Mines Maths 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Algèbres de Lie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2007 MATH. II MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQ UES II _ MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Algèbres de Lie

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal a 1. On note Mn,p(C)
l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes, a coefficients com--
plexes.

On identifiera une matrice colonne X (un élément de Mn,1(C)) et le
vecteur de (C" dont les composantes dans la base canonique de (C" sont les
coefficients de la matrice X. Pour M EUR Mn,n(C), on note M l'endomor--
phisme canoniquement associé de (C": M est l'endomorphisme de (C" dont

M est la matrice dans la base canonique de (C". Par ailleurs, EÀ(M ) est
l'espace propre associé a la valeur propre À de l'endomorphisme M.

Pour une matrice M EUR Mnn(C) de coefficients (mij,7l,j : 1,- -- ,n) et
pour k = O, - - - ,n -- l, on appelle k--ième diagonale supérieure de M , notée
DAM), l'ensemble des coefficients (mi,i+k,7l : l, - - - ,n -- le). Une diagonale

supérieure Dk(M ) est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.

Si V et W sont deux espaces supplémentaires de (C", on note pv la pro jec--
tion sur V parallèlement a W: pour a: : a:v --l-- a:W avec a:v E V et a:W E W,
pv(a:) : a:v. Pour un endomorphisme u de (C", on note uv sa restriction a
V.

De sorte que si 7ZV représente l'injection de V dans (C", uv(y) : u(iv(y))
pour tout y E V.

I Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux éléments X et Y de Mnn(C) la ma--
trice, notée [X,Y], définie par

[X,Y] = XY -- YX.

Définition 1 Soitbl un sous--espace vectoriel de Mnn(C). On note {Ul l'es--
pace vectoriel engendré par les crochets de Lie [X,Y] lorsque X et Y décrivent
bl. On dit que M est une algèbre de Lie lorsque

[M] C M .
Soit L! et V deux algèbres de Lie qui vérifient
[M] C V C M .

On souhaite prouver le théorème suivant.

Théorème 1 Si X EUR Mn,1(CC) est une colonne propre pour toute matrice M
dans V et si A est une matrice dans M alors AX est soit la matrice colonne 
nulle,

soit une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V. De plus, si pour
M E V, MX : ÀX alors M(AX) : MAX).

Soit X EUR Mn,1(C) une matrice colonne propre pour toute matrice M dans
V, et soit A une matrice de M .

D 1 -- Établir l'existence d'une forme linéaire À sur V, à valeurs dans (C, 
telle
que pour tout M E V, MX : À(M)X.

D 2 -- Montrer que pour tout M E V, [M , A] appartient à V.

On considère la suite de matrices colonnes (X ],, le 2 O) définie par
XO : X, Xk+1 : AX;,, pour tout le 2 0.

Pour M E V, on considère la suite de nombres complexes (À;,(M ), le 2 O)
définie par

>/
w
+
ÿ_\
||
>/
w
&
'Ü
O
C
H
d--
O
C
d--
äl
IV
.©

D 3 -- Démontrer, pour tout entier i 2 0 et pour tout M E V, les identités

suivantes:
MX@ = 2 Cl À...--(M) X,-- ...
j=0
[M, A]X,- = z og" À,_,+1(M) X,. (2)
j=0

D 4 -- On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de (C". Démon--
trer qu'il existe un plus grand entier q tel que la famille de vecteurs

{X0, X1, X2, ' ' ' ,Xq} SOlt libre.

On note G l'espace vectoriel engendré par la famille {X0,X1, X2, - - - ,Xq}.

D 5 -- Montrer que Mg, ÂG et [M, A[G sont des endomorphismes de G .

D 6 -- Calculer la trace de [M, Alo-

7 -- Quelle est la matrice de [M, A[G dans la base {X0,X1,X2, - - - ,Xq}?

D

D 8 -- Pour M E V, que vaut À([M,A[)?

Cl 9 -- Établir le théorème 1.

II Algèbres de Lie résolubles

Définition 2 Soit bl une algèbre de Lie et 19 un entier naturel non nul. On
dit que bl est une algèbre de Lie re'soluble de longueurp lorsqu'il eæiste des

algèbres de Lie M0, M1, - - - , Mp telles que :
{o}=t{pcup_1C---Mlcüo=ü (A)
[M,-[ C Li,-+1 pour tout i E {O, - -- ,p -- 1}. (B)

On se propose de montrer le théorème suivant.

Théorème 2 bl est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s'il existe
une matrice P inversib/e telle que, pour tout M EUR bl , P_1M P est triangulaire
supérieure.

Soit P une matrice inversible de Mnn(C) et TP l'ensemble des matrices
M EUR Mnn(C) telles que P_1M P soit triangulaire supérieure.

10 -- Traduire la propriété << il existe une matrice P inversible telle que pour
tout M E U , P_1M P est triangulaire supérieure >> en une propriété
sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de U .

11 -- Montrer que TP est une algèbre de Lie résoluble de longueur n.

On pourra considérer les sous-espaces N}, (O S le S n) tels que No =
TP et pour tout entier le (1 S le S n), N}, est l'ensemble des ma--
trices M EUR TP telles que les le diagonales supérieures DO(P_1MP),
D1(P_1MP), ..., et Dk_1(P_1MP) sont nulles.

Dans les questions 12 a 17, on suppose que M est une algèbre de Lie résoluble
de longueur p = 1.

12 -- Montrer que pour tout M, M' EU, on a MM' : M'M.

13 -- Soit r un entier non nul et une famille M1, M2, - - - , M.,. d'éléments 
de U.
Montrer qu'il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes

Ü17Ü27'n 7Mr-

D 14 -- Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun a tous les
endomorphismes {M, M E U }

On note dorénavant :

27 = {M, M e M}.
Soit F et H deux espaces supplémentaires de (C" et u et u deux endomor--
phismes de (C". De plus, on suppose, d'une part, que F est stable par u et u
et, d'autre part, que u et u commutent.
D 15 -- Montrer les relations suivantes:

pHU =pHUpH et pH"U =pH'UpH-

D 16 -- Montrer que pHupH et pHupH commutent puis que pH uH et pH uH
commutent.

D 17 -- En procédant par récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le cas
p = 1.

Soit, maintenant, L! une algèbre de Lie résoluble de longueur 19 > 1.

On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur in--
férieure strictement a 19, il existe un élément P E Mn,n(C), inversible, tel
que pour toute matrice M dans cette algèbre, P_1M P soit triangulaire su--
périeure.

D 18 -- Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun a tous les
endomorphismes M, M EUR 111.

Soit X l'un de ces vecteurs propres. On note E l'espace vectoriel engendré
par X et les éléments de la forme

AÎ. . .AÎ,X
où le est un entier non nul, A, E U pour tout j.

D 19 -- Montrer que E est un espace vectoriel stable par tous les éléments de
U et que tous les éléments de E sont des vecteurs propres communs a
tous les endomorphismes de U1.

Soit M, M' E M.

D 20 -- Montrer que [M , M '] E est une homothétie de trace nulle.

D

21 -- Que peut--on en déduire?

Le théorème 2, dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonne--
ments qu'aux questions 14 et 17.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Sophie
Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet introduit la notion d'algèbre de Lie. Une algèbre de Lie est un 
sous-espace
vectoriel A de Mn,n (C) stable par le crochet de Lie :
(M, N)  A2 ,

[M, N] = MN - NM  A

· La première partie consiste à établir un premier théorème qui permet, sous
certaines conditions, de trouver des vecteurs propres communs à un ensemble
de matrices.
· La deuxième partie est consacrée à la démonstration du théorème sur les
algèbres de Lie résolubles : cette propriété est équivalente à celle d'avoir 
tous
ses éléments trigonalisables dans une base commune.
Comme les questions réutilisent sans cesse les mêmes raisonnements, il est 
préférable d'éviter d'en sauter, sous peine d'être bloqué à nouveau très 
rapidement.
Comme il arrive dans les épreuves de concours, le problème correspond à un
enseignement de niveau licence ou maîtrise. Pour autant, ce type de sujet 
n'avantage
pas particulièrement les élèves qui ont fait beaucoup de « hors programme » 
pendant
l'année : les méthodes utilisées, très classiques, ne demandent le plus souvent 
que de
maîtriser le raisonnement par récurrence.
Ce problème n'est ni particulièrement difficile ni spécialement long. Aussi, sur
ce type d'énoncé, les correcteurs sont-ils plus enclins à se laisser convaincre 
par les
copies qui apportent une attention particulière à une rédaction claire et 
rigoureuse.

Indications
I.

Algèbres de Lie

3 Remarquer que la formule (2) au rang k implique la formule (1) au rang k + 1,
tandis que cette dernière entraîne la formule (2) au rang k + 1. Utiliser pour 
la
première partie la relation de Pascal : Cjk + Ckj-1 = Cjk+1 .
5 Pour montrer que AG stabilise G, vérifier que Xq+1 est une combinaison 
linéaire
des (Xi )06i6q .

II.

Algèbres de Lie résolubles

11 Vérifier que la suite {0} = Nn  Nn-1  . . .  N1  N0 = TP constitue une
résolution de l'algèbre de Lie TP .
13 On peut démontrer par récurrence que, pour toute famille commutative finie
(f1 , . . . , fp ) d'endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension finie, 
il existe
un vecteur x de E qui est vecteur propre de fi pour tout i compris entre 1 et p.
Utiliser le fait que si deux endomorphismes commutent, chacun stabilise les 
sousespaces propres de l'autre.
17 Dans cette question ­ la plus longue du problème ­ commencer par démontrer, 
en
utilisant les résultats établis à la question 11, que s'il existe une base de 
trigonalisation commune à tous les éléments de U, alors U est résoluble. 
Réciproquement,
si U est résoluble de longueur 1 sur un espace de dimension n + 1, la base de
trigonalisation commune recherchée peut être construite en réunissant un vecteur
propre commun X (comme à la question 14) avec une base d'un supplémentaire H
de Vect (X). Se servir de l'hypothèse de récurrence sur H ­ de dimension n ­
en exploitant les résultats démontrés à la question 16.
19 Utiliser le théorème 1.

I. Algèbres de Lie
1 Dans cette question, X est une matrice colonne propre ­ donc non nulle ­ pour
tout élément M de V, mais peut éventuellement être associée (l'énoncé ne dit 
rien
à ce sujet) à des valeurs propres qui varient en fonction de M. Cela signifie 
que
MX = (M)X.  est une application de V dans C et il suffit de vérifier que cette
application est linéaire pour répondre à la question.
Soient a et b des complexes, et M et N des éléments de V. Comme celui-ci est un
espace vectoriel, aM + bN appartient à V.
(aM + bN)X = aMX + bNX = a(M)X + b(N)X = (a(M) + b(N))X
Comme, par définition, (aM + bN)X = (aM + bN)X, il s'ensuit que
((aM + bN) - a(M) - b(N)) X = 0
et X étant différent du vecteur nul, (aM + bN) = a(M) + b(N)
 est une forme linéaire.
2 L'énoncé a posé l'inclusion [U]  V  U.
Si M est un élément de V, il est aussi a fortiori dans U, et comme on suppose
que A est également dans U, alors le crochet de Lie [M, A] est par définition 
dans [U].
Comme ce dernier est inclus dans V, on obtient
[M, A]  V
3 Si l'égalité (1) est vérifiée pour toute matrice, elle est en particulier 
vraie pour la
matrice [M, A], ce qui s'écrit
i  N

[M, A]Xi =

i
P

j=0

Cji i-j ([M, A])Xj

Par définition, i-j ([M, A]) = i-j+1 (M). On obtient exactement la formule (2).
Aussi, on se limite, dans la suite de la question, à la démonstration de (1).
La notation Cji désigne dans l'énoncé le coefficient

i!
i
=
.
j
j! × (i - j)!

On peut utiliser la relation de Pascal
Cj-1
+ Cji = Cji+1
i

(avec 0 < j 6 i)

Ce résultat, très connu, ne nécessite pas d'être redémontré dans la copie.
Soit P(i) la propriété :
« La formule (1) est vraie au rang i pour tout M dans V. »
· P(0) est vraie puisque, pour i = 0, la formule (1) devient MX0 = C00 0 (M)X0 ,
c'est-à-dire MX = (M)X, soit la définition de (M).
· P(i) = P(i + 1) : on suppose ici la formule (1) vraie jusqu'au rang i. Il faut
en déduire qu'elle est dans ce cas encore vraie au rang i + 1.
MXi+1 = MAXi = (MA - AM + AM)Xi = [M, A]Xi + AMXi

Chacun des deux termes du membre de droite peut être développé suivant la
formule (1) de l'hypothèse de récurrence. Il s'ensuit
MXi+1 =

i
P

j=0

Cji i-j+1 (M)Xj + A

i
P

j=0

Cji i-j (M)Xj

Il faut, maintenant, rentrer A à l'intérieur de la seconde somme, et utiliser le
fait que par définition AXj = Xj+1 .
MXi+1 =

i
P

j=0

Cji i-j+1 (M)Xj +

i
P

Cji i-j (M)Xj+1

j=0

On procède à présent à un décalage d'indice de sommation dans la somme
de droite et on réunit les termes de même indice, en mettant à part le cas
où j = 0 dans la première somme, et le cas où j = i + 1 dans la seconde,
qui n'apparaissent qu'une seule fois.
MXi+1

=

i
P

j=0

Cji i-j+1 (M)Xj +

= C0i i+1 (M)X0 +

i
P

j=1

i+1
P

j=1

Cj-1
i-j+1 (M)Xj
i

(Cji + Cj-1
)i-j+1 (M)Xj + Cii 0 (M)Xi+1
i

j-1
Il ne reste plus qu'à identifier Cii = 1 = Ci+1
+ Cji = Cji+1 :
i+1 et Ci

MXi+1 =

i+1
P

j=0

Cji+1 i+1-j (M)Xj

Ainsi s'achève la démonstration de la formule (1) au rang i + 1. La formule (2)
s'en déduit comme indiqué au début de la question.
· Conclusion :

P(i) est vérifiée pour tout entier i.

En conséquence, Les formules (1) et (2) sont vraies pour tout i.
4 D'une part, X0 = X étant un vecteur non nul (car défini comme un vecteur
propre), {X0 } constitue une famille libre à un élément. D'autre part, dans Cn 
, espace
vectoriel de dimension n sur C, une famille libre a, au plus, n vecteurs.
Considérons l'ensemble R = {r  N | {X0 , . . . , Xr } est libre}. Ensemble 
d'entiers,
R n'est pas vide puisqu'il contient 0, et comme il est borné par n - 1, il 
admet un
élément maximal que l'on peut noter q.
5 MG , [M, A]G et AG sont des applications linéaires sur G puisqu'elles sont les
restrictions d'applications linéaires sur Cn , qui contient G. Pour démontrer 
qu'il
s'agit d'endomorphismes de G, il faut vérifier qu'elles sont bien à valeurs 
dans G,
c'est-à-dire qu'elles transforment toute combinaison linéaire des Xi , pour i 
allant
de 0 à q, en une combinaison linéaire des Xi .
Par linéarité, il suffit de montrer que chacun des q + 1 vecteurs X0 , . . ., Xq
a pour image par chacune des trois applications une combinaison linéaire des 
vecteurs
X0 , . . ., Xq .
Pour l'application MG , cette propriété résulte de la formule (1) démontrée à la
question 3, qui donne les coefficients de chaque combinaison linéaire.