X/ENS Maths A MP 2015

Thème de l'épreuve Enlacements de spectres de matrices symétriques
Principaux outils utilisés réduction des matrices symétriques, compacité, groupe orthogonal, racines des polynômes, théorème des valeurs intermédiaires
Mots clefs n-uplets enlacés, théorème spectral, polynômes, symétries orthogonales, matrices symétriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
 
Pour n  1, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou 
égal à n est
noté Rn [X]. Étant donnés deux polynômes non nuls P et Q à coefficients réels, 
leur plus grand
commun diviseur (pgcd) unitaire est noté P  Q.
Si r > 1 est un second entier, Mr,n (R) désigne l'espace vectoriel des matrices 
à r lignes et
n colonnes à coefficients complexes. La notation M = (mij ) signifie que le 
coefficient à la ligne
i et colonne j de la matrice M est mij . On note plus simplement Mn (R) = Mn,n 
(R), dont la
matrice identité est In  Mn (R). Le polynôme caractéristique M de M  Mn (R) est 
défini
par
M (X) = det(XIn - M ).
Le polynôme caractéristique est donc unitaire.

Pour M  Mr,n (R), tM  Mn,r (R) désigne la matrice transposée. On rappelle qu'une
matrice carrée M  Mn (R) est symétrique si tM = M , orthogonale si tM M = In . 
On notera
Sn (R) (respectivement On (R)) l'ensemble des matrices symétriques (resp. 
orthogonales) de taille
n. Étant donné un n-uplet (a1 , . . . , an ) de nombres réels,

a1

..
(a1 , . . . , an ) = 

.
an

désigne la matrice diagonale associée.
Si M  Sn (R), son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres 
(comptées
avec leurs ordres de multiplicité) dans l'ordre décroissant 1 > · · · > n . On 
note alors Sp(M ) =
(1 , . . . , n ), qui est donc un n-uplet ordonné.
b = (1 > · · · > n+1 )  Rn+1 et un n-uplet µ
Un n + 1-uplet 
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn ,
ordonnés, sont dit enlacés si j > µj > j+1 pour tout j  {1, . . . , n}. Ils 
sont strictement
enlacés si j > µj > j+1 pour tout j. Par exemple, (4, 3, 2, 1) et (, e, 2) sont 
strictement
enlacés.

Questions préliminaires
1. (a) Montrer que On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices 
inversibles.
(b) Montrer que On (R) est une partie compacte de Mn (R).

2. Soit M et N dans Sn (R). Montrer qu'il existe U  On (R) tel que N = U M U -1 
, si et
seulement si M = N .
b = (1 > · · · > n+1 )  Rn+1 et µ
3. Soit 
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn . Soit x  R. Formons
b = (1 > · · · > i > x > i+1 > · · · > n+1 )

en choisissant l'entier i  {0, . . . , n + 1} convenablement. Si x > 1 , on a 
donc i = 0, tandis
que si x 6 n+1 , on a i = n + 1. On forme de même
µ
b = (µ1 > · · · > µj > x > µj+1 > · · · > µn ).
b et µ
On suppose que 
b sont enlacés. Montrer que j 6 i 6 j + 1. En examinant chacun des
b et µ
deux cas j = i ou i - 1, montrer que 
b sont enlacés.

1

Première Partie

Soit µ
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn .

4. On définit les polynômes
Q0 =

n
Y

(X - µk ) et j  {1, . . . , n},

Pj =

k=1

Q0
.
(X - µj )

(a) Montrer que la famille (Q0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
(b) Soit j  {1, . . . , n}. Vérifier que (-1)j-1 Pj (µj ) > 0.
5. Soit P  R[X] un polynôme unitaire de degré n + 1.
(a) Montrer qu'il existe un unique vecteur (a, 1 , 2 , . . . , n )  Rn+1 tel que
P = (X - a)Q0 -

n
X

(1)

j Pj .

j=1

(b) On suppose que les nombres réels 1 , . . . , n sont tous strictement 
positifs. Montrer
b = (1 > · · · > n+1 )
que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · · > n+1 , et que 
et µ
b sont strictement enlacés.

(c) Réciproquement, on suppose que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · 
· > n+1 ,
b = (1 > · · · > n+1 ) et µ
et que 
b sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout
j  {1, . . . , n}, j > 0.

6. On se donne des entiers mk > 1 pour k = 1, . . . , n. On pose
Q1 =

n
Y

(X - µk )mk

et, cette fois-ci, Pj =

k=1

Montrer que
Q1  Q1

=

n
Y

(X - µk )mk -1 .

k=1

Page 2

Q1
.
X - µj

7. Soit (a, 1 , 2 , . . . , n )  Rn+1 et soit P  R[X] défini par la formule
P = (X - a)Q1 -

n
X

j Pj .

j=1

(a) Donner une expression de P  Q1 en fonction des µj , des mj et de l'ensemble 
J des
indices pour lesquels j = 0.
(b) On suppose que les nombres 1 , . . . , n sont positifs ou nuls.
Montrer que les racines de P sont toutes réelles.
On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le (N + 1)-uplet des 
racines
de P et le N -uplet des racines de Q1 sont enlacés.

2

Deuxième Partie

8. Soit r et s deux entiers naturels non nuls. Soit A  Mr (R), B  Mr,s (R), C  
Ms,r (R)
et D  Ms (R). On suppose de plus que A est inversible. On considère la matrice 
M 
Mr+s (R) ayant la forme par blocs suivante

A B
M=
.
C D
Trouver deux matrices U  Mr,s (R) et V  Ms (R) telles que

A 0
Ir U
M=
·
.
C Is
0 V
et en déduire que
det(M ) = det(A) · det(D - CA-1 B).
On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque M et ses 
blocs A, . . . , D
sont à coefficients dans le corps R(X) des fractions rationnelles.
9. Soit M  Sn+1 (R) une matrice symétrique. On écrit M sous la forme par blocs

A y
M= t
.
y a
avec a  R, y  Mn,1 (R) et A  Sn (R).
(a) Si le spectre de A est Sp(A) = (µ1 > · · · > µn ), montrer qu'il existe U  
On+1 (R) et
z  Mn,1 (R) tels que

(µ1 , . . . , µn ) z
t
UM U =
.
tz
a
(b) En déduire qu'il existe des nombres réels positifs ou nuls j (pour j = 1, . 
. . , n) tels
que
n
n
Y
X
Q0
,
où Q0 =
(X - µk ).
j
M = (X - a)Q0 -
(X - µj )
j=1

k=1

(c) Montrer que Sp(M ) et Sp(A) sont enlacés.

Page 3

10. Pour T = (tij )  Mn+1 (R), on note T6n la matrice extraite de taille n dont 
les coefficients
sont les tij pour 1 6 i, j 6 n. Soit M  Sn+1 (R). Montrer que l'ensemble
{Sp((U M U -1 )6n )  Rn , pour U parcourant On+1 (R)},
noté CM , est une partie compacte de Rn .
11. On suppose de plus que les valeurs propres de M sont distinctes. On a donc 
Sp(M ) = (1 >
· · · > n+1 ).

(a) Soit µ
b = (µ1 > · · · > µn ) tel que Sp(M ) et µ
b soient strictement enlacés. Montrer que
µ
b appartient à CM .

(b) Montrer que

CM = {b
µ = (µ1 > · · · > µn ), tels que Sp(M ) et µ
b soient enlacés}.

3

(2)

Troisième Partie

On considère l'application
Diagn :

Sn (R)
-
Rn
M = (mij ) 7- (m11 , m22 , . . . , mnn ).

Soit M  Sn (R). Dans cette partie, on se propose d'étudier l'ensemble suivant
DM = {Diag n (U M U -1 ), pour U parcourant On (R)}.
12. On étudie d'abord le cas n = 2. On note alors Sp(M ) = (1 > 2 ).
Montrer que DM est le segment de R2 dont les extrémités sont (1 , 2 ) et (2 , 1 
).
13. Soit M = (mij )  Sn (R). On note Sp(M ) = (1 > · · · > n )  Rn . On se 
propose de
démontrer que, pour tout s  {1, . . . , n}, on a :
s
X
i=1

mii 6

s
X

i .

(3)

i=1

(a) Que pensez-vous du cas s = n ?
Pn-1
(b) Exprimer
i=1 mii au moyen des valeurs propres de la matrice M6n-1 obtenue en
supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de M . En déduire 
l'inégalité (3)
lorsque s = n - 1.
(c) En procédant par récurrence sur n, montrer l'inégalité (3), pour tout s  
{1, . . . , n}.

4

Quatrième Partie

14. On note E l'espace vectoriel R2 muni du produit scalaire standard et de la 
base 
canonique
1
B = {e1 , e2 }. On définit une base C = {1 , 2 } de E par 1 = e1 et 2 = 2 (e1 + 
3 e2 ).

(a) Soit s1 : E-E la symétrie orthogonale
par
 rapport à la droite R1 . Montrer que la

1 1
.
matrice de s1 dans la base C est
0 -1
Page 4

(b) Soit s2 : E-E la symétrie orthogonale
par

 rapport à la droite R2 . Montrer que la
-1 0
matrice de s2 dans la base C est
.
1 1
15. Soit H l'ensemble des vecteurs (m1 , m2 , m3 )  R3 tels que m1 + m2 + m3 = 
0. On note H +
le sous-ensemble des (m1 , m2 , m3 )  H tels que m1 > m2 > m3 . On considère 
l'application
 :

H
-
E
(m1 , m2 , m3 ) 7- (m1 - m2 )1 + (m2 - m3 )2 .

(a) Montrer que  est un isomorphisme linéaire. Décrire (H + ).
(b) Montrer que, pour tout (m1 , m2 , m3 )  H, on a
s1  (m1 , m2 , m3 ) = (m1 , m3 , m2 ) et s2  (m1 , m2 , m3 ) = (m2 , m1 , m3 ).
b = (1 , 2 , 3 )  H tel que 1 > 2 > 3 . On note Qb l'ensemble des
(c) Soit 

(m1 , m2 , m3 )  H + tels que m1 6 1 et m1 + m2 6 1 + 2 . Montrer que (Qb )
est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
16. Soit M  S3 (R) une matrice de trace nulle. On note Sp(M ) = (1 > 2 > 3 ). 
On se
propose de décrire (DM ).
(a) Soit (m1 , m2 , m3 )  H. Soit  une permutation de {1, 2, 3}. Montrer que 
(m1 , m2 , m3 ) 
DM si et seulement si (m(1) , m(2) , m(3) )  DM .
(b) En utilisant la question 13, montrer que l'intersection H +  DM est incluse 
dans Qb .
(c) Soit (m1 , m2 , m3 )  DM . Montrer que le segment de H dont les sommets 
sont (m1 , m2 , m3 )
et (m2 , m1 , m3 ) est inclus dans DM . On pourra utiliser la question 12.
De même, montrer que le segment de H dont les sommets sont (m1 , m2 , m3 ) et 
(m1 , m3 , m2 )
est inclus dans DM .
(d) Montrer que DM contient Qb .
(e) Montrer que si 1 > 2 > 3 alors (DM ) est un hexagone, dont on déterminera 
les
sommets.

Page 5

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X/ENS Maths A MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Alexandre Le Meur (ENS Cachan) et Nicolas Martin (Professeur agrégé).

Ce sujet porte principalement sur les valeurs propres des matrices symétriques
réelles. Il se compose de questions préliminaires et de quatre parties, chacune 
utilisant
les résultats précédents.
· Dans les questions préliminaires, on commence par démontrer des résultats
très classiques : l'ensemble On (R) des matrices orthogonales de taille n est un
sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices inversibles et constitue une partie
compacte de l'espace vectoriel normé Mn (R) des matrices réelles de taille n.
On manipule ensuite des spectres ordonnés et « enlacés » : un (n + 1)-uplet
(1 > · · · > n+1 ) et un n-uplet (µ1 > · · · > µn ) sont dits enlacés lorsque
1 > µ1 > 2 > µ2 > · · · > n > µn > n+1
· Dans la première partie, on établit des résultats sur les racines de 
polynômes ;
ils seront utilisés plus loin pour étudier les valeurs propres de matrices 
symétriques réelles. Cette partie ne fait appel qu'à des connaissances de 
première
année, notamment l'arithmétique des polynômes et le théorème des valeurs
intermédiaires.
· Dans la deuxième partie, on commence par prouver un résultat sur les 
déterminants de matrices par blocs ; puis on s'en sert pour relier le polynôme
caractéristique d'une matrice symétrique réelle M de taille n + 1 et celui de sa
sous-matrice A, notée aussi M6n , obtenue en enlevant la dernière ligne et la
dernière colonne. On démontre ensuite que les spectres de M et de A sont 
enlacés. On prouve enfin, et c'est sans doute le passage le plus difficile du 
sujet, que
l'ensemble des spectres des matrices extraites (UMU-1 )6n quand U parcourt
On+1 (R) est exactement l'ensemble des n-uplets µ
b tels que Sp(M) et µ
b sont
enlacés.
· La troisième partie, assez courte, établit des résultats sur les diagonales de
matrices semblables à une matrice symétrique donnée, avec une matrice de
passage orthogonale.

· Enfin, dans la quatrième partie, qui commence par des questions très simples,
on donne des illustrations géométriques des résultats obtenus précédemment.
Ce sujet est assez long ; il comporte de nombreuses questions abordables mais
aussi quelques-unes qui sont délicates ou longues. À l'exception de la première 
partie,
qui peut être traitée dès la MPSI, il nécessite d'avoir étudié les chapitres 
d'algèbre
euclidienne et de réduction de deuxième année.

Indications
1.b Penser à utiliser la dimension finie de Mn (R). Pour montrer que On (R) est
t
fermé, on pourra introduire la fonction Mn (R)  Mn (R), A 7 A A.
b et µ
3 Examiner attentivement tous les cas possibles pour la position de x dans 
b.
5.a Quel est le degré de X Q0 - P ?

5.b Appliquer plusieurs fois le théorème des valeurs intermédiaires à P en 
utilisant
le résultat de la question 4.b.
5.c Pour tout j  [[ 1 ; n ]], calculer P(µj ) de deux manières.

7.a Commencer par écrire que P Q1 est un diviseur de Q1 , puis caractériser 
l'ordre
des racines à l'aide de l'expression de P, en introduisant l'ensemble J défini 
dans
l'énoncé.
7.b En notant N + 1 le degré de P, il suffit de trouver N + 1 racines réelles 
de P
(comptées avec leurs multiplicités). Utiliser le résultat de la question 5.b 
après
avoir factorisé le polynôme P à l'aide de la question 7.a.
8 On peut procéder par analyse-synthèse.
9.a Appliquer le théorème de réduction des matrices symétriques réelles à la 
matrice A.
9.b Utiliser le résultat admis dans la question 8.
9.c Introduire les racines distinctes de Q0 pour ensuite appliquer la question 
7.b.
10 Cette question est difficile. Commencer par montrer que CM est borné à 
l'aide de
la question 9. Pour prouver que CM est fermé, procéder par étapes : prouver que

EM = (U M U-1 )6n | U  On+1 (R)

est compact, puis que l'ensemble des polynômes caractéristiques des matrices
de EM est compact et enfin utiliser la caractérisation séquentielle des fermés.

11.a Faire appel aux questions 5.c, 9.b et 2.

11.b On peut montrer que si Sp(M) et µ
b sont enlacés, alors µ
b est la limite d'une suite
(b
µp )pN telle que, pour tout p  N, Sp(M) et µ
bp sont strictement enlacés.

12 Justifier que DM = D(µ1 ,µ2 ) puis décrire les éléments de O2 (R) pour 
calculer
les diagonales de toutes les matrices de la forme U (µ1 , µ2 ) U-1 lorsque U
parcourt O2 (R).

13.c Dans l'hérédité, utiliser les questions 9.c et 13.a.
15.a Justifier que (H+ ) est l'ensemble des points à coordonnées positives dans 
le
repère (O; 1 , 2 ).
15.c Montrer que (Qb ) est définie par quatre inégalités portant sur les 
coordonnées
dans le repère (O; 1 , 2 ). Faire un dessin.
16.a Pour la réciproque, appliquer la première implication avec  -1 .
16.c Suivre l'indication de l'énoncé pour la première partie de la question. 
Pour la
seconde partie, utiliser la question 16.a et la première partie de la question.
16.d Faire appel à la question 16.c pour montrer que tout élément de Qb est 
dans DM .

16.e Décomposer H comme la réunion de H+ et d'ensembles obtenus à partir de H+
par permutations des éléments. En déduire que (DM ) est la réunion de 6 
quadrilatères, (Qb ) et ses images par s1 , s2 et leurs composées.

Notons une toute petite erreur dans l'introduction de l'énoncé : la notation 
Mr,n (R) désigne bien sûr l'espace vectoriel des matrices à r lignes et n
colonnes à coefficients réels et non pas à coefficients complexes.

Questions préliminaires
1.a Démontrons à l'aide de la caractérisation des sous-groupes que On (R) est un
sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices inversibles.
t

· Pour toute matrice M de On (R), M M = In donc M est inversible (d'inverse
sa transposée) et ainsi On (R) est inclus dans GLn (R).
t

· La matrice identité In vérifie In In = In 2 = In donc c'est un élément de On 
(R).
L'ensemble On (R) est non vide.
· Soit (A, B)  On (R)2 . Posons C = A B. Alors
t

t

t

t

t

t

C C = (A B) A B = B A A B = B In B = B B = In

puisque A et B sont dans On (R). Donc C  On (R).
t

· Soit A  On (R). Alors A  GLn (R) et A-1 = A donc
t

(A-1 ) A-1 = A A-1 = In

Ceci prouve que A-1 appartient à On (R).
On en conclut grâce au théorème de caractérisation des sous-groupes que
On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R).
1.b On (R) est une partie de Mn (R), qui est un espace vectoriel de dimension 
finie,
donc on peut munir Mn (R) de n'importe quelle norme (elles sont toutes 
équivalentes)
et démontrer que On (R) est une partie compacte revient à démontrer qu'il 
s'agit d'une
partie fermée et bornée de Mn (R).
Soit N la norme euclidienne sur Mn (R), associée au produit scalaire

Mn (R)2 - R

:
 (A, B) 7- Tr t A B

Mn (R) - R+
r 

Autrement dit,
N:
t

 A
7- Tr A A
t

Pour toute matrice M  On (R), M M = In donc
r 
 p

t
N(M) = Tr M M = Tr (In ) = n

Il en découle que On (R) est une partie bornée de l'espace vectoriel normé (Mn 
(R), N).
t
Introduisons la fonction f : M 7- M M. Remarquons que On (R) est l'image
réciproque du singleton {In } par f , c'est-à-dire On (R) = f -1 ({In }). La 
fonction
M 7- t M est linéaire en dimension finie, et par conséquent continue. De plus, 
la
fonction (M, N) 7- MN est également continue puisque bilinéaire en dimension
finie. Par composition, la fonction f est continue. Le singleton {In } étant un 
fermé
de Mn (R), son image réciproque On (R) par la fonction continue f est un fermé
de Mn (R).

Comme On (R) est une partie fermée et bornée de l'espace vectoriel normé de
dimension finie Mn (R), on peut conclure que
On (R) est une partie compacte de Mn (R).
Cette question est très classique, il faut savoir la traiter rapidement.
2 Soient M et N dans l'ensemble Sn (R) des matrices symétriques réelles. 
Démontrons
par double implication qu'elles ont le même polynôme caractéristique si, et 
seulement
si, il existe U  On (R) tel que N = U M U-1 .
· On suppose qu'il existe U  On (R) tel que N = U M U-1 . Alors N et M sont
semblables et, d'après le cours, elles ont alors le même polynôme 
caractéristique.
· Réciproquement, supposons que M et N ont le même polynôme caractéristique.
Les matrices M et N sont symétriques réelles donc, en notant (1 , 2 , . . . , n 
)
et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) leurs spectres ordonnés, il existe (P, Q)  On (R)2 
tel que
M = P (1 , 2 , . . . , n ) P-1

où

et

N = Q (µ1 , µ2 , . . . , µn ) Q-1
1

0
(1 , 2 , . . . , n ) = 
.
 ..

0

et

µ1

0
(µ1 , µ2 , . . . , µn ) = 
.
 ..
0

... 0
. 
..
. .. 

.. ..
.
. 0
. . . 0 n
0
..
.

... 0
. 
..
. .. 

..
..
.
. 0
. . . 0 µn
0
..
.

Par hypothèse, M = N . De plus, M et (1 , 2 , . . . , n ) sont semblables donc
M = (1 ,2 ,...,n ) . De même, les matrices N et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) ont le 
même
polynôme caractéristique. Ainsi, les deux matrices diagonales (1 , 2 , . . . , 
n )
et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) ont le même polynôme caractéristique. Comme on a 
ordonné les valeurs propres, elles sont donc égales. Posons alors U = Q P-1 .
N=
=
=
N=

Q (µ1 , µ2 , . . . , µn ) Q-1

Q P-1 M P Q-1
(QP-1 ) M (QP-1 )-1
U M U-1

Les matrices P et Q sont orthogonales et on a démontré que On (R) est un
groupe, donc U est également un élément de On (R).
Finalement, pour toutes matrices symétriques réelles M et N,
M = N

U  On (R)

N = U M U-1