Centrale Physique MP 2013

Thème de l'épreuve Production d'étincelles électriques et exploration optique du plasma formé
Principaux outils utilisés électrocinétique, mécanique du point, optique, théorie cinétique des gaz, électromagnétisme, ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


î. '» Physique

"» «
--/ MP

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Production d'étincelles électriques et
eoeploration optique du plasma formé

L'éclair est la manifestation la plus tangible d'une décharge électrique dans 
un gaz devenant subitement conduc--
teur. De telles étincelles sont très courantes dans notre environnement 
technologique. Ces décharges sont souvent
indésirables (ouverture d'un disjoncteur, rupture de liaison avec les 
caténaires du TGV, déroulement rapide d'une
bobine de tissu dans l'industrie textile...), mais on cherche parfois a les 
contrôler (bougie d'allumage des moteurs
a explosion, allume gaz...). Bien que les plasmas ainsi crées soient de brève 
durée, il est possible de suivre leur
évolution par une technique de déviation d'un fin faisceau laser.

I La bobine de Ruhmkorff : une prouesse technologique du XIXème
siècle

Pour produire les hautes tensions nécessaires pour déclencher ces étincelles, 
on a souvent recours a un couplage
inductif entre deux circuits électriques. Cette technique a été initiée par 
Ruhmkorff vers 1850 au prix d'une
véritable prouesse technologique. La bobine de Ruhmkorff a joué un rôle 
déterminant dans plusieurs découvertes
de la physique fondamentale de la fin du XIXème siècle. La première partie du 
problème porte sur des essais
effectués sur une bobine de Ruhmkorff datée de 1852 provenant d'une collection 
de physique d'un lycée et
toujours en parfait état de marche.

I.A -- Établissement du courant dans un circuit inductif primaire

I.A.1) L'enroulement primaire est constitué d'un petit nombre de spires de gros 
fil de cuivre de résistance
R1 = 0,910 Q. Cette bobine est associée en série avec un interrupteur et une 
source idéale de tension continue
eo : 12,1 V. Quelle est l'intensité 75100 qui passe dans le circuit 
(interrupteur fermé) après le régime transi--
toire ? Établir l'expression de l'intensité i1(t) a la fermeture de 
l'interrupteur en faisant apparaitre un temps
caractéristique d'une évolution exponentielle que l'on exprimera en fonction de 
R1 et L1.

I.A.2) Application numérique

Calculer ce temps caractéristique avec L1 : 0,830 mH.

I.B -- Caractéristiques de l'enroulement secondaire

La bobine de Ruhmkorff est en fait une bobine double. L'enroulement secondaire 
entoure la bobine primaire. Il
est constitué de plusieurs couches de fil cylindrique très fin vernis pour 
l'isolation électrique de diamètre et . Le
rayon de ces couches varie entre r2 : 30 mm et ré : 61 mm. Les spires sont 
jointives dans une couche ainsi que
les couches successives entre elles.

Figure 1
I.B.1) Montrer que, en supposant que d << r2, une estimation de la longueur EUR 
de fil nécessaire pour bobiner
/2 2
702 _

un solénoïde de longueur h = 0,33 m est donnée par la relation EUR % oz 2 h où 
oz est un coefficient numérique

d2

a préciser.

2013-04--30 21:35:40 Page 1/7 GC) BY--NC-SA

I.B.2) Le fil de l'enroulement secondaire est très fin comme le montre la 
valeur très élevée de la résistance
de cette bobine R2 = 9,65 M]. La résistance d'un fil de section uniforme ne 
dépend que de sa longueur EUR, de
sa section et de la conductivité y du matériau conducteur. En vous appuyant, le 
cas échéant, sur une analyse
dimensionnelle, déterminer l'expression de R2 en fonction de EUR, du diamètre d 
et de la conductivité du cuivre
de valeur "YCu = 5,96 >< 107 {2--1 -- m_1. En déduire une expression littérale 
approchée de la longueur du fil.

I.B.3) Application numérique
Calculer d et EUR.
Dans quelle mesure peut--on parler de prouesse technologique pour la 
réalisation d'une telle bobine ?

I.B.4) Pour déterminer l'inductance L2 de la bobine secondaire, on lui associe 
en série une résistance Ra :
1,00 >< 104 Q. Les deux dipôles sont ensuite alimentés avec un générateur de 
fonction sinusoïdale de fréquence
f = 20,0 Hz. Un voltmètre alternatif branché aux bornes de la résistance 
indique la valeur efficace U Ra : 3,17 V
tandis qu'un autre branché sur la bobine donne U B = 8,96 V. Déterminer 
l'expression littérale de l'inductance L2
de la bobine secondaire. Faire l'application numérique et comparer aux valeurs 
rencontrées en travaux pratiques.

I.C -- Couplage inductif entre les deux:: circuits : tension induite lors de la 
coupure de courant

Les deux enroulements sont bobinés sur le même cylindre. Dans cette géométrie, 
le couplage inductif entre les
deux circuits est quasi--total. Nous supposerons donc que le coefficient 
d'inductance mutuelle M entre les deux
circuits vérifie la relation lMl : \/L1L2.

I.C.1) Établir les relations entre les grandeurs électrocinétiques ..., "LL2, 
il et i2 indiquées sur le schéma
équivalent de la figure 2.

I.C.2) Les deux extrémités du fil formant l'enroulement secondaire sont reliées 
a deux électrodes. On peut
considérer que le circuit secondaire est alors ouvert en l'absence d'étincelle. 
Pour produire une différence de
potentiel très élevée entre ces deux pointes métalliques, Ruhmkorff a mis au 
point un dispositif mécanique
ouvrant périodiquement le circuit électrique. Lors d'une telle rupture de 
circuit, une petite étincelle apparait
au niveau de l'interrupteur du circuit primaire. L'intensité dans ce circuit 
décroit alors rapidement. Admettons
une loi de décroissance du type i1(t) : i1oee_t/ 71 pour t > 0. Montrer que la 
tension entre les électrodes atteint
des valeurs très élevées. Faire l'application numérique.

Les charges électriques qui s'accumulent sur les pointes métalliques vont créer 
un champ électrique dans leur
environnement. Si ce champ dépasse une valeur critique qui sera déterminée plus 
loin, l'étincelle éclate.

II Mécanisme de déclenchement de l'étince11e

L'amorçage d'une décharge électrique dans un gaz est la transition de l'état 
isolant vers un état conducteur du
milieu. Le mécanisme d'apparition d'une étincelle, parfois nommée arc 
électrique, est une sorte de phénomène
d'avalanche se produisant dans le gaz au départ non ionisé. Au départ quelques 
électrons dits électrons primaires
peuvent s'extraire de l'électrode par agitation thermique. Ces électrons vont 
alors être fortement accélérés par
le champ électrique régnant entre les électrodes avant de frapper des molécules 
de dioxygène ou de diazote.

Ces chocs peuvent dans certains cas arracher des électrons aux molécules et 
créer des cations. Ces électrons
secondaires, de plus en plus nombreux au cours des chocs successifs, vont eux 
aussi être accélérés sous l'action
du champ électrique régnant dans le gaz. Cette action motrice du champ 
électrique est contrecarrée par les
chocs des électrons sur les molécules. L'effet dominant dans les conditions 
expérimentales considérées est dû aux
chocs électrons--particules lourdes (atomes ou molécules). Un processus de 
capture d'électrons par les cations va
rapidement limiter le nombre d'électrons secondaires en mouvement.

Nous considérons dans ce problème un gaz faiblement ionisé dans lequel le 
nombre de particules lourdes (molé--
cules et cations) est très grand devant le nombre d'électrons en mouvement. On 
négligera donc systématiquement
le nombre de cations devant le nombre de molécules gazeuses. De plus ce plasma 
est pratiquement électriquement
neutre vu la très faible proportion électrons primaires / électrons secondaires.

2013-04--30 21:35:40 Page 2/7 @°) BY--NC-SA

II.A -- Distribution de particules dans un gaz

II.A.1) On définit la densité particulaire N * d'un gaz par le nombre de 
molécules (ou atomes) par unité de
volume.

a ) Exprimer N * en fonction de la pression po et de la température T 0-
b) Application numérique
On donne po : 1,01 >< 105 Pa , TO : 293 K.

II.A.2) La répartition des particules étant homogène, estimer la distance 
moyenne intermoléculaires d... et en
donner un ordre de grandeur dans les conditions opératoires explicitées 
ci--dessus.

II.B -- Efiet d'avalanche lors du déplacement d'un électron dans un gaz soumis 
a un champ
électrique

L'effet d'avalanche se produit lorsque le champ électrique atteint une valeur 
critique, dit champ disruptif et noté
Ed : 3,6 >< 106 V - m_1. Il s'agit, dans cette partie, de relier cette grandeur 
expérimentale macroscopique aux
paramètres microscopiques du gaz dégagés ci dessus.

II.B.1) Déplacement d'un électron dans un champ électrique statique et uniforme 
en l'absence
de chocs électron-molécule

Étudions le mouvement d'un électron de masse me et de charge q = --e entre deux 
chocs avec une molécule.
À cet effet, considérons une géométrie simple en plaçant un gaz entre deux 
plaques parallèles métalliques. En
négligeant les effets de bords, le champ électrique statique peut être 
considéré comme uniforme: Ë : Eê'Z.
On néglige l'action du poids sur l'électron en mouvement. La vitesse des 
électrons après un choc peut être
considérée comme négligeable devant l'accroissement de vitesse lors de la mise 
en mouvement ultérieure par le
champ électrique.

a ) Établir l'expression de la vitesse de l'électron a la date t soumis au 
champ électrique avec une vitesse initiale
nulle.

b) Établir l'expression de l'énergie cinétique EC(t) et la distance parcourue l 
(t) dans la même hypothèse que
ci--dessus. Expliciter la relation entre l'énergie cinétique, le champ 
électrique et l (t)

II.B.2) Champ disruptif d'un gaz

La durée moyenne entre deux chocs successifs électron--molécule est notée TC.

a ) Lorsque l'énergie cinétique d'un électron primaire acquise lors du 
mouvement dans le champ électrique atteint
l'énergie de première ionisation wion de la molécule de dioxygène, un effet 
d'avalanche se produit. Un électron
primaire suffisamment énergétique peut éjecter un électron secondaire d'un 
atome. Déterminer la valeur de la
distance lC parcourue par l'électron entre deux chocs lorsque l'électron 
possède juste l'énergie nécessaire pour
provoquer l'ionisation.

Comparer à la distance moyenne intermoléculaire al....

On donne l'énergie d'ionisation de la molécule d'oxygène wion : 2,2 >< 10_18 J 
en notant que celle de l'azote est
un peu plus élevée.

b) Calculer TC.

Dans la suite on prendra Tc : 10_12 s.

c) Le champ disruptif diminue--t--il ou augmente--t--il lorsque la pression du 
gaz diminue ?

II.B.3) Tension disruptive entre deux électrodes : ordre de grandeur

Il est souvent utile de pouvoir estimer même grossièrement la tension entre 
deux électrodes nécessaire pour
déclencher l'étincelle.

a ) La géométrie la plus simple est une association de deux plaques métalliques 
parallèles de grande dimension
par rapport a leur espacement De. Quelle est la valeur de la tension disruptive 
Ud ou différence de potentiel
minimale à imposer entre ces deux conducteurs pour provoquer une décharge 
électrique dans l'air ?

b) Admettons que la relation (tension, distance inter électrodes, champ) donne 
une estimation satisfaisante de
la tension disruptive Ud pour une géométrie quelconque. Quelle est la 
différence de potentiel à imposer entre
deux peintes métalliques espacées de lEUR : 2,0 mm pour rendre l'air 
temporairement conducteur ?

c) Dans un texte décrivant la structure des écrans plasma, on peut lire << La 
tension de claquage dépend du
produit de la racine cubique de la pression du gaz par la distance inter 
électrode >>. Commenter cette affirmation.

d) Une lampe à décharge à vapeur de mercure, souvent improprement dénommée tube 
<< néon >>, repose sur le
même principe que l'amorçage de l'étincelle. Pour un tube néon de 50 cm de 
long, une tension de quelques
centaines de volts suffit pour rendre << conductrice >> la vapeur de mercure 
qui remplit la lampe, d'énergie
d'ionisation wion(Hg) : 1,6 >< 10_18 J. Comment expliquer cette faible valeur 
de la tension disruptive ?

2013-04--30 21:35:40 Page 3/7 @°) BY--NC-SA

III Étude expérimentale d'un plasma produit par une étincelle élec-
trique

L'effet d'avalanche--décrit dans la partie Il a pour effet de produire un gaz 
faiblement ionisé mais neutre. Un canal
de gaz << conducteur >> s'est créé entre les deux électrodes qui permet aux 
électrons situés sur l'électrode chargée
négativement de circuler à travers ce canal pour atteindre l'autre électrode. 
L'expérience décrite ci--dessous
montre qu'un gaz -- isolant électrique dans les conditions usuelles -- peut 
effectivement devenir conducteur
pendant une courte durée en imposant une forte différence de potentiel entre 
deux électrodes placées dans ce
gaz.

Oscilloscope à mémoire < Photodiodes

_|

Source de _
haute tension

Étincelle

Électrodes

Montage optique

Source laser He Ne 10 mW

Figure 3 Montage expérimental

L'évolution du gaz plus ou moins ionisé par l'étincelle est suivie par une 
méthode optique. Le faisceau lumineux
issu d'un laser est d'abord affiné en passant dans un système optique avant de 
passer dans la zone situé entre
deux électrodes où va se produire l'étincelle. Des transducteurs 
piézoélectriques permettent de positionner avec
précision le faisceau laser. Un capteur optoélectronique va mesurer la très 
faible déviation du faisceau lors
du déclenchement du bref passage de courant dans le gaz. Un capteur inductif 
(non représenté sur la figure)
détecte l'amorçage de l'étincelle et déclenche un oscilloscope à mémoire afin 
de suivre l'évolution temporelle de
la déviation, donc de l'indice de réfraction du plasma sur une durée de 
quelques dizaines de microsecondes.

III.A -- Premières observations

L'étincelle produite par les deux électrodes modifie les propriétés d'une zone 
ou << canal >> reliant les deux
électrodes. Cette zone de plasma est modélisée par un cylindre de longueur 1EUR 
= 2,0 mm et de rayon & = 0,50 mm.
L'étincelle possède pratiquement une géométrie de révolution, mais l'indice de 
réfraction dépend de la distance
du point à l'axe du cylindre.

La figure 4 indique l'évolution temporelle de la déviation 9 du fin faisceau 
laser pour diverses valeurs de la
distance oe.

400 . . . , . . . , . . . . . . . . . . .
- x = 0.375 mm
200 ' '
- X = 0.125 mm
EUR * _ x = 0 mm
g 0 '\ _ '
3 x : -o.125 mm '
QD «
-200 " *
' x = -0.375 mm"
400 . . . l . 1 n l .. . . 1 . . . l 1 . -
0 2 0 4 0 6 0 8 0 ' 1 0 0
temps (us)

Figure 4 Évolution temporelle de l'angle de déviation pour diverses valeurs de 
515 (d'après << Laser
deflection through a spark >>, American Journal of Physics, April 1990, Volume 
58, Issue 4, p. 400)

2013-04--30 21:35:40 Page 4/7 @°) BY--NC-SA

III.A.1) Commenter la courbe correspondant a :E = O, correspondant a un 
faisceau incident centré sur l'axe
du canal de plasma. Quelle semble être la parité de la fonction 9(oe) ?

III.A.2) À titre de simplification, nous supposons que l'indice du milieu est 
homogène dans le plasma, mais
présente une discontinuité a la surface du cylindre de rayon a : pour 7° > a, 
n(r) : no et n(r) : np si 7° < a.
Comparer qualitativement l'indice de réfraction np du plasma a celui no de 
l'air environnant ?

710 -- np

np\/a2/zr2 -- 1

pour 5150 = 0,375 mm.

III.A.3) Un calcul non demandé montre alors que 9 % 2 . Déterminer l'ordre de 
grandeur de la

. 710 -- TL
valeur maximale du rapport --p

III.A.4) Comment peut--on interpréter physiquement l'évolution des courbes 
au--delà de 80 microsecondes ?

III.B -- Obtention d'un faisceau laser très fin
III.B.1) Quelle est la précision de positionnement de l'axe du faisceau laser 
dans cette expérience ?

III.B.2) Afin d'explorer finement la zone de l'étincelle, il est nécessaire de 
réduire au préalable la largeur
du faisceau laser bien en deçà du diamètre de la zone de plasma. Le dispositif 
optique utilisé comporte deux
lentilles minces convergentes de même axe optique espacées de 20 cm. Ce système 
est éclairé par un faisceau
laser parallèle a l'axe optique. Le diamètre du faisceau parallèle incident est 
de 2 mm tandis que celui du faisceau
parallèle émergent en sortie vaut 0,1 mm. Faire un schéma indiquant la marche 
des rayons lumineux a travers
ce système et calculer les valeurs numériques des deux distances focales.

III.B.3) Pour sortir de la cavité optique du laser le faisceau passe par une 
ouverture circulaire de diamètre
2 mm. Le faisceau de sortie du laser de longueur d'onde À : 632,8 nm n'est donc 
pas rigoureusement parallèle.
Quel phénomène physique est ici en jeu ? Estimer l'ordre de grandeur de l'angle 
d'évasement e du faisceau
lumineux lors de la traversée de l'ouverture. Le faisceau lumineux a la sortie 
du montage est--il plus divergent
ou moins divergent que le faisceau de sortie du laser ?

III.C -- Détection électronique du déplacement du spot laser

La déviation du faisceau laser est mesurée par un dispositif électronique basée 
sur deux photodiodes placées côte
a côte. Ces deux capteurs sont gravés sur la même puce de silicium de telle 
sorte que les deux surfaces actives
soient quasiment jointives. Dans ce montage, une photodiode est équivalente a 
une source idéale de courant
dont le courant électromoteur [N est proportionnel a l'éclairement P...... reçu 
par le capteur : [N : ÔP.......

<=}

Figure 5 Schéma d'équivalence électrocinétique d'une photodiode

ÏN

III.C.1) Le faisceau laser est positionné de telle sorte qu'en l'absence 
d'étincelle la tache lumineuse supposée
circulaire de rayon Rspot du laser éclaire également les deux photodiodes. On 
suppose que l'éclairement de la
tache lumineuse est uniforme sur un disque de rayon Rsp0t. Un léger déplacement 
6 (5 << Rspot) du centre du
spot va modifier l'éclairement de chaque photodiode. La photodiode 1 
(respectivement 2) va capter la puissance
P1um1 (respectivement Plum2).

Photodiodes
n°1 l ? n°2

Figure 6 Éclairement différentiel des deux photodiodes

Plum2 _ Plum1

Plum2 + Plum1 '

III.C.2) Le centre de l'étincelle est a la distance D des photodiodes. Relier 
l'angle de déviation 9 a 6, déplace--
ment du centre du spot lumineux.

Relier le déplacement 6 du centre de la tache lumineuse au rapport

Afin de mesurer électroniquement la différence P1um2 -- B...... on réalise le 
montage de la figure 7.

2013-04--30 21:35:40 Page 5/7 @°) BY--NC-SA

R4

+ ]U33

Figure 7

III.C.3) Exprimer les tensions de sortie U 31 et U 32 des deux amplificateurs 
opérationnels, sachant qu'ils fonc--
tionnent en régime linéaire, en fonction des puissances lumineuses.

III.C.4) On désire créer une tension de sortie proportionnelle a la différence 
de puissance lumineuse reçue par
les deux photodiodes. Quelle condition faut--il imposer aux valeurs de 
résistances R1, R2, R3, R4, R5 et R6 pour
que U 33 : A(Plum2 -- Plum1) où A est une constante de proportionnalité a 
déterminer ? Après étalonnage, ce
capteur optoélectronique détecte une déviation infime du spot de l'ordre de la 
dizaine de microradians.

IV Propriétés optiques d'un gaz partiellement ionisé

Pour expliquer la variation d'indice de réfraction qui suit l'étincelle pour 
atteindre ensuite une valeur palier, on
peut supposer que la propagation de l'onde électromagnétique traversant cette 
zone est affectée par la présence
des électrons libres du plasma.

I V.A -- Mouvements électroniques dans un plasma

Modélisons le faisceau laser par une onde plane de pulsation w et de longueur 
d'onde, dans le vide, À. Les
électrons du plasma interagissent avec le champ électromagnétique de l'onde et 
vont acquérir un mouvement
sinusoïdal après un régime transitoire.

IV.A.1) Pour quelle raison peut--on négliger l'action du champ magnétique de 
l'onde électromagnétique sur
l'électron ? À quelle condition portant sur l'amplitude du mouvement peut--on 
considérer que le champ électrique
de l'onde comme uniforme pour étudier ce mouvement électronique ? On cherche a 
fixer des ordres de grandeur
du mouvement des électrons dans les questions qui suivent.

IV.A.2) Soit un gaz partiellement ionisé placé dans un champ électrique supposé 
localement uniforme mais
variant sinusoïdalement dans le temps Ë(t) : E... cos(wt)ê},. On considère la 
force moyenne E : --mÜ/7C
équivalente aux chocs, avec TC oe 1 ps et on négligera le poids. Estimer 
grossièrement sans calcul la durée
nécessaire pour qu'un électron soit animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal.

IV.A.3) On se limite a l'étude du mouvement suivant l'axe des z. Le régime 
sinusoïdal permanent étant établi,
la vitesse de l'électron est de la forme vz(t) : V... cos(wt + ga). Déterminer 
l'amplitude de la vitesse électronique
ainsi que le déphasage entre la composante de la vitesse suivant Oz et le champ 
électrique. Préciser quelle
fonction sinusoïdale est en avance de phase sur l'autre.

IV.A.4) Simplifier ces expressions sachant que TC : 1 ps et que la longueur 
d'onde de l'onde lumineuse vaut
À : 632 nm.

IV.A.5) Donner un ordre de grandeur de V... pour une amplitude du champ 
électrique E... oe 40 kV - m_1.

Il est judicieux de comparer V... a la vitesse d'agitation thermique Vther des 
électrons dans le plasma. Estimer
V...... pour une température de T = 1000 K du gaz électronique. Oonclure.

IV.A.6) Déterminer l'amplitude du mouvement électronique Z... et donner un 
ordre de grandeur de Z... dans
les mêmes conditions que précédemment.

I V.B -- Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma neutre à 
faible densité

Le plasma envisagé est faiblement ionisé, mais neutre. On cherche a analyser 
l'impact de la densité électronique
n* sur l'indice de réfraction. À titre de simplification, la perméabilité et la 
permittivité du plasma seront prises
égales a celles du vide soit ;... et 50. Ceci revient a négliger l'action des 
molécules sur la propagation de l'onde
électromagnétique, donc a assimiler l'air au vide. Vu le calcul mené au 
paragraphe précédent, la loi d'Ohm locale

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Ô--' --)
est largement prise en défaut dans le plasma et doit être remplacée par une 
relation du type --'7 : ËE où j'

375 Tc

n*e27'C

représente la densité volumique de courant dans le plasma et WO :
EUR

IV.B.1) Rappeler les équations de Maxwell.

IV.B.2) Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ 
électrique Ë.

n -->

IV.B.3) On considère la propagation d'une onde électromagnétique décrite par E 
: Éoej(°"t--k'OM). Quelle est
la relation nommée équation de dispersion liant la pulsation w a la norme du 
vecteur d'onde k ? La mettre sous
la forme 162 : w2/c2 -- ca,? /c2 où on donnera l'expression de cap dénommée 
pulsation plasma en fonction, entre
autres, de vo et Tc.

IV.B.4) Définir la vitesse de phase de l'onde lumineuse et établir son 
expression. Est-elle plus grande ou plus
petite que c ? Mêmes questions pour la vitesse de groupe.

IV.B.5) L'indice de réfraction np du plasma est le rapport de la célérité de la 
lumière dans le vide sur la célérité
de la lumière dans le plasma. Peut--on décrire le plasma par un indice np ; 1 ? 
En déduire que le plasma n'est
pas un milieu transparent << usuel >>. Dans les conditions expérimentales 
étudiées, la pulsation ca est très grande
devant cup. En déduire que l'indice de réfraction np est pratiquement une 
fonction affine de la densité n*.

IV.B.6) L'application numérique montre que le schéma explicatif développé 
ci--dessus est insuffisant pour ex--
pliquer la variation de l'indice de réfraction. Proposer une autre explication 
en relation avec le claquement sec
que l'on entend lors du claquage de l'étincelle.

La technique décrite ci--dessus permet par une analyse fine des données via une 
transformation mathématique
dite inversion d'Abel de remonter a la distribution particulaire en fonction de 
la position dans la zone perturbée.
Plus largement la même méthode peut être fructueusement appliquée a d'autres 
domaines. Par exemple, des
chercheurs de l'École Centrale Paris ont montré sa pertinence pour l'étude des 
jets supersoniques. Le lecteur
intéressé pourra consulter la référence << Laser beam deviation as a local 
density probe >>, Experiments in Fluids,
Springer Verlag 1989.

Données numériques

Célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m -- s--1
Masse de l'électron m = 9,11 >< 10_31 kg
Charge de l'électron q = --e = --1,60 >< 10_19 C
Perméabilité magnétique du vide ;... : 47T >< 10_7 H -- m--1
Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10_12 F -- m--1
Constante des gaz parfaits R = 8,32 J -- K_1 -- mol--1
Nombre d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol--1
Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10_23 J -- K--1

Quelques formules

_» % _» _»
rÎt(rÎt A) : grad(div A) -- AA

oooFINooo

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Étienne Thibierge (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Raphaël
Lasseri (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce problème traite des étincelles naissant entre deux électrodes fortement 
polarisées. Il se compose de quatre parties complètement indépendantes. On y 
aborde
des aspects relatifs à la production des étincelles, à leur modélisation et à 
leur étude
expérimentale.
· On s'intéresse dans la partie I à un dispositif historique servant à produire 
des
hautes tensions, la bobine de Ruhmkorff, qui est constituée de deux 
enroulements en inductance totale. On commence par une étude électrocinétique 
des
deux enroulements, en régime transitoire puis en régime sinusoïdal forcé. Enfin,
on étudie le couplage inductif entre les deux enroulements, ce qui permet de
calculer des ordres de grandeur des tensions produites.
· La partie II traite de la modélisation du déclenchement de l'étincelle d'un 
point
de vue microscopique. Après avoir rappelé des ordres de grandeur relatifs aux
propriétés microscopiques des gaz, on obtient, dans le cadre de la théorie 
cinétique, des expressions et des ordres de grandeur du champ électrique et de 
la
tension nécessaires à la formation de l'étincelle.
· Le plasma formé par l'étincelle est ensuite étudié expérimentalement dans la
partie III, à partir de résultats publiés dans un article de recherche. 
Différentes
parties du dispositif expérimental sont analysées, notamment le contrôle 
optique d'un faisceau laser dans un modèle géométrique, et la chaîne de 
détection
électronique de la déviation du faisceau laser.
· Enfin, on cherche dans la partie IV à interpréter les résultats expérimentaux
précédents par un modèle électromagnétique du plasma. On étudie en particulier 
la propagation dispersive d'une onde électromagnétique dans un tel milieu.
Ce problème cohérent et intéressant propose un parcours assez varié autour du
phénomène d'arc électrique. Les questions posées sont généralement de 
difficulté modérée, et abordent un large spectre de notions communes aux 
programmes de toutes
les filières de CPGE. Il intéressera donc aussi bien les étudiants de MP que de 
PC
ou PSI. On y trouve en effet de l'électrocinétique, de la mécanique du point, un
zeste d'optique géométrique et ondulatoire, de la théorie cinétique des gaz, de 
l'électromagnétisme, et de la physique des ondes. Par ailleurs de nombreuses 
questions
demandent une analyse physique rigoureuse plus que des compétences calculatoires
poussées.

Indications
Partie I
I.B.1. Découper le cylindre en tranches d'épaisseur d, et considérer que chaque
tranche est une superposition de spires circulaires d'épaisseur d.
I.B.2. Des arguments physiques sont nécessaires, en plus de l'approche 
dimensionnelle.
I.C.1. On peut partir de la définition de L1 , L2 et M en termes de flux et 
utiliser
la loi de Faraday.
I.C.2. La constante de temps 1 est celle obtenue à la question I.A.1.
Partie II
II.A.1.a. Supposer le gaz parfait.
II.A.2. On peut remarquer que si le gaz de même densité N était figé sur un 
réseau
cubique, alors le pas du réseau serait la distance dm entre molécules voisines.
II.B.2.b. L'énoncé n'est pas très clair sur la définition de  c . Il s'agit du 
temps typique entre une collision quelconque et une collision ionisante dans le 
cas
où l'effet d'avalanche se produit. Les collisions dues à l'agitation thermique
n'interviennent pas ici.
II.B.2.c. Le paramètre important pour que l'effet d'avalanche ait lieu est la 
fraction
de collisions ionisantes parmi le nombre total de collisions. Il est 
intéressant calculer le rapport de deux longueurs, l'une caractérisant les 
collisions
ionisantes et l'autre l'ensemble des collisions.
Partie III
III.A.3. Noter que

n0 - np
n0 - np

np
n0

III.B.3. Le calcul de l'angle de divergence en sortie fait appel à des notions 
de
physique des lasers hors programme.
III.C.1. Noter que la puissance reçue est proportionnelle à la surface 
éclairée. On
peut assimiler la variation de surface éclairée à un rectangle.
Partie IV
IV.A.3. Utiliser la représentation complexe.
IV.B.2. Procéder comme pour obtenir l'équation d'onde dans le vide, en utilisant

-

la relation constitutive du plasma pour remplacer le terme
.
t
IV.B.3. Il est judicieux de commencer par calculer 1/v 2 .
IV.B.5. La définition de l'indice optique fait intervenir la vitesse de phase, 
pas la
vitesse de groupe.

Production d'étincelles électriques et
exploration optique du plasma formé
I. La bobine de Ruhmkorff : une prouesse
technologique du XIXe siècle
I.A

Établissement du courant dans un circuit inductif primaire

I.A.1 Le circuit inductif primaire est équivalent à une résistance R1 , une 
bobine
idéale d'inductance L1 , un interrupteur et une source idéale de tension 
continue e0
mis en série.
i1

e0

L1
R1

Une fois le régime transitoire terminé, la bobine idéale se comporte comme un 
fil sans
résistance. D'après la loi d'Ohm,
i1 =

e0
R1

Établissons l'équation différentielle vérifiée par i1 pour t > 0, une fois 
l'interrupteur fermé. Par application de la loi des mailles,
R1 i1 + L1
soit

di1
= e0
dt

di1
R1
e0
+
i1 =
dt
L1
L1

On introduit le temps caractéristique
1 =

L1
R1

La solution de l'équation différentielle est la somme de la solution de 
l'équation
homogène et d'une solution particulière de l'équation complète, que l'on prend 
comme
étant i1 déterminée précédemment. Ainsi,
i1 (t) = i1 + I1 e -t/1
où I1 est une constante qui s'obtient à partir des conditions initiales.
L'équation différentielle est d'ordre 1, il n'y a donc qu'une constante à 
déterminer et une seule condition initiale suffit.

On considère en l'occurrence la continuité du courant imposée par la bobine 
dans sa
branche, i(t = 0+ ) = i(t = 0- ) = 0. Ainsi,
I1 = -i1
d'où

i1 (t) = i1 1 - e -t/1

I.A.2 Application numérique : 1 = 9,12 · 10-4 s
I.B.

Enroulement secondaire

I.B.1 Une tranche de cylindre de largeur d est entourée de N = (r2 - r2 )/d 
spires
de rayon r2 + n d, ce motif étant répété M = h/d fois pour recouvrir tout le 
cylindre.
La longueur de fil nécessaire pour entourer une tranche de cylindre est

N-1
P
N(N - 1)
tranche =
2 (r2 + n d) = 2 N r2 +
d
2
n=0
On fait ici une approximation, puisque le rayon de la spire n est en fait
r2 + n d + d/2. Néanmoins le terme omis contribuerait à tranche par un terme
N d, négligeable devant le terme dominant N2 d.
Par conséquent, la longueur totale requise est

h r2 - r2
(r2 - r2 ) (r2 - r2 - d)
 = M tranche = 2
r2 +
d
d
d
2d2
En négligeant d devant r2 , on obtient finalement

h  2
 =  2 r2 - r2 2
d
ce qui est la forme demandée par l'énoncé, avec
=
I.B.2 Raisonnons dimensionnellement, en écrivant
R2 = a ×  b × Sc
avec a, b et c à déterminer, et en notant S =  d2 /4 la section du fil. En 
termes
d'unités,
[] = [m]a × []-b · [m]-b × [m]2c
ce qui conduit au système

1 = -b
0 = a-b+2c

Ce système ne compte que deux équations pour trois inconnues, car il n'y a
que deux dimensions mises en jeu pour trois paramètres physiques différents.
L'approche dimensionnelle suggérée par l'énoncé ne peut donc suffire pour
déterminer complètement le résultat.