Mines Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Formule sommatoire de Poisson
Principaux outils utilisés séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre, séries de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2012 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2012
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Formule sommatoire de Poisson
L'objectif de ce problème est d'établir sous quelles conditions la formule
sommatoire de Poisson est vraie et d'en étudier certaines applications.
Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et
à valeurs dans C. On note L l'espace vectoriel des fonctions continues par
morceaux et intégrables sur R, et L  l'espace vectoriel des fonctions continues
f telles qu'il existe  > 1 pour lequel la fonction x 7 |x| f (x) est bornée sur 
R.

A. Préliminaires
La transformée de Fourier de f  L est la fonction f^ définie par la formule :
Z
^
f (x) e -2i x dx.
f () =
-

1) Justifier que pour tout f  L , f^ est bien définie et continue sur R.

On désigne par W l'ensemble des fonctions f  L telles que f^  L , et par W 
l'ensemble des fonctions f  L  telles que f^  L  .
2) Établir que W et W  sont des espaces vectoriels sur C, vérifiant l'inclusion
W W .
Étant donné f  L ,  > 0 et y,   R, on pose, pour tout x  R, f  (x) = f (x) et
f y, (x) = f (x + y)e -2i x .
3) Déterminer les transformées de Fourier de f  et f y, en fonction de f^. Que
peut-on en déduire sur les espaces W et W  ?
4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions s et t définies sur R par
les formules
(
1 pour |x| É 21 ;
s(x) =
0 ailleurs,
et
t (x) =

(

1 - |x| pour |x| < 1 ;
0

ailleurs,

pour tout x  R.
5) Montrer que W  et W sont distincts de L . On pourra pour cela s'aider de
la fonction s définie à la question précédente.
6) Si f n est une suite de fonctions de W convergeant en moyenne vers une
fonction f  W , montrer que la suite f^n converge vers f^, uniformément
sur R.
2

B. Formule sommatoire de Poisson
P
Soit f  L  . Sa périodisée f~ est définie par la formule f~(x) = nZ f (x + n).
7) Montrer que f~ est bien définie, 1-périodique et continue sur R.
8) Déterminer, en fonction de f^, les coefficients de Fourier de f~ définis pour
tout n  Z par la formule
Z1
~
f~(x) e -2i nx dx.
cn ( f ) =
0

On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes 
coefficients de Fourier, alors elles sont égales.
9) Montrer que si f^  L  , alors f~ est égale à la somme de sa série de Fourier.
En déduire, pour tout f  W  , la formule de Poisson :
X
X
f (n) =
f^(n).
nZ

nZ

Les parties suivantes donnent diverses applications de la formule de Poisson.

C. Application à la formule d'inversion de Fourier
Soit f  W  .
10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction f x, définie dans la
partie A, établir la généralisation suivante, pour tous réels x et  :
X
X
f^(n + ) e 2i x(n+) .
f (x + n) e -2i n =
nZ

nZ

Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier
fx , où F x est la fonction définie par F x () =
de la fonction périodisée F
2i x
^
f ()e
.
11) En déduire la formule d'inversion de Fourier :
Z
f^() e 2i x d.
f (x) =
-

On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient
fx .
de Fourier particulier de F

On dit que   C est valeur propre de la transformation de Fourier dans W  s'il
existe f  W  non nulle telle que f^ =  f .

12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité,
puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation
de Fourier dans W  . On pourra s'aider de combinaisons linéaires des
fonctions t et t où t est définie à la question 4).
Les parties suivantes sont indépendantes les unes des autres.
3

D. Application au théorème d'échantillonnage de Whittaker
On considère, dans cette partie, une fonction f  W  telle que f^ s'annule en
dehors de l'intervalle [- 21 , 21 ].
de façon unique par la donnée de la
13) Montrer qu'alors f est
¡ déterminée
¢
suite des échantillons f (n) nZ . (On pourra s'aider de la formule généralisée 
de Poisson établie à la question 10).)
14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que f^ s'annule en 
dehors d'un intervalle [- 21 - , 12 + ] où  > 0 ? (On pourra considérer la
fonction  7 t (

+ 12
- 12
)
-
t
(

 ),

où t est la fonction définie à la question 4).)

E. Contre-exemple de Katznelson
Dans cette partie, on considère la fonction t définie à la question 4) et l'on
pose, pour tous x  R, k  N et N entier > 0 :
u k (x) = t (2k x) - t (2k+1 x)
u k,N (x) =

|n| ´
1 X ³
1-
u k (x - n).
N nZ,
N
|n|
			

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Mines Maths 2 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Jean Louet (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE).

Ce problème concerne l'étude de la transformée de Fourier et de la formule 
sommatoire de Poisson. Il se compose de 6 parties dont les 3 dernières sont 
indépendantes
entre elles.
· Dans la première partie, on introduit et étudie la transformée de Fourier.
Cette partie comporte essentiellement des calculs.
· La deuxième partie utilise les séries de Fourier pour démontrer la formule 
sommatoire de Poisson.
· La troisième concerne la formule d'inversion de Fourier permettant de relier
les valeurs des images d'une fonction et la transformée de Fourier de celle-ci.
· La quatrième partie utilise les résultats des deux précédentes. On y démontre
que sous certaines conditions sur la transformée de Fourier, une fonction peut
être entièrement déterminée par ses valeurs en les entiers.
· Le but de la cinquième partie est de fournir un contre-exemple à la formule
sommatoire de Poisson lorsque les hypothèses de croissance à l'infini ne sont 
plus
vérifiées. Dans cette partie on utilise beaucoup les théorèmes de domination.
· Finalement, dans la sixième partie, on calcule une approximation numérique
fine d'une série.
Cette épreuve est difficile dans la mesure où les questions calculatoires de la
première partie sont ouvertes et systématiquement utilisées par la suite. Il 
est cependant possible d'admettre les résultats des parties B et C pour traiter 
la fin du sujet.
Les trois dernières parties peuvent être abordées dans le désordre ; elles 
permettent
de se familiariser avec l'utilisation de la transformée de Fourier et de la 
formule
sommatoire de Poisson.

Indications
Partie A
3 Montrer que W et W  sont stables par les opérations f 7 f et f 7 fy,v . 
Justifier
en particulier que si f appartient à L  alors il en est de même pour f et fy,v .
4 Ne pas oublier de traiter les cas  = 0. Pour calculer b
t(), intégrer par parties.
5 Pour montrer que la fonction x 7 sin(x)/(x) n'est pas intégrable sur R, 
décomZ N
sin(x)
dx en une somme d'intégrales sur des intervalles
poser l'intégrale
x
-N
de longueur 1 qu'il faut minorer par le terme général d'une série divergente.
Partie B
8 Bien prendre des lettres différentes pour l'indice n de la somme et le n-ième
coefficient de Fourier.
9 Montrer que la série de terme général fb(n)e 2inx est normalement convergente.
Avec la question 8, exprimer fe comme la somme de sa série de Fourier et évaluer
cette somme en 0.
Partie C
10 La question 3 permet de justifier l'utilisation de la formule de la question 
9 à la
fonction fx, . De plus, elle fournit l'expression de fd
x, .
12 Interpréter la formuler d'inversion de Fourier avec la transformée de 
Fourier de fb.
Appliquer alors la transformation de Fourier à l'égalité fb = f .
Partie D

13 Utiliser le résultat de la question 11 pour montrer qu'une fonction de W  est
uniquement déterminée par sa transformée de Fourier puis le résultat de la 
question 10 pour déterminer cette dernière.
14 Considérer une fonction g de W  dont la transformée de Fourier est celle 
donnée
par l'énoncé. Utiliser pour cela le résultat de la question 11.
Partie E
15 Pour x  Z, montrer que f (x) = 0. Pour x 
/ Z, se placer sur des intervalles du
type  + 1/2K ;  + 1 - 1/2K où   Z et K  N .
16 Remarquer que uk et uk,N sont positives. Les calculs des questions 3 et 4 
permettent de déterminer u
ck (0). Pour la seconde partie de la question, utiliser le
résultat de la question 6.
18 Commencer par majorer sup |c
uk | par un terme dépendant de n et k. Choisir
[ n ;n+1 ]

les Nk de façon à obtenir le terme général d'une série convergente.
19 Montrer que pour  entier, u[
ck (). Déterminer la série de terme général
k,Nk () = u
uk à l'aide d'une sommation télescopique ce qui permet d'obtenir la valeur de 
fb()
à l'aide des questions 3 et 4. Pour conclure, utiliser la question 15.
Partie F
20 Utiliser la formule sommatoire de Poisson (prouvée à la question 9) avec la 
fonction x 7 g (x/100) pour accélérer la convergence de la somme. À l'aide de 
l'in2
égalité e -x 6 e -x , majorer le reste de la somme obtenue. Montrer que celui-ci
4
est inférieur à 10-10 dès le premier terme de la somme.

A. Préliminaires
1 Soit  un nombre réel quelconque. L'application qui à un nombre réel x associe
f (x)e -2ix est continue par morceaux sur R (car f l'est). De plus on a 
l'égalité
f (x)e -2ix = |f (x)|
Comme la fonction f appartient à L , elle est intégrable donc f (x)e -2ix l'est 
aussi.
Ceci justifie l'existence de fb() pour tout réel . Pour montrer que fb est 
continue,
on commence par remarquer que

· à x fixé dans R, l'application  7 f (x)e -2ix est continue sur R.
· à  fixé dans R, l'application x 7 f (x)e -2ix est continue par morceaux sur R
(car f l'est).
· pour tous réels x et , f (x)e -2ix = |f (x)|, c'est-à-dire qu'on a une 
majoration de x 7 f (x)e -2ix par une fonction intégrable sur R et indépendante
de .

D'après le théorème de continuité sous l'intégrale avec domination, on obtient 
que
La fonction fb est bien définie et continue sur R.

2 Montrons l'inclusion L   L . Soit f une fonction de L  . La fonction f étant
continue, elle est en particulier continue par morceaux. Pour montrer que la 
fonction
continue f est intégrable sur R il suffit de le vérifier aux bornes. Comme f 
appartient

à L  , il existe des réels  > 1 et M tels que pour tout réel x on a |x| |f (x)| 
6 M donc

|f (x)| 6 M/ |x| pour x non nul. Comme  > 1, la fonction x 7 |x| est intégrable
en + et en -. Il en est donc de même pour f . Ceci montre bien que L   L .
Pour définir W  , on considère la transformée de Fourier d'une fonction de L  ,
ce qui a un sens puisqu'on vient de montrer que cet espace est inclus dans L . 
Soit f
une fonction de W  , on a f  L   L et fb  L   L . Ainsi la fonction f
appartient à W et on a montré que
L'espace W  est inclus dans l'espace W.
Montrons que la transformation de Fourier est une application linéaire sur L .
Soient f et g deux fonctions de L et soit  un nombre réel. Comme L est un espace
vectoriel, f + g appartient à L donc la transformée de Fourier de f + g existe.
Pour tout réel  on a
Z +
f\
+ g() =
(f (x) + g(x)) e -2ix dx
par définition
-
Z +
Z +
g(x)e -2ix dx
=
f (x)e -2ix dx + 
-

-

f\
+ g() = fb() + b
g ()

On a donc bien vérifié que la transformation de Fourier est linéaire.
Démontrons que l'ensemble W est un espace vectoriel. Il est non vide car la
fonction nulle appartient à cet ensemble. Soient maintenant f et g deux 
fonctions
de W et soit  un nombre réel. La fonction f + g appartient à L et on vient
de démontrer que la transformée de Fourier de f + g est égale à fb + b
g . Or fb et gb
b
\
appartiennent à l'espace vectoriel L donc il en est de même de f +b
g = f + g. Ainsi,
L'espace W est un espace vectoriel.

Procédons de même pour W  . Une nouvelle fois, la fonction nulle est un élément
de W  . Soient f et g deux fonctions de W  et soit  un nombre réel. Comme L 
est un espace vectoriel, les fonctions f + g et fb + b
g = f\
+ g appartiennent aussi
à L  . Ainsi f + g est un élément de W  . En conclusion,
L'espace W  est également un espace vectoriel.
On a utilisé sans le démontrer l'affirmation suivante de l'énoncé :
« L et L  sont des espaces vectoriels. » Pour L , cela provient du fait que
l'ensemble des fonctions continues par morceaux et l'ensemble des fonctions
intégrables sont des espaces vectoriels. Montrons maintenant que L  est bien
un espace vectoriel. Soient f et g deux fonctions de L  et soit  un nombre
réel. L'ensemble des fonctions continues est un espace vectoriel, f + g est
continue. Comme f et g appartiennent à L  , il existe des constantes f > 1
et g > 1 telles que les fonctions
x 7 |x|

f

et

f (x)

x 7 |x|

g

g(x)

soient bornées. Notons Mf et Mg les bornes correspondantes. La fonction

x 7 |x| (f + g) est continue sur le compact [ -1 ; 1 ] donc bornée quelque
soit  réel. Prenons  = min(f , g ), on a pour |x| > 1,

|x| |(f + g) (x)| = |x| f (x) +  |x| g(x)

6 |x| f f (x) +  |x|
|x| |(f + g) (x)| 6 Mf + Mg

g

g(x)

Ainsi pour  = min(f , g ) > 1, la fonction x 7 |x| (f + g) (x) est bornée.
On vient de vérifier que L  était bien un espace vectoriel.
Une autre méthode pour montrer que W et W  sont des espaces vectoriels
consiste à remarquer que la transformation de Fourier TF est une application
linéaire et que par définition,
W = L  T-1
F (L )

W  = L   T-1
F (L )

3 Soient f  L et  > 0, la fonction f appartient à L . Calculons sa transformée
de Fourier. Par définition, pour tout  réel,
Z +
Z +
-2ix
fc
()
=
f
(x)e
dx
=
f (x)e -2ix dx

-

-

Effectuons le changement de variable u = x (l'application x 7 x étant C 1 et
bijective de R dans R) :
 
Z +
 du
1 b 
-2iu 
fc
()
=
f
(u)e
=
f

-
En résumé,

  R

1b 
fc
()
=
f

De même, la fonction fy,v appartient à L et
Z +
Z
-2ix
d
fy,v () =
fy,v (x)e
dx =
-

+

f (x + y)e -2ivx e -2ix dx

-