X Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Matrices réelles de partie symétrique positive
Principaux outils utilisés applications linéaires continues, exponentielle matricielle, algèbre linéaire, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Matrices réelles de partie symétrique positive

Dans tout le problème, l'espace vectoriel R" sera muni du produit scalaire 
usuel noté (..|) et
de la norme correspondante ||.H. On notera M,,(R) l'espace vectoriel des 
matrices a n lignes et
n colonnes, à coefficients réels, et I la matrice identité; on munira M,,(R) de 
la norme usuelle :

HAOEII

llüîll

HA||=sup{ ,oe7éo}.

Une matrice A de M,,(R) sera dite s--positive si l'on a (Aoelæ) ; 0 pour tout 
a: de R'".

Première partie

1. Montrer que toute matrice A de M,,(R) s'écrit de façon unique comme somme 
d'une
matrice symétrique AS et d'une matrice antisymétrique AC,.

2. Soit A une matrice de M,, (R). Trouver une condition nécessaire et 
suffisante, portant sur
les valeurs propres de A5, pour que A soit s--positive.

Deuxième partie

3. Montrer que, pour toute matrice s--positive A et tout nombre réel À > 0, la 
matrice A] + A
est inversible.

On posera alors RÀ(A) : (A] + A)_1.

4. (Étude d'exemples) On examinera les deux exemples suivants :

0 1
a)n--2, A---(_1 0)°

0
b)n=3, A: 0

1
0
--1 ()

OGG

Pour chacun de ces exemples : calculer Ker A, Im A, RÀ(A), dire si RÀ(A) (resp. 
ÀRÀ(A))

admet une limite lorsque A ----> 0 et, si oui, donner cette limite.
Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matrice s--positive A et 
un réel A > O.

5. Démontrer les assertions suivantes :

5.8) ARÀ(A) = RÀ(A)A = I -- ÀRÀ(A) .
5.b) Pour tout réel ,u > 0, on a

f...) -- RAA) = (# ---- A>RÀRM .

1
6.- Démontrer l'inégalité HRÀ(A)H < --, avec égalité si et seulement si det A 
est nul.

À

7. Démontrer les assertions suivantes : '
7.3) Pour tout oe EUR Im A, ÀRÀ(A)OE --+ 0 lorsque À ----> O.
7 .b) L'espace R" est somme directe de Ker A et Im A.

7 .c) Lorsque À tend vers 0, ÀRÀ(A) tend vers le projecteur sur Ker A 
parallèlement à Im A.

'8. Montrer que l'application @ : /\ l----> RÀ(A) de ]0, +00[ dans MAR) est 
indéfiniment déri--
vable, et exprimer ses dérivées successives q : À +--> (À)q.

Troisième partie

Dans cette troisième partie on se donne une application F de ]0, +oo[ dans MAR) 
possédant
les propriétés suivantes :

1
(i) VA > 0, ||F(À)ll < Xi

(ii) V/\7 N> 0, F(À) --F(#) = (u--À)F(À)F(u);
(iii) F(1) est inversible.

9. Montrer que F (À) est inversible pour tout À > 0.
10.3) Calculer F(À)_1 -- F(u)_1.

10.b) Montrer que, lorsque À --+ O, F(À)_1 admet une limite A et que l'on a, 
pour tout /\ > O,
/\I + A : F(À)_1.

11. Montrer que les matrices AF (À) et A sont s--positives.

Quatrième partie

Étant donné une matrice A de Mn(R), on pourra admettre les résultats suivants :

(i) La série ---- est convergente. Notons epr sa somme.

'
k=0 k.

(ii) La fonction de variable réelle t |--+ exp(tA) est dérivable et sa dérivée 
est donnée par

%exp(tA) : Aexp(tA) .

12. Soit A une matrice de MAR). Démontrer l'équivalence des conditions 
suivantes :
(i) pour tout t > 0, on a || exp(--tA)ll { 1;
(ii) pour tout a: E R'", la fonction t l--> || exp(----tA)acll2 est 
décroissante;

(iii) A est s--positive.

On fixe maintenant une matrice A s--positive et un réel À > O.

13. Démontrer la convergence des intégrales

+oo
p(,\)i,j=/ e"Àt(exp(--tA))i,j dt , 1
			

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X Maths 2 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Céline Mazoit (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Comme souvent dans les épreuves de Polytechnique, le problème traite d'un thème
largement hors programme, le semi-groupe d'évolution et la résolvante associés 
à un
opérateur dissipatif, mais dans un cadre accessible en prépa (la dimension 
finie).
En particulier, le sujet n'utilise pas de mots savants, et peut être 
entièrement traité
sans faire appel à des connaissances hors programme.
· La première partie, brève, fait le lien entre matrices dissipatives (que 
l'énoncé
appelle « matrices s-positives ») et la notion de positivité connue pour les 
matrices symétriques.
· La deuxième étudie quelques propriétés classiques de la résolvante R (A) d'une
matrice s-positive A (qui est, par définition, l'inverse de A + I).
· La troisième est une réciproque partielle de la partie précédente, qui montre
que certaines des propriétés précédemment établies sur la résolvante sont bien
caractéristiques.
· Enfin, à l'aide d'une transformée de Laplace, la quatrième partie traite des
relations qui existent entre le semi-groupe d'évolution engendré par -A 
(c'està-dire la fonction t 7- exp(-t A)) et la résolvante.
Ce problème est d'une longueur raisonnable pour un sujet de Polytechnique.
Sa principale difficulté réside dans l'originalité des méthodes utilisées.

Indications
Deuxième partie
3 Vérifier que l'application x 7- (A + I)x est injective.
4 Pour le calcul de R (A), utiliser la formule sur la comatrice.
5.a Revenir à la définition de R (A).
5.b Au brouillon : composer à gauche et à droite l'égalité à montrer par les 
inverses
de R (A) et Rµ (A). En déduire la démonstration à chercher.
6 Préciser « quantitativement » le caractère injectif de A + I.
7.a Utiliser la question 5.a.
7.b Montrer que la somme est directe en calculant R (A)x pour x  Ker A.
7.c Utiliser les deux questions précédentes.
8 Pour deviner le résultat à montrer, penser au calcul des dérivées successives 
de
la fonction réelle x 7- 1/(+x). Pour la démonstration, utiliser la question 5.b.
Troisième partie
9 À l'aide de l'égalité (ii), écrire F(1) comme le produit de F() avec autre 
chose.
10.a Composer l'égalité (ii) par F()-1 et F(µ)-1 .
10.b Vérifier que  7- F()-1 vérifie le critère de Cauchy lorsque  tend vers 0.
11 La positivité de A F() résulte de la question 10.b et de l'inégalité (i). 
Celle de A
en découle, du fait que F() - I lorsque  tend vers l'infini.
Quatrième partie
12 Montrer que (i) = (iii) = (ii) = (i). Pour (i) = (iii), remarquer que

d
exp(-tA)
A=-
dt
t=0
14 Intégrer judicieusement par parties.
15 Remarquer que A2 = -I.

Première Partie
1 L'application de transposition
(
T:

Mn (R) - Mn (R)
t

A

7- A

est une symétrie de Mn (R), c'est-à-dire une application linéaire involutive 
(elle vérifie
T  T = Id Mn (R) ). Elle admet donc comme polynôme annulateur
X2 - 1 = (X + 1)(X - 1)
où les polynômes X + 1 et X - 1 sont premiers entre eux. D'après le lemme de
décomposition des noyaux, on a
Mn (R) = Ker (T - Id Mn (R) )  Ker (T + Id Mn (R) )
c'est-à-dire

Mn (R) = Sn (R)  An (R)

où l'on a noté comme d'habitude Sn (R) (respectivement : An (R)) le sous-espace 
des
matrices symétriques (respectivement : antisymétriques) de Mn (R). En 
particulier,
Toute matrice A de Mn (R) s'écrit bien de manière unique
sous la forme As + Aa , où As  Sn (R) et Aa  An (R)

Cette preuve peut paraître assez formelle pour un résultat classique et facile
à démontrer en écrivant
1
1
t
t
A = (A + A) + (A - A)
2
2
Elle a cependant le mérite d'être très générale. Elle convient par exemple
pour démontrer que l'espace vectoriel des fonctions paires sur R et celui des
fonctions impaires sont supplémentaires : il suffit de considérer l'application
T : f 7- fe où, par définition, fe(x) = f (-x).
2 Rappelons que dans Mn (R), une matrice A est antisymétrique si et seulement
si elle vérifie (Ax|x) = 0 pour tout x dans Rn . En particulier, toute matrice 
antisymétrique est s-positive.
En effet, dire qu'une matrice est antisymétrique revient à dire que la forme 
bilinéaire sur le R-espace vectoriel Rn , (x, y) 7- (Ax|y) est antisymétrique, 
ie
x, y  Rn

(Ax|y) = -(x|Ay)

Comme R est de caractéristique différente de 2, ceci est également équivalent
au fait que la forme bilinéaire (x, y) 7- (Ax|y) est alternée.
En particulier, (comme Aa est antisymétrique), il vient :
x  Rn

(Ax|x) = (As x|x)

Ainsi, A est s-positive si et seulement si la matrice symétrique As est positive
(en tant que matrice symétrique), ce qui est équivalent au fait que le spectre 
de As
est inclus dans R+ . Finalement,
A est s-positive si et seulement si les valeurs
propres de As sont toutes positives ou nulles.

Deuxième partie
3 Si A est une matrice s-positive et  un réel strictement positif, on a, pour 
tout x
non nul dans Rn

(I + A)x x = kxk2 + (Ax|x) > kxk2 > 0

En particulier, pour tout x non nul, (I + A)x l'est aussi, ce qui signifie que 
l'application linéaire x 7- (I + A)x est injective. Comme il s'agit d'un 
endomorphisme d'un
espace vectoriel de dimension finie, il en résulte que cet endomorphisme est 
inversible,
ou encore
Pour tout  > 0, la matrice I + A est inversible.
4.a Tout d'abord, remarquons que A est antisymétrique, ce qui implique bien 
évidemment que A est s-positive. En conséquence, il est pertinent de définir R 
(A).
A est inversible (du fait, par exemple que det A = 1 6= 0). En conséquence,
Ker A = {0}

et

Im A = R2

Rappelons
matrice inversible de taille 2 × 2 :

l'expression de l'inverse
 d'une 
1
a b
d
-b
Si A =
alors A-1 =
.
c d
det A -c a
2
Vu que det(I + A) = 1 +  , il en résulte que :

1
 -1
R (A) =
1 + 2 1 
On en déduit alors que R (A) a une limite lorsque  tend vers 0 :

0 -1
lim R (A) =
et
lim  R (A) = 0
1 0
0
0
On peut également remarquer que, si A est inversible, alors R (A) a pour
limite R0 (A) = A-1 lorsque  tend vers 0.
4.b Remarquons qu'ici aussi, A est antisymétrique, donc s-positive, ce qui rend
pertinente la définition de R (A). Notons (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de 
R3 . On voit
alors que Ae1 = -e3 , Ae2 = 0 et Ae3 = e1 , ce qui permet de constater que 
l'image
de A est engendrée par e1 et e3 , et que son noyau est engendré par e2 .

Ker A = R (0, 1, 0)
et
Im A = Vect (1, 0, 0) , (0, 0, 1)