Mines Physique 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Modulation et démodulation de signaux radiophoniques
Principaux outils utilisés électrocinétique, amplificateur opérationnel, diagrammes de Bode

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 00 PHYS. I

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUT'IQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNÏCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLECOMMUMCATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYT'ECHNÏQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2000
PREMIÈRE _ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculette est autorisé)
Sujet mis à disposition du concours ENSAE (Statistique), INT, TPE--EIPV
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE ] -MP

L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 4 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)

qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

DÉMODULATION DE SIGNAUX MODULÉS EN AMPLITUDE

Il est fréquent qu'un signal se présente sous une forme inadaptée à sa 
transmission ou à
son traitement. La modulation est le procédé permettant de transposer les 
caractéristiques de
ce signal dans des domaines où la propagation ou le traitement sont possibles. 
La démodula--
tion est l'opération inverse. Les méthodes de modulation se sont élaborées à 
partir d'une
onde sinusoïdale pure, appelée porteuse. La modulation consiste à faire en 
sorte que
l'amplitude, ou la phase (ou les deux) varient proportionnellement au signal de 
départ,
appelé signal modulanl. Le résultat s'appelle signal modulé. La modulation 
d'amplitude
appartient à la classe des modulations dites linéaires et il en existe 
plusieurs variantes. Celle
qui fait l'objet de ce problème est la plus populaire, c'est la double bande 
avec porteuse.

Détection d'enveloppe

À partir d'un signal e(t) = E cos(Q t) et d'une porteuse haute fréquence p(t) = 
S sin(coJ)
( wo >> 0), on génère le signal modulé s(t) : S [1 + ke(t )]sin(oeot), porteur 
de l'information

initiale, et qui sera transmis.

1/4 Tournez la page S.V.P.

DEMOD ULA TION DE SIGNA UX MOD ULES EN AMPLI T UDE

D 1 -- Pourquoi est-il nécessaire d'utiliser une modulation pour la 
transmission de
signaux radiophoniques ? Quels procédés de modulation sont-ils couramment 
utilisés ?
Quels sont les avantages ou les inconvénients des uns par rapport aux autres ?

D 2 -- On définit le taux de modulation par m = kE . Représenter le signal 
modulé en
amplitude s(t) dans les deux cas m < 1 et m > 1. Préciser les valeurs 
remarquables prises par

s(t).
:| 3 -- En déduire qu'une détection d 'enveloppe peut restituer l'information 
e(t) à une
condition que l'on précisera.

:! 4 -- Représenter la décomposition spectrale du signal s(t).

:| 5 -- Reprendre la question précédente lorsque l'infonnafion à transmettre 
e(t) possède
un spectre fréquentiel continu, analogue à celui de la figure 1.

Amplitude

s(t) C V... R
! | T '
L Pulsation ! ! |
>
CÙmin CÙmax

Fig. 1 : spectre continu Fig. 2 : circuit de filtrage

:] 6 -- Justifier le nom de détecteur de crête donné au circuit de la figure 2.

3 7 -- En supposant de nouveau e(t) = E cos(Qt), écrire la double inégalité à 
laquelle

doit satisfaire le produit RC pour que la sortie v(t) restitue l'information 
e(t). On se placera
dans le cas où une détection d'enveloppe permet la restitution de e(t). 
Représenter l'allure
des signaux s( t) et v(t).

Cl 8 -- Que devient la double inégalité précédente lorsque le spectre de e( t) 
contient des
pulsations comprises entre 0 et a)max ?

D 9 -- Quelles limites voyez--vous à ce genre de détection ?

Boucle à verrouillage de phase

. 1 4 -
_-- â Le Signal s(t) : ô[l + ke(t)] sm(a%t),
. Mulüplieur , avec e(t) = E cos(Q t) est modulé en ampli-
s(t) ' ...) tude. Le circuit multiplieur délivre la tension
eo(t) % u(t) : Ks(t)eo(t), où e0(t) : E0 sin(coot)
V,;Z % désigne un signal d'amplitude constante E0
Fjg_ 3 _- multiplieur de même fréquencef0 = cao/Zn: 1 MHz que

celle de la porteuse. Vis-à--vis de la sortie, le
multiplieur (fig. 3) se comporte comme un générateur de tension d'impédance 
interne nulle.

Cl 10 -- Exprimer u(t) et préciser les différentes composantes de son spectre

2/4

Physique 1 ; année 2 000 ; filière MP

:| 11 -- Comment peut--on conserver les informations sur l'amplitude de la 
porteuse et
sur la pulsation Q?

:| 12 -- Quelle est l'utilité de conserver une image de l'amplitude de la 
porteuse ?

:] 13 -- Le circuit multiplieur alimente le filtre de la figure 4, où 
l'amplificateur opéra-
tionnel est supposé parfait. Justifier, dans un montage réel, le rôle de la 
résistance 3R/2.

Cl 14 -- Déterminer la fonction de transfert du filtre en régime sinusoïdal 
permanent.
Préciser la nature du filtrage effectué ainsi que l'ordre du filtre. Ecrivant 
la fonction de trans-

. V H , . .
fert sous la forme canonique fi_ : Ü = _--°----2--, on prec1sera les 
expressrons des
. 60 a)
_ 1 + 2105 -- -- ---7
CD a)

0 C

coefficients H 0 et a ainsi que celle de la pulsation caractéristique ca,.

1
D 15 --On impose 06 =T et
2

une atténuation de 80 dB à 2%.

Justifier le choix de cette fréquence et
calculer n, &)c etR lorsque C = l nF et

fo = cao/Zn: 1 MHz.

? CI 16 --Commenter la valeur
v(t) numérique obtenue pour (oc.
]

CI 17 --Représenter le diagramme

de Bode associé à la fonction de trans-
fert _P_I (module et phase).

Fig- 4 --' Circuit defiltrage D 18 --Représenter les signaux
e(t) et v(t) pour des taux de modulation

m respectivement inférieurs et supérieurs à 1. Comparer les signaux obtenus à 
la sortie du
filtre avec ceux que l'on obtiendrait avec une simple détection d'enveloppe.

Lors de la réception du signal modulé en amplitude, il est nécessaire de 
produire le
signal e0(t). Cette opération, qui s'appelle reconstitution de porteuse, repose 
sur l'emploi
d'une boucle à verrouillage de phase (fig. 5, page 4) comprenant les éléments 
suivants :

0 un multiplieur identique à celui de la figure 3, de sortie vd (t),

0 un filtre passe-bas noté F dont la transmittance vaut 1 pour tous les signaux 
de fré-
quence très inférieure à ]Ç,, et de sortie vs(l),

. un oscillateur contrôlé en tension (OCT), délivrant un signal sinusoïdal vs(t)
d'amplitude constante E,, de pulsation a), proportionnelle à la tension de 
sortie du filtre F :

CÛS : CÙO + IQV{.

La boucle est verrouillée lorsque la fréquence du signal incident est égale à 
celle du
signal de sortie de l'oseillateur OCT.

3/4 Tournez la page S.V.P.

DÉMODULATION DE SI GNAUX MOD ULÉS EN AWLITUDE

D 19 -- Pour des tensions ve t) = E sin (mot + (pc) et vs(t) = Es cos (wot+ 
(ps), et en suppo-
sant que les dérivées temporelles de que et (ps sont très inférieures à a)... 
montrer que la tension
de sortie du filtre F s'écrit v/t) = Kf sin (% -- (ps). Préciser l'expression 
de K}.

Cl 20 -- Lorsque la boucle est verrouillée, quelle particularité présente la 
phase de la
sortie par rapport à celle de l'entrée ?

Ve (! ) Multiplieur _ Vd(') _ Filtre F _ Vf(î) -"Î Vs(t ) *
fi: E J

%

Fig. 5 : circuit de reconstitution de porteuse

Cl 21 -- Quelle relation simple lie v/t) a (pc et (ps pour un régime proche du 
ver-
rouillage ? Quel intérêt voyez-vous au verrouillage de phase ?

D 22 --Le signal vc(t) est modulé en amplitude : ve(t) = E(l + m coth) sin( 
(got). Expri-
mer la tension de commande de l'OCT en supposant le régime proche du 
verrouillage. En
déduire l'équation différentielle vérifiée par (ps.

Cl 23 --En déduire que le signal de sortie de l'OCT se fixe rapidement à la 
valeur
vs(t) = Es cos coût, qu'il y ait ou non une modulation d'amplitude sur la 
porteuse.

D 24 -- L'oscillateur contrôlé en tension alimente un filtre introduisant un 
déphasage (p
et une atténuation A à la fréquence jf). Quelle doit être la valeur de (p pour 
obtenir le signal
eo(t) introduit au début de la deuxième partie du problème ?

D 25 -- Quelle est l'influence de l'atténuation introduite par ce dernier 
filtre ?

Cl 26 -- Proposer un schéma synoptique complet du " détecteur synchrone " et 
conclure
sur son intérêt.

FIN DE CE PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été 
relu
par Nancy Loosemore (ENS Lyon) et Matthieu Lefrançois (ENS Lyon).

L'épreuve, consacrée à l'électronique, se compose de deux parties indépendantes.
Toutes deux portent sur la modulation en amplitude des signaux radiophoniques,
et plus particulièrement sur la reconstitution du signal original à partir du 
signal
modulé.
Dans la première partie, on étudie un montage simplifié permettant, dans des
conditions que l'on détermine, la reconstitution de l'enveloppe du signal 
modulé ; ce
montage s'apparente en fait davantage à un montage de principe qu'à un montage
réel.
Dans la seconde partie, on reprend le même objectif, mais en s'appuyant sur un
montage plus évolué, comprenant des composants comme un amplificateur 
opérationnel, et utilisant la contre-réaction.

Indications
1 Quelle est la relation entre la taille d'une antenne et la longueur d'onde du 
signal
à capter ?
3 Quelle différence existe-t-il entre les deux situations évoquées en présence 
de bruit
et d'autres pertubations ?
4 Écrire le produit des sinus sous la forme d'une somme.
6 Considérer la valeur de v dans les deux cas : diode passante et diode 
bloquée. Que
se passe-t-il si la diode se bloque pour des valeurs de s proches de la crête ?
7 La détection sera d'autant meilleure que la diode se bloque pour des valeurs 
de s
proches de la crête, mais il faut que l'amortissement soit suffisant pour 
forcer v à
suivre s.
10 Écrire le produit des sinusoïdes sous la forme d'une somme.
13 Que valent i+ , i- , V+ et V- pour un A.O. réel ?
14 Appliquer le théorème de Millman.
15 Quel est le but du filtre ?
16 Montrer que la valeur de c est cohérente.
19 Décomposer vf en une somme de signaux de fréquence donnée et raisonner sur
0
les ordres de grandeur de ces fréquences par rapport à f0 =
.
2
20 Utiliser la définition du verrouillage.
21 Montrer que e et s sont proches.
22 Écrire de deux manières différentes la valeur de s .
23 Résoudre l'équation précédente.
25 Dans quel régime fonctionne l'AO ?

Détection d'enveloppe

1 Il y a deux raisons principales à la modulation des signaux radiophoniques. 
Les
deux sont liées au domaine de fréquence qu'ils recouvrent, c'est-à-dire les 
basses
fréquences. Si l'on devait émettre directement les signaux radiophoniques, comme
l'air est peu transparent aux basses fréquences, ceux-ci seraient très atténués.
De plus, la taille d'une antenne doit être de l'ordre de la demi-longueur 
d'onde du
signal à détecter, ce qui correspondrait dans notre cas à des antennes 
gigantesques :
par exemple, à un signal de fréquence 10 Hz, correspond une antenne de 15 km.
L'idée est donc de translater les signaux basse-fréquence qui nous intéressent 
dans
le domaine des hautes fréquences.
Il existe essentiellement deux méthodes : la modulation de fréquence ou FM et la
modulation d'amplitude, AM sur nos radios. Cette dernière est l'objet du 
problème.
La première, quant à elle, se divise en réalité en deux catégories : la 
modulation de
phase et la modulation de fréquence proprement dite. Si l'on considère un 
signal e(t)
à transmettre et une porteuse de la forme s(t) = S sin 0 t, alors on obtient, 
après
modulation, s(t) = S sin (0 t + ) avec   e(t) pour la modulation de phase, et
de

(t) pour la modulation de fréquence.
dt
L'avantage principal de la modulation de fréquence est que l'on garde un signal
d'intensité constante, mais sa portée est moins grande (environ 50 km pour les 
ondes
radios).
2 Par définition, on a

s(t) = S(1 + m cos t) sin 0 t

On en déduit les représentations de s, respectivement, dans les deux cas m  1 et
m  1.
s(t)

0

0

s(t)

On peut alors remarquer que le signal reçu après transmission, c'est-à-dire 
s(t), prend
(2p + 1)
pour tout instant tp , défini par tp =
, une valeur intéressante c'est-à-dire
20
e(t) à une constante près. En effet, pour tout p entier, on a
s(tp ) = (-1)p (1 + ke(tp ))

3 Par définition, une détection idéale de l'enveloppe de s nous fournit le 
signal e à
des facteurs constants près. Toutefois, dans la pratique, du bruit ou des 
pertes d'information vont modifier le signal lors de la détection, ce qui rend 
les deux situations
précédentes très différentes. Ainsi, dans le cas m  1, la contribution de e au 
signal
s est très faible (car ke  1) et par conséquent, on ne saura pas, lors de la 
réception,
la distinguer du bruit. En revanche, dans le cas m  1, e est prépondérant. On se
placera donc de préférence dans le cas m  1.

4 On veut obtenir les contributions relatives de chaque fréquence au signal s. 
L'idée
est donc d'exprimer le signal sous la forme de la somme de ses harmoniques pour
voir lesquelles sont non nulles. Dans notre cas, en utilisant les règles 
usuelles de la
trigonométrie, on trouve
s(t) = S

m
2

sin (0 - )t + sin 0 t +

m
sin (0 + )t
2

Par conséquent, on obtient comme spectre  pour s
=(0 -  ; 0 ; 0 + )

La méthode rigoureuse pour obtenir le spectre de s consiste à déterminer
sa transformée de Fourier, définie par
Z +
1
se() = 
e-jt s(t) dt
2 -
Ainsi se() représente le poids de la fréquence  dans s.

Si l'on remarque que pour la transformée de Fourier d'une exponentielle
complexe, on a
Z +
1

e-jt ejt dt = ( - )
2 -
où  est la fonction de Dirac ((x) = 0 si x 6= 0 et (0) = +).

On peut alors déterminer facilement se si l'on décompose d'abord s en
une somme d'exponentielles complexes. On obtient finalement pour se, en ne
conservant que les contributions des fréquences positives, à un facteur de
normalisation K près
m

m
se() = K
( - (0 - )) + ( - 0 ) + ( - (0 + ))
2
2

D'où la représentation graphique suivante, où sont représentés en unités 
arbitraires
les poids relatifs des différentes fréquences de s, dans le cas m < 2 par 
exemple.