CCP Physique 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Télescopes en association. Aspects optiques du satellite Hubble. Électronique du teslamètre. Phénomènes de lévitation.
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, électrocinétique, conducteurs en équilibre électrostatique, magnétostatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012

MPP2008

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________

PHYSIQUE 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
Les parties I et II portent sur l'optique (de la page 2 à la page 8).
Les parties III et IV portent sur l'électromagnétisme (de la page 9 à la page 
15).

1/15

Tournez la page S.V.P.

OPTIQUE
Les notations sont telles que tout paramètre relatif à un objet sera indicé 
avec un o tandis que tout
paramètre lié à une image le sera par un i. Les questions à l'intérieur des 
parties I et II sont
largement indépendantes.

PARTIE I. TÉLESCOPES AU SOL ET EN ASSOCIATION
Le premier des quatre principaux télescopes du « Très Grand Télescope » 
(acronyme anglo-saxon
VLT) installé au sommet du Cerro Paranal, au Chili, a été prénommé Antu (Soleil 
en
langue mapuche) et a été mis en service en 1998. Comme tous les télescopes du 
VLT, il est de
type Ritchey - Chrétien, avec un des quatre foyers de type Cassegrain.
On étudiera un montage interférométrique à deux télescopes. Outre le télescope 
Antu du VLT,
appelé T1 par la suite, le montage considéré inclut également Kueyen (Lune en 
langue mapuche),
télescope mis en service en 1999 et appelé T2.

E2 (x2)

E1(x1)
x

D

H

T2

T

T1

Figure 1 : montage interférométrique
Les deux télescopes T1 et T2 sont identiques, et le diamètre de leurs 
ouvertures circulaires est
négligeable devant la longueur T2T1= b de la ligne de base (de milieu T) qui 
joint les deux
instruments. La position moyenne  d'un système stellaire binaire, c'est-à-dire 
une étoile double
symétrique avec deux contributions égales de l'éclairement I0, est repérée par 
l'angle  que fait la
direction T avec la normale en T à la ligne de base. On pose D = T. Les 
positions x1 et x2 = ­ x1
des 2 étoiles E1 et E2 qui constituent le système stellaire sont comptées par 
rapport à l'origine  de
l'axe  x, ce dernier étant perpendiculaire à la direction T. L'ensemble des 
caractéristiques
décrites ci-dessus est apparent sur la figure 1. En outre, un dispositif 
annexe, dont on discutera
l'usage par la suite, permet de faire interférer les ondes optiques issues des 
deux foyers images en
introduisant une différence de marche supplémentaire Lf sur le signal issu de 
T1.

2/15

I.1 Exprimer les différences de marche 1 = E1T2 ­ E1T1 et 2 = E2T2 ­ E2T1, hors 
contribution Lf.
Pour faire le calcul approché de ces deux grandeurs, on remarquera que la 
distance D est
extrêmement grande devant les autres dimensions exprimées sur la figure 1, et 
qu'il est alors
possible pour E1, respectivement E2, de poser E1T2  E1H + HT2.
Montrer que les phases spatiales correspondantes k (k = 1, 2) qui prennent en 
compte toutes les
contributions des différences de marche peuvent se mettre sous la forme :

k =

2

Xx k
+ b sin  - L f ,
D

avec  la longueur d'onde supposée monochromatique émise par les étoiles E1 et 
E2, xk (k = 1, 2)
leurs positions et X une longueur que l'on explicitera.
I.2 La contribution à l'intensité Ik est due, pour une étoile Ek donnée, au 
système interférentiel qui
résulte des phases spatiales k. Il est aisé de l'exprimer par la relation I k = 
I 0 (1 + cos  k ).
Donner l'intensité totale I en fonction de I0, 1 et 2. Mettre cette intensité 
totale sous la forme :

I = 2 I 0 1 + cos

b sin  - L f
 X ( x2 - x1 )
cos 2

D

.

I.3 La distance entre les télescopes Antu et Kueyen est b = 57,000 m. Le 
système binaire est à la
position moyenne  = 45° et les deux étoiles E1 et E2 sont supposées émettre à 
la même longueur
d'onde de 600 nm.
Trouver la plus petite distance angulaire  = ( x2 - x1 ) D détectable, exprimée 
en radians, pour
obtenir un éclairement uniforme.
I.4 Calculer le contraste  donné par  =

I max - I min
.
I max + I min

I.5 On s'arrange généralement, via l'utilisation d'une ligne à retard, pour que 
Lf, différence de
marche supplémentaire mentionnée en introduction, soit égale à (­ bsin). Quelle 
en est la
raison ?

n1(N1)
n2(N2)

Gaine

n(r)

Coeur

I.6

0

a

r

Coeur
Gaine

r
0
a
Figure 2 : fibre optique à saut d'indice : profil d'indice à gauche, coupe à 
droite

3/15

Tournez la page S.V.P.

Cette ligne à retard peut être réalisée à l'aide d'une fibre optique, et dans 
la suite de l'exercice,
nous considérerons une fibre monomode à saut d'indice comme présentée figure 2, 
page 3. Les
rayons lumineux subissent une succession de réflexions totales à l'interface 
entre le coeur et la
gaine de la fibre.
Dans toute fibre, chacun de ses constituants, c'est-à-dire coeur et gaine, doit 
se voir associer un
coefficient de dispersion D pour deux raisons : du fait du mode guidé et de la 
distorsion associée
à la dispersion relative au temps d'arrivée d'un signal, mais également du fait 
que les indices
dépendent des longueurs d'onde . Une fibre est alors définie par ses indices de 
réfraction n1 et
n2, respectivement pour le coeur et la gaine, mais également par ses indices de 
groupe N1 et N2
liés aux vitesses de groupe respectives d'un signal donné, dans les milieux n1 
et n2. Les premiers
dn
dépendent des seconds par la relation Ni = ni -  i (i = 1, 2), dont on n'a pas 
explicitement
d
l'usage dans la suite du problème. On admettra qu'avec la fibre employée ici, 
on se place dans le
cas où ( N 1 - N 2 ) / N 2  (n1 - n2 ) / n2 et n1 + n2  2n2 .
On peut montrer que le coefficient de dispersion du guide, c'est-à-dire la 
gaine, dans des
( N - N 2 ) 1 , avec
conditions de faible guidage pour une fibre monomode vaut Dg = - 1,984 1
0c V 2

I.6.1

(

)

c la vitesse de la lumière dans le vide c = 3.10-4 m.ps -1 et V =

2 a

0

n12 - n22 , tel que

V < 2,4 en régime monomode.
Montrer que si l'on exprime a et 0 en µm, alors Dg peut s'écrire simplement 
selon
N 
D g = -83,76 22 20 (exprimé en unités ps.km-1.nm -1 ).
n2 a
I.6.2

Le diamètre de la gaine étant par ailleurs grand devant celui du coeur qui vaut 
2a, on peut

montrer que le coefficient de dispersion du coeur Dm est alors donné par Dm = A 
ln

0

, avec
B
A et B deux constantes, la première ayant la dimension de Dm, la seconde celle 
d'une longueur
caractéristique, et 0 est la longueur d'onde de la lumière incidente dans le 
vide.
Quelle est l'expression de a qui permet de compenser le coefficient de 
dispersion du matériau
Dm par celui de dispersion du guide Dg pour finalement annuler le coefficient 
de dispersion
total D = Dm + Dg ? Faire l'application numérique avec 0 = 1,55 m, n2 = 1,442, 
N 2 = 1,457,

A = 145 ps.km-1.nm-1 (dimension physique de D, voir introduction) et B = 1,35 
µm.
I.6.3 Avec ces valeurs numériques, calculer Dm et vérifier que la fibre est 
monomode. On
donne n1 = 1,447.

4/15

PARTIE II. LE SATELLITE SPATIAL HUBBLE : QUELQUES ASPECTS
OPTIQUES
Le satellite Hubble est un instrument à deux réflecteurs, pour une masse de 11 
tonnes et une
longueur d'environ 13 m.
II.1 Alimentation électrique : panneaux solaires et lentilles de Fresnel
Un satellite doit être autonome d'un point de vue énergétique, et une solution 
consiste en l'usage
de panneaux solaires avec des cellules photovoltaïques. Sur Hubble, ils sont au 
nombre de deux,
pour une surface nominale totale de 36 m2, qui alimentent principalement les 
caméras et les
quatre grands volants employés pour orienter et stabiliser le télescope. Les 
panneaux doivent
collecter un maximum de lumière pour une masse minimale et un encombrement 
réduit.
L'utilisation de lentilles de Fresnel peut prendre tout son sens, car à 
distance focale et diamètre
identiques à ceux d'une lentille « standard », elles ont une épaisseur 
considérablement plus
faible, et donc une masse dans la même proportion.
II.1.1 Avant de procéder à l'étude d'une telle lentille, on va d'abord 
s'intéresser à un simple
prisme d'indice n et d'angle au sommet A tel que représenté sur la figure 3. On 
note i et i' les
angles d'incidence et d'émergence au niveau des faces d'entrée et de sortie du 
prisme
comptés par rapport aux normales respectives, ainsi que r et r' ceux des 
rayons, l'un réfracté
sur la face d'entrée et l'autre incident sur la face de sortie. Donner les lois 
de Descartes en
réfraction pour chacune des deux faces, ainsi que la relation du prisme qui lie 
l'angle de
déviation D à i, i' et A.
A

+

+
I

1

D

i'

i

r r'

I'
A

n

1

Figure 3 : prisme simple
II.1.2 On modélise la lentille de Fresnel par un système optique de révolution 
comportant au
centre une lentille plan-convexe (L) de diamètre 0 et de distance focale f, 
entourée de N
anneaux prismatiques (N >> 1) selon un arrangement représenté sur la figure 4.
Chaque prisme Pk (1  k  N) est caractérisé par son angle au sommet Ak, le dit 
sommet étant
situé à la distance k de l'axe de (L) telle que k = 0 / 2 + k, avec  une 
constante. La face
d'entrée de chacun de ces prismes est perpendiculaire à l'axe de la lentille 
(L), conformément à
la figure 4. Le but est de déterminer l'angle au sommet de chaque prisme pour 
qu'un rayon
incident issu d'une source ponctuelle placée au foyer objet Fo de la lentille 
plan-convexe (L),
ressorte parallèlement à l'axe optique. Si l'on est capable de réaliser un tel 
dispositif, on aura
alors obtenu une lentille mince convergente de foyer objet Fo, de distance 
focale objet fo et de
diamètre  = 0 + 2N.

5/15

Tournez la page S.V.P.

PN
Pk
P1
Fo

0

O
(L)
fo

Figure 4 : coupe d'une demi-lentille de Fresnel
II.1.2.1 Préciser l'expression de la déviation Dk à la traversée du prisme Pk 
en fonction de
l'angle d'incidence ik du rayon sur la face d'entrée. On supposera que  est 
suffisamment
faible pour que l'angle ik soit le même pour tous les rayons incidents sur un 
prisme donné.
II.1.2.2 En utilisant les lois de Descartes établies en II.1.1 pour les deux 
faces d'un prisme
Pk donné, montrer que l'angle au sommet Ak peut se mettre sous la forme
sin ik
tan Ak =
et déterminer la valeur de .

n 2 - sin 2 ik - 1

(

)

II.1.2.3 Exprimer sin ik en fonction de k et fo, la distance OI étant assimilée 
à k, avec I
point d'entrée du rayon incident dans le prisme Pk.
II.1.3 Calculer la constante , puis les angles i1, i10, A1 et A10 pour les 
paramètres suivants de la
lentille de Fresnel : N = 10, n = 1,5,  = 15 cm, fo = - 10 cm et 0 = 5 cm.
II.1.4 On rappelle que la focale fi d'une lentille mince en fonction de n et 
des rayons de
courbure comptés algébriquement R1 et R 2 des dioptres, respectivement indicés 
1 pour
1
1
1
= (n - 1)
-
.
l'entrée et 2 pour la sortie, est donnée par
fi
R1 R 2
Exprimer le rayon de courbure Rpc de la face sphérique de la lentille 
plan-convexe (L) en
fonction de l'indice n et de sa distance focale image fi, puis en fonction de n 
et de fo. Le
calculer.
II.1.5 En s'appuyant sur la figure 5, exprimer l'épaisseur ecc au centre d'une 
lentille biconvexe
symétrique en fonction du rayon de courbure Rcc pour laquelle le diamètre 
apparent vu depuis
C l'un des centres de courbure est 2cc et de la hauteur cc. En déduire 
l'épaisseur epc de la
lentille plan-convexe (L) en fonction de Rpc et 0, puis la calculer.

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cc

cc

ecc

C

Rcc
Figure 5 : lentille biconvexe symétrique
II.1.6 Comparer epc avec l'épaisseur au centre d'une lentille biconvexe 
symétrique de même
distance focale fo et de diamètre 15 cm. Conclure.

II.2 Positionnement du satellite : mesure des vitesses angulaires à l'aide d'un 
interféromètre
de type Sagnac
Les gyrolasers Sagnac, c'est-à-dire des gyroscopes à laser exploitant l'effet 
Sagnac, sont utilisés
pour mesurer avec précision la rotation d'un dispositif par rapport à un 
référentiel inertiel,
référentiel fixe vis-à-vis d'étoiles lointaines. Lorsqu'ils sont associés à des 
accéléromètres pour
déterminer la position, la vitesse et l'altitude d'un engin, l'ensemble 
constitue une centrale à
inertie.
L'interféromètre de Sagnac, de rayon RS = 20 cm, est schématisé sur la figure 
6. La lumière laser
provenant de la source SL et qui tombe perpendiculairement sur la lame 
semi-réfléchissante Lsr,
effectue un parcours circulaire soit dans le sens (D) soit dans le sens (G) 
d'une fibre optique
d'indice de coeur n selon qu'elle est transmise ou réfléchie au niveau de la 
lame Lsr. La sortie de
l'interféromètre est matérialisée par la flèche à droite.

Lsr
SL

(G)

Rs

(D)

Figure 6 : interféromètre Sagnac

7/15

Tournez la page S.V.P.

On fait tourner l'interféromètre de Sagnac autour d'un axe perpendiculaire à 
son plan, à une
vitesse angulaire  supposée uniforme.
II.2.1 La rotation de l'interféromètre induit une différence de marche entre 
les chemins (D) et
(G). Lequel de (D) ou (G) est le plus long ? Qu'observe-t-on à la sortie de 
l'instrument ?
II.2.2 S'agissant de lumière, le calcul du temps de parcours pour les deux 
chemins devrait être
effectué en cinématique relativiste. Nous nous contenterons cependant du 
résultat au premier
ordre qui se trouve correspondre au calcul classique.
Calculer les temps de parcours tD et tG, respectivement des chemins (D) ou (G), 
puis les
différences de marche  et de phase  induit par la rotation, en fonction de Rs, 
de , de la
vitesse de la lumière c, de n et de sa longueur d'onde .

8/15

ÉLECTROMAGNÉTISME
Ce problème d'électromagnétisme propose, en partie III, la conception d'un 
teslamètre en utilisant
un montage comprenant des amplificateurs opérationnels, suivie d'une partie IV, 
où le phénomène
de lévitation est étudié dans les domaines « électrostatique » et « magnétique 
».
Les sous-parties IV.1 et IV.2 sont indépendantes.
Représentation des grandeurs scalaires : a, AB et vectorielles : a, AB
Notation du produit scalaire ( F  G ) et vectoriel ( F × G ) des deux vecteurs 
F et G.
Données
Dans un système de coordonnées sphériques (r, , ), on définit la base 
orthonormée directe (er,
e , e ).
f
1 f
1 f
er +
e +
e
Gradient d'une fonction scalaire : grad f (r ,  ,  ) =
r
r 
r sin  
z
er
-7
-1
M
Perméabilité du vide : µ0 = 4 ×10 H.m
· e
r
1
Permittivité du vide :  0 =
F.m -1
e
36× 109
 =
4
O
Valeur de l'intégrale :
sin 3 d =
y
 =0
3
x

PARTIE III. APPAREIL DE MESURE DU CHAMP MAGNÉTIQUE B : LE
TESLAMÈTRE
III.1 L'amplificateur opérationnel « idéal »
On schématise un amplificateur opérationnel (AO) par la figure suivante :
i-
e-

e+ i+

-

+Vcc

+
-Vcc

is
s

Figure 7
où +Vcc et -Vcc sont les tensions d'alimentation de l'ordre de ± 15 V, qui 
n'apparaîtront plus
dans les schémas suivants.
On pose e+ et e- les tensions d'entrée, la tension différentielle d'entrée, s 
la tension de sortie, i+
et i- les courants d'entrée et is le courant de sortie.

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III.1.1 Définir les deux types de régime de l'AO idéal et représenter sa 
caractéristique de
transfert s( ).
III.1.2 Dans le cas d'un AO idéal en fonctionnement linéaire, quelles sont les 
valeurs de i+, i-,
et du gain différentiel = s / ?
Dans le symbole général d'un opérateur représenté par un rectangle (symbole 
normalisé) que
représentent le triangle et le signe à l'intérieur ?
III.2 Montages de base avec AO
Les AO utilisés dans ces montages de base sont idéaux et fonctionnent en régime 
linéaire.
III.2.1 Établir, pour chacun des quatre montages ci-dessous, les expressions de 
K1, K2, K3 et K4.
Les tensions de sortie s1, s2, s3 et s4 s'expriment en fonction des grandeurs 
d'entrée et
éventuellement des valeurs des différentes résistances.
+Vcc
-

-

R1

+

+

s1

e1

s2

R2
- Vcc

Montage 1 : s1 = K1.e1

Montage 2 : s2 = K2 .Vcc

R4
R3

-

R3

e2
e1

+
-

e4

+

R6

s3

R4

s4

R5

Montage 4 : s4 = K4 e4

Montage 3 : s3 = K3(e1-e2)

III.2.2 On nomme les montages 1 et 2 respectivement « suiveur » et « décaleur 
ou générateur de
tension réglable ». Proposer un nom pour chacun des montages 3 et 4.
III.3 Conception d'un teslamètre
La mesure d'un champ magnétique B nécessite, comme capteur, une sonde à effet 
Hall qui
fournit une tension faible, accessible à la mesure après amplification.
Le constructeur de la sonde indique une relation entre la f.e.m. de sortie Uc 
du capteur en
fonction de la valeur du champ magnétique existant B de la forme :
U c = 0, 25Vcc + 20 B

avec Uc et Vcc en volts et B en teslas.

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Cette tension étant faible, une chaîne électronique à la sortie du capteur va 
amplifier et rendre
une tension de sortie en bout de chaîne, proportionnelle à B de la forme : U s 
= K.B .
Synoptique de la chaîne électronique à la sortie de la sonde
Montage 2
Montage 3
capteur

Montage 4

Montage 1
U2
Uc

U3

Us

U1

III.3.1 Quelle est l'utilité du montage 1 (suiveur) ?
III.3.2 Quel est le rôle du montage 2 (décaleur) ?
III.3.3 On suppose que la chaîne ne modifie pas le comportement individuel de 
chacun des
quatre montages étudiés en III.2.1.
III.3.3.1 Déterminer l'expression de la tension de sortie Us en fonction des 
résistances R1,
R2, R3, R4, R5, R6, de Vcc et de B.
III.3.3.2 Application numérique
Vérifier que Us est bien de la forme Us = K.B et en déduire la valeur de K pour 
les
résistances : R1 = 3 k ; R2 = 5 k ; R3 = R4 = R5 = 1k ; R6 = 4 k .

PARTIE IV.
PHÉNOMÈNES
DE
LÉVITATION
« ÉLECTROSTATIQUE » ET « MAGNÉTIQUE »

DE

TYPES

IV.1 Lévitation « électrostatique »
IV.1.1 Force électrostatique à la surface d'un conducteur
Cette question a pour but de montrer qu'en surface d'un conducteur, il existe 
une force
électrostatique normale à sa surface, dirigée vers l'extérieur, proportionnelle 
à l'élément de
surface sur lequel elle s'applique et au carré de la densité superficielle de 
charges (voir
figure 8).
Les points M1 et M2, respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du 
conducteur, sur la normale
n sont symétriques l'un de l'autre par rapport au point M0 (M0  dS) et l'on 
suppose
M 0 M1 = M 0 M 2 très inférieur au diamètre de dS.
Le champ électrique total E = Ei + Ee est dû à la contribution du champ Ei de 
la charge dq
portée par l'élément de surface dS du conducteur C et du champ Ee en provenance 
de toutes
les autres charges de l'espace (charges restantes de C et charges des 
conducteurs C' et C'').

11/15

Tournez la page S.V.P.

C7

' dS : élément de surface

0 : densité superficielle de charges

Figure 8

IV.1.1.1 Donner les relations entre Ei(M1) et EÏ(M2) puis entre Ee(Mo), Ee(Ml) 
et Ee(Mz) àla
traversée de l'élément de surface dS .

IV.1.1.2 Le conducteur C étant en équilibre, donner l'expression de E(Ml) et en 
déduire la
relation (1) entre Ei(Ml) et Ee(M1).
Exprimer E(M2) à partir du théorème de Coulomb et en déduire la relation (2) 
entre Ei(M2)

IV.1.1.3 Déduire des relations (l) et (2), la valeur de Ee(Mo) puis celle de 
E(Mo).

IV.1.1.4 Montrer que la force df exercée par le champ E(Mo) sur la charge dq de 
la surface
dS est de la forme k.az.dS.n, où l'on déterminera la constante k.

Remarque : dans le cas où la constante k n'est pas trouvée, on utilisera dans 
les questions
. . 2
su1vantes l'express1on (if = k.0 .dS.n.

IV.1.2 Force agissant sur une calotte sphérique
On considère une sphère conductrice de centre O, de rayon R, isolée dans 
l'espace (voir
figure 9a).

Figure 9a Figure 9b

IV.1.2.1 Portée au potentiel V, la sphère prend une charge Q positive. 
Déterminer en
fonction de V, de 80 et de R, la densité superficielle de charges 0 de cette 
sphère.

IV.1.2.2 Soit df la force subie par un élément de surface dS de la calotte 
sphérique (voir
figure 9b) dont l'expression est trouvée dans la question IV.1.1.4.
Expliquer pourquoi la résultante des forces agissant sur la calotte sera portée 
par l'axe ( ).
IV.1.2.3 Nous appellerons df1 la projection de df sur l'axe ( ) et d la 
projection de dS sur
le plan (P).
Donner les relations entre df1 et df d'une part et d et dS d'autre part.
IV.1.2.4 À partir de la composante df1 de la force df, montrer que le module de 
la résultante
des forces f qui s'exercent sur la calotte sphérique vue sous un angle 2 de O 
s'exprime en
fonction du potentiel V, de 0 et de sin .
IV.1.3 Phénomène de « lévitation électrostatique »
Sur le sommet de la sphère conductrice, de centre O et de rayon R, on place un 
petit disque
conducteur de masse m, de rayon a, très petit devant R, de sorte que l'on 
puisse considérer
que le disque est en contact sur toute sa surface avec la sphère (voir figure 
9a).
À partir des expressions de la force (question IV.1.1.4.) et de la densité 
superficielle de
charges (question IV.1.2.1.), déterminer le potentiel minimum Vmin auquel la 
sphère doit être
portée pour que le disque se soulève.
IV.2 Lévitation « magnétique »
IV.2.1 Sphère chargée au repos
On considère une sphère de centre C, de rayon R uniformément chargée de densité 
surfacique
de charges .
IV.2.1.1 Exprimer la charge Q de la sphère en fonction de et de R.
IV.2.1.2 Par utilisation des règles de symétrie et les invariances du système, 
expliquer la
forme du champ électrostatique E (M).
On considérera le point M(r, , ) dans un système de coordonnées sphériques.
IV.2.1.3 Appliquer le théorème de Gauss pour définir le champ électrostatique 
dans les cas :
Eint (r < R ) et Eext (r > R ) que l'on explicitera en fonction de Q, r et er 
puis représenter
E(r).
IV.2.1.4 En déduire le potentiel électrostatique dans les cas Vint (r < R) et 
Vext (r > R) sachant
que V ( ) = 0 . Représenter V(r).
IV.2.2 Sphère chargée en mouvement de rotation
Rappel : une spire circulaire de rayon a, parcourue par un courant d'intensité 
I, crée en un
point M de l'axe Oz de cette spire, un champ magnétique B(M) de la forme :
µI
B (M) = 0 sin 3  e z où ez est un vecteur unitaire de l'axe Oz et le demi-angle 
au sommet
2a
du cône de sommet M d'axe Oz s'appuyant sur la spire.

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La sphère, de densité surfacique de charges , tourne autour d'un diamètre, 
porté par z'z, à la
vitesse angulaire constante . Le point P se projette en H sur l'axe de rotation 
(voir figure
10).
Considérant une spire élémentaire (comprise entre et +d ) d'axe Cz, parcourue 
par un
courant dI, celle-ci crée en C un champ magnétique dB(C) et possède un moment 
magnétique
d .
z
+

P

H
d

R

C

z'
Figure 10

IV.2.2.1 Justifier que dI = j0 R sin  d où j0 est une expression de , R et
définira.

que l'on

IV.2.2.2 Exprimer le champ magnétique élémentaire dB(C) et en déduire le champ 
B(C)
créé par cette distribution de courant due à toutes ces spires élémentaires 
coaxiales. On
exprimera dB(C) et B(C) en fonction de j0. On admettra que le champ est 
uniforme à
l'intérieur de la sphère et vaut B(C).
IV.2.2.3 Exprimer le moment magnétique élémentaire d
et en déduire le moment
magnétique
provenant de la contribution de toutes les spires élémentaires coaxiales. On
exprimera d et en fonction de j0.
IV.2.3 Phénomène de « lévitation magnétique »
Le matériau constituant la sphère, refroidi à une température inférieure à une 
certaine
température dite « critique », devient supraconducteur. Cela se traduit par une 
conductivité
infinie (donc une résistivité nulle) du matériau et quand celui-ci est soumis à 
un champ
magnétique extérieur, des courants électriques induits surfaciques apparaissent 
pour assurer
un champ magnétique nul dans tout le volume du supraconducteur (Effet Meissner).
IV.2.3.1 La sphère supraconductrice est soumise à l'action d'un champ magnétique
uniforme B0 = B0 ez . Il apparaît donc des « courants supraconducteurs » 
surfaciques de telle
sorte que le champ magnétique total Bt à l'intérieur de la sphère soit nul. On 
suppose que

14/15

les courants induits sont de la même forme que ceux décrits en question 
IV.2.2.1 ; c'est-àdire : dI = j0 R sin  d pour une spire élémentaire d'axe Cz.
De la condition sur Bt dans la sphère supraconductrice soumise au champ 
magnétique B0,
exprimer j0 en fonction de B0 et en déduire l'expression du moment magnétique
en
fonction du champ magnétique B0.
IV.2.3.2 Montrer qu'en appliquant le champ magnétique uniforme B0, la force 
résultante
exercée sur les courants surfaciques est nulle.
IV.2.3.3 Dans le cas où le champ magnétique appliqué augmente de dB0, on admet 
que la
variation de l'énergie potentielle d'interaction du dipôle, de moment 
magnétique , s'écrit
dEP = - d . B0. En déduire l'expression de EP en fonction de B0.
IV.2.3.4 Le champ B0 n'est plus uniforme mais varie faiblement sur une distance 
de l'ordre
du rayon R de la sphère. D'un point de vue énergétique, pourquoi cette sphère 
est-elle
repoussée (lévitation magnétique) vers les régions de plus faible champ ?

Fin de l'énoncé

15/15

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Pierre Lacas (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Comme souvent, la deuxième épreuve de physique du concours CCP filière MP se
compose de deux grandes parties : optique et électromagnétisme. Au total, 
l'épreuve
comporte quatre parties indépendantes.
· La première partie porte sur un montage interférométrique à deux télescopes
associés par fibre optique au VLT, Very Large Telescope, situé au Chili. Utilisé
en astronomie, ce montage permet d'augmenter considérablement le pouvoir de
résolution. Ce problème d'optique ondulatoire fait intervenir les notions 
d'interférence à deux ondes qui sont, pour la plupart, rappelées dans l'énoncé. 
On
peut déplorer que cette partie de l'énoncé soit plutôt floue, ce qui n'aide pas
à comprendre comment le dispositif fonctionne si on ne l'a jamais rencontré
avant. De plus, cette partie se termine par l'utilisation de la fibre optique 
monomode, notion hors-programme. Si aucune connaissance sur ces fibres n'était
exigée, cela n'aide pas à la clarté de ce premier ensemble de questions.
· La deuxième partie aborde quelques aspects optiques liés au satellite Hubble 
: la
lentille de Fresnel utilisée dans ses panneaux solaires est étudiée et l'effet 
Sagnac
à l'origine des gyrolasers est introduit dans un cadre classique. Il s'agit ici
essentiellement de tester les acquis de première année en optique géométrique.
· Le troisième problème est consacré au schéma électronique d'un teslamètre
utilisant les amplificateurs opérationnels. Contrairement au reste de l'épreuve,
cette partie exige de l'autonomie et une maîtrise plus technique des lois de
l'électrocinétique.
· Enfin, la dernière partie aborde les phénomènes de lévitation de nature 
électromagnétique. Dans un premier temps, on met en évidence l'existence d'une
« pression électrostatique » dans les conducteurs à l'équilibre. Ensuite, on 
s'intéresse au phénomène de lévitation d'un supraconducteur sphérique dans un
champ inhomogène. Cette partie très progressive visite les chapitres sur les
conducteurs, le théorème de Gauss et le dipôle magnétique. Il peut à ce titre
servir de révision du programme d'électromagnétisme de première année.
Dans l'ensemble, l'épreuve ne présente pas de grande difficulté de par sa grande
progressivité, ses nombreuses indications et la présence importante de 
résultats intermédiaires.

Indications
Partie I
I.2 Les deux étoiles sont des sources incohérentes.
I.5 Une erreur de signe s'est glissée dans l'énoncé : il faut lire Lf = b sin .
I.6.3 La fibre optique fonctionne en régime monomode lorsque V < 2,4.
Partie II
II.1.2.3 Raisonner dans le triangle Fo OI.
II.1.4 Prendre garde aux signes. Le rayon de courbure algébrique R2 d'une 
lentille plan-convexe est négatif puisque le centre de courbure est à gauche du
sommet du deuxième dioptre sphérique.
Partie IV
IV.1.1.3 Attention, contrairement à ce qu'indique le texte, on ne peut pas 
exprimer
le champ électrique total en M0 .
IV.1.1.4 Là encore, une erreur s'est glissée dans l'énoncé. La force électrique 
que subit
l'élément de surface est le résultat de l'interaction entre les charges de 
l'élé-

ment dS et les autres charges. C'est donc bien le champ électrique Ee (M0 )

-
qui est utile au calcul, et non E (M0 ) qui n'est pas défini.
IV.1.2.1 Calculer par exemple le potentiel au centre de la boule conductrice.
IV.2.1.3 Utiliser le théorème de Gauss en prenant pour surface d'intégration une
sphère de centre C et de rayon r.
IV.2.1.4 On rappelle que le potentiel est une quantité continue.
IV.2.3.2 Calculer la force de Laplace sur une portion de spire élémentaire et 
vérifier
que pour deux points symétriques par rapport à l'axe (), ces deux forces
se compensent.

Optique
I. Télescopes au sol et en association
I.1 Les étoiles sont suffisamment éloignées pour considérer que les rayons 
lumineux qu'elles émettent sont parallèles, de sorte que l'on peut opérer 
l'approximation
E1 T2  E1 H + HT2 . La différence de chemins optiques s'écrit donc
1 = E1 T2 - E1 T1  E1 H - E1 T1 + HT2

·

E2 (x2 )

E1 (x1 )
·
x

bs
in

H

b/2

cos

J 
T2

T
b

T1

Le théorème de Pythagore dans le triangle E1 JH s'écrit
s

2
q
b/2 cos  + x1
2
2
E1 H = (b/2 cos  + x1 ) + D = D 1 +
D

et, dans le triangle E1 JT1 ,
s

2
q
b/2 cos  - x1
2
2
E1 T1 = (b/2 cos  - x1 ) + D = D 1 +
D
2

2
En faisant un développement limité à l'ordre 1 en  = (b/2 cos  +
- x1 ) /D , on obtient
les expressions :
"
"

2 #

2 #
1 b/2 cos  + x1
1 b/2 cos  - x1
E1 H  D 1 +
et E1 T1  D 1 +
2
D
2
D

Sachant que HT2 = b sin , la différence de marche 1 vaut
"
2 
2 #
D
b/2 cos  + x1
b/2 cos  - x1
b cos  x1
-
+ b sin  =
+ b sin 
1 
2
D
D
D
Pour le calcul de la différence de marche 2 = E2 T2 - E2 T1 , il suffit de 
remplacer x1
par -x1 . Finalement, on obtient
1 

b cos  x1
+ b sin 
D

et

2  -

b cos  x1
+ b sin 
D

Attention à ce genre de méthode lorsque l'on ignore l'ordre de l'approximation. 
Plus de précision à ce sujet de la part du texte aurait été la bienvenue.
En outre, on aurait pu calculer la différence de marche directement à
partir des coordonnées des points E1 , T1 , T2 et E2 puis obtenir le même
résultat après avoir négligé les termes en b2 /D2 et en xi 2 /D2 devant l'unité.
L'expression finale est donc une approximation à l'ordre 1 en b/D et en xi /D.
Si l'on tient compte de la différence de marche supplémentaire Lf , les ondes 
lumineuses issues de l'étoile Ek (k = 1, 2) et reçues par les télescopes 
présentent une
différence de marche égale à
k = k - Lf
Or, le déphasage est lié à la différence de marche par la relation
2 k
k =

dans laquelle  représente la longueur d'onde de l'onde électromagnétique. Ainsi,

2 Xxk
k =
avec
X = b cos 
+ b sin  - Lf

D
I.2 Chaque étoile donne un signal lumineux d'éclairement
Ik = I0 (1 + cos k )
Les deux étoiles étant incohérentes entre elles, l'éclairement total se réduit 
à la somme
des éclairements I1 et I2 :

Comme
il vient

I = I0 (2 + cos 1 + cos 2 )

1 + 2
1 - 2
cos 1 + cos 2 = 2 cos
cos
2
2

2(b sin  - Lf )
 X(x2 - x1 )
I = 2I0 1 + cos
cos
D

I.3 La formule précédente correspond à l'éclairement au centre de 
l'interférogramme
(on peut imaginer un écran) obtenu par interférence des deux signaux optiques 
issus
des télescopes. Cet éclairement est donc constant. Cependant lorsque l'on se 
déplace
de x autour du centre de l'interférogramme, la différence de chemins optiques 
varie
avec x, ce qui revient à considérer que Lf dépend de x, d'où, a priori, la non 
uniformité
de l'éclairement. Le terme d'interférence cos (2(b sin  - Lf )/) étant 
responsable de
la variation spatiale de l'éclairement, ce dernier est uniforme quand

 X(x2 - x1 )
cos
=0
D
 X(x2 - x1 )

= (2k + 1)
avec
kZ
D
2
Ainsi, la plus petite distance angulaire  = (x2 - x1 )/D détectable pour 
obtenir un
éclairement uniforme correspond à k = 0. Sachant que X = b cos , il vient
c'est-à-dire

=

= 7,4.10-9 rad = 1,5 ms d arc
2b cos 

On obtient un dispositif dont la résolution angulaire est celle d'un télescope 
unique
de diamètre 2b = 114 m, d'où l'intérêt d'associer 2 ou plusieurs télescopes.