CCP Physique 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Différences entre la masse grave et la masse inerte; étude théorique de quelques moteurs
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide, électrostatique, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2000/MP_PHYSIQUE_CCP_1_2000.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2000 MPOOB

A

CONCOURS (0MHIINS POLY!!(IINIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

PHYSIQUE 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées sous réserve 
des conditions
définies dans la circulaire n°99--018 du 01.02.99.

Conformément à l'usage typographique international, les vecteurs sont 
représentés en gras.

On donne les constantes physiques suivantes :

Charge élémentaire : e = 1,602 >< 10719C

Constante de gravitation : G = 6,6726 >< 10"1 1SI

Masse de l'électron : me : m: = 0,91 1 >< 10_30 kg
Masse du noyau d'hélium : ma : mâ : 6,65 >< 10_27 kg
Masse d'un noyau d'or : mAu : mL : 3,27 x 10"25 kg
Charge d'un noyau d'or : Z,... = 796

Charge d'un noyau d'hélium : ZHe : 2e

Masse du Soleil: M s = M; = 1,99 >< 103°kg

Rayon du Soleil : R5 = 0,696 >< 109 m

Masse de la Terre: MT : M; = 6 >< 1024 kg

Rayon de la Terre : RT : 6,4 X 106 m
Masse de Lune: ML : M}: = 73,5 X 1021 kg

Rayon de la Lune : RL : 1,76 >< 106 m

Distance Terre-Soleil : TS = 149 >< 109 m
Distance Terre--Lune : TL = 0,384 >< 109 m
2

Intensité du champ de pesanteur terrestre : g : 9,81m.s" .

==9><109 SI

Constante de l'interaction électrostatique : 4T£8
0

Constante universelle des gaz parfaits : R = 8,314 J .K"1 mol"1
Nombre d'Avogadro : N A = 6,02 >< 1023 mol"1 .

Tournez la page S.V.P.

]. 0988

A. Caractère singulier de la gravitation

On se propose de souligner, à l'aide de différents exemples, le caractère 
singulier de la force de

gravitation, singularité à l'origine de la théorie de la relativité générale 
établie par Einstein en
1915.

On rappelle que la masse grave d'un corps, ou masse de gravitation, exprime la 
capacité qu'a un
corps d'être attiré par un autre corps. La masse inerte désigne, elle, la 
capacité qu'a ce même corps
de s'opposer à sa mise en mouvement à partir du repos, sous l'action d'une 
force. C'est donc la
masse inerte qui apparaît dans l'écriture de la loi fondamentale de la 
dynamique (deuxième loi de

Newton). Entre deux points matériels, A1 et A2, de masses graves respectives mÎ 
et m;, Newton

a admis que l'attraction gravitationnelle pouvait être exprimée par 
l'expression suivante de la force
F2_,1 qu'exerce A2 sur A1 :

K * , ['
F2_,l=r--2er avec K=--Gmlm2 er=: et r=A2Al=rl--r2

les vecteurs rl et r2 situant les positions de A' et A2 par rapport à un 
référentiel galiléen
»? = Oxyz .

1. a) Comparer la force électrostatique et la force de gravitation qui 
s'exercent-entre des particules
oc (noyaux d'hélium) et des noyaux d'or (expérience de Rutherford). Conclure.

b) Etablir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction entre deux 
particules, de charges

électriques q] et q2 et de masses graves m," et m2', associée aux forces 
électrostatiques et

aux forces de gravitation. On adoptera comme origine des énergies potentielles 
la valeur
pour r infini.

2. a) En s'appuyant sur l'analogie entre la force de Coulomb d'interaction 
électrostatique et la
force de gravitation, énoncer, sans les établir, les deux propriétés auxquelles 
satisfait le
champ de gravitation @ :

i ) la première, en relation avec la circulation de g
ii) la seconde, en relation avec le flux de g.

b) Montrer que le champ de gravitation, créé en un point M, par une sphère, de 
centre O, de
rayon R, dont la distribution de masse grave est à symétrie sphérique, est 
radial et peut se

OM . .
mettre sous la forme : Ç(M ) : ÿ,.e, où e,. = ---- et r : "OM" Exprimer, en 
fonction de r,
)"

ÿ, ainsi que (l). Tracer les graphes correspondants (j,.(r) et (Mr).

c) On rappelle l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une 
distribution de charge
électrique en fonction du champ électrostatique E :

80E2

esp 2

a,, = d v

l'intégration portant sur tout l'espace. En s'appuyant sur l'analogie 
précédente, trouver
l'énergie potentielle de gravitation d'une distribution sphérique uniforme, de 
masse grave

totale M * et de rayon R.

3. On considère une cabine spatiale, de centre de masse C, en translation par 
rapport au référentiel
géocentrique /EUR8 : Txoy0zo, d'origine le centre T de la Terre et lui-même en 
translation par

rapport au référentiel de Copernic ËC ; /EURg peut être considéré comme 
galiléen avec une
excellente approximation (Figure 1).

. , . , . . *
On s'1nteresse au mouvement d'un pornt materiel A, de masse inerte m et de 
masse grave m ,

par rapport au référentiel du centre de masse /EUR " de la cabine, associé à 
/Ûg. On ne tient pas
compte de l'influence des astres autres que la Terre.

Zo

Cabine spatiale

g YO

a) Rappeler la définition de /EUR*.

b) En désignant par Fac la somme des forces occasionnelles, c'est--à--dire la 
somme des forces
non gravitationnelles, qu'exerce l'environnement sur A, écrire la loi 
fondamentale de la

dynamique pour A dans son mouvement par rapport à Ë*.

c) Appliquer le théorème du centre de masse à la cabine spatiale, de masse 
grave M: et de
masse inerte MC, dans son mouvement par rapport à /EUR8 . Montrer que l'on a :

M: FOC
B +
Mc Ç( ) m

*
* m
a = -- A --
A m g< )
B étant un point de la cabine que l'on précisera.

d) Rappeler la première loi de Newton ou principe d'inertie. Une telle loi est

expérimentalement constatée dans /EUR*en faisant FOC : 0. En déduire, en 
admettant que le

champ de gravitation est uniforme dans la cabine, que la masse grave peut être 
identifiée à la
masse inerte. Commenter.

4. Dans cette question, on admet l'identité des masses grave et inerte. En 
outre, le référentiel
géocentrique /EUR8 est en translation quasi circulaire par rapport au 
référentiel de Copernic

supposé galiléen.

a) Calculer, dans ËC, les forces de gravitation qu'exercent le Soleil et la 
Terre sur la Lune. Le
résultat obtenu semble paradoxal. Pourquoi ? Comment lève--t--on ce paradoxe ?

Tournez la page S.V.P.

b) Appliquer le théorème du centre de masse à la Lune par rapport à Ëg. Montrer 
que, par

rapport à /EUR , l'influence du Soleil apparaît par un terme différentiel dont 
l'influence est
mineure. Commenter.

On montre que le référentiel du laboratoire /9 peut être considéré comme un bon 
référentiel
galiléen, pourvu que l'on substitue au champ de gravitation @ le champ de 
pesanteur terrestre g

et que les vitesses acquises soient suffisamment faibles (inférieures à 
500m.s--1). On laisse
tomber (sans vitesse initiale), d'une hauteur h : 2m, deux corps différents, 
par exemple, une
bille B1 métallique, de masse ml =0,7 kg, et une bille plus légère, BZ, de masse
m2 =0,058 kg (Figure 2). On admet qu'il existe une force supplémentaire de 
frottement
visqueux proportionnelle à la vitesse : Ff : --ocv, oc étant un coefficient 
positif.

O

gl

l
%
Figure 2

a) A quelle équation différentielle la vitesse v, selon la verticale 
descendante Ox, satisfait-elle ?

b) En déduire v(t) en introduisant "C : m/oc. Représenter le graphe 
correspondant. Donner une
expression approchée de v(t) pour t<< 't . Commenter.

c) Trouver l'équation horaire x(t). Donner une expression approchée de x(t) 
pour t<< t.
Commenter.

d) Calculer 17 dans le cas des deux billes, sachant que a=13xlO--ÔSI. Que 
peut--on dire de
l'influence de la force de frottement ?

Dans cette question, on reprend l'analyse précédente, mais la force de 
frottement est
proportionnelle au carré de la vitesse : Ff : --Bv2 v/v , [3 étant un 
coefficient positif.

a) Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse d'une 
bille selon l'axe vertical

1/2
descendant. Quelle est la dimension physique de (mg/B) ?

b) Montrer que v(t) a pour expression :

[
v(t) : v, tanh(g--]
V1

v, étant une quantité que l'on déterminera. Tracer le graphe correspondant. 
Quelle est la

signification physique de v, '? Donner une expression approchée de v(t) pour ! 
<< v,/ g.
Commenter.

c) En déduire l'équation horaire x(t), sachant que :

Jtanh u du : lncosh u

Donner une expression approchée de x(t) jusqu'au terme en t4 inclus. Commenter.

(1) On reprend l'étude de la chute des deux billes. Dans les deux cas, on admet 
la même valeur

B=12><10_4 SI. Calculer v, dans les deux cas. Montrer que le mouvement de B] 
est une
chute libre dans le vide, avec une excellente précision relative que l'on 
calculera.

e) Quelle est la distance parcourue par la bille 82 pendant la durée de chute 
de B] ? En déduire
l'écart entre les deux billes en fin de chute. Commenter.

B. Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling

Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de 
Raveau, et une
vérification expérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on 
compare les
efficacités des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce 
dernier cycle présente des

caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une 
durée de vie élevée et
une excellente efficacité.

1. Machine ditherme

Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur 
entre deux sources
thermiques, l'une la source froide à la température Tf =290K, l'autre la source 
chaude à la

température 7} : 1450K.

a) Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On 
introduira les
quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Q f , Q, S " ; W est 
le travail reçu

(algébriquement) par le fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le 
fluide, si W < 0, il
est effectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le 
fluide de la

part de la source froide ; Q est la chaleur reçue par le fluide de la part de 
la source chaude.

Dans l'écriture de S " , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et 
non un exposant.

b) Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé 
diagramme de

Raveau, les deux équations précédentes, W et S'" étant des quantités 
déterminées. En
déduire la position du point de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu 
des signes de

Wet S " , ainsi que le sens des échanges thermiques (signes de QC et Q.. ).

Tournez la page S.V.P.

c) Etablir l'expression de l'efficacité n du moteur, appelée aussi rendement, 
en fonction de
ÎL,TnyC et SP.

(1) Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon 
un cycle de
Carnot ? Calculer sa valeur nc . Ce résultat, sensiblement inférieur à l, 
doit--il être attribué à

une imperfection de la machine (frottements divers) ou provient--il d'une 
limitation
fondamentale ? Dans ce dernier cas, préciser la nature de cette limitation.

e) On définit le degré d'irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r=n/nc. 
Sachant que

r = 0,94 et que le moteur fournit un travail de 15 k] par cycle, trouver Qc,Qf 
et S p . Porter

avec soin ces résultats sur un graphe, donnant Qc en fonction de Qf , dans 
lequel 1 cm
représente 5 U .

2. Entropie d'un gaz parfait

a) Le rapport 7 des capacités thermiques isobare et isochore d'un gaz parfait 
est 1,67 pour un

gaz monoatomique, tel que l'argon, et 1,4 pour un gaz diatomique, tel que 
l'air. Justifier ces
valeurs à l'aide de considérations simples issues de la théorie cinétique des 
gaz ?

b) Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz 
parfait monoatomique
en fonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l'entropie du 
gaz peut

s'écrire :

S=a(--lnp+BlnT+Cte)
oc étant un coefficient que l'on exprimera, en fonction du nombre n de moles et 
de la
constante R des gaz parfaits, et B un facteur que l'on déterminera. La 
constante Cte qui

apparaît dans la formule précédente a pu être déterminée expérimentalement à 
l'aide du
graphe C,,(T) donnant la capacité thermique molaire de l'argon gazeux, sous l 
bar, en

fonction de la température. Comment accède--t-on à l'entropie à partir de C 
,,(T) ?

c) Dans le cas d'un gaz parfait diatomique, B = 7/2. En déduire la relation 
entre la pression et
la température d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution 
isentropique.

3. Cycle de Beau de Rochas et Otto

Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m : 2,9g, assimilé à un gaz 
parfait diatomique,
de masse molaire M =29g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, 
constituée de deux

portions isentropiques, AB et CD, séparées par deux portions isochores, BC et 
DA. Le cycle n'est

plus ditherme : il y a mise en contact du fluide avec une succession de sources 
chaudes et froides.
Les températures et les pressions aux points A et C sont, respectivement :

TA=29OK pA=lbar TC=1450K pC=40bar

En outre, le taux de compression Otv : VA /VC est égal à 8.

a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD 
'? Calculer les
pressions, en bar, 173 et pD, en B et D respectivement, ainsi que les volumes 
en litre en ces

points.

b) Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (p,V). 
Justifier le
sens de description du cycle.

c) Calculer, en k] , le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz 
sur chaque portion
du cycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs 
calculées.

(1) Quelle est l'efficacité 1130 de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du 
travail fourni au

milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes 
représentées sur la
portion BC du diagramme ? Comparer 1130 à l'efficacité nc d'un cycle moteur 
ditherme

fonctionnant entre les températures TA et TC. Commenter.

4. Cycle de Stirling

Dans un cycle de Stirling, une même masse d'air (m=2,9g) suit une évolution 
cyclique

réversible A'B'C'D' , constituée de deux portions isothermes A'B' et C'D' 
séparées par deux
portions isochores B'C' et D'A'. Les températures et les pressions aux points 
A' et C ' sont les
mêmes qu'aux points A et C respectivement. Le taux de compression 0tv =VA /VC 
est aussi le

même que précédemment.

a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A'B' et 
C'D' ? En
déduire les pressions pH» et pD/ , en B' et D',respectivement.

b) Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme de Clapeyron. 
Comparer ce
diagramme au précédent.

c) Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur 
chaque portion du
cycle.

d) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide 
d'un régénérateur
interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu 
pendant les
phases isothermes. Quelle est l'efficacité Ïls de ce cycle moteur, 
c'est--à--dire le rapport du

travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources 
chaudes
représentées sur la portion C'D' du diagramme '? Comparer 115 à 1180 et "C--

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Franck
Stauffer (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm).

Ce sujet se compose de deux problèmes. On étudie, dans le premier, différents
aspects de la masse, grave ou inerte. Le but du problème est de montrer que 
l'on peut
identifier ces deux quantités et propose ensuite l'étude théorique d'une 
expérience
permettant de le vérifier. Le second porte sur la thermodynamique, et propose de
comparer avec le modèle des gaz parfaits trois types de moteur.
Aucun des deux problèmes n'est particulièrement calculatoire ou difficile. 
Néanmoins, le premier fait appel à une certaine assurance face à l'énoncé des 
questions, qui
est parfois flou. Comme il porte sur la mécanique des solides, il demande 
également
une bonne connaissance des théorèmes de base dans ce domaine.
Le second problème reste proche du cours dans son commencement ; il faudra
donc bien connaître celui-ci afin de répondre rapidement aux questions 
préliminaires.
Il continue avec l'étude de moteurs, et l'approche est sensiblement la même 
d'une
question à l'autre.
Enfin, tout au long du sujet, le candidat est invité à faire des commentaires 
sur les
résultats qu'il trouve. On pourra donc voir dans ce sujet un bon moyen de 
s'assurer
de ses connaisssances ainsi que d'exercer son esprit critique.

Indications

Problème A
1.a Faire le rapport des deux forces.
2.a On peut se souvenir des équations de Maxwell dans le cas de 
l'électrostatique
dans un milieu sans charges.
2.b L'énoncé omet de donner la distribution de masse à l'intérieur de la sphère 
et de
préciser la signification de . On pourra prendre par exemple µ la masse 
volumique comme étant uniforme, et supposer que  est le potentiel de 
gravitation.
Pour le calcul du champ, il est judicieux d'utiliser l'analogue du théorème de
Gauss en utilisant les propriétés de la symétrie sphérique.
3.d La première loi de Newton porte sur le mouvement dans un référentiel 
galiléen
d'un corps isolé.
4.a On pourra évaluer la norme de ces forces et les comparer.
4.b Le référentiel géocentrique n'est pas galiléen à cause du Soleil. La 
présence du
Soleil est donc cachée dans les forces d'inertie qui existent dans le 
référentiel
géocentrique.
5.a Bien prendre garde à l'orientation de l'axe Oz.
6.b La dérivée de Argth (x) est 1/(1 - x2 ).
6.e Pour simplifier, on peut supposer que la bille B1 atteint le sol après un 
temps
donné par un modèle idéal sans frottements.
Problème B
1.a Se rappeler que la variation d'une fonction d'état est nulle sur un cycle.
1.d Un cycle de Carnot est réversible.
2.a Utiliser le théorème de l'équipartition de l'énergie.
2.b Partir de l'expression de l'enthalpie pour une transformation élémentaire 
réversible. Pour les gaz parfaits, on connaît une expression simple de cette 
enthalpie
en fonction de Cp qu'on utilisera judicieusement. On aura besoin également de
la relation de Mayer pour les gaz parfaits lorsqu'on voudra exprimer Cp .

A.

Caractère singulier de la gravitation

1.a On compare ici deux forces, dont la décroissance est pour chacune d'elle en
1/r2 . Pour deux particules 
G m 2
­ force de gravitation : fG =
r2
4 e2
­ force électrostatique : fE =
4 0 r2
G
f
4 0 G m 2
=
 3, 2 .10-36
dont le rapport vaut
fE
4 e2
De même pour les noyaux d'or, il vient
fG
4 0 G mAu 2
Au
=
 4, 9 .10-36
792 e2
fE
Au
Devant la faible valeur de ces rapports, on peut conclure que la force de 
gravitation
n'aura aucun rôle sur le comportement des particules. Celle-ci n'aura une 
influence
importante que pour les systèmes macroscopiques.
1.b La force qui s'exerce entre ces deux particules s'écrit (dans le cas où 
l'on considère que la particule 2 agit sur la particule 1)

-
A 
F = 2 -
er
r
q1 q2

où -
er est le vecteur unitaire dirigé de 2 vers 1 et A = -Gm1  m2  +
.
40

--

-
Ep -

Or,
F = - grad Ep = -
er
r
G m1  m2 
q1 q2
+
+ Cte
r
4 0 r
avec la convention de prendre Ep = 0 lorsque r  +, la constante additive est 
nulle.

soit

Ep = -

Ep = -

G m1  m2 
q1 q2
+
r
4 0 r

-
2.a Une masse m située en O crée autour d'elle un champ de gravité G analogue
au champ électrostatique et qui s'exprime

-
G m 
G =- 2 -
er
r
Au vu de cette question, on peut établir un tableau d'analogies :

-

-
E
 G
1
4 0
q

 -G

m

-
Par analogie avec les propriétés du champ électrostatique E (créé par une 
charge q
en O) d'expression

-
q

-
er
E =
4 0 r2
il vient :

-
 -

- -
i) La circulation de G le long de tout contour fermé est nulle (vient de rot E 
= 0
en électrostatique).

-
ii) Le flux sortant de G à travers toute surface fermée est égal à la masse 
contenue

-
à l'intérieur de cette surface, multipliée par -4G (vient de div E = /0 ).
La seconde propriété, analogue au théorème de Gauss impose de préciser que
l'on utilise le flux sortant, c'est-à-dire que l'on oriente les normales à une
surface vers l'extérieur de celle-ci. On adoptera cette convention dans toute
la suite du corrigé.
2.b De l'analogie avec le champ électrostatique, on déduit que le champ de gravi
-
tation a les mêmes propriétés que le champ E vis-à-vis des opérations de 
symétrie,
et appartient donc à tout plan de symétrie. Or tout plan passant par le centre 
la
distribution de masse est plan de symétrie. Il suffit alors de prendre deux 
plans non
coplanaires passant par O et par M pour se convaincre que le champ 
gravitationnel
 -
-

est radial. D'autre part, la symétrie de révolution impose G = G (r).

-

Finalement
G = Gr (r) -
er
Pour le calcul de Gr , on utilise la seconde propriété de la question 
précédente.
Prenons une sphère centrée en O de rayon r et calculons le flux sortant du 
champ de
gravitation à travers cette surface fermée. À cause des symétries énoncées plus 
haut,
ce flux s'écrit simplement
ZZ
-
-

G .dS = 4 r2 Gr (r)
Pour le calcul de la masse à l'intérieur de cette sphère, deux cas se 
présentent. Soit
r > R et donc toute la masse de la distribution est contenue dans la sphère. 
Notons-la
M . Alors

4 r2 Gr = -4 G M 

pour r > R
G M

Gr = - 2
r
Ce résultat est analogue à celui obtenu en considérant que toute la masse est
concentrée au centre.
Dans le cas où r < R, les données de l'énoncé ne permettent pas de conclure.
On doit connaître en effet la distribution de masse en fonction de r pour 
obtenir un
résultat, ce qui n'est pas le cas ici. On peut néanmoins donner une formule 
générale
en fonction de µ(r) la masse volumique de la distribution. La masse contenue 
dans
la sphère de rayon r < R est donnée par
Z r
Mint (r) =
4 r1 2 µ(r1 ) dr1
0