Mines Maths 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Séries et caractères
Principaux outils utilisés arithmétique, séries, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2007 MATH. I MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQUES I _ MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Séries et caractères

Dans tout le probléme, N désigne l'ensemble des entiers, Z, l'ensemble des
entiers relatifs et N un entier supérieur ou égal a 2.

L'ensemble des classes d'équivalence pour la division euclidienne par N est
noté Z /N Z. L'élément générique de cet anneau sera noté à. On note P l'en--
semble des éléments de {l, - - - , N -- 1} qui sont premiers avec N. L'ensemble
des éléments inversibles pour la multiplication de Z /N Z est noté (Z /N Z)*.
On rappelle que go, l'indicatrice d'Euler, est telle que g0(N ) représente le
cardinal de P. Si & divise [) dans Z, on notera & i b.

On rappelle aussi le lemme suivant: soit (uk, 16 E N*) et (oz;,, 16 E N*) deux
suites réelles. Si pour tout entier n 2 l, on pose

n
îb:= Ë aka
k=0

alors
WL 7n--1
Z 05kuk = --UnTn--1 + Z Tk(uk -- uk--1)+ umea (1)
k=n k=n

pour n, m entiers tels que 2 S n < m. On rappelle que pour tout a: E] -- l, l],

arctan(æ) : Z 2(7;ï)î 33%". (2)

n=0

On suppose fixée une application X de Z dans K qui satisfait les propriétés
suivantes :

A. X(O) : 0 et X non identiquement nul.
B. Pour tout a E Z, non premier avec N,

X(OE) = 0-
C. Pour tous les entiers relatifs @ et b,
x(ab) = X(OE)X(b)-
D. X est N--périodique:

X(a + N) : X(a), pour tout a E Z.

I Cas particuliers

1. Calculer x(1).

2. Lorsque N = 2, déterminer x.

On suppose jusqu'à la fin de cette partie que N = 4.

3. Montrer que x(3) ne peut prendre que les valeurs 1 ou --1.

4. On suppose maintenant que x(3) : --1. Montrer la convergence et
calculer la valeur de la série

Il Convergence de la série Z @
1

Dans cette partie, a est un entier supérieur ou égal à 1 et premier avec N.
Pour [{ EUR {1, - -- ,N -- 1}, on désigne par ?} le reste de la division de ak
par N.

5. En considérant le produit H ak, montrer que a90(N) -- 1 est divisible
kEURP
par N.

6. Montrer que lx(a)l : 1.
7. Montrer que les ?} sont deux a deux distincts.

8. Établir l'identité:

On suppose dorénavant qu'il existe & premier avec N tel que x(a) # 1.

n--l--N--1
9. Pour chaque entier n, calculer Z x(k).
k=n
On pour... commencer par le cas n = O.

10. Montrer, pour tout m > O, l'inégalité

ZX(@ S @(N )
k=1
. " MM
11. Montrer que la suite 2 T' n 2 1 est convergente.
k=1

III Comportement asymptotique

Pour tout entier n 2 1, on pose

fn : ZX(d)

d|n

12. Soit n et m deux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Mon--
trer que fnm = fnfm-

13. Soit 19 un nombre premier et 04 E N*. Calculer fpa.

14. Pour tout entier n 2 1, établir l'encadrement:

0 S fn S n.
15. Pour tout entier n 2 1, montrer que fn2 Z 1.

16. Déterminer le rayon de convergence de la série

2 fnæn-
n=1
On note f (a:) la somme de cette série.

17. Montrer pour tout a: E [1/2,1[:
1 +00 _u2
f(æ) Z _ e du.
--1n(æ) 1n<2>
On pourra utiliser une comparaison d'une série à une intégrale.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Doctorant en mathématiques) ; il a été
relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (ENS 
Cachan).

Le sujet traite de quelques aspects des caractères de Dirichlet et des séries 
qui
leur sont associées. Un caractère de Dirichlet est une application  de Z dans C 
qui
vérifie les propriétés arithmétiques données en préambule. L'énoncé se 
restreint au
cas réel. Il existe des formules donnant le nombre de caractères de Dirichlet 
distincts
qu'on peut définir pour chaque entier N. Par exemple, si N est premier, il 
existe un
unique caractère primitif : le symbole de Legendre . On peut montrer que si a 
est
un entier premier avec N, alors (a) est une racine (N)-ième de l'unité pour tout
caractère de Dirichlet . Ce point sera abordé dans le cas réel à la question 6.
· La première partie traite deux cas particuliers pour N = 2 et N = 4. Derrière
ces cas se cachent les séries entières, de rayon de convergence 1,

 (n)
P
1
1+x
xn = ln
pour N = 2,
2
1-x
n=1 n
et

 (n)
P
xn = Arctan x
n=1 n

pour N = 4.

· La deuxième
P partie montre que (n)  {-1, 0, 1} pour tout entier n, puis que
la série (n)/n converge pour tout caractère non trivial.
P
· La troisième partie s'intéresse à la série entière fn xn où fn est la somme
des valeurs d'un caractère non trivial sur les diviseurs de n. On montre que
son rayon de convergence est 1, et on en donne finalement une minoration à la
question 17 pour x  [ 1/2 ; 1 [.
La démarche de ce sujet est plutôt classique bien que l'arithmétique ne tombe
pas très souvent aux concours : familiarisation avec les propriétés 
arithmétiques des
caractères (questions 1 à 3), motivation pour étudier le lien entre ces 
caractères
et certaines séries (question 4), étude plus fine des caractères (questions 5 à 
10)
qui permet de déterminer la convergence de ces séries (question 11), lien entre 
les
caractères et la décomposition en facteurs premiers des entiers (questions 12 à 
15),
ouverture vers d'autres parties du programme (séries entières à la question 16 
et
intégrales impropres à la question 17).
Les outils à bien maîtriser ici sont le cours d'arithmétique, le cours sur les 
séries
et les séries entières, et enfin la définition d'une intégrale impropre.

Indications
Partie I
2 Utiliser la 2-périodicité de l'application  .
4 Se ramener à une série alternée.
Partie II
5 L'application f :

(

(Z/NZ) - (Z/NZ)
k

est une bijection.

7- ak

6 Étudier (a(N) ).
7 La distance entre deux entiers de l'intervalle [[ a ; b ]] est majorée par b 
- a.
8 L'application qui à k  [[ 1 ; N - 1 ]] associe rk est une permutation de 
l'ensemble
{1, 2 . . . , N - 1}.
9 Choisir a tel que (a) = -1 et calculer

N-1
P

(ak).

k=1

m
P

(k) où m 6 N - 1.
m
P
Attention aux domaines des indices quand vous décomposez la somme
(k).

10 Se servir de la question 9 pour se ramener à la somme

k=1

k=1

11 Vérifier le critère de Cauchy en utilisant le lemme (1) et la question 10. 
Attention :
le lemme (1) comporte une erreur de typographie (cf. remarque dans le corrigé).
Essayez de la détecter en reconstituant la preuve de ce lemme.
Partie III
12 Comparer les diviseurs de n, m et nm.
13 Énumérer les diviseurs de p pour p premier et   N .
14 Décomposer n en facteurs premiers.
15 Décomposer n en facteurs premiers.
16 Utiliser l'encadrement de la question 14. Montrer que la série diverge pour 
x = 1.
P
P 2
17 Comparer fn xn et e n ln x en utilisant la question 15.

I. Cas particuliers
1 D'après la propriété A, il existe a tel que (a) 6= 0. D'après la propriété C,
(a) = (a.1) = (a)(1)
d'où

(1) = 1
La première partie du sujet a essentiellement pour but de vous familiariser
avec la manipulation des propriétés arithmétiques de l'application . Pensez
à bien préciser à chaque fois la propriété dont vous vous servez.

2 D'après la propriété D, l'application  est N-périodique, ce qui implique que 
si
deux entiers a et b sont congrus modulo N, alors (a) = (b). Il suffit de 
déterminer
(0) et (1). Ils sont donnés par la propriété A et la question 1. Ainsi

0 si n est un entier relatif pair
Pour N = 2, on a (n) =
1 si n est un entier relatif impair
3 Par la propriété D, on sait que (3) = (-1 + 4) = (-1). Mais d'après la
propriété C et le résultat de la question 1, (-1)2 = (1) = 1. D'où
(3) = -1 ou (3) = 1
4 L'application  est complètement déterminée par les valeurs (0), (1), (2)
et (3) d'après la 4-périodicité de . On sait déjà que (0) = 0 par la propriété 
A et
que (1) = 1 par la question 1. Comme 2 n'est pas premier avec 4, il vient (2) = 
0
(propriété B) ; le sujet suppose ici que (3) = -1.
Si n = 2k, on a donc (n) = 0, et si n = 2k + 1, (n) = (-1)k . Ainsi,
N  N

(N-1)/2
N (n)
P
P
(-1)k
=
2k + 1
n=1 n
k=0

(1)

Or, la série de terme général (-1)k /(2k +1) est une série alternée, et 1/(2k 
+1) k
est une suite décroissante et convergeant vers 0. En conséquence, la série de 
terme
général (-1)k /(2k + 1) converge. D'après l'égalité (1) sur les sommes 
partielles, il en
est de même de la série de terme générale (n)/n.
De plus, d'après le développement en série entière d'Arctan donné dans l'énoncé,
Ainsi

La série

P (n)

converge vers Arctan 1 = .
n
4

La référence à la fonction Arctan P
x est ici purement anecdotique. Il s'agit de
vous faire remarquer que la série (n)/n mérite qu'on s'y intéresse dans la
suite du sujet. Dans la pratique, les caractères de Dirichlet servent notamment
à prouver l'existence d'une
P infinité de nombres premiers. On définit pour cela
les séries de Dirichlet (n)/ns avec s > 1, qui convergent vers
 (n)
P
= 
s
p premier
n=1 n

1
(p)
1- s
p

II. Convergence de la série

 (n)
P
1

n

5 Déterminons la classe d'équivalence de a(N) dans Z/NZ. Pour cela, calculons
d'abord la classe d'équivalence de

 ak. On trouve, d'une part,

kP

 ak = a(N) kP
k

kP

Mais, d'autre part, comme a et N sont premiers entre eux, il existe (m, l)  Z2
tel que ma + lN = 1 d'après le théorème de Bézout. Ainsi, m a  1 mod N, et la
classe de a est inversible dans Z/NZ.
Ceci prouve plus généralement que pour tout n  P, la classe de n est inversible 
dans Z/NZ.
On en déduit que l'application
f:

(

(Z/NZ) - (Z/NZ)
k

7- ak

est une bijection, de bijection réciproque
(
(Z/NZ) - (Z/NZ)
-1
f :
k
7- mk
Ainsi, en réindexant, on trouve aussi

 ak = kP
 ak = kP
k

kP

Donc a(N)

 k = kP
 k, et comme kP
 k est inversible dans Z/NZ en tant que

kP

produit d'éléments inversibles, on peut simplifier par

 k, ce qui donne

kP

a(N) = 1
soit

a(N) - 1 est divisible par N.

6 D'après la question 5, a(N) est congru à 1 modulo N. Par la N-périodicité de ,
on a (a(N) ) = (1). Mais (1) = 1 d'après la question 1, et
(a(N) ) = (a)(N) = 1
par la propriété C. Ainsi, (a) est une racine (N)-ième de l'unité, ce qui 
implique
|(a)| = 1
Le résultat précédent reste valable si l'application  est à valeurs dans C.