E3A Maths A MP 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants
Principaux outils utilisés continuité d'applications linéaires, calcul intégral, produit scalaire, séries entières, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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V53C

e 3 5
Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est

amené à prendre.

L'usage des calculatrices est interdit

Notations
Soit 1 un intervalle de R contenant 0.

EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et 
on note : désigne

Ilflloe = Suplf(ûfi)l

CEE]

On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I 
dans R et on note :

L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, ...

L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEL2(1), ||f|'l2= ,//|fl2
I 1

Partie I

1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que 
l'équation :

y'+cy=f

admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie :

v(f)(0) = 0
Démontrer :

V:}: E [, cp(f)(oe) : e_"cæ /: czth(t) dt

Tournez la page S.V.P

Notations
Soit 1 un intervalle de R contenant 0.

EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et 
on note : désigne

HfHOED==mHJUTOEN

CEE]

On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I 
dans R et on note :

L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, lfl

L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEURL2(1),llf|'l2='//|le
I 1

Partie I

1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que 
l'équation :

y' + cy = f
admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie :
vUXOE=fl)

Démontrer :

V:}: E [, cp(f)(oe) : e"°"' /: czth(t) dt

2 - Exprimer cp' ( f ) en fonction de f et go( f ) et démontrer que  gp( f ) est linéaire sur EURO(l )

Partie II

On suppose dans cette partie que l'intervalle I est un segment [a, I)] avec a < 
() < b.
1 - Démontrer qu'il existe des réels positifs M1 et M2 tels que :

Vf & EUR°(I), Ilf|ll< \ M1llf|lg 0, f,\ 
est la fonction définie sur I

par:
Va: EUR I, fÀ-(æ) = e')'oe

1 - Déterminer g0( f À).
2 - Démontrer que f A et cp(f,\) sont intégrables sur I .

Calcu]EURf |lfA|l1 et l|O,g(2)+c/Ox29( ()dt=/Ûf(t)g(t

En déduire que 90 est un endomorphisme continu de L2(l )et calculer:

lll@llb= sup lls&(f)lb
fEL'(D

llf||2<1

Partie IV

Soit R un réel strictement positif. On note G l'espace vectoriel réel des 
fonctions développables en série
entière sur l'intervalle ]----R, R[.

1 - Démontrer que <,0 est un endomorphisme de G .

2 - Pour f élément de G, on note (on)"GN et (bn)...EURN les suites réelles pour 
lesquelles :

+00 +00
\7'æ E ]--R, R[, f(oe) = Za...oe" et go(f)(æ) : î: bnæ"
n=0 n=0

Exprimer, pour tout entier naturel n, bn en fonction des termes de la suite 
(ak) ,OEN.

On pourra utiliser la relation f : lR
 O. Vf & L2(1), llso(f)HH < A HfH2

b) Démontrer que (p est un isomorphisme de L2(I ) dans K.

c) Démontrer que ga est continue de (L2(I), H H2) dans (K, |) HH).

d) Démontrer que cp"1 est continue de (K, H HH) dans (L2(I), |! HQ).

Tournez la page S.V.P

Partie VI

Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues 
sur IR et 2w-péfiodiques muni
de la norme :

27r '
Vf @ E, l|fHE = ]) mm

F désigne l'espace vectoriel réel des fonctions de classe (31 sur R et 
2w--péfiodiques. F est muni de la

norme :
27r

27r
erR ||f||F= ] f2(t)dt+ ] f'2(t)dt

1 - Démontrer que, pour tout f dans E, il existe une unique solution, notée w( 
f ) dans F de l'équation :
y' + au = f

Exprimer «p(f)(0) en fonction de f etc.
Démontrer que '(/J est un isomorphisme de E dans F.

2 - Pour tout f dans E et tout entier relatif k, on pose :

1 27I' 1 271"

Ck(f) -- f(t)8_ikt dt et dk(f) = Ck (WD) = -- IP(J'Î)(1Ê)6_OElt dt

=27Î ()

Exprimer d,,( f ) en fonction de ck( f )

3 - Démontrer que, pour tout f dans E, la série Z,OEZ |ck( f ) {2 converge et :

Pour g dans F, calculer Hg" F en fonction des c,,(g).
Comparer HfHE et ]W(f)l|F pour f dans E. On pourra distinguer les cas 0 < 1 etc 
> 1.

4 - Démontrer que @ est continue de (E, H "E) dans (F, [| HF).
Démontrer que $* est continue de (F, H HF) dans (E, )| HE).

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E3A Maths A MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été
relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Dans ce problème, on fixe un nombre c > 0 et l'on considère l'équation 
différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants
y + c y = f

(1)

posée sur un intervalle I contenant 0. Plus précisément, pour différents types 
de
conditions initiales y0 , on s'intéresse à l'application  qui, au second membre 
f ,
supposé continu sur I et à valeurs réelles, associe la solution du problème de 
Cauchy
correspondant à l'équation différentielle (1) pour la donnée y(0) = y0 .
Ce problème est divisé en 6 parties ; dans les 5 premières, on impose y(0) = 0.
L'intervalle I est un segment dans la partie 2, R+ dans la partie 3. La partie 4
considère le cas où f est développable en série entière sur I = ] -R ; R [ pour 
un
certain R > 0. La partie 5 étudie l'application  lorsque l'on impose des 
conditions
de régularité supplémentaires aux fonctions f . Enfin, la partie 6 s'intéresse 
à l'unique
solution 2-périodique de (1) lorsque f est de plus 2-périodique. Dans chaque 
cas,
on exploite la linéarité de  et l'on montre sa continuité lorsque les espaces 
de départ
et d'arrivée sont convenablement normés. On s'intéresse également à la 
bijectivité
de  et à la continuité de -1 .
D'une longueur raisonnable pour une épreuve de 4 heures, ce sujet passe en 
revue beaucoup de points du programme d'analyse de deuxième année, notamment les
équations différentielles linéaires, l'intégration des fonctions continues sur 
un segment
et sur un intervalle non borné, ainsi que la continuité des applications 
linéaires entre
espaces vectoriels normés. Le rapport du jury sur cette épreuve précise 
explicitement que « le problème fait appel à de nombreuses connaissances du 
cours d'analyse.
Il se veut progressif. Les premières parties sont très détaillées, ainsi que 
les premières
questions des différentes parties suivantes. » Il constitue à coup sûr une 
excellente
occasion de tester sa connaissance du cours.

Indications
I.1 Penser au théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires.
II.2 Se servir de la formule donnant (f ) démontrée en I.1.
II.5.b Utiliser le résultat de la question II.3 et raisonner comme en II.4.
III.1 Utiliser le résultat de la question I.1.
III.2 Justifier que f et (f ) sont continues sur R+ et utiliser le critère de 
domination en +.
III.4 À l'aide du théorème de Fubini, établir que si f est intégrable sur R+ , 
il en est
de même pour (f ) et
1
kf k1
c

k(f )k1 6

III.5 Multiplier la relation g  + cg = f par g  et utiliser le fait que g 2
Ensuite, établir que pour f  L2 (R+ ), on a (f )  L2 (R+ ) et

= 2g  g.

1
kf k2
c

k(f )k2 6
IV.1 Utiliser le résultat de la question I.1.

IV.2 Se servir de la relation (f ) + c (f ) = f et des propriétés des fonctions
développables en séries entières pour montrer par récurrence que
b0 = 0

et

n > 1

bn =

n
P

(-1)p-1

p=1

(n - p)! p-1
c
an-p
n!

V.1.a Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
V.2.a Utiliser le fait que
 B > 0  f  L2 (R+ )

k(f )k2 6 B kf k2

V.2.c Penser au résultat de la question V.2.a.
V.2.d Se servir de la relation -1 (y) = y  + c y.
VI.1 Déterminer quelles sont les solutions 2-périodiques de y  + cy = f sur R.
VI.2 Utiliser la relation (g) + c (f ) = f .
VI.3 Penser à la relation de Parseval. Utiliser le résultat de la question 
précédente
pour montrer que

1
kf kE
k(f )kF 6 max 1,
c

Partie I
I.1 Rappelons le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires
d'ordre 1. Soit J un intervalle de R et t0  J. Soit a et b deux fonctions 
continues
sur J à valeurs réelles et soit y0  R. Il existe une unique fonction y 
dérivable sur J
à valeurs réelles telle que y(t0 ) = y0 et pour tout x  J,
y  (t) = a(t) y(t) + b(t)
Soit f  C 0 (I) et c > 0. Ce théorème appliqué sur I, avec y0 = 0, la fonction a
continue sur I égale à -c et la fonction b continue sur I égale à f assure que
Pour tout f  C 0 (I) et c > 0, il existe une unique solution y sur I à 
l'équation y  + c y = f vérifiant y(0) = 0.
La positivité de c n'est pas utilisée dans cette question.
Soit f  C 0 (I) et c > 0. Notons y la solution sur I de l'équation
y + c y = f

(1)

vérifiant y(0) = 0. Dans le but de se ramener à un calcul de primitive par la 
méthode
de variation de la constante, définissons la fonction
(
I - R
z:
x 7- e cx y(x)
Comme y est dérivable sur I, il en est de même de z. Soit x  I,
z  (x) = c e cx y(x) + e cx y  (x)

= c e cx y(x) + e cx - c y(x) + f (x)

z  (x) = e cx f (x)

car y est solution de l'équation (1) sur I. Par intégration, il vient
Z x
Z x
z(x) = z(0) +
z  (t) dt = y(0) +
e ct f (t) dt
0

0

Puisque y(0) = 0, ceci s'écrit encore
z(x) = e

cx

y(x) =

Z

x

e ct f (t) dt

0

Finalement,

x  I

(f )(x) = y(x) = e

-cx

Z

x

e ct f (t) dt

0

On retrouve ainsi l'unicité de la solution du problème de Cauchy
 
y + cy = f
y(0) = 0

sur l'intervalle I. Par ailleurs, pour démontrer l'existence d'une solution à
ce problème de Cauchy, il suffit de montrer que la fonction (f ) définie par
l'expression précédente est bien dérivable sur I et vérifie l'équation (1) sur 
I.

On peut se passer du calcul explicite qui permet d'obtenir la formule
encadrée ci-dessus en utilisant l'unicité de la solution du problème de Cauchy
et en vérifiant simplement que la fonction proposée par l'énoncé est bien
solution de ce problème de Cauchy.
Remarquons ici que la question est en deux temps et que chacun d'eux
peut être une source d'erreur ou d'imprécision, ce qui n'est jamais vraiment
souhaitable dans une première question. Voici l'avertissement du jury : « Les
élèves ne reconnaissent pas explicitement le type linéaire de l'équation 
différentielle et en conséquence ne justifient pas toujours l'utilisation du 
théorème
de Cauchy-Lipschitz linéaire et n'en rappellent pas les hypothèses. Ceux qui
résolvent l'équation oublient souvent de vérifier l'unicité avec la condition
initiale. »
Enfin, le jury rappelle quelques conseils généraux à l'occasion de cette
épreuve : « Nous conseillons aux futurs candidats de bien connaître les
théorèmes-clés du programme ; quand un théorème est évoqué, il doit être
énoncé et nécessite de vérifier toutes les hypothèses nécessaires à son 
application. »
I.2 Comme y = (f ) est solution de l'équation (1) sur I, il vient
 (f ) = -c (f ) + f
Puisque (f ) et f sont continues sur I, il vient par combinaison linéaire que  
(f )
est continue sur I. Par conséquent,
(f ) est de classe C 1 sur I.
Soit (f1 , f2 )  C 0 (I)2 et   R. Posons y1 = (f1 ) et y2 = (f2 ). Alors, sur I,
y1 + c y1 = f1
En particulier,
Ceci s'écrit encore

et

y2 + c y2 = f2

 (y2 + c y2 ) = f2
(y2 ) + c (y2 ) = f2

Par suite, on a également, par addition
y1 + (y2 ) + c y1 + c (y2 ) = f1 + f2
c'est-à-dire

(y1 + y2 ) + c (y1 + y2 ) = f1 + f2

Puisque (y1 + y2 )(0) = y1 (0) + y2 (0) = 0, l'unicité de la solution du 
problème de
Cauchy démontrée en I.1 assure que
(f1 + f2 ) = y1 + y2 = (f1 ) + (f2 )
C'est-à-dire que

L'application  est linéaire sur C 0 (I).

Puisque (C 0 (I))  C 0 (I) et  est linéaire,  est un endomorphisme de C 0 (I).
Le reste du problème est consacré à l'étude de la continuité de  restreinte à
certains sous-espaces de C 0 (I) munis d'une norme.