X Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Étude de sous-groupes discrets d'un espace euclidien
Principaux outils utilisés groupes, topologie, espaces euclidiens, applications affines

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2001

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

On attache... la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la 
concision de la
rédaction.

***

On se propose d'établir quelques propriétés des sous--groupes discrets des 
espaces euclidiens.
Dans tout le problème, on désigne par n un entier strictement positif, par E 
l'espace R", par
( | ) son produit scalaire usuel et par || !| la norme correspondante. On 
rappelle les faits suivants :

a ) un sous--ensemble L de E est dit discret si tout élément :E de L est isolé, 
i.e. admet un
voisinage V dans E tel que L 0 V = {a:} ;

b ) un groupe abélien G est isomorphe à un groupe Zm si et seulement s'il admet 
une Z-- base,
c'est--à--dire une famille (e1,. .. ,e...) telle que tout élément g de G 
s'écrive d'une façon unique

m
sous la forme g = z kiez- avec la,; E Z.

i=1

Première partie

1. Démontrer les assertions suivantes :

a) Un sous--groupe L de E est discret si et seulement si l'élément 0 est isolé.

b) Tout sous-groupe discret L de E est fermé dans E.

c) Les sous--groupes discrets de R sont exactement les sous--ensembles de la 
forme aZ avec
a E [O, +oo[.

2. On désigne par oz un nombre réel > 0 et par L le sous--groupe de R, ensemble 
des réels
m + noz où n, ... EUR Z. Montrer que L est discret si et seulement si oz est 
rationnel.

3. Construire un sous--groupe discret L de R2 tel que sa première projection 
sur R ne soit
pas discrète.

4. On se propose ici de démontrer que tout sous--groupe discret L de E est 
isomorphe à. un
sous--groupe d'un groupe Zm. On désigne: par F le sous--espace vectoriel de E 
engendré par L,
par m sa dimension, par (0,1, . .. ,a...) une base de F contenue dans L, et par 
L' le sous--groupe
de L engendré par cette base. Enfin on pose

P=LÛ{ZÀ1OEHÀiE[Û,H} .
i=1

&) Vérifier que P est un ensemble fini.

b) Etant donné un élément $ de L, construire un couple (y, z) EUR L' >< P tel 
que l'on ait
a: = y + z, et démontrer son unicité.

c) Soit encore oe un élément de L; écrivant koe : yk + zk (pour lc entier > O), 
montrer qu'il
existe un entier d > 0 tel que l'on ait da: EUR L' .

d) Oonclure.

5. Dans cette question, L est un sous--groupe de Z"; ses éléments seront notés
:c = (5131, . .. ,a:...); on posera 7r(oe) : w....

&) Montrer qu'il existe un entier [EUR > 0 et un élément mo de L tel que l'on 
ait
7T(L) : kZ : 7r(oe°)Z .

b) On suppose ici 7r(L) non réduit à {0}; étant donné un élément a: de L, 
construire un
couple (19,55) EUR Z >< L tel que l'on ait î... : O et a: : poe° + î; démontrer 
son unicité.

c) En déduire que tout sous--groupe discret de E est isomorphe à un groupe Z"°.

6. On suppose ici n = 2 et on considère deux Z-bases (u1,u2), (111,02) d'un 
même sous--
groupe discret L de E. Comparer les aires des parallélogrammes construits 
respectivement sur

(U1, Ug) et ("01,7J2).

Deuxième part ie

7. Dans cette question, on désigne par B la base canonique de E et par GL(E) le 
groupe
des automorphismes linéaires de E. Pour toute partie X de E, on note L(X ) le 
sous-groupe de

E engendré par X.

Soit G un sous--groupe fini de GL(E) tel que les matrices des éléments de G 
dans la base B
soient à coefficients rationnels. On note GB l'ensemble des vecteurs g(oe) où g 
E G et a: E B.

&) Montrer qu'il existe un entier d > () tel que l'on ait dL(GB) C L(B).

b) Démontrer l'existence d'une base de E dans laquelle les matrices des 
éléments de G
sont à coefficients entiers.

8. Soit A une matrice a n lignes et n colonnes, à coefficients rationnels, 
d'ordre fini fr (c'est--
a-dire que A'" = I et que 7° est le plus petit entier > 0 ayant cette 
propriété).

a) Montrer que le polynôme caractéristique de A est à coefficients entiers.

b) On suppose ici n = 2. Montrer que 7" ne peut prendre que les valeurs 
1,2,3,4,6 et
donner, pour chacune de ces valeurs, un exemple de matrice d'ordre 7" à 
coefficients entiers.

Troisième partie

On désigne par O(E) le groupe des automorphismes linéaires orthogonaux de E 
(ensemble
des u de GL(E) tels que [lu(oe)H : |loeH pour tout a: de E), et par AO(E) 
l'ensemble des
transformations de E de la forme

a:+-->g(oe)=u(æ)+a où uEO(E) et aEE;

on écrit alors g = (u, a). On note 6 l'élément neutre de O(E).
9. Montrer que O(E) est compact.

10.a) Vérifier que AO(E) est un groupe, écrire sa loi de groupe, préciser son 
élément neutre,
puis l'inverse d'un élément (u, a).

b) Calculer (u,a) (e, I)) (u, a)_1.
11. On note p le morphisme AO(E) --> O(E) défini par p(u, @) = u. On fixe un 
sous--groupe
discret L de E qui engendre linéairement E et on note G le sous--groupe de 
AO(E) formé des

éléments g tels que g(L) : L.

&) Vérifier que, si un élément (u, a) de AO(E) appartient à G, il en est de 
même de (u, 0)
et (e,a).

b) Montrer que p(G) est fini.

0) Déterminer G dans le cas où n = 2 et où L est l'ensemble des couples (5121, 
5122) de E
tels que 5131 EUR 2Z, 5132 EUR Z.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Schmitt (École Polytechnique) ; il a été relu
par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce problème propose une étude des sous-groupes discrets des espaces euclidiens.
Il comporte trois parties ; les résultats de la première partie sont utiles 
pour traiter
les deuxième et troisième parties, qui sont largement indépendantes entre elles.
Dans la première partie, on démontre, par récurrence, que tout sous-groupe 
discret
d'un espace euclidien est isomorphe à un groupe Zr .
Dans la deuxième partie, on établit des propriétés de certains sous-groupes du
groupe linéaire d'un espace euclidien.
Dans la troisième partie, on étudie le sous-groupe du groupe affine orthogonal
d'un espace euclidien qui conserve un certain sous-groupe discret.

Indications

Première partie
1 Utiliser des suites peut simplifier la rédaction des preuves.
3 Utiliser la question 2.
4.a Remarquer que P est un ensemble discret et borné.
4.c Utiliser la question 4.a.
4.d Utiliser la question 4.c et remarquer que d peut être borné.
5.b Utiliser la question 5.a.
5.c Démontrer d'abord que tout sous-groupe de Zm est isomorphe à un groupe Zr
puis utiliser la question 5.b pour établir le résultat demandé.

Deuxième partie
7.b Un nombre fini de rationnels admet un dénominateur commun.
7.b Utiliser les résultats des questions 5.c et 7.a.
8.a Utiliser la question 7.b.
8.b Penser au polynôme minimal et ne pas hésiter à explorer tous les cas 
possibles
pour ce dernier.

Troisième partie
11.b Utiliser les questions 9 et 11.a.
11.c Ne pas oublier que (G)  O(E) et que ce dernier groupe est bien connu.

Première partie

1.a
Avant de démontrer les assertions, établissons la caractérisation séquentielle
de la propriété d'isolement d'un point : un point x d'un espace métrique
(X, d) est isolé si et seulement si toute suite d'éléments de X de limite x est
constante égale à x à partir d'un certain rang.
· Si x est un point isolé de X et limite d'une suite (xn )n>0 d'éléments de
X, il existe un voisinage V de x dans X tel que
X  V = {x}
Mais il existe également un entier N tel que
n  N
Ainsi,

n > N xn  V = {x}
n > N

xn = x

· Réciproquement, soit x un point de X qui n'est pas isolé. Alors la boule
centrée en x de rayon 1 rencontre X en un point x1 différent de x. On
note d1 = ||x - x1 ||.
Étant donné un entier n, supposons construits n points de X x1 , . . . , xn
distincts deux à deux et une famille d1 , . . . , dn de réels, tels que :
k  {1, . . . , n - 1} dk+1 6
et

1
1
dk 6 . . . 6 k d1
2
2

k  {1, . . . , n} ||x - xk || = dk

Comme x n'est pas isolé, la boule centrée en x de rayon dn /2 rencontre X en un 
point xn+1 différent de x. Si l'on note dn+1 = ||x - xn ||,
on voit que
1
dn+1 6 dn < dn
2
ce qui assure que x1 , . . . , xn+1 sont deux à deux distincts. On est donc
en mesure de construire la suite un rang plus loin.
Il s'ensuit qu'il existe une suite (xn )n>1 de points de X deux à deux
distincts, convergeant vers x. Par contraposé, si toute suite convergeant
vers x est constante à partir d'un certain rang, x est isolé.

· Si L est un sous-groupe discret, tous ses éléments sont isolés et donc en 
particulier
l'élément 0 est isolé.
· Supposons maintenant que l'élément 0 du sous-groupe L soit isolé. Si L n'est
pas discret, il existe un élément x de L et une suite (xn )n>0 d'éléments de E
tous distincts de x telle que
lim xn = x

n+

Comme E est un groupe,
(x - xn )  L r {0}

et

lim (xn - x) = 0

n+

et l'élément 0 n'est pas isolé.
Ainsi,

L est nécessairement discret.

1.b Soit L un sous-groupe discret de E. Comme 0 est isolé, il existe un réel  
positif
tel que
B(0, )  L = {0}
où B(0, ) désigne la boule ouverte centrée en 0 et de rayon .
Soit (xn )n>0 une suite à valeurs dans L, convergente de limite x dans E. (xn 
)n>0
vérifie le critère de Cauchy :

lim
Sup ||xn+p - xn || = 0
n+

Ainsi

n0  N

Or

p>0

n > n0

p  N

||xn+p - xn || < 

(xn+p - xn )  L

et donc

p  N

et

xn0 +p = xn0

lim xn = xn0  L

n+

L est donc fermé.
1.c Soit L un sous-groupe discret de R. Deux cas sont possibles : soit L est 
réduit à
{0} = 0Z, soit l'ensemble de réels LR+ non vide minoré admet une borne 
inférieure
a positive. Comme 0 est isolé, a est non nul. De plus a, limite d'une suite 
d'éléments
de L, est un élément de L car L est fermé.
Comme L est un sous-groupe, aZ, qui est le sous-groupe engendré par a, est 
inclus
dans L.
Soit maintenant x un élément de L. Comme R est archimédien, il existe n entier
tel que
an 6 x < a(n + 1)
On peut donc écrire

x = an + r

avec n  Z et 0 6 r < a.
Donc

r = x - an  L  R+

Et r est nul sinon la définition de a est contredite.
Ainsi,

x = an  aZ

et

L  aZ

L'ensemble des sous-groupes discrets de R est donc {aZ, a  R+ }.