X Maths 2 MP 2001

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2001

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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On attache... la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la 
concision de la
rédaction.

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On se propose d'établir quelques propriétés des sous--groupes discrets des 
espaces euclidiens.
Dans tout le problème, on désigne par n un entier strictement positif, par E 
l'espace R", par
( | ) son produit scalaire usuel et par || !| la norme correspondante. On 
rappelle les faits suivants :

a ) un sous--ensemble L de E est dit discret si tout élément :E de L est isolé, 
i.e. admet un
voisinage V dans E tel que L 0 V = {a:} ;

b ) un groupe abélien G est isomorphe à un groupe Zm si et seulement s'il admet 
une Z-- base,
c'est--à--dire une famille (e1,. .. ,e...) telle que tout élément g de G 
s'écrive d'une façon unique

m
sous la forme g = z kiez- avec la,; E Z.

i=1

Première partie

1. Démontrer les assertions suivantes :

a) Un sous--groupe L de E est discret si et seulement si l'élément 0 est isolé.

b) Tout sous-groupe discret L de E est fermé dans E.

c) Les sous--groupes discrets de R sont exactement les sous--ensembles de la 
forme aZ avec
a E [O, +oo[.

2. On désigne par oz un nombre réel > 0 et par L le sous--groupe de R, ensemble 
des réels
m + noz où n, ... EUR Z. Montrer que L est discret si et seulement si oz est 
rationnel.

3. Construire un sous--groupe discret L de R2 tel que sa première projection 
sur R ne soit
pas discrète.

4. On se propose ici de démontrer que tout sous--groupe discret L de E est 
isomorphe à. un
sous--groupe d'un groupe Zm. On désigne: par F le sous--espace vectoriel de E 
engendré par L,
par m sa dimension, par (0,1, . .. ,a...) une base de F contenue dans L, et par 
L' le sous--groupe
de L engendré par cette base. Enfin on pose

P=LÛ{ZÀ1OEHÀiE[Û,H} .
i=1

&) Vérifier que P est un ensemble fini.

b) Etant donné un élément $ de L, construire un couple (y, z) EUR L' >< P tel que l'on ait a: = y + z, et démontrer son unicité. c) Soit encore oe un élément de L; écrivant koe : yk + zk (pour lc entier > O), 
montrer qu'il
existe un entier d > 0 tel que l'on ait da: EUR L' .

d) Oonclure.

5. Dans cette question, L est un sous--groupe de Z"; ses éléments seront notés
:c = (5131, . .. ,a:...); on posera 7r(oe) : w....

&) Montrer qu'il existe un entier [EUR > 0 et un élément mo de L tel que l'on 
ait
7T(L) : kZ : 7r(oe°)Z .

b) On suppose ici 7r(L) non réduit à {0}; étant donné un élément a: de L, 
construire un
couple (19,55) EUR Z >< L tel que l'on ait î... : O et a: : poe° + î; démontrer son unicité. c) En déduire que tout sous--groupe discret de E est isomorphe à un groupe Z"°. 6. On suppose ici n = 2 et on considère deux Z-bases (u1,u2), (111,02) d'un même sous-- groupe discret L de E. Comparer les aires des parallélogrammes construits respectivement sur (U1, Ug) et ("01,7J2). Deuxième part ie 7. Dans cette question, on désigne par B la base canonique de E et par GL(E) le groupe des automorphismes linéaires de E. Pour toute partie X de E, on note L(X ) le sous-groupe de E engendré par X. Soit G un sous--groupe fini de GL(E) tel que les matrices des éléments de G dans la base B soient à coefficients rationnels. On note GB l'ensemble des vecteurs g(oe) où g E G et a: E B. &) Montrer qu'il existe un entier d > () tel que l'on ait dL(GB) C L(B).

b) Démontrer l'existence d'une base de E dans laquelle les matrices des 
éléments de G
sont à coefficients entiers.

8. Soit A une matrice a n lignes et n colonnes, à coefficients rationnels, 
d'ordre fini fr (c'est--
a-dire que A'" = I et que 7° est le plus petit entier > 0 ayant cette 
propriété).

a) Montrer que le polynôme caractéristique de A est à coefficients entiers.

b) On suppose ici n = 2. Montrer que 7" ne peut prendre que les valeurs 
1,2,3,4,6 et
donner, pour chacune de ces valeurs, un exemple de matrice d'ordre 7" à 
coefficients entiers.

Troisième partie

On désigne par O(E) le groupe des automorphismes linéaires orthogonaux de E 
(ensemble
des u de GL(E) tels que [lu(oe)H : |loeH pour tout a: de E), et par AO(E) 
l'ensemble des
transformations de E de la forme

a:+-->g(oe)=u(æ)+a où uEO(E) et aEE;

on écrit alors g = (u, a). On note 6 l'élément neutre de O(E).
9. Montrer que O(E) est compact.

10.a) Vérifier que AO(E) est un groupe, écrire sa loi de groupe, préciser son 
élément neutre,
puis l'inverse d'un élément (u, a).

b) Calculer (u,a) (e, I)) (u, a)_1.
11. On note p le morphisme AO(E) --> O(E) défini par p(u, @) = u. On fixe un 
sous--groupe
discret L de E qui engendre linéairement E et on note G le sous--groupe de 
AO(E) formé des

éléments g tels que g(L) : L.

&) Vérifier que, si un élément (u, a) de AO(E) appartient à G, il en est de 
même de (u, 0)
et (e,a).

b) Montrer que p(G) est fini.

0) Déterminer G dans le cas où n = 2 et où L est l'ensemble des couples (5121, 
5122) de E
tels que 5131 EUR 2Z, 5132 EUR Z.