Mines Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Approximation de fonctions continues par des polynômes
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, convolution, polynômes orthogonaux, interpolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2001 Math MP 2

. ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTÏQUE ET DE L'ESPACE,
_ DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAHÛNS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière NIP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle Intemafional, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
. MATHEMATIQUES 2--Filière MP.

Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre. '

Soit C l'espace vectoriel normé des fonctions réelles, définies sur le segment 
I = [--1,1],
continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, 
définie pour une
fonction f de C par la relation :

llfll =SUP lf(x)l--
xe!

Pour tout entier naturel n, l'espace vectoriel des fonctions polynomiales 
réelles de degré
inférieur ou égal à n, est notée En. Par abus de langage, la locution " 
fonction polynomiale" est
remplacée par polynôme.

Première partie

Il est admis que, pour une fonction { donnée continue sur le segment I et un 
entier naturel
donné n, il existe un polynôme P... de degré inférieur ou égal à 11, tel que :

llf--Pnll = An(f) = inf{llf--Pll IP EUR En}-

Le but de cette partie est d'étudier l'erreur commise lors de la meilleure 
apptoximafion d'une
fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : si_ 
f est une fonction k--fois
conünûment dérivable sur I = [----l, 1], la meilleure approximation de la 
fonction f par un polynôme
de degré inférieur ou égal à n est telle que :

A,,(f) : o(--%--Ç--).

n

Tournez la page S.V.P.
- 1/7 -

Soit (p une fonction réelle, définie sur l'intervalle [, bornée (il existe une 
constante M telle que,
pour tout réel x de I, |w(x)l_ < M) À cette fonction (p est associée la 
fonction m,, dite' 'module de
continuité de (p". Elle est définie sur la demi-droite ouverte ]0, oe[ de la 
manière suivante:

Étant donné un réel h strictement positif, (D,, (h) est égal a la borne 
supérieure des réels
l(p(x) ---- (p(y)| sachant que x et y sont deux réels de l'intervalle ] dont la 
valeur absolue de la

différence est majorée par h :

w«p(h) = sup{lrp(x) --<0(V)I; (x, y) e 12, Pc--yl _<_ h)-

I--1. Propriétés du module de continuité:
Soit (p une fonction réelle définie et bomée sur le segment I
a Démontrer que le module de continuité de cette fonction (p est une fonction 
croissante définie

sur la demi--droite ouverte ]0, oo[

b. Soient h et h' deux réels strictement positifs, démontrer la propriété :
ca,,(h + h') _<_ ca,,(h) + æ,,(h').

Soient h et À deux réels strictement positifs, n un entier supérieur ou égal à 
1 ; démontrer les
relations suivantes :

m,,(nh) 5 nw,,(h) ; m,,(Àh) 5(1+1)m,(h).

c. Démontrer que la fonction (p est uniformément continue sur le segment 1 si 
et seulement si la
limite du module de continuité ca,, en 0 est nulle :

(p est uniformément continue sur I <=:lim ca,, (h) = O.
h--*0

d. Démontrer que, si la fonction (p est continûment dérivable sur le segment 1, 
il vient pour tout
réel positif h : «

m,,(h) 5 h llfP'll

l--2. Noyaux de Dirichlet et de Fejer :
Etant donné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 l), soient D,, et F ,, les 
fonctions définies

pour tout réel 9 par les relations suivantes :

D,,(9) = Z et"? ; F,,(9) = 71,-- ZD,,(9).
k=0

k=--n
Il est admis que la fonction F ,, vérifie les relations suivantes :

POur tout 9 différent de 2k7r, k entier relatif, F ,, (9) = E ( --- "ñ'
k=--n+l

Soit K ,, la fonction définie dans l'ensemble R \ 2% Z par la relation suivante 
:

sin(n 9/2) )"

__ 1
K"(9)""ÀÎ( sin(9/2)

-2/7-

n---l |kl )eik0 : ..L( sin(n 9/2)
11 -------------.

Où le réel Àn eSt défini par la condition :
1 Zu

a. Calculer le réel il,, et déterminer une constante C telle que ce réel soit 
équivalent à l'infini à

Cn3. Rappel:
Zk2 == %n(n+ l)(2n+ 1).
k=l

b. Soit 0: la fonction définie sur l'intervalle semi--ouvert ]0, n/2] par la 
relation suivante :

1
at: ------.
() sin'*t #

Démontrer qu 'il existe une constante A1 telle que la fonction a soit 
équivalente en 0 àA1 t"2
En déduire que la fonction t H F a(t) est bornée sur l'intervalle ]O, 7r/2]. 
SoitAz un majorant de
cette fonction sur l'intervalle ]O, n/2]

Soient I,, et J,, les deux intégrales suivantes :

_ '"2 sin4 (nt)
'" '" l 0 _ ""'ïï--d'

?

1r/2
J,, = ] ta(t) sin4(nt)dt.
()

Démontrer les deux propriétés suivantes :

. . . °° ' 4
lorsque l'enüern tend vers l'mfim, I,, «« n2.I 51; ' dt ,
0
. °° - 4
pour tout entrer naturel n, (n 2 1), J,, S A;n [ S'?2 tdt.
()

c. Démontrer l'existence d'une constante M 0 telle que, pour tout entier n 
supérieur ou égal à 1,
il vienne :

_<_ "71?" I:: (1 +11 t)K,,(t) dt 5 Mo.
1--3. Polynômej,,[g] :

Soit g une fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période 
2% ; étant donné un
entier n supérieur ou égal à 1, soit j,, [g] la fonction définie par la 
relation suivante :

jn[gl(9) == ---à--ï-- J-" g(9 -- t) K,,(t) dt.
a Dém0ntrer que la fonction j,,[g] est paire et est un polynôme de degré... au 
plus égal à 2n --- 2.

b. Vérifier les inégalités suivantes :

lg(9) --g(9--t)l s wg s (1+nltl)wg(-},--),

puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la 
majoration :

|g<9) --jn[gl(9)l s M, oeg(-},--).

Tournez la page S.V.P.
-- 3/7 --

Dans la suite l'entiern est supposé supérieur ou égal à 3 ; à l'entier n est 
associé l'entier p égal à la
partie entière du réel n/2. L'entier p vérifie les inégalités :

pSn/2 =jP+1[g](Arccosx).

l'entier p est la partie entière de n/2 définie ci--dessus.

a. Démontrer que la fonction P,, est un polynôme (une fonction polynomiale) de 
degré au plus
égal à n. 11 est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction x »--+ cos 
(k Arc cosx) est un

polynôme de degré k.
b. Démontrer, pour toute fonction f de l'espace C et tout entier n (n 2 3 ), la 
relation suivante :

A,,(f) 5 2M...f(-},-).

La constante M 0 a été introduite à la question I--2.c, le réel A,,(f) dans 
l'introduction de la
première partie.

0. Établir le résultat préliminaire : soit f une fonction de l'espace C ; pour 
tout polynôme Q de
degré inférieur ou égal à 11, il vient :
An(Ï) : An(f" Q)

Démontrer, pour toute fonction f confinûment dérivable sur le segment I = 
[----1 , l ] et tout entier n,
la relation ci--dessous entre A,,(f) et A... ({ ') :

d. Étant donné un entier k supérieur ou égal à 1 (k 2 1 ), soit f une fonction 
k-fois confinûment
dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier n 
supérieur strictement à

k (11 > k), deA,,(f) en fonction de A,,..k (fik) )

En déduire que, si f est une fonction k--fois confinûment dérivable et n un 
entier croissant
indéfiniment, l'expression A,,(f) est un infiniment petit d'ordre supérieur à 
Un" .

An(f) = o(--1Î).

11

--4/7-

SECONDE PARTIE

Le but de cette partie est, pour une fonction f donnée dans C, de construire 
une suite de
polynômes I,,[f], qui, lorsque la fonction f est conünûment dérivable, converge 
uniformément vers

la fonction f.
Dans cette partie, l'entier n est fixé et est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). 
Soit ES le sous-espace
de En constitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en --1 et en 1.

11--1. L'espace préhilbertien ES :
a. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel E?, ? Soit (e k>2£k_<_n la 
suite de polynômes
définie par la relation :

k k--2

pour tout entier k, 2 5 k 5 n, ek(x) : x --x

Démontrer que la suite de ces polynômes est une base B de l'espace vectoriel ES.

b. Soit CD,, l'endomorphisme de l'espace vectoriel ES défini par la relation 
suivante :
pour tout polynôme P de E?,, (Dn(P)(x) : (l -- x2) P"(x).

Démontrer que la matrice M " associée à l'endomorphisme (D,, dans la base B est 
une matrice
triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette 
matrice.
En déduire l'existence d'une base B' définie par une suite de polynômes 
(Qk)25kîn qui vérifient

les relations suivantes :

pour tout entier k, 2 5 k _<_ 11, (1 ----x2) Q;{'(x) : uk Qk.

Ces polynômes sont supposés unitaires (le coefficient du terme de plus haut 
degré est égal à 1).
Préciser les coefficients ..., 2 _<_ k _<_ n et le degré des polynômes Qk.

c. À deux polynômes quelconques P et Q appartenant à l'espace vectoriel E?, est 
associée
l'intégrale J (P, Q) définie par la relation suivante :

1 P(x) Q(x) dx
-1 l---x2 .

J(P,Q) = [

Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme P 
l'expression J (P,P)
est--elle nulle ?

Il est admis dans la suite que l'application (P, Q) l----+ J(P, Q) de E2 >< EZ 
dans R est un produit
scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté (. l .) :

(P | Q) = ll de

d. Démontrer que la base B' = (Q) < est orthogonale dans l'espace préhilbertien
(E" ( | )) US"
Il--2. Racines du polynôme Qn :

a. Un résultat préliminaire : démontrer que le polynôme Q,, possède la 
propriété : pour tout
polynôme P de degré inférieur ou égal à n --- 3, l'intégrale K ci-dessous est 
nulle :

K = î1 P(x) Q,,(x) dx : O.

Tournez la page S.V.P.
-- 5/7 --

b. Deux cas sontconsidérés :

i. Le polynôme Q,, admet des racines, d'ordre de multiplicité impair, situées 
dans l'intervalle
ouvert 1 = ]---1, 1 [. Soient xl, x2, ...,xp, ces racines (l'entier p est 
strictement positif).

Soit R; le polynôme défini par la relation :

k=p
R1 (x) = H(x -x,,).
k'-=l

Démontrer que l'intégrale de la fonction x r--+ R1 (x) Q,, (x) étendue au 
segment ] est différente
de 0 :

1
] R1(x) Q,,(x) dx = o.
..1 '
En utilisant le résultat de l'alinéa a, déterminer le degré du polynôme R1.

ii. Le polynôme Q,, n'a pas de racines, d'ordre de multiplicité impair, situées 
dans l'intervalle
ouvert ]----1, 1 [.
Démontrer que l'intégrale de la fonction x v----> Q,,(x) étendue au segment I 
est différente de 0.

En déduire que les racines du polynôme Q,, sont simples et situées sur le 
segment I .

Dans la suite, les racines du polynôme Q... sont notées yk, k = O, 1, ...,n et 
vérifient la relation
suivante :

--1=y0  Lk.
k=0

où L ;, est le polynôme défini par la relation :

Qn+l @) '
L = -------------------------.
""' (x _... Q... ou

-6/7-

c. Démontrer, pour tout polynôme P appartenant à E ,,, l'inégalité :

pour tout rée1xde I, 1f(x) --I,,[f](x)l _<_ (1 +ÉLLk(x)i) |lf--Pll.
, k==0

II--4. Majoratîon de ZZ__OLLk(x)| :
Soit f une fonction continue appartenant à l'espace C : f : I ---+ R.
a. Soit v,, l'application de l'espace vectoriel E 2... dans RZ"+2 définie par 
la relation suivante :,

v,,(P) = (PQ/0), P(yl), ...,P(y,,), P...), P'0q), .,.,P'(yn)).

Démontrer que l'application v,, est un isomorphisme de l'espace vectoriel E 
2... sur R2"+2.

En déduire qu'à une fonction f donnée dans C est associé un seul polynôme H 
,,[f] appartenant
à E 2... , vérifiant les relations suivantes :

pour tout entier k, 0 5 k S n, Hn[f](yk) =f(ÿk), Hn[f]'(ÿk) =f'0'k)--
Que vautH,,[l] ?

Il est admis que le polynôme H ,,[f] est défini par la relation suivante :

Hn[f](x) = Zf' (x.--... )2 +Zfoe> (1 ---- 2Lk'(yk>> (Lk>2.
k=0 k=0

b. Calcul des dérivées Lk'(yk).

Déterminer l'expression, pour tout entier k compris entre 0 et n (0 5 k 5 n), 
de la dérivée
L k'(yk) en fonction des dérivées première et seconde Q...1'Çyk) et Q,... 
"(y/{),

En utilisant l'équation différentielle vérifiée par le polynôme Q,... (question 
11--1 .b) déterminer
les valeurs de Lk'(yk) lorsque l'entier k est compris entre l et n ---- 1_(1 5 
k 5 n -- 1). Calculer
ensuite Lo'(yo) et L,,'(y,,).

c. En déduire les inégalités :

pour tout rée1x du segment I, Z(Lk(x))2 5 ], ELLk(x)l _<_ Jn + 1 .
k--_._.0

k'-=O

Il--5 Estimation de l'approximation :

Démontrer que, pour toute fonction continue appartenant à l'espace C, pour tout 
entier n

supérieur ou égal à 3, la norme de la différence entre la fonction f et le 
polynôme I,,[f] est majorée
par le produit 2Jrî A,,(f) :

llf--Ïnlflll S 2 JñA,,(/).

En particulier démontrer que, si la fonction f est confinûment dérivable sur I, 
la suite des
polynômes I,,[f] converge uniformément, lorsque l'entier n tend vers l'infini, 
vers la fonction [
Que dire de la convergence lorsque la fonction f est indéfiniment confinûment 
dérivable ?

FIN DU PROBLÈME

--7/7--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent Beck (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce problème comporte deux parties. La deuxième n'utilise les résultats de la
première que pour la dernière question : on peut donc traiter indépendamment ces
deux parties.
Dans tout le problème, on étudie l'approximation des fonctions continues par
des polynômes (sur [-1, 1]). Dans la première partie, on utilise des méthodes 
dites de
convolution. À l'aide d'intégrales à paramètres, on construit à partir d'une 
fonction f
une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f et on s'en 
sert
pour obtenir un résultat sur la rapidité de convergence.
Dans la seconde partie, on construit à l'aide d'un endomorphisme une suite de
polynômes (Pn ) qui sont ses vecteurs propres. On montre que ces polynômes sont
orthogonaux pour un certain produit scalaire afin d'en déduire qu'ils sont tous 
scindés
à racines simples. Enfin, on montre qu'en interpolant f aux racines de ces 
polynômes,
on obtient une suite (Qn ) de polynômes qui converge uniformément vers f .

Indications

Partie I
I.1.a Remarquer que si h 6 h alors :
{(x, y), |x - y| 6 h}  {(x, y), |x - y| 6 h }
I.1.b Prendre x 6 y tels que y - x 6 h + h . Choisir un élément z dans [x, y] et
appliquer l'inégalité triangulaire. Passer ensuite à la borne supérieure.
I.1.c Revenir aux définitions.
I.1.d Utiliser le théorème des accroissements finis.
I.2.a Remarquer que n Kn = n2 F2n et utiliser l'expression de Fn sous la forme
d'un polynôme trigonométrique pour calculer l'intégrale de Kn sur [ 0, 2].
I.2.b Utiliser le développement limité de sin en 0.
Faire le changement de variable u = nt pour les intégrales.
Z
Z
1 
1 
Kn (t) dt +
n t Kn (t) dt et exprimer le
I.2.c Séparer l'intégrale en
 0
 0
deuxième terme en fonction de In , Jn et n .
I.3.a Attention à l'erreur d'énoncé, il faut montrer que jn [g] est un polynôme 
trigonométrique. Montrer
Z pour cela d'une part que Kn en est un et, d'autre part,
1
que jn [g]() =
Kn ( - t) g(t) dt.
2 -
I.3.b Utiliser d'abord la question I.1.b puis remplacer g() sous la valeur 
absolue
Z 2
1
par
g()Kn (t) dt puisque Kn (t) est de valeur moyenne égale à 1.
2 0
I.4.a Utiliser le fait que jp+1 [g] est un polynôme trigonométrique pair pour 
montrer qu'il s'écrit comme une somme finie de fonctions cos.
I.4.b Par définition de la borne inférieure, n (f ) est plus petit que ||f - Pn 
||.
Utiliser alors la définition de Pn et la question I.3.b.
I.4.c Utiliser un polynôme Pf  tel que n-1 (f  ) = || f  - Pf  ||. Prendre 
l'une de
ses primitives P1 et appliquer les questions I.4.b et I.1.d à f - P1 .
I.4.d Raisonner par récurrence sur k.

Partie II
II.1.a Montrer que E0n est l'intersection des noyaux de deux formes linéaires 
pour
déterminer sa dimension.
Montrer que la famille (ek ) est libre par un argument sur les degrés de ces
polynômes.
II.1.b Exprimer n (ek ) en fonction de ek et ek-2 pour montrer que la matrice Mn
est triangulaire supérieure.
Remarquer ensuite que les éléments diagonaux sont tous distincts et en déduire 
que son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
II.1.c Décomposer l'un des polynômes P ou Q suivant la base des (Qk ) et 
utiliser
l'équation différentielle vérifiée par Qk .
II.1.d Considérer Qk et Qk deux éléments de la base. Calculer de deux manières
différentes leur produit scalaire en utilisant chacune des équations 
différentielles vérifiées par ces polynômes et des intégrations par parties.
II.2.a Poser Q = P (1 - x2 ) et remarquer que Q appartient à E0n-1 .
II.2.b.i Montrer que le polynôme R1 Q est de signe constant sur [ -1, 1].
II.2.b.ii Montrer de même que, sous ces hypothèses, Qn est de signe constant sur
l'intervalle [ -1, 1].
II.3.a Pour l'injectivité, utiliser le théorème selon lequel un polynôme non 
nul de
degré n a au plus n racines. Raisonner sur les dimensions pour la surjectivité.
II.3.b Pour calculer Lk (yk ), montrer que

 (x - yl )

Lk (x) =

l6=k

 (yk - yl )

l6=k

Utiliser l'unicité du polynôme In [f ] pour conclure.
II.3.c Utiliser In [f - P] = In [f ] - P pour faire apparaître P puis utiliser 
la question
II.3.b et majorer grossièrement la valeur absolue de la somme obtenue par
la somme des valeurs absolues.
II.4.a Même raisonnement que pour la question II.3.a.
Q (yk )
II.4.b Il faut montrer que Lk (yk ) = n+1
.
2Qn+1 (yk )
Appliquer la formule de Taylor-Lagrange à Qn+1 en yk et réinjecter le résultat 
dans la définition de Lk de la question II.3.b.
II.4.c Appliquer la formule de l'énoncé à Hn [1].
Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour démontrer la seconde inégalité à
partir de la première.
II.5 Utiliser la question II.3.c, puis la question II.4.c. Enfin utiliser la 
question I.4.d.

Première partie
I.1

Propriétés du module de continuité

I.1.a  est bornée. Soit donc M  R+ tel que
x  I
On a alors
Et donc

(x, y)  I2
h > 0

| (x)| 6 M
| (x) - (y)| 6 2M

sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h} 6 2M < 

 (h) est donc bien définie pour tout h strictement positif.
Soient h, h appartenant à ]0, +[ tels que h 6 h . On a
{(x, y), |x - y| 6 h}  {(x, y), |x - y| 6 h }
d'où

sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h} 6 sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h }
 (h) 6  (h )

Soit finalement

Attention ! Il ne faut pas oublier de montrer que  (h) est bien définie pour
répondre entièrement à la question.
I.1.b Soient x, y  I2 et h, h  R+ tels que |x - y| 6 h + h . On suppose x < y.
On peut alors choisir z dans [x, y] tel que z - x 6 h et y - z 6 h .
Soit

| (x) - (y)| 6 | (x) - (z)| + | (z) - (y)|

Puis

| (x) - (y)| 6 sup {| (x) - (z)|, |x - z| 6 h}
+ sup {| (y) - (z)|, |y - z| 6 h }

Par conséquent,
 (x, y)  I2

|x - y| 6 h + h

=

| (x) - (y)| 6  (h) +  (h )

Finalement, en passant au sup {(x, y), |x - y| 6 h + h }, on obtient
 (h + h ) 6  (h) +  (h )
La propriété  (n h) 6 n  (h) se déduit alors facilement par récurrence sur n.
L'autre inégalité est moins immédiate.
Soit  > 0. On écrit  = E() + {} où E() est la partie entière de . Alors,
 ( h) =  ((E() + {}) h)
 ( h) 6  (E() h) +  ({} h)