X Maths 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'une classe particulière d'endomorphismes d'un espace euclidien
Principaux outils utilisés espaces préhilbertiens et euclidiens, orthogonalité, endomorphismes auto-adjoints, théorème du point fixe de Picard
Mots clefs théorème de Picard

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la 
concision de la
rédaction.

***

Dans les trois premières parties, on désigne par
. n et m des entiers > 0 tels que n { m;
0 E l'espace euclidien R" avec son produit scalaire usuel (--|) et la norme 
associée |) - || ;

. ej, j = 1, . . . ,m, des éléments non nuls de E satisfaisant une condition de 
la forme

VoeeE ana:n2  O;

. T l'endomorphisme de E défini par

T(fE) = Z(OEl6j)8j -

j
Si S est un endomorphisme de E, sa norme HS || est défini par

MSN = sup{llS(OE)ll = IIOEII I= 1}-

Première partie

1. Donner un exemple simple de famille (ej) satisfaisant une condition de la 
forme (1).

2. Déterminer le sous--espace vectoriel de E engendré par les ej.

3. On prend n = 2, m = 3, 61 = (0,1), 82 : (--Jä/2, --1/2), 83 : («É/2, --1/2). 
Déterminer
Z(oe|ej)2 et T.

j
4. Vérifier que T est autoadjoint, inversible et satisfait (T(æ) | a:) } 
oz||æ||2 pour tout a: E E.

5. Comparer HT" et sup{(T(oe) |a:) : ||oe|| : 1}.

6. Trouver un réel 5 tel que (T_1(oe) |oe) < fl||æ||2 pour tout oe E E. Que 
peut--on dire de
HT--1u?

7. On suppose que oz||æ||2 : Z(a: | «e,-)2 pour tout ac EUR E. Déterminer T.
j

Deuxième part ie

On note F l'espace euclidien Rm, ( f1, . .. , f...) sa base naturelle, (|) F 
son produit scalaire
naturel. On définit une application linéaire  : E --> F par

<Ï>(îä) = Z(OE | e,) fj--
j
On pourra admettre qu'il existe une unique application linéaire 'Il : F --> E 
satisfaisant

(OE(h) |oe) : (h|(oe))F pour tous a: E E, h E F.

8. Vérifier que l'on a \I/(h) : z hjej et \I! 0 (I) = T.
' j

On pose êj : T _1(ej) et on définit une application linéaire &) : E ----> F par

N

<æ> = 2 (a: | ê.)fæ
j
9. Vérifier que l'on a F : Im <Î> @ (Im )l.

10. Étant donné un élément a: de E, déterminer le minimum des nombres 2 h? pour 
les

]
familles (il,-) vérifiant a: = 2 hj ej, et préciser pour quelles familles (hj) 
ce minimum est atteint.
j

11. Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants :
a) les 6,- forment une base de E;

b) les 6,- forment une base orthonormale de E ;

c) on a cv||a:||2 : z (a: | ca,--)2 pour tout 33 E E.
j

Troisième part ie

On se propose, dans cette partie, de résoudre l'équation T (a:) = y par une 
méthode d'itéra--
tions successives. On pose

a= inf{(T(æ) |a:) : ||oe|| = 1} , b= "TH;

onadonc O< & < b. Pour tout réels > 0 on pose V$ =idE--ST.

12. Montrer que l'on a
llell = maX(l1 -- MI, |1 -- MI),

13. Déterminer le minimum C de la fonction 3 |--> ||Vsll, préciser pour quelle 
valeur 30 de s
il est atteint, et montrer que C E [0,1[. A quelle condition C est--il égal à 0 
?

[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctions 3 
l----> |1 -- a sl et 3 r----> |1 -- b si ].

On fixe un élément y de E et on définit une application U de E dans lui--même 
par

U(oe) = a: + 30(y -- T(oe)) .
14. Étant donné a: et oe' EUR E, comparer ||U(oe) -- U(oe')H et Ulla: -- a:'||.

15. On désigne par 5130 un élément de E et on pose, pour tout entier n > O, oen 
= U "(:m).
Etudier le comportement de la suite (:un). Oonclure.

Quatrième partie

Dans cette partie, on désigne par
. E un espace préhilbertien réel;
0 T un endomorphisme continu de E (on ne le suppose pas autoadjoint) ;
o 270 et yo des éléments de E.

Pour tout réel 3 > 0 on définit une application U 5 de E dans lui--même par
Us(üî) = 513 + 8(y0 -- T(OE)) -

16.a) Trouver une condition portant sur T suffisante pour que l'on ait une 
majoration de la
forme

HidE --3T||2 { 1 --2as+b232

avec a > 0, b réel.

b) Trouver alors une condition portant sur E, impliquant que la suite 313" = U 
ÿ(oe0) soit
convergente pour un 3 convenable; préciser dans ce cas la nature (injectif'?, 
surjectif?) de T.

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X Maths 2 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Tristan
Poullaouec (agrégé de mathématiques) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

On étudie dans ce problème un endomorphisme T d'un espace euclidien E, qui
généralise la notion de projection orthogonale sur un sous-espace. Le sujet se 
compose
de quatre parties.
· Au cours des deux premières, on étudie les premières propriétés de T :
on montre qu'il est auto-adjoint et défini positif, puis on l'étudie dans 
certains
cas particuliers.
· La troisième partie nous donne un algorithme de résolution de l'équation Tx =
y par itérations.
· La quatrième partie généralise la troisième, dans le cas où E est seulement
préhilbertien réel.
En fait, dans la troisième partie, on oublie complètement la définition précise 
de
T et l'on utilise uniquement le fait qu'il est auto-adjoint défini positif. 
Elle peut donc
être traitée indépendamment des deux premières.
De même, la quatrième partie nous place dans un autre cadre puisque l'espace E
n'est plus de dimension finie. On peut donc la résoudre à part. Néanmoins, les 
techniques utilisées ressemblent énormément à celles de la troisième partie et 
il est souhaitable d'avoir bien compris cette dernière.
Ce problème, de difficulté moyenne, est intéressant et demande une bonne 
maîtrise
des espaces euclidiens et des propriétés des endomorphismes auto-adjoints.

Indications

Première partie
1 Considérer la base canonique de Rn .

2 Montrer que Vect (e1 , . . . , em ) est réduit à {0} en utilisant la relation 
(1).

4 Utiliser les propriétés de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire 
pour obtenir
m

P
Tx y =
(x | ej )(y | ej )

(x, y)  E2

j=1

et en déduire que T est auto-adjoint. Puis utiliser cette relation avec y = x 
pour
obtenir l'inégalité demandée. Utiliser enfin cette dernière pour montrer que T 
est
injectif. Conclure qu'il est bijectif.
5 Diagonaliser T dans une base orthonormée. Montrer que n||T|| est égal à la 
plus
o

grande valeur propre de T et qu'il en est de même de Sup Tx x : ||x|| = 1 .

6 Après avoir diagonalisé T dans une base orthonormée, calculer T-1 . En déduire
1
que
constitue un  convenable, où n est la plus petite valeur propre de T.
n
1
.
Montrer que T-1 est égal à
n
7 Montrer que T est l'homothétie de rapport .

Deuxième partie
9 Utiliser le fait que T

-1

est auto-adjoint pour montrer que
e =   T-1

e = Im  pour conclure.
En déduire que Im 

10 Remarquer que l'ensemble

A=

m
P

j=1

hj 2 : x =

m
P

j=1

hj e j

est égal à ||h||2 : h  -1 {x} .

Montrer ensuite que -1 {x} est le sous-espace affine de F parallèle à Ker  et
passant par n'importe quel h tel que h = x. En déduire que InfA n'est autre que
la distance de 0F à-1 {x} , c'est-à-dire la norme de la projection orthogonale
de 0F sur -1 {x} .

Vérifier que h0 =   T-1 x appartient à ce sous-espace affine et se trouve être
cette projection orthogonale.

Troisième partie
12 Utiliser le raisonnement de la question 5 pour montrer que ||Vs || est la 
racine
carrée de la plus grande valeur propre de Vs  Vs , qui n'est autre que Vs 2 car
Vs est autodajoint. Remarquer aussi, après avoir diagonalisé T dans une base
orthonormée, que a et b sont respectivement la plus petite et la plus grande
valeur propre de T. En déduire que
q

||Vs || = Max 1 - s :   Sp T
Étudier enfin la fonction t 7- (1 - ts)2 pour conclure.

13 Comme le suggère l'énoncé, tracer les courbes représentatives de
fa : s 7- |1 - as|

et

fb : s 7- |1 - bs|

en gardant à l'esprit que 0 < a 6 b. En déduire la courbe représentative de
s 7- ||Vs || et identifier le minimum de cette fonction.

14 Établir que

||Ux - Ux || 6 C||x - x ||
15 D'après les questions 13 et 14, U est contractante. Utiliser alors le 
théorème de
point fixe de Picard (pas les surgelés, un autre) :
« Soit E un espace de Banach et soit f une application contractante de E dans
lui-même.
 Alors f admet un unique point fixe et pour tout x0 dans E, la suite
f n (x0 ) nN converge vers ce point fixe. »

pour en déduire que la suite (xn )nN converge vers le point fixe x de U. 
Vérifier
que x est solution de l'équation Tx = y.

Quatrième partie
2

16.a Calculer (IdE - sT)u pour tout u de norme 1 dans E, à l'aide des propriétés
de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire. En déduire que si
n
o

Inf Tx x : ||u|| = 1
est strictement positif, on obtient l'inégalité demandée avec
n
o

a = Inf Tx x : ||u|| = 1
et
b = ||T||

16.b Montrer que le minimum s0 de la fonction s 7- 1 - as + b2 s2 est dans ]0, 
1[.
En déduire que Us est contractante. Trouver enfin la condition manquante sur
E pour pouvoir appliquer le théorème de Picard.
En déduire que T est surjective. Puis utiliser le fait que l'on a supposé a 
strictement positif pour obtenir l'injectivité de T.

Première partie
1 Toute base orthonormée de Rn vérifie une condition de la forme (1), avec  = 1.
En effet, si (ej )16i6n est une telle base, on sait que
x  Rn

x=

n
P

j=1

(x | ej ) ej

Par suite, en appliquant le théorème de Pythagore,
n
P
x  Rn
||x||2 =
(x | ej )2
j=1

En particulier, la base canonique de R est orthonormée.
n

La base canonique de Rn vérifie une condition de la forme (1).
Sur le même modèle, on peut construire aisément, pour tout  strictement positif 
et pour tout entier m supérieur à n, une famille (ej )16j6m
satisfaisant la condition (1).
Partons de la base canonique de Rn , notée (uj )16j6n et posons :

j  {1 . . . n}
ej =  uj
Alors

x  Rn

et

n
P

||x||2 =

x  Rn

j=1

(x | uj )2 =

||x||2 =

n
P

j=1

n
1 P
(x | ej )2
 j=1

(x | ej )2

Puis il suffit d'ajouter n-m+1 vecteurs quelconques (ej )n+16j6m de l'espace
pour obtenir
x  Rn

m
P

(x | ej )2 =

j=1

n
X
j=1

|

(x | ej )2 +
{z

=||x||2

}

m
X

(x | ej )2 > ||x||2

j=n+1

|

{z

>0

}

2 Notons V le sous-espace vectoriel engendré par la famille (ej )16j6m et 
montrons
que son orthogonal est réduit à {0}.
Soit x dans l'orthogonal de V. Alors x est orthogonal, en particulier, à tous 
les
vecteurs de la famille (ej )16j6m et l'on a
||x||2 6
Comme  n'est pas nul, il vient
||x|| = 0

m
P

(x | ej )2 = 0
{z }

j=1 |

=0

donc

x=0

L'orthogonal de V est donc bien réduit à {0}. Comme V est égal à son double
orthogonal, on a
V = Vect (e1 , . . . , em ) = E