X Maths 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Étude d'un opérateur différentiel à l'aide de séries entières, méthode des séries majorantes
Principaux outils utilisés séries entières, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2000

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la 
concision de la
rédaction.

***

On se propose d'étudier certaines équations différentielles, d'abord dans le 
cadre des séries
entières, ensuite dans celui des fonctions indéfiniment dérivables.

Notations des parties I, II et III.

On désigne par E l'espace vectoriel sur C formé des suites de nombres complexes 
u =

(Uk)k=1,2,..., et par en la suite u où uk = 1 si k = n et 0 si k # n. Pour tout 
il de E on note
00

r(u) le rayon de convergence, éventuellement nul ou infini, de la série entière 
z uk mk; pour

k=1
tout nombre réel R > 0 on note ER l'ensemble des u de E tels que r u 2 R; enfin 
on note E
+

l'ensemble des U E E tels que r(u) > 0.

Première partie

1. Démontrer les assertions suivantes :

a) Un élément u de E appartient à E+ si et seulement s'il existe un nombre réel 
M > 0

1
tel que l'on ait [uk] £ Mk pour tout k; dans ce cas on a r(u) Z Ü'
. , k 1
b) Si, pour un reel M > 0, on a |uk| 2 M pour tout k, on a r(u) £ Ü

2. Déterminer un nombre réel 7 > 0 tel que l'on ait, pour tout k 2 2 :

k--l 1
12(k -- z)2 k2

i=1

Deuxième partie

On fixe un nombre complexe a et on désigne par Aa l'endomorphisme de E défini 
par
(Aau);Ç = (k + a)uk pour tout k.

3. Déterminer le noyau et l'image de Aa.

4. Vérifier que, si @ n'est pas un entier strictement négatif, pour tout R > 0, 
la restriction
de Aa à ER est un isomorphisme de ce sous--espace sur lui--même.

Troisième partie

On définit le produit u * v de deux éléments u et v de E par (u * v)1 = 0 et

Ic--1

(u*v)k = ZUiUk--i pour k 2 2.
i=1

On fixe deux nombres complexes a et c, a n'étant pas un entier strictement 
négatif; on note
T l'application de E dans lui--même définie par Tu : Aau + ou * u.

5.a) Supposant que Tu = 'U où u et 1) sont des éléments de E, écrire m en 
fonction de m,
puis uk en fonction de uk, ..., . .. ,uk_1 pour k 2 2.

b) Déterminer le noyau et l'image de T. L'application T est--elle injective ? 
surjective ?

6. On se propose de démontrer que la restriction de T à E+ est une bijection de 
ce sous--espace
sur lui--même.

a) Vérifier que T(E+) est inclus dans E+.

b) Soit U E E tel que 1} = Tu EUR E+. Démontrer l'existence de nombres réels 6, 
M , Mg, ]tI1
strictement positifs satisfaisant les conditions suivantes :

(l) VkEN*,|k--Æ-aIZÔ
(2) 2|c|*y M0 S 5, où w est la constante introduite à la question 2.

(3) Vk E N*, |... S Mk

(4) M S 5M0M1
(5) Vk EUR N*, 2k:2Mlc g 5M0Mf .

MOMÏ

c) Comparer |uk| et k2

d) Conclure.

7. Exemple. On prend a = 0, c = --1, v = Àe1 où A E R* , et on suppose encore 
Tu = v.

&) Montrer que uk est de la forme uk = ak/\k avec ak EUR Ri et

214" S ak S 1 pour tout k .

b) En déduire un encadrement de T(u)

Quatrième partie

Pour tout intervalle ouvert I de B on note 000 (I ) l'espace des fonctions 
complexes indéfini--
ment dérivables sur I. On désigne par a un nombre réel non nul et par D 
l'endomorphisme de
C°°(I) défini par

(Df)(t) = t f'(t) + @ N)-

8. Déterminer les solutions maximales de l'équation différentielle D f = 0 sur 
les intervalles
]0, +00[ et ] -- 00, 0[, et préciser leurs intervalles de définition.

9. Dire pour quelles valeurs de a il existe une fonction f E C°° (R), vérifiant 
D f = O, nulle
en 0 mais non identiquement nulle.

Dans la suite, on prend pour I un intervalle de la forme ]0,9[ avec 0 EUR]0, 
+00]. On désigne
par 150 un point de I , par g une fonction de C°°(I), et enfin par a un nombre 
complexe.

10. Déterminer la solution maximale de l'équation différentielle D f = g sur I 
telle que
f (to) = a [on pourra introduire la fonction

t

t»--> sa_1 g(s)ds]
to

11. On suppose dans cette question que @ n'est pas un entier strictement 
négatif et que g est
00

la restriction à I de la somme d'une série entière î: 'Uk tk ayant un rayon de 
convergence Z @.
k=1

Déterminer & de façon que f soit aussi la restriction à I de la somme d'une 
série entière
ayant un rayon de convergence 2 EUR.

12. On se propose d'étudier le comportement de f (t) lorsque t tend vers 0, 
sous l'hypothèse
que g(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0.

&) Supposant a < 0, déterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers 0.
b) On suppose maintenant que a > 0 et que la fonction g, prolongée par 0 au 
point 0,

admet une dérivée à droite en ce point. Trouver un nombre a tel que f (t) tende 
vers 0 lorsque
t tend vers 0.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Serge Bellaïche (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît
Chevalier (ENS Ulm) et Francesco Colonna-Romano (ENS Ulm).

C'est un sujet d'analyse plutôt facile pour l'X, qui porte sur les séries 
entières et
les équations différentielles.
Il consiste en l'étude de l'opérateur différentiel D défini par
Df (t) = t f  (t) + a f (t)
dans l'espace des fonctions C .
­ Dans la première partie, on démontre quelques résultats préliminaires.
­ Dans la deuxième, on étudie l'endomorphisme de l'espace E des suites complexes
Aa : (uk ) 7 ((k + a) uk ), naturellement associé à D, et son effet sur le 
rayon de
convergence.
­ On utilise ensuite une méthode de séries majorantes pour montrer que l'inverse
d'une application non linéaire de E (perturbation de Aa par addition d'un terme
quadratique) conserve la stricte positivité du rayon de convergence.
­ La dernière partie est en fait indépendante des trois premières (sauf la 
question
11) et revient au cas linéaire puisqu'elle est consacrée à l'étude de l'équation
différentielle Df = g et du comportement aux limites de ses solutions.

Indications

2 Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle

1
.
X(k - X)

3 Distinguer le cas où a est un entier < 0.
5.b Par « noyau de T », comprendre T-1 ({0}). Pour montrer que T est injective
on pourra introduire par l'absurde u 6= u dans E, tels que Tu = Tu , puis
considérer k0 le plus petit entier k tel que uk 6= uk .
6.b Essayer d'abord de satisfaire (1), (2), (3) et (4) puis, en utilisant (4), 
donner
une condition suffisante pour que (5) soit vérifiée.
6.c Montrer par récurrence que pour tout k > 1, on a
|uk | 6

M0 M1 k
k2

en utilisant les questions 2 et 6.b.
9 Montrer que t 7 t est de classe C sur [ 0 ; + [ si et seulement si   N.
11 Quel est le lien entre les opérateurs D et Aa ?
12.a Utiliser la formule obtenue à la question 10 et faire un découpage 
d'intégrale.
12.b Trouver une condition nécessaire sur  pour que f tende vers 0 en 0 à partir
de la formule obtenue à la question 10 puis montrer qu'elle est suffisante.

Première partie

La première question est facile et classique : il faut absolument savoir la 
faire.
En revanche, on pourra, si besoin est, sauter la question 2, plus astucieuse, 
en se
contentant d'admettre le résultat qui ne servira qu'à la question 6.c.
1.a
uk k converge, donc |uk k | est

C 1
borné par une constante C. En choisissant M assez grand (M > max
,
),
 
on obtient :

­ Si u  E+ , soit  tel que 0 <  < r(u) ; la série

k  N ,

P

|uk | 6 Mk

­ Réciproquement, s'il existe M > 0 tel que pour tout k  N , |uk | 6 Mk alors
1 P
k
|uk k | 6 (M) . Donc si  < ,
uk k converge et r(u) > . Ainsi r(u) > 
M
1
1
et en particulier r(u) > 0, c'est-à-dire u  E+ .
pour tout  < , d'où r(u) >
M
M
k

1.b Si on suppose |uk | > Mk pour tout k, alors |uk (1/M) | > 1, donc la série
P
k
uk (1/M) diverge (le terme général ne tend pas vers zéro), ce qui entraîne r(u) 
6
1
.
M

Attention, le rayon de convergence ne fournit pas une condition nécessaire
et suffisante de convergence. Tout ce qu'on peut dire, c'est : si  < r(u), alors
P
P
uk k converge ; si
uk k converge, alors  6 r(u).
Pour s'en souvenir, penser géométriquement : une série entière peut
converger ou non sur le bord du disque de convergence. Elle peut même
converger en certains points du bord et pas en d'autres.
2 On a
1
1
=
i(k - i)
k

1
1
+
i
k-i

Puisque (a + b)2 6 2(a2 + b2 ), on en déduit

1
2
1
1
6 2
+
i2 (k - i)2
k
i2
(k - i)2
d'où
k-1
P
i=1

1
2
6 2
i2 (k - i)2
k

k-1

P 1 k-1
P
P 1
1
4 k-1
4 2

+
= 2
6 2
= 2
2
2
2
i
(k
-
i)
k
i
k
6
k
i=1
i=1
i=1

2 2
 . (On a effectué le changement d'indice i  k - i dans la seconde somme
3
+
k-1
P 1
P 1
2
et on a majoré
par
=
.)
2
2
6
i=1 i
i=1 i

où  =

On peut également utiliser une méthode de comparaison entre séries et 
intégrales.

Deuxième partie

On démontre ici que l'endomorphisme Aa : (uk ) 7 ((k + a)uk ) induit un 
automorphisme du sous-espace des suites dont le rayon de convergence associé 
est > R.
Cette partie est courte et reste relativement simple, raison de plus pour la 
traiter
avec soin. En passant vite sur le cas où a est un entier < 0 ou bien sur les 
inégalités larges ou strictes des rayons de convergence, on peut perdre des 
points faciles.
De même, il n'est pas inutile de démontrer rapidement que ER est un sous-espace
vectoriel de E.
3
­ Si a n'est pas un entier strictement inférieur à 0, on peut diviser par
k + a pour tout entier k > 1. D'où les équivalences :
u  Ker Aa  k  N , (k + a)uk = 0
 k  N , uk = 0
donc

Ker Aa = {0}

Attention, il faut se garder de dire Ker Aa = {0}  Im Aa = E (injectif
 surjectif). Ceci n'est vrai qu'en dimension finie.
Montrons que Im Aa = E. Soit v  E, la suite u définie par uk =
dans E et on a v = Aa u ; donc v  ImAa .

vk
est
k+a

Im Aa = E
Ainsi, Aa est un isomorphisme de E sur lui-même.
­ Si a est un entier strictement négatif,
u  Ker Aa  k  N , (k + a)uk = 0
 k  N - {-a}, uk = 0
donc

Ker Aa = Ce-a

Montrons que Im Aa = {v  E|v-a = 0}. En effet, si v  ImAa , il existe u dans
E tel que vk = (k + a)uk pour tout k donc v-a = 0. Inversement, si v-a = 0,
vk
toute suite u définie par uk =
si k 6= -a et u-a quelconque est dans E et
k+a
on a v = Aa u donc v  Im Aa .
Im Aa = {v  E | v-a = 0}