CCP Physique 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Optique. Électromagnétisme.
Principaux outils utilisés optique géométrique, optique ondulatoire, ondes, électromagnétisme
Mots clefs miroir plan, coin de cube, interféromètre de Michelson, réflexion, miroir de Lloyd, interférences à deux ondes, division du front d'onde, miroirs de Fresnel, brouillage, onde plane, paquet d'onde, vitesse de groupe, vitesse de phase, vitesse de propagation de l'énergie, conducteur parfait, relation de dispersion, résonateur électromagnétique, guide d'ondes, vecteur de Poynting

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2010 MPP2008

A

(ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

Partie A : OPTIQUE

Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes 
: l'étude de la
réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des 
applications diverses
illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

-- ]. Miroirs plans --- Réflexion

1.1. Le miroir plan
1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface 
plane {P} et

parvient au point B (figure 1).

A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que 
le
chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée.

SESSION 2010 MPP2008

A

(ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

Partie A : OPTIQUE

Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes 
: l'étude de la
réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des 
applications diverses
illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

-- ]. Miroirs plans --- Réflexion

1.1. Le miroir plan
1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface 
plane {P} et

parvient au point B (figure 1).

A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que 
le
chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée.

1.1.2. Application: Dans léplan xOy, deux rayons lumineux issus du point A (O, 
+a) se
réfléchissent sur { P} aux points J et K (figure 2).

y
A (1) (2)

+a

&»

" {P} X
0 /Jx' K

!

figure 2

Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis ( l) et 
(2) en
fonction des tangentes des angles 9, == (AO, AJ) et 9, == (AO, AIO puis 
calculer les

coordonnées du point C, intersection des rayons (l.) et (2). Quelle est alors 
l'image du
point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan.

1.2. Association de deux miroirs
Expériences réalisables en « Travaux Pratiques » où l'objet ponctuel. A et la 
source ponctuelle

S sont lumineux.

1.2.1. Les miroirs sont parallèles et distants de d (figure 3).

(m2) (ml)
A
9 ' V
X d '?
figure 3

Un objet ponctuel A situé entre les miroirs à la distance x de (um) donne par 
réflexions
successives sur les miroirs (m1) et (m2) une série d'images sur l'axe X'X. On 
note A;
l'image de A par réflexion sur (m1), puis Az l'image de A par réflexion sur 
(m1) puis
sur (m3), etc.

Déterminer, en fonction de X et d, les abscisses AA1 , AA2 , AA3 et AA4 
d'origine A,

des images A1, A2, A3 et A4 et en déduire celles des_images AN suivant que N 
est pair
ou impair. Quel est le nombre d'images que l'on observe '?

1.2.2. Les miroirs forment un angle a (figure 4).

Un objet ponctuel. A situé entre (ml) et (m3) est repéré par l'angle (OA, (ml)) 
== 6. La
série d'images (A1, AZ,...,AN,...) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur 
(m1),
tandis que la série (A-{,AÊ,_, ..... ,AÇ,.,...) correspond aux rayons réfléchis 
d'abord sur
(m2).

Déterminer les positions angulaires (OA, CAN) et (OA, OAÂ,) des images AN et 
AZ,.

pour N pa1r et 1mpa1r. Quel est le nombre d'1mages d1st1nctes observees 81 a = 
---- avec

P
;) entier ?

1.2.3. Les miroirs sont en position « Michelson >> (figure 5).

Y
. M2
(1112) A
S M
0 ' X
(L) (1111)
oeil ?
figure 5

Dans le trièdre Oxyz, les points S, O, M; et M2 appartiennent au plan Oxy. On 
donne :
OS:--15 cm., OM1 : OM2 =+5 cm.

Les miroirs (m,) et (m2) sont respectivement parallèles aux plans Oyz et OXZ. 
La lame
semi--réfléchissante (L), d'épaisseur négligeable, est située dans le plan 
bissecteur des
plans des deux miroirs. Les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas déviés 
et les
rayons réfléchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan.

Les images obtenues S; et SZ de la source ponctuelle S à travers le système 
optique
s'observent dans la direction Oy par un observateur situé dans les ynégatifs. 
On note :

SÏ : l'image de S à travers (m.)

81 : l'image de S{ à travers (L)
S' : l'image de S à travers (L)
82 : l'image de S' à travers (m2).

1.2.3.1. Préciser les axes sur lesquels se trouvent les images S', S, S; et 82 
puis

déterminer leurs positions en exprimant les valeurs de: 05' , OS," ,ÜÎSÎ

et 052 .

1.2.3.2. Le miroir (nn) est translaté de 1 cm vers les X positifs. Recalculer 
les quatre

valeurs précédentes.
1.2.3.3. Le miroir (ml) ramené à sa position initiale, subit une rotation d'un 
angle

}/= --5" (sens inverse du sens trigonométrique). Représenter schéma--

tiquement les positions des images S' , Sî , 81 et 82.

1.3. Association de trois miroirs
1.3.1. Association en « coin de cube »
Trois miroirs plans sont associés pour former un trièdre rectangle Oxyz. Un 
rayon

lumineux de vecteur unitaire u= (a, ,6, y) se réfléchit successivement sur 
chacun des

trois miroirs. Exprimer en fonction des composantes de a, les vecteurs unitaires
u,, u2 et 113 après réflexions respectives sur les miroirs plans OXZ, Oyz et 
Oxy. Que
peut--on en conclure ?

1.3.2. Application : Réflecteurs lunaires.

Depuis l'année 1969, où des réflecteurs à «coin de cube » ont été déposés sur 
la lune

par les sondes soviétiques (Lunakhod) et par les missions américaines (Apollo), 
la

télémétrie Terre--Lune par impulsion laser s'est affinée pour déterminer avec 
précision

la distance Terre-Lune (ah,). On envoie une impulsion lumineuse à l'aide d'un 
laser

dirigé vers la Lune, qui tombe sur le réflecteur et qui se trouve réfléchie 
vers son point

de départ sur la Terre. Point de départ et point d'arrivée du signal sont au 
niveau du

foyer d'un télescope placé à la surface de la Terre.

1.3.2.1. Calculer cette distance du, sachant que le temps écoulé entre 
l'émission et la
réception du signal est de: t = 2 563 ms. Vitesse, supposée exacte, de la

lumière dans le vide : (:= 300 000 kms"1 .

1.3.2.2. On cherche maintenant à estimer le rapport entre l'énergie détectée au 
retour
par rapport à l'énergie envoyée au départ. On détermine un rendement
«aller» pA rapport entre l'énergie reçue par le réflecteur et l'énergie émise

. . . , . . a .
par le laser, qu1 sera pris egal au rapport des a1res : pA =--l-- avec an ane du

A

réflecteur lunaire et A} aire de la tache lumineuse du faisceau laser sur la
a,

A,

A; aire de la tache lumineuse réfléchie sur la Terre par le réflecteur lunaire.
Quel est le rapport entre l'énergie émise par le laser et celle reçue en retour
par le télescope ? On suppose qu'il n'y a pas de perte à la réflexion sur les
miroirs et on néglige l'effet de l'absorption atmosphérique.

Lune. De même le rendement «retour» p R : avec a; aire du télescope et

Données : Ouverture du faisceau laser, cône cr1 z 4"d'arc

. , . 2
Ane du reflecteur luna1re : 31 = 0,45 m
Ouverture du faisceau réflecteur, cône &, z lO"d'arc

Diamètre du télescope : DT : 1,5 m
Distance Terre--Lune : du

2. Miroirs plans ---- Interférences

2.1. Miroir de Lloyd
On considère le dispositif interférentiel du miroir de Lloyd composé d'un 
miroir plan AB, de

largeur let d'un écran placé en B, orthogonalement au plan du miroir. Une 
source ponctuelle
S, située à une hauteur 11 au--dessus du plan du miroir et à une distance d de 
l'extrémité A du

miroir, éclaire celui-ci sous incidence rasante (11 << d+1), d'une lumière de 
longueur

d'onde À. Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux 
interférences
observées en un point M de l'écran (figure 6, page suivante).

2.1.1.

2.1.2.

2.1.3.

2.1.4.

2.1.5.

2.1.6.

M
"'!4 w
M

d I
figure 6

Ce dispositif est--il a division du front d'onde ou a division d'amplitude ? 
Quelle est la
conséquence sur les intensités [; et 12 des faisceaux issus des sources 
secondaires S] et
SZ '?

Positionner les sources secondaires 81 et 82 dans ce dispositif interférentiel 
et délimiter
le Champ d'interférences dans le plan de la figure 6. Contrairement au rayon 
direct, le
rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de TC. Ces sources 
secondaires
sont-elles cohérentes ? synchrones ? en phase ?

Déterminer la différence de marche optique 5 et l'ordre d'interférence p au 
point
M (BM 3 x) en fonction de À, 17, ], d et X.

En déduire l'expression de l'intensité lumineuse [(X) en M. Quelle est la forme 
des
franges obtenues ? Déterminer la position et la nature de la frange centrale.

Exprimer l'interfrange 1' et en déduire le nombre N de franges que l'on peut 
observer
sur l'écran en fonction de À, 17, let d.

Application numérique : Calculer 1' et Ng, nombre de franges brillantes, 
sachant que :
À 3 632,8 nm, !] ===--l mm, 13 30 cm et d= 50 cm.

Application : Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission 
radio FM
de fréquence 100 MHZ. Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur 
la côte,
se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du 
miroir de Lloyd

(figure 7).

zÿteau
\ H
\ ; --M(z)
0 -- I' Aflt' : '
mer
figure 7

2.1.6.1. Par mer calme, celle-ci se comporte comme un miroir parfait : pour 
quelle
raison l'émission de radio est--elle mal perçue quand l'émetteur est situé à une
hauteur de 10 m et la perception bien meilleure quand celui-ci se trouve sur
une colline à une hauteur de 700 m ? On justifiera la réponse en calculant
l'interfrange i ' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul 
nécessite
celui de la différence de marche géométrique A'= 22 sin6 (_ à démontrer), de la
différence de marche optique d', de l'ordre d'interférence p'(z) et
éventuellement celui de l'intensité vibratoire I'(z). L'interfrange 1"
s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice Â' et de l'angle 6

indiqué sur la figure 7.

2.2.

21.62. Par mer agitée, celle--ci se comporte comme un miroir imparfait : la 
vibration
propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence,

avec un facteur de réflexion du miroir imparfait R, = 80 %. Exprimer, en

fonction de [} (intensité du faisceau direct) et [ '; (intensité du faisceau

! ! ° o . ,.-. [, "" [, .
reflech1) purs en fonct10n de R_L , le contraste "rfi" = --îOE-"------ÎÆL.
+

max min

Calculer %pour R,= 80 %. La perception des ondes est--elle bien contrastée
quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mât du bateau '?

Miroirs de Fresnel

On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel (figure 8). Les 
miroirs (M1) et
(M,--;), d'arête commune (A), font entre eux un angle a==3' et sont éclairés 
par une source
ponctuelle S située à la distance d = 60 cm de (A), dans le plan de symétrie du 
système
perpendiculaire à (A). Les miroirs donnent de S deux images S; et 82. Les 
interférences sont
observées dans un plan (E) parallèle à (A) et perpendiculaire au plan médiateur 
de 8182 à la
distance D = 1,40 m de (A). La position d'un point P sera repérée par sa 
distance X à l'axe
(yiy), intersection du plan médiateur de S;Sz avec (E).

S

2.2.1. La source (laser lle--Ne) émet de la lumière monochromatique de longueur 
d'onde
flo == 632,8 nm..
2.2.1.1. Exprimer la différence de marche optique ô(x) et l'intensité lumineuse 
[(P)

dans le plan (E) en fonction de [O, a, (1, D, X et 2.0. ([ 51 === [S2 = [0 : 
intensité

commune des sources secondaires).
2.2.1.2. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de
l'interfrange 1' et de la largeur [du champ d'interférences.

2.2.2. La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même 
intensité [ '0
et de longueurs d'ondes Â1 = 577,0 nm et Â2 = 579,1 nm (doublet jaune du 
mercure).
222.1. Établir l'expression de l'intensité [(P) en un point P de (E) et montrer 
qu'elle

s'écrit sous la fom1e :

['(X) == 4[(', {l + cos[2m5(x). 1'(Àl , Â.,)] .cos[2rt.ô(x).g(Â1 , Â,)]} où 
l'on définira

les fonctions f et g.
2.2.2.2. Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement

de [ '( X) permettraient de déduire les valeurs des deux longueurs d'ondes. Le
dispositif étudié ici permet-il effectivement de calculer /l, et xl, '? 
Justifier
votre réponse.

Partie B : ELECTROMAGNETISME

Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes: une 
première partie
« Onde quasi-monochromatique » comme approches mathématique et physique de 
l'onde
monochromatique, suivie d'une seconde partie où deux plans conducteurs 
parallèles se comportent
soit en « résonateur électromagnétique », soit en « guide d'ondes » pour une 
onde qui se propage à
l'intérieur de ces plans.

Représentation des grandeurs scalaires : &, AB et vectorielles : &, AB
En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : @, AB, 2, A_I_ä_'

Notation du produit scalaire (F - G) et vectoriel (F >< G) des deux vecteurs F 
et G.

Célérité des ondes dans le vide : c= 3><10"7 H.m"
l

---------------F.m°"l
361t><109

Permittivité du vide : 80 =

l. Onde quasi--monochromatique
Une onde plane progressive monochromatique : ï{(z, [) : Y{,.e--""""'"' (où j2 = 
------l) d'amplitude

. . . . (0
% en tout pomt, de pulsat1on co et de vecteur d'onde k, se propage a la wtesse 
v= ; dans tout

l'espace, la variable 2 prenant toutes les valeurs de l'intervalle]--oe,+oe[. 
Cette onde est

mathématiquement acceptable si elle satisfait à l'équation de propagation des 
ondes et
physiquement acceptable si l'énergie Wæ foe'gf_(z,t)lz dz transportée par cette 
onde à chaque

instant est finie.

1.1. L'onde Fl_{ ( z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? 
Vérifie--telle la condition
énergétique '?

1.2. On construit une nouvelle fonction 'I_{'( z,t) : '£_',(z,t)+'£,(z,t) en 
superposant deux ondes

planes progressives monochromatiques de fréquences voisines, de même amplitude 
et se
déplaçant ensemble à la même vitesse :

' - =w ----Aw k = k -----Ak
Î1(Zaï)= A-6'ka'2) et Î2(Z,t)=Ae""5t"kfi) avec{w1 0 et { 1 0

w,=w0+Aw k,=k0+Ak
1.2.1. Montrer que '_z_'_"( z, t) : 5"J(z, t).e"'"°'°"°" en exprimant 'PO'( 2, 
t) sous sa forme réelle.

Quelle est l'expression de la vitesse V du maximum de l'amplitude de l'onde
résultante 'I__{'( 2, t) '?

1.2.2. L'onde Î_"(z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? 
Vérifie--telle la
condition énergétique et en quoi diffère--t--elle de Y_'(z,t) ?

1.3. En superposant un plus grand nombre d'ondes monochromatiques de fréquences 
voisines et
de même amplitude, on parvient à la notion de « paquet d'ondes » ou « d'onde 
quasi-
monochromatique » où les vecteurs d'ondes [( sont contenus dans un petit 
domaine Air de

valeur centrale ko. L'onde résultante de la superposition de p ondes Y_{p(z, {) 
: A.e'

où l'on exprimera YÇ,ÎZ, !) .

1.3.3. Dans '£"(z,t) , quel est le terme qui suscite le caractère 
monochromatique de

l'onde '? Quelle relation doit--il exister entre la constante A et le domaine 
Ak pour
obtenir une condition énergétique physiquement acceptable de .'{_'"( z,t) ? Que 
peut---

on conclure quant à la vitesse Ve de propagation de l'énergie '?

,
+oo -- *-
, sm u
Donnee : I { ) du=1t.
...... u

1.3.4. Pour une onde quelconque, montrer que vg peut s'exprimer en fonction de 
V.,, co et

dV$
da)
Application : Dans le cas d'ondes électromagnétiques se propageant dans un guide
. , . . . ca)
d'ondes, la v1tesse de phase est donnee par la 101 de d1spers1on : V,, = 7 7 q .
a)" -- c"a"'

Calculer Vg. Commentaire.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.
Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base 
(ex, ey, ez).

On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan yOz et d'équations X = 
0 et .r= &. Dans
l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde
électromagnétique sinusoïdalede pulsation co et polarisée rectilignement 
suivant Oy. Suivant le
sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de 
«résonateur
électromagnétiqoe » (figure 2) ou de « guide d'ondes » (figure 3).

X
a ___________________________________________________________________ f---
.-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:?:ï:ï:ï:ï:èô:àdu©teùi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï"
M ___
ex EA V1de
[(
O ..................................
e,. .-:ï:ï:ï:èz':ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ïédndiiètèufi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" 2
Y figure2
À?
3 .................................. "T""
.-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï.é9hdùfitèùrï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï"
M __
ex , v1de
EI kg
0- . ..............................
ey -'ï'ï°ï'è'zï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:bixùdiiÇï®r}:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" Z
y figure3

Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous 
avons:
E :O , B: 0 , j = 0 , p = O(champ électrique, champ magnétique, densité 
volumique de
courant et densité volumique de charges).

Compléter les quatre relations de passage ci--après concernant les champs E et 
B au niveau de
la surface d'équation X = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide 
(milieu 2). Les
composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous 
poserons

05 et js respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur 
surfacique de courant.

Relations: (l) E,.2 "Eîi : ; (2) EN2 "EN, : ; (3) BT2 ----BTl :: ; (4) BN2 "BN, 
:

Montage en « résonateur électromagnétîqae » (figure 2)
L'onde électromagnétique incidente (L}, _B_,--), polarisée rectilignement et 
parallèlement à Oy,

se propage vers le métal dans le sens du vecteur d'ondek : ----k.ex. En 
notation complexe, le

r - ' -- r ' k.
champ electr1que 1noedent est donne par : _E, = E, e"""" "e,.

2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le 
champ
magnétique incident _l},-.

2.4.

2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ 
électrique,
déterminer le champ _l:Ï,(O, [) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur 
d'équation
.r= O, et en déduire les champs électrique _E_} et magnétique Q,. de l'onde 
réfléchie
en tout point de l'espace.

2.3.3. Exprimer le champ électrique total _E(X, [) et le champ magnétique total 
Ë(X, [) à
l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des 
modules des

E

champs complexes ------- en fonction de c, [( et X.

B

2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que 
des
valeurs discrètes & exprimées à l'aide de l'entier N.
Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur
pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques.

L es résultats des quatre ques tions suivantes seront exprimés en fonction
de EUR... C, E... a etpourN:l .

2.3.5. Déterminer le vecteur de Poynting R(X, t) de l'onde résultante et en 
déduire sa
moyenne temporelle ;. Commenter le résultat.

2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis 
sa moyenne
temporelle t en fonction de 80 et E0.

2.3.7. Déterminer le vecteur densité surfacique de courant j,(t) qui parcourt à 
l'instant tla
plaque métallique, à l'interface métal--vide, en x= 0.

2.3.8. En déduire, en fonction de 80 et E), la pression électromagnétique 
moyenne

df , ,
temporelle < P>F<ä'ÿ> exercee par londe sur cette plaque, sachant que
, _ B(O,t) _ , ,, ,
df : JS(Ï)dS >< 2 est la force de Laplace exercee sur l element de surface dS

du plan métallique d'équation X = O. _
Application numérique : On donne la valeur EO = 100 V.m"l ; calculer . 
et
< p> {,

Montage en « guide d'ondes » (figure 3, page 9)

On considère une onde électromagnétique (fil, 51), progressive, 
monochromatique, se
propageant dans le vide entre deux plans conducteurs distants de &, suivant la 
direction de Oz
et telle que le champ électrique reste parallèle aux deux plans. On impose que 
la forme de _E1

est : _El(x, z, :) == E,(x) e'(wt'kgz'e

), .

2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell--Faraday et en déduire que _Ig'1 est de 
la forme :
_B,(x,z,t)=[F(X)ex+jG(x)ez]e'W--ng', sachant que l'on exclut de _l}_'1 toute

composante statique. Expliciter les fonctions F(X) et G(X). Justifier 
l'attribution du
sigle « T.E » à cette onde.

2.4.2. Exprimer l'équation de Maxwell-Ampère et en déduire l'équation 
différentielle
vérifiée par l'amplitude E](X) du champ électrique. Les champs E1 et fil 
vérifient-ils
les deux autres équations de Maxwell '? Justifier votre réponse.

2.4.3. Résoudre l'équation différentielle vérifiée par E] (X) et donner la 
solution dans le cas

. (0 . . , . . . _
ou [(EUR < ---- , sachant que le champ electrique El ver1fie des conditions sur 
les plans

c
conducteurs du guide d'ondes. On notera a l'amplitude de la solution obtenue 
pour

51 (X) et on introduira un nombre entier Nl, non nul et positif, dénombrant Nl
« modes » de propagation.

2.4.4. Connaissant E](X), déterminer les expressions, en représentations 
complexe et
réelle, des champs électrique E1 et magnétique _là.

2.4.5. Exprimer kg en fonction de a), c, Nl et a. Quelle est la fréquence de 
coupure fc en
dessous de laquelle la propagation de l'onde n'existe pas ? Calculer 
numériquement

12pour le mode N] = 1 eta = 3 cm.

Les 1*ésultaz's des cinq questions suivantes seront exprimés pour N 1 = 1.
2.4.6. On nomme f la fréquence de l'onde. Exprimer la vitesse de phase V,, en 
fonction de

1"
c et du rapport ---£- .

!"
Application numérique : Calculer numériquement v,, pour f= 3 12.

2.4.7. Déterminer le vecteur de Poynting R1(x, z, t) de l'onde résultante et en 
déduire sa
moyenne temporelle [.

2.4.8. En déduire le flux énergétique moyen @... à travers une surface S 
perpendiculaire à
l'axe Oz et de largeur b suivant la direction O y. On introduira la vitesse de 
phase V,,

dans le résultat de ®....

2.4.9. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique ul(x, z, t) et 
sa
moyenne temporelle ;.

2.4.10. Calculer l'énergie électromagnétique localisée en moyenne dW..., dans 
un volume
d'épaisseur dz et limité par deux surfaces S perpendiculaires à Oz.
En déduire la vitesse de propagation de l'énergie moyenne v,. en fonction de 
v., à

travers les surfaces S perpendiculaires à Oz. Commenter le résultat.

f

Représenter sur un même graphe V9 et V,, en fonction du quotient des fréquences 
? .

C

Positionner sur le graphe les points représentatifs de V6. et v,, correspondant 
à
l'application numérique de la question 2.4.6.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) et Julien Dumont 
(Professeur
en CPGE).

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
· Le premier problème aborde différents aspects de l'optique des miroirs plans :
réflexion et interférences entre deux ondes sont discutées, le tout assorti de
quelques applications. On peut vite se perdre dans la partie d'optique 
ondulatoire si l'on ne maîtrise pas le dispositif de base des interférences à 
deux ondes
(trous d'Young), que l'on retrouve constamment. Les différentes sous-parties
ne sont indépendantes qu'en apparence, aussi ne faut-il pas négliger les 
premières questions d'optique géométrique (elles n'utilisent que le programme de
sup) qui sont importantes pour la fin du problème. L'ensemble reste largement
abordable et constitue un catalogue quasi exhaustif des dispositifs 
interférentiels classiques par division du front d'onde.
· Le second problème est intitulé « Électromagnétisme ». Toutefois, l'étude 
menée
sur les ondes quasi-monochromatiques est également valable pour tout problème
de physique des ondes. On discute des limites du modèle de l'onde plane et de
son amélioration via la notion de paquet d'onde. Cette partie, assez 
calculatoire
et technique, n'est cependant pas très difficile. Enfin, on étudie la 
propagation
d'ondes électromagnétiques entre deux plans parfaitement conducteurs, ce qui
permet de travailler la notion de relation de dispersion et les aspects 
énergétiques.
Les deux problème sont de longueurs sensiblement égales et la difficulté des 
questions est constante. Le jour du concours, face à un tel sujet, il est 
préférable de
commencer par ce qu'on sait le mieux traiter (d'où l'importance de toujours lire
l'énoncé avant de composer). La partie d'optique ondulatoire est assez riche et 
peut
servir d'approfondissement ; celle sur les ondes électromagnétiques est bien 
guidée et
peut être utilisée pour vérifier l'assimilation du cours.

Indications
Partie A
1.1.1 Quel est le plus court chemin pour relier deux points ?
1.2.1 Ne pas oublier que les distances demandées sont algébriques.
1.2.2 Montrer que le problème se ramène à celui de la question 1.2.1 en 
remplaçant
les distances par les angles. Si  = /p, montrer que les deux séries d'images
se recouvrent.
1.2.3.3 À une rotation de  du miroir correspond une rotation de 2  d'un rayon
réfléchi.
2.1.3 Pour déterminer la différence de marche, utiliser la même méthode que lors
de l'étude des trous d'Young. Attention de ne pas oublier le déphasage de 
à la réflexion métallique.
2.1.4 La frange centrale est celle dont l'intensité ne dépend pas de la longueur
d'onde.
2.1.5 À une frange brillante correspond un ordre d'interférence entier.
2.1.6.2 Le coefficient de réflexion est celui en intensité.
2.2.1.2 Pour trouver le champ d'interférences, tracer les rayons frappant les 
extrémités de chaque miroir.
2.2.2.1 La source émet deux longueurs d'onde différentes et de ce fait 
incohérentes.
Partie B
1.2.1 La vitesse V recherchée n'est pas la vitesse de phase, c'est celle liée au
déplacement de 0 (z, t).
1.3.3 Effectuer le changement de variables u = (v g t - z) k/2 et utiliser le 
formulaire. Pour déterminer la vitesse de propagation de l'énergie, déterminer
l'énergie contenue à l'instant t entre les positions z et z + dz.
1.3.4 Comparer les vitesses de phase et de groupe à la vitesse de la lumière.
2.1 Utiliser la loi d'Ohm locale. Un conducteur parfait est caractérisé par une
conductivité infinie. Exploiter ensuite les différentes équations de Maxwell.
2.3.2 Le champ électrique réfléchi a la même direction que le champ incident.
Utiliser alors la question 2.2. Attention au sens du vecteur d'onde réfléchi.
2.3.4 Que vaut le champ électrique en x = a ?
2.3.5 Pour calculer le vecteur de Poynting, utiliser les champs réels.
2.4.10 Écrire l'énergie traversant la surface S pendant dt soit en fonction de 
son flux
(question 2.4.8), soit en fonction de la densité volumique moyenne d'énergie
(question 2.4.9) se propageant à la vitesse v e .

A. Optique
1.

Miroirs plans ­ Réflexion

1.1.1 Dans un milieu homogène isotrope, la lumière se
propage en ligne droite. Soit A le symétrique de A par
rapport au dioptre. Par construction, AI = A I et i = -i.
D'après les lois de Descartes pour la réflexion, i = -i
et donc i = i . Ainsi, les points A , I et B sont alignés.
Soit n l'indice du milieu, supposé homogène. Le chemin optique s'écrit

A

B

i

i

{P}
I
A

J

i

[AIB] = n A IB
Considérons un rayon issu de A et passant par B frappant le dioptre en un point 
J 6= I
comme illustré sur la figure ci-dessus. Par construction,
[AJB] = n AJB = n A JB
Or, le chemin le plus court pour relier deux points étant la ligne droite,
A JB > A IB
Dès lors,

[AJB] > [AIB]

Le chemin optique [AIB] est donc minimal.
Le principe de Fermat, hors programme, stipule que la lumière parcourt le
trajet de chemin optique extrémal et peut être considéré comme un des principes 
fondateurs de l'optique géométrique. Il permet entre autres de retrouver
les lois de Descartes, même si ici on a fait l'inverse en montrant que ces 
dernières prouvent que le trajet est minimal.
1.1.2 Soit A le point symétrique de A par rapport au miroir. Par construction,
OA = A O = a
D'après la question 1.1.1, A appartient à la droite (1), qui passe par J = (a 
tan 1 , 0).
Cette droite a pour coefficient directeur
A O
1
=
OJ
tan 1

y
A

Son équation cartésienne est donc
y(x) =

a

1
(x - a tan 1 )
tan 1

y(x) =

(2)
2

a
soit

(1)
1

x
-a
tan 1

O 1

J

K {P}

x

A

De même, pour la droite (2) représentative du rayon réfléchi passant par le 
point K,
y(x) =

x
-a
tan 2

Le point d'intersection C des droites (1) et (2) vérifie
xC
xC
-a=
-a
yC =
tan 1
tan 2
soit, comme 1 6= 2 ,

xC = 0

et yC = -a

On remarque que C = A . L'image du point A par le miroir est donc le point C,
symétrique de A par rapport au miroir. De plus, les coordonnées de C ne
dépendent ni de 1 , ni de 2 . On peut généraliser le tracé à une infinité de 
rayons
passant par A : ils semblent tous provenir d'un unique point C. Le miroir plan 
est
parfaitement stigmatique.
Le miroir plan est de plus aplanétique (l'image d'un plan est un plan) et son
grandissement est unitaire. Pour obtenir une image plus grande, on peut par
exemple utiliser un miroir sphérique et se placer dans les conditions de Gauss.
Dans ce cas, le stigmatisme, tout comme l'aplanétisme, ne sont qu'approchés.
1.2.1 Les images successives du point A depuis une première réflexion sur (m1 )
sont indiquées ci-dessous : A1 est le symétrique de A par rapport à (m1 ), A2 
celui
de A1 par rapport à (m2 ), etc.
(m2 )
A4

(m1 )

d

A2

A

A1
x

x+d

x

x+d

x+2d
x+3d
Ainsi,
De même

A3

x+2d
x+3d

AA1 = 2 x
AA2 = AA1 + A1 A2
= 2 x - 2 (x + d)
AA2 = - 2 d

On poursuit le raisonnement pour écrire
AA3 = AA2 + A2 A3
= -2 d + 2 (x + 2 d)
AA3 = 2 x + 2 d
Enfin,

AA4 = AA3 + A3 A4
= 2 x + 2 d - 2 (x + 3 d)
AA4 = - 4 d