CCINP Physique 2 MP 2004

 

SESSION 2004 . MPP2009

(ONCOURS (0llllNS POIYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

c0pie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.
* * *

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

PARTIE A -- OPTIQUE

Ce problème traite de l'observation de deux étoiles E, et Eb à l'aide d'une 
lunette astronomique
munie d'un détecteur. Les deux étoiles Ea et E,, sont considérées ponctuelles 
et à l'infini,
séparées par une distance angulaire 9 , l'étoile Ea étant située dans la 
direction de l'axe optique

de la lunette.
Dans une première partie, on définit la configuration de la lunette utilisée 
dans les conditions de

Gauss et on demande de calculer ses caractéristiques géométriques.
La deuxième partie étudie la tache de diffraction produite par la lunette et 
évalue la limite de

résolution de l'instrument définie comme la plus petite distance angulaire 
entre deux étoiles

décelable.
Enfin, la troisième partie aborde le principe de la mesure de la distance 
angulaire entre deux

étoiles effectuée grâce aux interférences produites par deux fentes placées 
devant la lunette
astronomique.

NB : la distance algébrique entre un point M et un point N est notée MN .
Les figures sont rassemblées en pages 5 et 6.

I -- Etude géométrique

On néglige dans cette partie les effets de la diffraction. On considère une 
lunette astronomique
d'axe optique z'z (Figure 1) constituée d'un objectif assimilé à une lentille 
mince convergente L1

de diamètre D] : SOcm et de distance focale image f 1' : 7,5m associé à une 
lentille divergente
L2 de distance focale image f2' : --0,025m. On désigne respectivement par 01 et 
02 , par F1 et

F { , Fz et FZ' , les centres optiques, les foyers objet et image des lentilles 
L1 et lq.

1. Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, 
respectivement
émises par les étoiles Ea et E,, , lorsqu'elles parviennent sur la lunette ?

2. On appelle A] l'image de l'étoile Ea à travers la lentille L1. De même, BI 
désigne l'image de

Eb à travers L, .

___--.--

a) Dans quel plan se situent A1 et B, ? Donner la distance algébrique A,B, .

b) La lentille L2 est placée peu avant le plan où se forment les images A1 et 
B,. On appelle

respectivement A2 et BZ, les images de Ed et E,, à travers la lunette. Sachant 
que

A282 . -
--À--Î : 2 , exprimer et calculer la d1stance 02A1 .
1 1

3. On définit la distance focale f' de la lunette par la relation A282 = f '.9.
a) Calculer la distance focale f' de la lunette.

b) Exprimer A1A2 . Comment évolue l'encombrement de la lunette par rapport au 
cas où

seule la lentille L1 existerait ? Quel est l'intérêt de la lentille la ?

4. On place dans le plan où se forment les images A2 et 32» une caméra à DTC 
(Dispositif à

Transfert de Charge). Ce récepteur d'images est composé d'une matrice 
rectangulaire de
768x512 détecteurs élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés a] 
=9um. On

suppose que la lunette est librement orientable.
Une image parfaite à travers la lunette d'un point situé à l'infini, produit 
sur le détecteur un

signal donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la taille 
d'un pixel.
Exprimer et calculer en seconde d'arc, la limite de perception angulaire 
()...... due au récepteur

d'image. Quelle est la plus grande valeur décelable Bmx en minute d'arc ?

Il -- Pouvoir séparateur de la lunette dû à la diffraction

A. Préliminaires

On considère une onde plane monochromatique de longueur d'onde k éclairant dans 
le plan xy
un diaphragme D de centre 0 dont la pupille est caractérisée en chaque point 
M(x, y) par un
coefficient de transmission en amplitude complexe {(x, y). On étudie 
l'éclairement en un point P

d'un plan 20 dont l'intersection avec l'axe z'z est notée O' (figure 2).

1. Enoncer le principe de Huygens--Fresnel. On se place dans le cadre de la 
diffraction à l'infini.
Quelles hypothèses doit--on faire sur les distances OM, O'P et 00' ?

2. Afin d'observer la figure de diffraction à l'infini, on place une lentille 
convergente L3 de foyer

image F '3 , de distance focale image f & derrière l'ouverture diffractante. On 
considère les

rayons diffractés dans la direction du vecteur unitaire u de coordonnées (on, 
B,y) (figure 3).

Dans quel plan 712 convergent ces rayons ? On associe un système d'axes X, Y à 
ce plan.
Exprimer les coordonnées (X P, YP) du point P où convergent ces rayons en 
fonction de a,B .

3. Dans le cas d'une onde ihcidente plane sur le diaphragme D, de direction 
caractérisée par un
vecteur unitaire "i de coordonnées (on,--, Bi, y,), le principe de 
Huygens-Fresnel permet

d'écrire, en attribuant une phase nulle en P à l'onde qui provient de O, 
l'amplitude complexe

_4(P) de l'onde au point P, sous la forme : A(P) : K1 HD{(x,y) exp{j...)dS

où K] est une constante, dS un élément de la surface de la pupille entourant M, 
l'intégrale

étant étendue à toute la surface du diaphragme.
On déplace le diaphragme D parallèlement à lui-même, dans le même plan, le 
centre du

diaphragme occupant alors une position C. On appelle (dx ;dy) les coordonnées 
de C ; montrer

que l'amplitude en P peut alors s'écrire: A'(P) : A(P) ejh(d"d') et exprimer la 
fonction

h (dx ;dy) sous la forme d'un produit scalaire de 2 vecteurs que l'on précisera.

B. Application : diffraction parla lunette

1. On place devant l'objectif L1 de la lunette un écran comportant une 
ouverture ayant la forme

d'un carré centré en O de côtés parallèles aux axes x et y, de dimension a = % 
(figure 4). On

considère l'étoile Ea seule supposée ponctuelle. On utilise un filtre sélectif 
permettant
d'assimiler l'étoile E, à une source qui émet une onde monochromatique de 
longueur d'onde

X.
a) Quel est l'élément diffractant ? Exprimer l'amplitude diffractée A(Xp,Yp) par

l'ouverture carrée dans la direction de vecteur unitaire u de coordonnées (ou, 
B,y) , en un

point P du plan focal image de l'objectif L1.

b) Donner alors l'éclairement aa(Xp, Y p) en P sous la forme :

EURa (Xp'Yp)=gamaxg(Xp) g(Yp).
Exprimer et tracer g(X ) Donner samax en fonction de K1 eta.

c) Montrer que la figure de diffraction est formée d'une tache centrale 
brillante entourée de
lumière plus faible répartie en franges (pieds de la figure de diffraction). Où 
se situe le

centre de la figure de diffraction ? Quelle est la valeur de X pour laquelle 
g(X ) s'annule
pour la première fois ? En déduire la largeur de la tache centrale.

(1) Comment évolue la figure de diffraction lorsque l'ouverture carrée devient 
une fente de

dimension ax suivant l'axe x et a suivant y, avec a >> ax. Exprimer alors 
l'amplitude

J' y

diffractée 4 (XP) et l'éclairement 8(Xp) en un point P de l'axe X.

2. L'étoile E,, située à la distance angulaire 6 de l'étoile Ea est observée à 
l'aide de la lunette

toujours munie de l'ouverture carrée de telle façon que l'image géométrique B] 
de E,, à travers
l'objectif L1 se forme sur l'axe F{X . L'étoile E,, est également assimilée à 
une source

lumineuse ponctuelle monochromatique de longueur d'onde %. émettant une onde 
plane
caractérisée par le vecteur unitaire "i de coordonnées (on,-, [$,--, y,--).

a) Donner la relation entre on,--, [B,-, yi et 9.
b) En supposant que seule l'étoile E,, est observée, exprimer l'éclairement 
sb(Xp,Yp) en P.

Quel est le centre et l'allure de la tache de diffraction ?

3. Les étoiles Ea et Eb sont observées simultanément et sont d'éclat comparable.
a) Ea et E,, étant deux sources incohérentes, que peut-on dire de l'éclairement 
total dans le

plan focal image de L1 ? Quelle est l'allure de la figure de diffraction ?

b) Sachant que deux taches de diffraction apparaissent comme séparées lorsque 
le maximum
central de l'une coïncide avec le premier minimum nul de l'autre suivant l'axe 
X, estimer

le plus petit écart angulaire 91 décelable (en seconde d'arc) "que l'on appelle 
pouvoir de

séparation de la lunette pour la longueur d'onde X = 0,68 um .

c) En supposant que Lz ne limite pas le faisceau, comparer la dimension d'un 
pixel et la
largeur de la tache centrale de diffraction formée sur le détecteur. Conclusion 
?

III --- Interférences

On considère une onde plane monochromatique de longueur d'onde À se propageant 
suivant l'axe
z'z en direction de la lunette. On place un écran opaque percé de 2 fentes de 
largeur b suivant x,
d'écartement variable d suivant x devant l'objectif de la lunette toujours muni 
de l'ouverture, de

forme carrée, de côté a du B.], avec a >>b. On appelle C1 et C2 les centres des 
deux fentes
(figure 5). On attribue une phase nulle au point P du plan focal de l'objectif 
à l'onde qui provient
de Cl .

1. a) Calculer l'amplitude complexe en un point P de l'axe X, notée A'1(Xp) de 
l'onde

diffractée par la fente 1 dans la direction 11 de vecteur unitaire (a,[3,y).

b) Exprimer l'amplitude en P, notée _4_' 2 ( X p) de l'onde diffractée dans la 
direction 11 par

la fente 2 en fonction de _.1' (Xp) et d'une fonction que l'on exprimera.

c) Que peut--on dire de la figure de diffraction donnée par chacune des fentes 
considérées
séparément ?

2. a) Sachant que les deux fentes, éclairées par une même onde, se comportent 
comme des
sources cohérentes, montrer que l'éclairement en P est donné par :

8T(Xp)=ZS(XP)g1(XP)

S(Xp) étant l'éclairement diffracté par chaque fente si elle était seule et 
gl(Xp) une

fonction à préciser.

b) Tracer 8T(Xp). Montrer que l'on obtient des franges d'interférences « à 
l'intérieur de la

figure de diffraction ». Calculer l'interfrange. Que se passé--t--il si les 
fentes sont
infiniment fines ?

3. On se place dans l'hypothèse où les fentes sont infiniment fines et on 
observe à l'aide de la
lunette les étoiles voisines Ea et E,).

a) Quelle est la distance dans le plan focal de L1 entre les centres des 
figures d'interférences

données par Ed et E,, ? On fait varier la distance d. Quelle est la condition 
pour observer

le brouillage des franges ?
b) Donner alors la relation entre 9 et d.

Quelle est la valeur de d qui permet de déceler la distance angulaire 92 la 
plus petite ?
Calculer 92 pour X = 0,68 um .

Diamètre DI

Etoile E, |
5 z

9>O Z, 9 /

/// L2
EtOllEUR E;/ L1

Figure 1 -- lunette astronomique

); diaphragme D plan Z,,
Figure 2

PARTIE B --- Electromagnétisme

Ce problème examine quelques propriétés des supraconducteurs du seul point de 
vue de la
magnétostatique. Au passage, il met en évidence celles de ces propriétés qui 
correspondent à

celles des conducteurs parfaits. On donne ...) : 4n.10'7H.m_1.
I -- Préliminaires

I.1 Superposition d'un champ uniforme et de celui d'un dipôle

On considère la superposition d'un champ uniforme Ba : Baez et du champ B M 
créé par un
dipôle magnétique de moment M placé à l'origine des coordonnées qui s'écrit, au 
point P
repéré par ses coordonnées sphériques r, 9, (p.

BM (P) =BM (r,9,(P) =Î--î{----à------î} avec r =OP.

27tR3
Ho

M et B a sont reliés par M = --( ] Baez où R est une longueur donnée.

l. Expliciter, pour cette valeur de M, le champ B R : B a + BM en fonction de 
Ba , e,, , r et R.

2. Calculer le produit scalaire B R .re,. en un point quelconque.
3. En déduire que B R est tangent à la sphère de rayon R et de centre 0 en 
chacun de ses

points. Où l'intensité du champ au voisinage de la sphère est--elle maximale '?
4. Donner un tracé approximatif des lignes de champ de B R à l'extérieur de 
cette sphère.

I.2 Moment magnétique d'une distribution sphérique de courant

On considère la nappe surfacique de courant
Js(r,9,cp) : JO sin 9eq, si r = R

J s(r, 9, (p) = 0 sinon.

1. Déterminer a priori la direction du champ B(O) créé par la distribution au 
centre de la

sphère.
2. Calculer ce champ B(O). Dans la suite, on admettra que le champ créé par la 
distribution
prend en tout point intérieur à la sphère la même valeur qu'au centre.

Donnée: Ionsin3 9d9 = 4/3.

3. Quel est le moment magnétique dM (9) d'une tranche de la distribution de 
courant

comprise entre les angles 9 et 6+d6 ?
4. Calculer le moment magnétique total Ms de la nappe de courant J S (r) .

Il -- Sphère supraconductrice dans un champ magnétique

L'état supraconducteur parfait d'un matériau, obtenu pour une température 
inférieure à une
température critique Tc et pour une intensité du champ magnétique appliqué 
inférieure à une

valeur critique BC , est caractérisé par B = 0 en tout point intérieur.

Une sphère, remplie d'un matériau à l'état de supraconducteur parfait, est 
placée dans un champ
magnétique Ba : Baez initialement uniforme. L'intersection de cette sphère de 
centre O et de

rayon R avec le plan 2 = O est appelée cercle équatorial.

II.] Propriétés du courant et du champ. Conséquences.

l. En utilisant la forme locale du théorème d'Ampère, montrer que, dans un 
supraconducteur
parfait en régime stationnaire, le courant volumique est nul.

2. (a) Rappeler la relation vectorielle de continuité de la composante normale 
du champ B à
la traversée d'une surface séparant deux milieux 1 et 2 (on notera un la 
normale à la

surface orientée de 1 vers 2).
(b) En déduire qu'en présence de la sphère supraconductrice (milieu 1) le champ 
extérieur

est tangent à sa surface en chacun de ses points.
(c) Quelle est la propriété correspondante du champ électrique au voisinage d'un

conducteur ?
3. (a) Rappeler la relation vectorielle de discontinuité de la composante 
tangentielle du

champ B traduisant le théorème d'Ampère au voisinage de la surface.
(b) En déduire qu'il existe sur la surface de la sphère une nappe de courant 
surfacique J S .

(c) Quel est le théorème d'électrostatique correspondant pour le champ 
électrique au

voisinage d'un conducteur ?
4. On admet que le champ prend à l'extérieur de la sphère, la valeur trouvée en 
1.1.1.

Exprimer J S en fonction de Ba, 6, ep.
5. En déduire le champ créé dans la sphère par cette distribution. Conclure.
6. AN. : Ba = 1T . Calculer "J. (R,Tt/2)".

7. Expliciter le moment magnétique induit M S acquis par la sphère 
supraconductrice dans le

champ en fonction de Ba et de R.
A.N. : calculer "M$" pour Ba =1T et R : lcm.

II.2 Rupture de supraconductivité. Etat intermédiaire

A température fixée, la supraconductivité cesse si la norme du champ au 
voisinage de la
surface atteint une valeur critique "Ball : BC.. Dans l'état normal (non 
supraconducteur) le

niobure d'étain se comporte comme un conducteur usuel non magnétique. Pour le 
niobure
d'étain à 18 K, BC =12,5T.

l. En quel endroit de la surface se produira en premier ce phénomène '?
2. Quel est le courant surfacique critique Je correspondant dans le niobure 
d'étain à 18 K ?

3. Quel est le champ BI : Blez maximum que l'on peut appliquer sans qu'il se 
produise ?

4. Pour cette valeur du champ appliqué, que] devrait être le champ au niveau du 
cercle
équatorial si la sphère était entièrement dans l'état normal ? En déduire que 
pour cette

valeur de Ba , la sphère ne peut pas être entièrement dans l'état normal.

5. Calculer en fonction de BC, la valeur 82 du champ pour laquelle cet état 
intermédiaire
cesse et pour laquelle la sphère est entièrement à l'état normal.

II.3 Lévitation magnétique

Une sphère à l'état supraconducteur parfait est placée dans un champ magnétique 
B a .

1. Montrer que si le champ Ba est uniforme, la force résultante exercée par le 
champ

appliqué sur les courants surfaciques est nulle.

2. On augmente le champ appliqué de dBa. On admet que la variation de l'énergie

potentielle d'interaction du dipôle M 5 : --KBa avec le champ s'écrit dspm == 
--dMS .Ba .

En déduire epm en fonction de Ba .

3. Le champ Ba n'est plus uniforme mais varie faiblement sur une distance de 
l'ordre de

grandeur du rayon R de la sphère. Montrer par un raisonnement énergétique que 
cette
dernière est repoussée vers les régions de plus faible champ (lévitation 
magnétique).

Fin de l'énoncé.