X Maths 1 MP 2004

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Solutions périodiques d'équations différentielles

On se propose, dans ce probléme, d'étudier les solutions de certaines équations 
différentielles,
et, en particulier, leurs solutions périodiques.

On désigne par T un nombre réel > 0, par P l'espace vectoriel des fonctions 
définies sur R,
réelles, continues et T--périodiques, et enfin par a un élément de P. On pose

T t
A=/O a(t)dt, g(t) =exp(/0 a(U)dU)ä

on munit P de la norme définie par

llflïll = sup lOE(t)l -
tER

Première part ie

1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l'équation différentielle
OE'(t) = a(t)OE(t) (El)

admet des solutions T --périodiques non identiquement nulles.

On désigne maintenant par b un élément de P, et on s'intéresse à l'équation 
différentielle
oe'(t) = a(t)oe(t) + b(t) . (EZ)

2.a) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs 
intervalles de défi--
nition.

2.b) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont 
T--périodiques, en supposant
d'abord A non nul, puis A nul.

3. On suppose que T : 27r et que la fonction a est une constante R.

3.3) Supposant le non nul, exprimer les coefficients de Fourier :î:(n), n EUR 
Z, d'une solution a:
de (E2) appartenant à P, en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. 
Préciser le mode
de convergence de la série de Fourier de w.

3.b) Que se passe--t--il lorsque k = O ?

Deuxième part ie

Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C1, définie 
sur R2, et on
s'intéresse à l'équation différentielle

oe'(t) = a(t)oe(t) + H (oe(t), t) . (E3)
4. Vérifier qu' une fonction a; est solution de( (E3) si et seulement si elle 
satisfait la condition
oe(t)= )+ O/Og(s) an(s), s)ds) .

5. On suppose que H est T--périodique par rapport a la seconde variable, et que 
A est non
nul. Montrer que, pour toute fonction (L' E P, la formule

t+T
<>= 1 _ ÎAg /g H<æds

définit effectivement une fonction U Ha: de P, et que a: est solution de (E3) 
si et seulement si l'on
a U Ha: : a:.

Dans la suite du problème, on désigne par F une fonction réelle, de classe C 1, 
définie sur R2,
T --périodique par rapport à la seconde variable; pour tout 8 > 0 on pose HEUR 
: SF et UEUR : U HE
de sorte que l'équation différentielle s'écrit

oe'(t) : a(t)oe(t) + 5F(oe(t), t) . (E4)

On suppose A # 0. Pour tout 7' > 0 on note BT la boule fermée de centre O, de 
rayon 7" dans
l'espace normé P. On se propose de démontrer l'assertion suivante : pour tout 
7° > 0 il existe
51 > 0 tel que, pour tout 5 < 81, l'équation différentielle (E4) admette une unique solution cc appartenant à B,... ; on la notera oe5. On note ar (reSp. 57.) la borne supérieure de l'ensemble des nombres |F(v, s)] (resp. |%--Î(v, 3)|) où ?) EUR [--r,r] et 3 EUR [O,T]. 6.a) Déterminer un réel 80 > 0 tel que, pour tout 5 < 80, on ait UEUR(Br) C B,... 6.b) Déterminer un réel 51 < 80 tel que, pour tout 8 < 51, la restriction de UEUR à B,... soit une contraction de BT. 6.0) Oonclure. 7. Étudier le comportement de la fonction 5135 lorsque &: tend vers 0, le nombre 7" étant fixé. 8. On suppose maintenant que la fonction a est une constante k # 0 et que la fonction F est de la forme F (1), s) = f (0) Déterminer la solution 3135 de (E4). [On pourra mettre en oeuvre la méthode des itérations successives en partant d'une fonction constante oe0(t) : CO]. 9. On prend maintenant T = 1, k = --1 et f (o) : v2; l'équation différentielle (E4) s'écrit donc oe'(t) : --æ(t) + EURoe(t)2 . (E5) 9.3) Indiquer des valeurs possibles pour 50 et 61. 9.b) Déterminer la solution 5125 de (E5). 9.c) Soit & un nombre réel. Démontrer qu'il existe une unique solution maximale (pa de (E5) telle que g0a (O) = 04. Déterminer précisément cette solution. Représenter quelques--unes de ces solutions sur un même graphique. Troisième part ie Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle oe'(t) = k--"E(t) + 5f(æ(t)) (1536) en supposant [EUR < 0, f de classe C1 et nulle en 0; on pose /\= sup lf'(U)l uEUR[--1,1] et on suppose 8/\ < --k. On se propose de démontrer le résultat suivant : si a: est une solution maximale de (E6) telle que |oe(0)| < 1, alors elle est définie sur [D, +00[ et on a, pour tout t > 0

RW)! < IOE(0)|EUR('"+ÊÀ" - On pourra admettre ce qui suit : soit 90 une fonction positive continue sur un intervalle [O, 9] satisfaisant une inégalité de la forme sO(t) < 77 + EUR];  0; alors
@@ < 776" -- 10. Dans cette question, on suppose que l'ensemble des t pour lesquels |oe(t)| > 1 est non
vide et on note 9 sa borne inférieure. Montrer que, pour tout t E [O, 6], on a

le(t)l < lOE(0)le> et la << stabilité asymptotique >>
de la solution nulle de l'équation différentielle (EG).