à l'infini et 
sa
valeur est en accord avec celle donnée par l'énoncé.
Il faut faire bien attention aux notations de l'énoncé qui peuvent paraître
déroutantes : V ne désigne pas une vitesse limite mais bien une vitesse à
communiquer au boulet en x = RT pour qu'il s'échappe. Dans la question
suivante, V(D) ne désigne pas non plus la vitesse en x = D mais bel et bien
la vitesse minimale à donner en x = RT pour atteindre D. Les V sont donc
des valeurs particulières de v(RT ).
4 Dans le référentiel géocentrique, la conservation de l'énergie mécanique du 
boulet
entre x = RT et x = D s'écrit :
E(RT ) = E(D)
d'où

1
1
g RT 2
µ v 2 (RT ) - µ g RT = µ v 2 (D) - µ
2
2
D

1
1
1
1
1
1
µ v 2 (RT ) = µ v 2 (D) + µ g RT 2
-
> µ g RT 2
-
2
2
RT
D
RT
D