Centrale Physique MP 2006

Thème de l'épreuve Étude de l'orbite et du maintien à poste d'un satellite héliosynchrone
Principaux outils utilisés mécanique du point, électromagnétisme, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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% ...Ê... ...:Qoe>za Ëä...

oe8w uoeäQ:OE - ÆOEÈOEU mÈ8coü

Étude de l'orbite et du maintien à poste d'un
satellite héliosynchrone

Les satellites d'observation comme SPOT 5 (lancé en mai 2002 avec succès par 
une fusée
Ariane IV) évoluent sur des orbites dites héliosynchrones. Une orbite 
héliosynchrone per--
met de s'assurer que le satellite survolera toujours à la même heure solaire 
locale une
région quelconque de la planète. Ainsi, l'illumination des terrains survolés 
est toujours la
même et permet une comparaison efficace de photographies prises à des époques 
différen-
tes. Ce problème se propose dans un premier temps d'étudier les 
caractéristiques d'une
orbite héliosynchrone et dans un deuxième temps de préciser les 
caractéristiques du
module de radionavigation du satellite ( module qui lui permet de rester sur 
son orbite de
travail).

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I - Caractéristique d'une orbite héliosynchrone

La Terre est considérée dans cette partie comme un solide de révolution autour
de l'axe des pôles z'z , de masse % . Le mouvement est décrit dans le 
référentiel
géocentrique.

Question préliminaire : Définir ce référentiel.
Dans toute la suite, les frottements seront négligés.

I.A - Premier modèle du champ de gravitation

La Terre, dans ce premier modèle, ' est sphérique -->
de rayon R, formée de couches concentriques F1gure 1
homogènes.

On rappelle qu'en un point M , situé à la dis- 0
tance r du centre géométrique O , le potentiel de x' x
gravitation selon la loi de Newton est V(M ) , et

le vecteur champ de gravitation g est défini par: ê(M ) --grîid (V(M )) Dans le
plan du mouvement, les coordonnées cylindro- polaires d'origine 0 seront notées
r -- _,OM 6_ -- (x'x, OM) , et u... ue les vecteurs unitaires correspondants

(figure 1).

En M , hors de la distribution de masses, V prend ici la forme (potentiel
newtonien) :

%

V(r) : -- G --r-- où G est la constante de la gravitation universelle.

I.A.1) Citer, avec justification rapide, deux grandeurs relatives au mouve-
ment, qui restent invariantes au cours du mouvement général elliptique d'un
satellite, assimilé à un point matériel de masse m , autour de la Terre. Définir
la « constante des aires » C et donner son expression en fonction de r et 6 .

I.A.2) On se propose de retrouver la nature et l'équation de la trajectoire par
la méthode ci--après :

a) Relier, à l'aide du principe fondamental de la dynamique, les dérivées des
vecteurs vitesse Ô(t) et â9(t).

b) En déduire l'expression de v(t) que l'on mettra sous la forme:
v(t): K (ue(t) + E) où E est un vecteur constant durant le mouvement, fixé par
les conditions du lancement. Préciser l'expression de K .

c) Projeter la relation précédente sur ?Le et retrouver l'expression classique 
de
la trajectoire d'un satellite de la forme :

= p
r( B) 1 + e cos [3 '
Définir (3. Afin d'exprimer simplement r en fonction de 6 ,on montrera qu 'il 
est

a -->
judicieux de choisir l'axe polaire x'x, en donnant à l'angle (E, x 'x) une 
valeur

remarquable y , à calculer.

d) Représenter, dans Son plan, la trajectoire, le vecteur E ,et le satellite M 
dans
une position quelconque. Proposer un nom pour le vecteur E.

[B - Deuxième modèle du champ de gravitation

Dans cette partie, on retient un autre modèle pour le « géo'1'dé terrestre », 
assi-
milé maintenant à un ellipsoïde de révolution autour de l'axe z'z , et 
l'expression
V(M ) du potentiel de gravitation est un développement limité dont on retiendra
seulement les deux premiers termes.

Au potentiel newtonien vu précédemment, s'ajoute une perturbation très faible
dépendant non seulement de r , mais aussi de la latitude X du point M .

Au point M de latitude )» , tel que OM : r (figure 2),
R2

2

2r

%
V(M) = --G 7 1+n (l--3sin2k) ,avec

--3

n : l,083-10 ,R = 6378km ,G%= 4,00-10'4 SI.

I.B.1) Exprimer les composantes Ër et âx du
champ de gravitation sur la base adaptée (ü... ux) .

I.B.2) Satellite héliosynchrone.

Pour un satellite d'observation, il est intéressant d'optimiser les visées de 
toutes
les régions de la Terre :

0 par le choix d'une trajectoire pratiquement circulaire, d'orbite assez basse
(altitude 800 km environ),

0 et par les mêmes conditions d'éclairement solaire des zones observées.

Or, quand le satellite repasse, au z|
terme de quelques jours, àla verticale %
d'une cible, le déplacement du Soleil t3
dans sa course apparente autour de
0 devrait changer son éclairement.
Un choix convenable de l'inclinaison
oc de la trajectoire sur le plan équato--
rial peut corriger cet inconvénient. '
En effet, le terme principal g',... du
champ de gravitation confère àla tra--
jectoire ses propriétés essentielles
(mouvement plan, circulaire), tandis
que le terme à très faible devant le
précédent, perturbe le mouvement
idéal, par une lente évolution des
paramètres au cours du temps. Si l'on Figure 3 |
admet l'hypothèse raisonnable (H 1)
qu'au cours d'une révolution du satellite, le mouvement reste plan et 
circulaire,
dans ce modèle, le plan H de l'orbite subit une précession et une nutation 
lentes,
fonction de son inclinaison ou sur le plan équatorial de la Terre :

torial
;?
s
:1

Plan équ

La figure 3 montre le plan équatorial de la Terre et le plan H de l'orbite 
circu-
laire de rayon r non perturbée. On définit les référentiels et bases 
vectorielles
suivantes :

° Ra , référentiel galil}éepa}bsolu des deux modèles dg pote}ntiel (sphérique et

perturbé), de base (il, i2, i3) , où i3 est porté par z'z , il et i2 étant 
situés dans
le plan équatorial.

° Rg __}reÂérentiel intermédiaire (fixe dans le premier modèle), de base

(u u: i3 ) , u| étant s___i}tué à l'intersection du plan équatorial terrestre 
et du
plan H.On note (il. ul) : ip.

, , _ _/ --> --> % --> , _ _-->
° Rt , referent1el 11e au plan H , de base (u 1» t2, t,) , telle que t3 est 
dedu1t de L3 ,

par rotation d'angle oc autour de u] : on est l'angle d'inclinaison de H sur le

plan équatorial de la Terre.

. ---+ .-->
° precessmn : mouvement dans Ra du vecteur ul autour de 1,3.

_ --> -->
° nutat1on. ' mouvement dans Ra du vecteur t3 autour de u].

À cause de la perturbation, la base de Rt est en mouvement de vecteur rotation
Q par rapport à Ra et u tourne autour de i3 à la vitesse angulaire d1p/dt.

Selon (HI), le mouvement du satellite dans Rt est circulaire uniforme et on
note cp-- -- (ul, OM).

a) Exprimer Q en fonction de dw/dt et doc/dt.
b) Selon (H 1) , quelle est, dans la base (Îc ] ,_i2.--i3) de Rt , l'expression 
du moment
cinétique 30 du satellite M (point matériel de masse m ) ? Que vaut alors le 
pro-

duitQ oO '? Dans toute la suite de la partie l, on fera l'hypothèse suivante :
Q 00 = 0 (hypothèse (H 2)) Justifier cette hypothèse.

c) En tenant compte de (H 1 ), donner l'expression vectorielle du théorème du
moment cinétique appliqué en O , dans le référentiel Ra , au satellite M .

--> _'à .) .) ')
(1) Montrer, en tenant compte de (H1) et (H2) que : Q : mOM - (oo - gU/ob.

Pour la suite, on admet les relations suivantes :

--> -->
sink : sina- sincp et t3 - uÀ : cosa/cos)».

I.C -

I. C. l) La perturbation gx (et par suite Q ) étant très faible, on recherche la

valeur moyenne < Q > de Q sur une période où cp varie de 0 à 211. Montrer que:

_+

--> --> /G%
 =--%- r7 --nR3cosqsinîa,avecr=OM.

Interpréter ces deux résultats.

. , . _)
I_%C.2) On 1mpose alors au mouvement de precess1on du vecteur ul autour de

i3 d'avoir pour vitesse angulaire la vitesse apparente de rotation du soleil 
dans
le repère géocentrique. Quel est son ordre de grandeur numérique ?

° Montrer qualitativement que cette condition répond à une des exigences
demandées aux satellites d'observation.

0 Écrire l'équation dont l'inclinaison oc du plan Il est solution.

Calculer numériquement oc pour une altitude h = 800 km et aE[0,n].
Conclusion '?

Partie II - Maintien à poste du satellite : étude du module de
radionavigation

Pour que le satellite puisse remplir sa mission (télécommunication, observa-
tion...), il est nécessaire que ce dernier reste sur son orbite d'évolution. Il 
est
donc impératif de contrôler en permanence le positionnement du satellite pour
éventuellement corriger sa trajectoire si celle-ci dévie. Cela est réalisé par 
le
module de navigation spatiale du satellite. Il réalise trois mesures 
différentes :
une mesure d'altitude, une mesure de vitesse et une mesure d'angle. Cette par-
tie se propose d'étudier une réalisation possible de chacune de ces fonctions.

II.A - Mesure d'altitude Düü
On se propose d'étudier la technique de radioaltimétrie MFOC

(Modulation de Fréquence à Onde Continue), utilisant un

radar MFOC. La mesure de distance vraie est ici effectuée à Figure 4b

l'aide d'une mesure de fréquence. Le schéma de principe de la
chaîne de mesure est représenté figure 4a.

Le radar émet un signal en multiplieur filtre passe- -bas

direction du sol, figure 4b, Signal émis M d
(on ne s'intéresse pas ici à -'aelîitälee
l'étude de l'antenne trans- Slgnal Te£u,

Fi ure 4a: -Chaîne oe mesure
formant l'information élec-- g

trique en onde électromagnétique ; quand on parlera de signal émis ou reçu, il
s'agira donc de signaux électriques).

Le sol réfléchit le signal en direction du satellite. Les deux signaux, émis et 
reçu,
sont alors envoyés à l'entrée de la chaîne de mesure.

Le multiplieur réalise le produit des signaux émis et reçu, avec une constante
multiplicative le. A la sortie du multiplieur, le signal est filtré par un 
filtre
passe-bas qui ne laisse passer que la composante de plus basse fréquence.

La fréquence fe(t) du signal
émis en direction du sol suit
une loi de variation en dents
de scie, comme représenté
figure 5. Elle est centrée
autour de la valeur f0- De

plus, AF=fe _fe-«f0'

Dans la suite, nous poserons m(t) : (2n/a) ' ( fe(t) -- f o) , avec oc 
constante réelle
non nulle.

II.A.1) Génération du signal d'émission

On veut émettre le signal e(t) : Ae - cos(Be(t)) , dont la fréquence

] d9EUR(t)

fe... : 2--7: dt

est représentée figure 5. On réalise alors une modulation de fréquence. En 
effet,
la fréquence de e(t) n'est pas fixe, mais est modulée autour de la fréquence f 
()
appelée porteuse. m(t) est le signal modulant. On peut encore écrire e(t) sous
la forme e(t) : Ae - cos(2n -- f0 - t + cp(t)) , où dcp/dt : ocm(t).

Pour élaborer ce signal e(t), on utilise un Oscillateur Contrôlé en Tension
(OCT), qui permet de contrôler la fréquence du signal de sortie du montage en
fonction de la tension en entrée de l'OCT.

On propose le dispositif représenté figure 6 utilisant la synthèse d'Armstrong 
et
nécessitant la présence d'un oscillateur local très stable.

Oscillateur e0(t)

It

local --Î

Signal _ .
mult1pheur
>< ,.

modulant
m(t)
L'oscillateur local fournit le signal e0(t) : Ao' sin(2rc- fo - t) où fo est la 
fré-
quence de la porteuse. L'intégrateur réalise l'intégration de m(t) , avec une 
cons-
tante multiplicative k0. On notera M (t) l'intégrale de m(t). Le multiplieur

réalise le produit des deux signaux en entrée, avec une constante multiplicative
k .

a) Donner l'expression des signaux e2(t) , e3(t) et e(t) .

6...

soustracteu
+

intégrateur

ko Figure 6

b) Simplifier l'expression de e(t) dans le cas d'une faible profondeur de modu-
lation (kk0M (t) « 1) et comparer son expression avec l'expression
e(t) : Ae - cos(2n - f0 - t + cp(t)) recherchée (avec m(t) : (Zn/oc) - (fe(t) 
--fO) ).

II.A.2) Mesure de l'altitude

On revient au montage de la figure 4a. Le multiplieur est le même que celui uti-
lisé figure 6. On note h l'altitude du satellite. Les ondes électromagnétiques 
se
propagent àla vitesse de la lumière 0 , constante toute au long de leur 
parcours.
Le signal reçu est de la forme r(t) : Ar- cos(6,(t)) .

a) Tracer sur un même graphe l'allure de fe(t) et celle de f ,,(t) fréquence du
signal reçu.

b) Étudier et tracer l'allure générale du signal en sortie du multiplieur.

c) On fait l'hypothèse supplémentaire que 2h < CAT (hypothèse (H 3) ). Donner,
en fonction de h , c , AT et AF l'expression du signal en sortie du filtre 
passe--

bas, supposé de gain statique Go-- Conclusion ? L'hypothèse (H 3) est-elle vrai-
ment nécessaire ?

d) Proposer une réalisation du filtre passe-bas, et préciser ses 
caractéristiques
pour un fonctionnement correct du circuit.

e) Voyez-vous des limitations à ce système ?

II.B - Mesure de vitesse

Il existe deux types de mesures de récepteur /
v1tesse : une mesure de pseudov1tesse '" 6
et une mesure de vitesse vraie. Le but y R ÿMÆîL
de cette partie est d'étudier le principe _} / / "
de ces mesures. Dans les deux cas, la ve
mesure de vitesse est basée sur l'effet
Doppler: il correspond à la modifica-
tion de la fréquence d'une onde / / 0 émetteur Figure 7 ,
lorsqu'elle est reçue par un récepteur '

en mouvement et/ou lorsqu'elle est émi_se par un émetteur en mouvement. Ainsi,
pour un émetteur mobile de vitesse ve dans un référentiel R , émettant une
(aide monochromatique de fréquence fe , et pour un récepteur mobile de vitesse

U,. dans R , la fréquence f ,. de l'onde reçue par le récepteur peut s'écrire 
en pre-
mière approximation :

f.*= fe'(1--

Ainsi, seules les vitesses radiales Ve : vecosôe et V,. : vrcos6r de l'émetteur
et du récepteur importent et le décalage Doppler vaut :

+
u

x

+
C C

v,. cos B,. ve cos Be)

v cost) v cos9
A = _ (_ r r + e e)
f D f e C C
II.B.1) Étude de l'effet Doppler
a) Connaissez-vous une manifesta- z onde incidente -->
tion physique de l'effet Doppler '? &, x

On se propose de retrouver l'expres-
sion du décalage Doppler dans le cas
particulier de la réflexion d'une

onde électromagnétique plane harmonique sur une plaque métallique parfaite,

Plaque de métal
parfait infinie

--+ . --a
supposée 1nfin1e, en translatmn à la v1tesse vo : v0ux constante dans le réfé-

rentiel R(Oxyz) (figure 8). _) %
À t = 0 , la plaque est en x = 0 . L'onde incidente est de la forme (E,--, B,) 
avec :

Ëî- : Eocos(oei(t --Ë)) ZZ.

, , , _ ----> --> --à x --è
Londe reflech1e est de la forme (E,, B,) avec :E,. : E,.cos(oe,(t + E)) uz .
Pour exprimer la réflexion de l'onde et vérifier les conditions aux limites,
il convient d'étudier la réflexion dans le référentiel R' en translation par 
rap-

port à R et dans lequel la plaque est immobile.
+ -->

b) En notant (E, B) un champ électromagnéti_que dans R et (E' ,Ë' ) le même
champ évalué dans R', montrer que E': E + vo A B et que B'= B.

c) Exprimer B en fonction de E0, c, ou,--, t et x.
H -->

Exprimer E' ,E' ,B' ,B', en fonction de E0, 0, ou,-, t, x et vo.
d) En déduire f ,. en fonction de f ,- , vo et c . Comparer ce résultat à celui 
obtenu
en appliquant directement la relation donnant Af D .

e) Pourquoi |E,.| < |E,l '?
II.B.2) Mesure de la pseudovitesse

La mesure de la pseudovitesse est réalisée lorsque la liaison spatiale est
monodirectionnelle : par exemple, une station au sol envoie un signal au satel--
lite_qui joue le rôle de récepteur (on se place dans ce cas pour la suite du 
II.B.2).
Les oscillateurs des dispositifs d'émisSion et de réception sont donc 
différents.
On cherche à exprimer, dans le référentiel R lié àla Terre, la vitesse radiale 
V,.
du satellite par rapport à l'émetteur fixe.

0 On note f 6 la fréquence du signal sinusoïdal émis et A f 6 l'incertitude sur 
f 6 .

0 On note f0L la fréquence de l'oscillateur local du récepteur et AfOL l'incer--
titude sur f 0 L

La chaîne de mesure eSt multiplieur filtre passe-bas

t)

représentée figure 9. Le SOL( mesure
signal SOL(t) est le signal 3 (t) >< \ de la
sinuso'idaly produit par r k vltesse

l'oseillateur local. Le Figure 9 :chaîne de mesure
signal s,.(t) est le signal

reçu par le satellite, supposé de même amplitude que sOL(t). Le multiplieur
possède les mêmes caractéristiques que celui de la figure 6. Le filtre passe-bas
ne conserve que la composante de plus basse fréquence, fréquence notée f b . La

mesure de la fréquence f b est supposée parfaite (l'incertitude Afb sur la 
mesure
est nulle).

a) Montrer que le signal en sortie du filtre passe-bas a pour fréquence

fb fe' (1--Y--) f0L

C

b) Les fréquences de l'émetteur et de l'oscillateur local sont maintenant 
suppo--
sées identiques. Donner l'expression de W,] et son incertitude A|V,.\ (on négli-
gera dans l'expression finale de A|V,i le terme en V,/c devant 1). Conclusion ?

c) Peut-on obtenir le signe de V,. ?
II.B.8) Mesure de la vitesse vraie

La liaison spatiale est maintenant bidirectionnelle. On se place alors dans le 
cas
où l'oscillateur émetteur/récepteur est unique. Le signal sinusoïdal de 
fréquence
f 0 L est émis par le satellite, réfléchi par la Terre et reçu par le satellite.

a) La chaîne de mesure restant la même (figure 9), quelle est l'expression de
|V,.| en fonction de f ,) ? Que vaut A|V,] ?

b) Que pensez-vous de la nécessité de disposer d'un oscillateur local très 
stable
dans le cas d'une mesure de vitesse vraie ?

c) Les mesures précédentes estiment seulement la vitesse radiale du satellite.
Que proposez-vous pour une estimation de la vitesse 3 du satellite '?

II.C - Mesure d'angles _ ' S

De nombreux'diSpositifs permettent la mesure d'angles. Nous Figure 10

nous limitérons à l'étude du principe de mesures interféromé-

triques. Le satellite S , émet un signal. radioélectrique (se pro-

pageant à la vitesse c), capté par deux récepteurs au sol A et A1 A2
A2 , et distants de a (figure 10). On note D1-- _ SA, D2-- _ SA2 et - '"
AD= D --D2 .Le but de la mesure est de déterminer l'angle de visée @.

Vu les distances mises en jeu (A1A2 « AIS et A1A2 « A2S ) on considérera les
rayons incidents parallèles entre eux.

II.C.1) Sachant que le signal émis par S est de la forme se(t) : Ae - cos(2nft) 
,
donner l'expression des signaux 31... et s2(t) reçus en A1 et A2 ; on négligera
les atténuations possibles du signal sur son trajet. En déduire l'expression de 
la
différence de phase Atp entre le signal reçu en A2 et celui reçu en A1 . Donner
l'expression de oc en fonction de Acp.

II. C. 2) La mesure de Acpi permet donc d'accéder à la mesure de a. Comment
s 'effectue pratiquement la mesure de Acp dans un dispositif interférométrique a
deux ondes ? À quel dispositif classique s 'apparente le système étudié. " En 
faire

le schéma de principe; on placera en particulier sur ce schéma les points S , A1
et A2.

II.C.3) Le système étudié permet-il la mesure de la direction de visée de
l'émetteur en orbite ? Si non, proposer une solution possible.

00. FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE), Sébastien Dusuel 
(Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve aborde deux aspects de la physique d'un satellite en orbite 
héliosynchrone autour de la Terre.
· La première partie est consacrée à l'étude de l'orbite héliosynchrone d'un 
satellite, c'est-à-dire l'orbite qui permet à celui-ci de se présenter 
plusieurs fois
à la verticale d'un même point de la Terre avec une même position relative de
la Terre et du Soleil, afin que l'éclairement de la zone observée soit toujours 
le
même. Cette partie est divisée en deux exercices indépendants :
­ Le premier (I.A), très classique, propose au candidat de résoudre l'équation 
du mouvement du satellite dans un champ de pesanteur à symétrie
sphérique en s'appuyant sur deux invariants du mouvement, le moment
cinétique du satellite par rapport au centre de la Terre et un vecteur 
invariant supplémentaire qui sera caractérisé.
­ Le deuxième exercice (I.B) affine la description du champ de pesanteur 
terrestre en assimilant la Terre à un ellipsoïde de révolution. Dans ce cadre,
on étudie la trajectoire du satellite en orbite héliosynchrone en décomposant 
les différentes phases du mouvement : orbite circulaire sur un plan
en précession et en nutation. Les échelles de temps associées à ces phases
sont suffisamment différentes pour permettre cette décomposition.
· La deuxième partie du sujet est consacrée aux dispositifs permettant de 
mesurer
la position et la vitesse du satellite par rapport à la Terre. Cette partie est
divisée en trois exercices indépendants.
­ Le premier (II.A) traite de la synthèse et de la lecture d'un signal modulé
en fréquence. Ce signal est utilisé dans un dispositif radar afin d'évaluer
la distance Terre-satellite.
­ Le deuxième (II.B), consacré à la mesure de vitesse par effet Doppler,
aborde la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur parfait en 
translation rectiligne uniforme, puis la mesure du décalage de fréquence induit 
par cette translation par multiplication de deux signaux de
fréquences légèrement différentes.
­ Le troisième exercice (II.C) montre comment on peut mesurer une inclinaison 
via l'obtention d'interférences à deux ondes.
Ce sujet ne présente que quelques difficultés inégalement distribuées. Les 
exercices (I.A) et (II.C) sont proches du cours. L'exercice (II.B) passe trop 
rapidement
sur les changements de référentiel en électromagnétisme, ce qui peut amener 
certaines confusions (voir les indications). Les exercices (I.B) et (II.A) 
s'avèrent d'un
abord difficile, principalement en raison de la dilution dans l'énoncé des 
informations
nécessaires à leur résolution.

Indications
Première partie
I.B.1 L'analogie avec les coordonnées sphériques « classiques » permet 
d'exprimer simplement le gradient du potentiel dans le système de coordonnées
considéré.
I.B.2.c Penser à la formule de dérivation en base mobile.
I.B.2.d Prendre le produit vectoriel par -

O de l'équation trouvée à la question
précédente.

-
I.C.1 L'énoncé invite à calculer k-

O k en fonction de k gr k.
I.C.2 À propos de la conclusion : le satellite Spot 5 ne fournit pas que des 
photos
de l'équateur et des tropiques.

Deuxième partie
II.A.1.b Remarquer que cos kk0 M(t)  1 et sin kk0 M(t)  kk0 M(t) lorsqu'on a la
relation kk0 M(t)  1.
II.A.2.b La linéarisation du signal de sortie du multiplieur et la prise en 
compte des
ordres de grandeur des fréquences des signaux qui le composent simplifient
grandement cette étude.
II.B.1.c Exploiter la relation de structure des ondes planes dans le vide pour 
cal
-
 -
-
culer Bi , B i et B r . Pour obtenir l'onde réfléchie, exploiter les conditions
de passage sur le miroir dans le référentiel R . Prendre garde à la 
transformation des coordonnées. Se placer dans le cadre de la physique classique
(v0  c) pour simplifier les résultats à l'ordre 1 en v0 /c.
II.B.1.d On peut décomposer le trajet de l'onde de l'émetteur au récepteur en un
aller émetteur-miroir, puis en un retour miroir-récepteur, puis calculer le
décalage Doppler pour ces deux trajets. Un autre moyen de parvenir au
même résultat est de prendre l'image du récepteur par le miroir, dans le
référentiel du miroir, et de déterminer les vitesses apparentes de l'émetteur
et de l'image du récepteur par rapport au miroir.
II.B.1.e Où donc s'est tapie l'énergie apparemment perdue lors de la réflexion
(ou juste avant) ?

I. Caractéristique d'une orbite héliosynchrone
Question préliminaire Le référentiel géocentrique RG est le référentiel attaché
au point O, centre de la Terre, dont les axes pointent vers des étoiles 
lointaines et ont
donc des directions fixes. Il en résulte que ce référentiel est en translation 
elliptique
par rapport au référentiel héliocentrique. RG est approximativement galiléen, 
ce qui
signifie qu'on peut négliger les forces d'inertie engendrées par l'accélération 
de ce
référentiel dans le référentiel héliocentrique par rapport aux autres forces 
appliquées
sur un corps de masse m.
A.

Premier modèle du champ de gravitation

I.A.1 On se place dans RG supposé galiléen. La seule force appliquée sur le 
satellite
--

-
. Cette force dérive d'une énergie
est F (M) = - grad [mV(M)] = -GM m/r2 -
u
r
potentielle, donc le système est conservatif et l'énergie mécanique
Em = Ecin + mV(M)
est un invariant du mouvement.

-
De plus, F (M) est une force centrale : elle est dirigée vers O. Appliquons le
théorème du moment cinétique au satellite par rapport au point O, centre de la
Terre, fixe dans RG :

GM m -
d-

O

-

= r  -
ur
dt
r2

-
d-

O

 sont colinéaires, donc
Or -
r et -
u
= 0
r
dt
Ainsi le moment cinétique de M par rapport à O est un deuxième invariant du
mouvement.
Puisque le moment cinétique -

O est invariant, le mouvement du satellite est plan.
-

, -

Appelons uz le vecteur complétant la base (-
u
r u ) du plan du mouvement pour en
, -
 -

faire une base orthonormée directe (-
u
r u , uz ). Le moment cinétique par rapport au
point O est
-

 = m-
r -
v
O

-

2 -

O = mr  uz

qui donne ici

dA
-

r
O

-

v dt
M

--
L'aire dA balayée pendant dt par OM sur la figure

ci-contre est l'aire du triangle de côtés -
r et -
v dt.
Elle s'écrit donc
1  -
dA = k-
r 
v dtk
2

k-

Ok
= |r2 |
m
O est une constante, donc C = r2  l'est aussi. C est appelée « constante des 
aires »
--
car la vitesse de variation de l'aire balayée A par OM durant le mouvement est
dA
C
=
dt
2
De plus

k-
r -
v dtk =

I.A.2.a Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel M de
masse m s'écrit

d-
v
GM m -

m
=-
u
r
dt
r2
-

Exprimons la dérivée de u en fonction de r et C :

d-
u

=-C -

= - -
u
u
r
r
dt
r2

d-
v
GM d-
u

=
dt
C dt

, on obtient
En isolant 1/r2 -
u
r

I.A.2.b Posons

K=

GM
C

) -

d(-
v -K-
u

= 0
dt
L'intégration de cette équation conduit directement à

L'égalité précédente s'écrit

-

+-
v = K(-
u
E)

-
où E est un vecteur invariant du mouvement.

I.A.2.c En coordonnées polaires, -
v s'écrit

-
 + r -

v = r -
u
u
r

-

 = r
v ·-
u

Donc

-
C
K(1 + E · -
u ) =
r

-

-
Posons  = ( E , -
u ), e = k E k et p = C/K pour obtenir
r() =

p
1 + e cos 

 -
-
L'angle  formé par E et x x est
 -
-
 = ( E , x x)

-
, -

= (E,-
u ) + (-
u
 x x)

-
2
Il apparaît alors judicieux de choisir  = , afin de substituer  à  dans 
l'expression
de r, ce qui conduit à

=-
2

-
Le vecteur E est donc orthogonal à l'axe polaire.
 =-

Seul cos() est connu, si bien qu'on ne connaît que ||. Ceci nous donne une
indication sur la symétrie de la trajectoire.