X Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Équations différentielles
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, intégration par parties, relation de Chasles, complétude, convergence uniforme, théorème du point fixe, lemme de Gronwal

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Solutions périodiques d'équations différentielles

On se propose, dans ce probléme, d'étudier les solutions de certaines équations 
différentielles,
et, en particulier, leurs solutions périodiques.

On désigne par T un nombre réel > 0, par P l'espace vectoriel des fonctions 
définies sur R,
réelles, continues et T--périodiques, et enfin par a un élément de P. On pose

T t
A=/O a(t)dt, g(t) =exp(/0 a(U)dU)ä

on munit P de la norme définie par

llflïll = sup lOE(t)l -
tER

Première part ie

1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l'équation différentielle
OE'(t) = a(t)OE(t) (El)

admet des solutions T --périodiques non identiquement nulles.

On désigne maintenant par b un élément de P, et on s'intéresse à l'équation 
différentielle
oe'(t) = a(t)oe(t) + b(t) . (EZ)

2.a) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs 
intervalles de défi--
nition.

2.b) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont 
T--périodiques, en supposant
d'abord A non nul, puis A nul.

3. On suppose que T : 27r et que la fonction a est une constante R.

3.3) Supposant le non nul, exprimer les coefficients de Fourier :î:(n), n EUR 
Z, d'une solution a:
de (E2) appartenant à P, en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. 
Préciser le mode
de convergence de la série de Fourier de w.

3.b) Que se passe--t--il lorsque k = O ?

Deuxième part ie

Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C1, définie 
sur R2, et on
s'intéresse à l'équation différentielle

oe'(t) = a(t)oe(t) + H (oe(t), t) . (E3)
4. Vérifier qu' une fonction a; est solution de( (E3) si et seulement si elle 
satisfait la condition
oe(t)= )+ O/Og(s) an(s), s)ds) .

5. On suppose que H est T--périodique par rapport a la seconde variable, et que 
A est non
nul. Montrer que, pour toute fonction (L' E P, la formule

t+T
<>= 1 _ ÎAg /g H<æds

définit effectivement une fonction U Ha: de P, et que a: est solution de (E3) 
si et seulement si l'on
a U Ha: : a:.

Dans la suite du problème, on désigne par F une fonction réelle, de classe C 1, 
définie sur R2,
T --périodique par rapport à la seconde variable; pour tout 8 > 0 on pose HEUR 
: SF et UEUR : U HE
de sorte que l'équation différentielle s'écrit

oe'(t) : a(t)oe(t) + 5F(oe(t), t) . (E4)

On suppose A # 0. Pour tout 7' > 0 on note BT la boule fermée de centre O, de 
rayon 7" dans
l'espace normé P. On se propose de démontrer l'assertion suivante : pour tout 
7° > 0 il existe
51 > 0 tel que, pour tout 5 < 81, l'équation différentielle (E4) admette une 
unique solution cc
appartenant à B,... ; on la notera oe5.

On note ar (reSp. 57.) la borne supérieure de l'ensemble des nombres |F(v, s)] 
(resp. |%--Î(v, 3)|)
où ?) EUR [--r,r] et 3 EUR [O,T].

6.a) Déterminer un réel 80 > 0 tel que, pour tout 5 < 80, on ait UEUR(Br) C 
B,...

6.b) Déterminer un réel 51 < 80 tel que, pour tout 8 < 51, la restriction de 
UEUR à B,... soit une
contraction de BT.

6.0) Oonclure.

7. Étudier le comportement de la fonction 5135 lorsque &: tend vers 0, le 
nombre 7" étant fixé.

8. On suppose maintenant que la fonction a est une constante k # 0 et que la 
fonction F est
de la forme F (1), s) = f (0) Déterminer la solution 3135 de (E4).

[On pourra mettre en oeuvre la méthode des itérations successives en partant 
d'une fonction
constante oe0(t) : CO].

9. On prend maintenant T = 1, k = --1 et f (o) : v2; l'équation différentielle 
(E4) s'écrit
donc

oe'(t) : --æ(t) + EURoe(t)2 . (E5)

9.3) Indiquer des valeurs possibles pour 50 et 61.

9.b) Déterminer la solution 5125 de (E5).

9.c) Soit & un nombre réel. Démontrer qu'il existe une unique solution maximale 
(pa de (E5)
telle que g0a (O) = 04. Déterminer précisément cette solution. Représenter 
quelques--unes de ces

solutions sur un même graphique.

Troisième part ie

Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle
oe'(t) = k--"E(t) + 5f(æ(t)) (1536)
en supposant [EUR < 0, f de classe C1 et nulle en 0; on pose

/\= sup lf'(U)l
uEUR[--1,1]

et on suppose 8/\ < --k.

On se propose de démontrer le résultat suivant : si a: est une solution 
maximale de (E6) telle
que |oe(0)| < 1, alors elle est définie sur [D, +00[ et on a, pour tout t > 0

RW)! < IOE(0)|EUR('"+ÊÀ" -

On pourra admettre ce qui suit : soit 90 une fonction positive continue sur un 
intervalle [O, 9]
satisfaisant une inégalité de la forme

sO(t) < 77 + EUR];  0; alors
@@ < 776" --

10. Dans cette question, on suppose que l'ensemble des t pour lesquels |oe(t)| 
> 1 est non
vide et on note 9 sa borne inférieure. Montrer que, pour tout t E [O, 6], on a

le(t)l < lOE(0)le> et la << 
stabilité asymptotique >>
de la solution nulle de l'équation différentielle (EG).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent
Perrier (ENS Lyon) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce problème propose en trois parties d'étudier certaines propriétés des 
solutions
des équations différentielles du type
x (t) = a(t)x(t) + H(x(t), t)

(1)

où a et H sont continues.
· Dans la première partie, on étudie le cas où la fonction H ne dépend pas de x,
ce qui conduit à étudier les solutions de l'équation différentielle linéaire
x (t) = a(t)x(t) + b(t)
On s'intéresse en particulier à l'existence de solutions périodiques de cette 
équation différentielle. Cette partie donne essentiellement lieu à quelques 
questions
de cours et permet de s'échauffer sur des calculs sans difficulté majeure.
· La deuxième partie traite des équations différentielles du type de l'équation 
(1),
que l'on étudie par une méthode classique de point fixe afin de déterminer des
conditions d'existence de solutions périodiques.
· La troisième et dernière partie fait étudier la stabilité et la stabilité 
asymptotique de la solution nulle des équations différentielles du type
x (t) = a(t)x(t) + f (x(t))
où f est une fonction qui s'annule en zéro.
Dans la lignée des épreuves de l'École polytechnique, cette épreuve d'analyse
propose quelques questions calculatoires et, sans requérir abusivement 
l'utilisation
de théorèmes complexes, demande beaucoup de réflexion et une bonne finesse de
raisonnement, ainsi que calme et sang-froid pour trouver les bonnes majorations 
et
les bons arguments dans les dernières questions.
Il s'agit d'une épreuve assez difficile, où la plupart des questions peuvent
se résoudre de diverses manières. Cependant, la connaissance de méthodes 
classiques d'analyse, d'intégration et de résolution d'équations 
différentielles permet de
s'en sortir.

Indications
Première partie
1 Que vérifie l'intégrale sur une période d'une fonction périodique ?
2.a Penser à la méthode de variation de la constante.
2.b Que donne le changement de variable v = u - T quand on intègre bg -1 ?
3.a Multiplier l'équation différentielle par un facteur e-int , puis intégrer 
par parties.
Deuxième partie
4 Utiliser la question 2.a.
5 Pour montrer que UH x est dans P, utiliser les questions 1 et 2.b.
Pour l'équivalence, dériver UH x pour l'une des implications ; montrer que x-UH 
x
est solution de (E1) et utiliser la question 1 pour la réciproque.
6.b Utiliser le théorème des accroissements finis.
6.c Penser au théorème du point fixe.
7 Utiliser la question 5.
8 Se ramener à un problème de point fixe.
9.a Utiliser les formules trouvées aux questions 6.a et 6.b.
9.b Utiliser la question 8.
9.c Penser au changement de fonction inconnue y =

1
.
x

Troisième partie
10 Utiliser la question 4 pour pouvoir appliquer le résultat admis.
11 Utiliser la question 10 pour montrer que x et x sont bornées sur leur 
domaine de
définition. Montrer ensuite que la fonction x admet une limite finie en tout 
point
et en conclure qu'elle est définie sur [ 0 ; + [. Terminer en utilisant à 
nouveau
la question 10 pour obtenir la majoration souhaitée.

Première partie
1 Puisque la fonction a est continue sur R, l'ensemble des solutions de 
l'équation
différentielle
x (t) = a(t)x(t)

(E1)

est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction

 R - R
Z t

g:

 x 7- exp
a(u) du
0

c'est-à-dire, l'ensemble {g |   R}.
Ainsi, pour que l'équation différentielle (E1) admette des solutions 
T-périodiques
non identiquement nulles, il faut et il suffit que la fonction
g soit T-périodique.
Z
t

Or g est T-périodique si et seulement si la fonction t 7-

a(u) du l'est. Soit t  R.

0

On a

Z

t+T

a(u) du =

0

Z

t

a(u) du +

Z

t+T

a(u) du

t

0

La fonction a étant périodique, son intégrale sur une période ne dépend pas de
l'intervalle d'intégration, c'est-à-dire que
Z t+T
Z T
a(u) du =
a(u) du = A
t

Z

soit

0

t+T

a(u) du =
0

t

a(u) du + A

0

On en déduit que les fonctions t 7-
si A = 0. Conclusion :

Z

Z

t

a(u)du et g sont T-périodiques si et seulement

0

L'équation différentielle (E1) admet des solutions périodiques
non identiquement nulles si et seulement si A = 0.
Comme c'est souvent le cas dans les épreuves de l'École polytechnique,
cette première question est relativement facile. Il convient donc de la rédiger
le mieux possible.
2.a Les fonctions a et b étant continues, l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle (E2) est un espace affine de dimension 1, de direction l'espace 
vectoriel
des solutions de l'équation homogène associée (E1). Ainsi, les solutions de 
(E2) sont
de la forme
y = g + yP
où yP est une solution particulière de (E2). Il reste donc à trouver une telle 
solution
particulière.
Utilisons pour cela la méthode de la variation de la constante en cherchant des
solutions sous la forme y(x) = (x)g(x). On a
y  =  g + g  =  g + ay

donc y = g est solution de (E2) si et seulement si  g = b, ie si et seulement 
si y
est de la forme

Z x
x  R y(x) = g(x) C +
b(t)g(t)-1 dt
0

Z x
En particulier, la fonction y : x 7- g(x)
b(t)g(t)-1 dt est une solution particulière
0

de (E2).
On en déduit que les solutions maximales de l'équation différentielle (E2)
sont les fonctions définies sur R par
Z x
x 7- C g(x) + g(x)
b(t)g(t)-1 dt
CR
0

Il est aussi possible de trouver directement les solutions de (E2) à partir
d'une solution de (E1). Soit x une fonction vérifiant
x = ax + b
Alors, en divisant par g (qui ne s'annule pas), on trouve
ax
b
x
=
+
g
g
g
x
ax
b
-
=
g
g
g

soit

Comme g est solution de (E1), on reconnaît
 
x
x
-g 
x
ax
=
+x 2 =
-
g
g
g
g
g
 
x
b
=
g
g

Il vient alors

Il n'y a plus qu'à intégrer pour constater que la fonction x est de la forme
Z t

b(u)
x : t 7- g
du + c
0 g(u)
où c est une constante d'intégration. En remontant les calculs, on vérifie que
toute fonction de cette forme est solution de (E2), et qu'on a donc déterminé
l'ensemble des solutions de (E2).
2.b Considérons une solution maximale de (E2) et fixons pourZ cela un réel  
quelx
conque. Pour que la fonction f : x  R 7- g(x) + g(x)
b(t)g(t)-1 dt soit
0

T-périodique, il faut et il suffit que la différence (t) = f (t + T) - f (t) 
soit nulle
pour tout réel t.
Or, pour tout réel t, on calcule
Z t+T
Z t
(t) = g(t + T) + g(t + T)
b(u)g(u)-1 du - g(t) - g(t) b(u)g(u)-1 du
0

0