Centrale Maths 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Deux théorèmes sur les espaces quadratiques
Principaux outils utilisés formes quadratiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

Filière

MP

MATHÉMATIQUES II

Filière MP

MATHÉMATIQUES II
Les calculatrices sont autorisées

Notations :
· IK désigne le corps IR ou le corps C
I .
· On fixe un IK -espace vectoriel E de dimension n  1 .

Partie I 2

I.A - On fixe une application  de E dans IK . On suppose que  est une forme
3
bilinéaire symétrique sur E , c'est-à-dire que, pour tout ( x, y, z )  E et 
pour tout
  IK , ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) et ( x, z) = ( z, x) .
I.A.1)
Pour tout élément x de E , on note h(x) l'application de E dans E telle
que  y  E , h ( x ) ( y ) =  ( x, y ) .
a) Montrer que, pour tout x de E , h(x) est élément du dual de E , noté E* .
b) Montrer que h est une application linéaire de E dans E* .

I.A.2)
Si A est une partie de E , on note A = { x  E / a  A (x, a) = 0 } .

Montrer que A est un sous-espace vectoriel de E .

Par la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera A au lieu de A .

I.A.3)
On dit que  est non dégénérée si et seulement si E = { 0 } .
Montrer que  est non dégénérée si et seulement si h est un isomorphisme.
I.A.4)
Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E .
On note e = ( e1 , ..., en ) la base duale de e .
a) Montrer que la matrice de h dans les bases e et e est :
mat ( h, e, e ) = ( (e i, e j) ) 1  i  n
1 jn

Cette dernière matrice sera également appelée la matrice de  dans la base e
et notée mat(, e)
2
b) Soit ( x, y )  E . On note X et Y les matrices colonnes dont les coefficients
sont les composantes de x et y dans la base e .
t
t
Montrer que (x, y) = XY où  = mat(, e) et où X désigne la matrice ligne
obtenue en transposant X .

Concours Centrale-Supélec 2010

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

Filière MP
I.B - Si  est une forme bilinéaire symétrique sur E , on note q  l'application 
de
E dans IK définie par :  x  E , q ( x) = ( x, x) . On dit que q  est la forme 
quadratique associée à  . On note Q ( E ) l'ensemble des q  où  est une forme 
bilinéaire symétrique sur E .
I.B.1)
Soit q  Q ( E ) .
Montrer qu'il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur E , notée  ,
telle que q = q  . On dira que  est la forme bilinéaire symétrique associée à la
forme quadratique q . On dira que q est non dégénérée si et seulement si  est
non dégénérée. Si e est une base de E , on notera mat ( q, e ) = mat ( , e ) . 
On
l'appellera la matrice de q dans la base e .
I.B.2)
Soit q une forme quadratique sur E . Soit E un second IK -espace vectoriel de 
dimension n , et soit q une forme quadratique sur E .
On appelle isométrie de ( E, q ) dans ( E, q ) tout isomorphisme f de E dans E
vérifiant : pour tout x  E , q ( f (x) ) = q ( x ) . On dira que ( E, q ) et ( 
E, q ) sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie de ( E, q ) 
dans ( E, q ) .
Montrer que ( E, q ) et ( E, q ) sont isométriques si et seulement si il existe 
une
base e de E et une base e de E telles que mat ( q, e ) = mat ( q, e ) .
*
2p
I.B.3)
Soit p  IN . Notons c = ( c 1, ..., c 2 p ) la base canonique de IK .
p

2p

Pour tout x =

 xi ci  IK

2p

, on pose q p(x) = 2  x i x i + p .
i=1
2p

i=1

a) Montrer que q p est une forme quadratique sur IK et calculer mat(q p, c) .
b) On appelle espace de Artin (ou espace artinien) de dimension 2 p tout couple
( F , q ) , où F est un IK -espace vectoriel de dimension 2 p , et où q est une 
forme
2p
quadratique sur F telle que ( F, q ) et ( IK , q p ) sont isométriques.
Montrer que dans ce cas, q est non dégénérée.
Lorsque p = 1 , on dit que ( F, q ) est un plan artinien.
I et pour tout
c) On suppose que IK = C
2p

x =

2p
2p

xk ck  C
I

, on pose q(x) =

k=1

2

xk

k=1
2p

I , q ) est un espace de Artin.
Montrer que ( C

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

d) On suppose que IK = IR et pour tout

i=1

2p

p

2p

x =

x i c i  IR

2p

, : on pose q(x) =

2p

2

xi ­

i=1

2

xi .

i = p+1

Montrer que ( IR , q ) est un espace de Artin.
e) Si ( F, q ) est un espace de Artin de dimension 2 p , montrer qu'il existe un
sous-espace vectoriel G de F de dimension p tel que la restriction de q à G est
identiquement nulle.

Partie II Pour toute la suite de ce problème, on suppose que  est une forme 
bilinéaire
symétrique non dégénérée sur E , et on note q sa forme quadratique.
II.A II.A.1) Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E . On note encore e = ( e1 
, ..., en ) la
base duale de e . Soit p  { 1, ..., n } . On note F l'espace engendré par e 1, 
..., e p .

a) Montrer que F est l'image réciproque par h de Vect ( ep + 1 , ..., en ) , où 
h est
définie au I.A.1.

b) Montrer que dim ( F ) + dim ( F ) = n .

c) Montrer que ( F ) = F .
II.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E .

a) Montrer que ( F + G ) = F  G .

b) Montrer que ( F  G ) = F + G .
II.A.3) Soit F un sous-espace vectoriel de E . On note  F la restriction de  à
2
F . On dira que F est singulier si et seulement si  F est dégénérée.
Montrer que F est non singulier si et seulement si l'une des propriétés 
suivantes est vérifiée :

· F  F = {0} ;

· E = FF ;

· F est non singulier.
II.A.4) On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont orthogonaux
si et seulement si pour tout (x, y)  F × G ,  ( x, y ) = 0 .
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E orthogonaux et non singuliers,
montrer que F  G est non singulier.
II.B - Soit q une seconde forme quadratique sur E dont la forme bilinéaire
2
symétrique associée est notée  . Comme au I.A.1, on note, pour tout (x, y)  E ,
h ( x ) ( y ) =  ( x, y) et h ( x ) ( y ) =  ( x, y) .

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E . On dit que e est q -orthogonale si 
et seule2
ment si, pour tout (i, j)  { 1, ..., n } , avec i  j ,  ( e i, e j ) = 0 .
2
2
2
2
II.B.1) On suppose que E = IR et pour tout (x, y)  IR , q (x, y) = x ­ y et
q ( x, y) = 2xy .
Déterminer une base q -orthogonale et une base q -orthogonale.
2
II.B.2) Existe-t-il une base de IR orthogonale pour q et pour q définies à la
question II.B.1 ?
II.B.3) Supposons que e est à la fois q -orthogonale et q -orthogonale.
­1
Montrer que, pour tout i  { 1, ..., n } , e i est un vecteur propre de h o h  .
­1
II.B.4) On suppose que h o h  admet n valeurs propres distinctes.
Montrer qu'il existe une base de E orthogonale à la fois pour q et pour q .
II.C II.C.1) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 et tel que x  0 .
On se propose de démontrer qu'il existe un plan   E contenant x et tel que
(,q /) soit un plan artinien (où q / désigne la restriction de l'application q 
au
plan  ).
a) Démontrer qu'il existe z  E tel que  ( x, z ) = 1
q( z)
b) On pose y = z ­ ----------- x . Calculer q ( y ) .
2
c) Conclure.
II.C.2) Soit F un sous-espace vectoriel singulier de E . On suppose que

( e 1, ..., e s ) est une base de F  F . On note G un supplémentaire de F  F 
dans
F.
a) Montrer que G est non singulier.

b) Démontrer par récurrence sur la dimension de F  F (en commençant par

dim ( F  F ) = 1 , puis dim ( F  F ) > 1 ) qu'il existe s plans P 1, ..., P s 
de E tels
que les trois propriétés suivantes soient vérifiées :
1) Pour tout i  { 1, ..., s } , ( P i, q / Pi ) est un plan artinien contenant 
e i
2
2) Pour tout (i, j)  { 1, ..., s } avec i  j , P i est orthogonal à P j .
3) Pour tout i  { 1, ..., s } , P i est orthogonal à G .
II.C.3) Montrer que F = G  P 1  ...  P s est non singulier.
On dira que F est un complété non singulier de F .
n
II.C.4) Montrer que si q / F = 0 , alors dim ( F )  --- .
2

II.C.5) On suppose que n = 2 p . Montrer que (E,q) est un espace de Artin si et
seulement si il existe un sous-espace vectoriel F de E de dimension p tel que
q/F = 0.

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

Partie III On note O ( E, q ) l'ensemble des isométries de ( E, q ) dans 
lui-même, c'est-à-dire
l'ensemble des automorphismes f de E vérifiant :
pour tout x  E , q ( f ( x ) ) = q ( x ) .
III.A III.A.1) Soit f un endomorphisme de E .
2
a) Montrer que f  O ( E, q ) si et seulement si, pour tout (x, y)  E :
 ( f ( x ), f ( y ) ) =  ( x, y ) .
Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E et si f  O ( E, q ) , alors

f ( F ) = ( f ( F )) .
b) Soit e une base de E . Calculer la matrice de la forme bilinéaire :
( x, y) a  ( f ( x ), f ( y ) ) en fonction de mat ( f , e ) et de mat ( , e ) .
c) Posons M = mat ( f , e ) et  = mat ( , e ) .
t
Montrer que f  O ( E, q ) si et seulement si  = MM .
d) Montrer que si f  O ( E, q ) , alors det ( f )  {1,­ 1} . On notera :
+

­

O ( E, q ) = { f  O ( E, q ) / det ( f ) = 1 } et O ( E, q ) = { f  O ( E, q ) 
/ det ( f ) = ­ 1 } .

III.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F  G .
On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G .
a) Montrer que s  O ( E, q ) si et seulement si F et G sont orthogonaux (pour  
).
b) En déduire que les symétries de O ( E, q ) sont les symétries par rapport à F

parallèlement à F , où F est un sous-espace non singulier de E .
c) Lorsque H est un hyperplan non singulier, on appellera réflexion selon H la

symétrie par rapport à H parallèlement à H . Montrer que toute réflexion de
­
E est un élément de O ( E, q ) .
2
d) Soit (x, y)  E tel que q ( x ) = q ( y ) et q ( x ­ y )  0 .

On note s la réflexion selon H = { x ­ y } . Montrer que s ( x ) = y .
III.B III.B.1) Supposons que E est un espace artinien de dimension 2 p et que F 
est
un sous-espace de E de dimension p tel que q / F = 0 .
+

Si f  O ( E, q ) avec f ( F ) = F , montrer que f  O ( E, q ) .
III.B.2) Soit F un sous-espace de E tel que F = E (où F est un complété non
singulier de F ). Montrer que si f  O ( E, q ) avec f / F = Id F (où Id F est 
l'applica+
tion identité de F dans F ), alors f  O ( E, q ) .

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

III.B.3) Soit f  O ( E, q ) . On suppose que pour tout x  E tel que q ( x )  0 
, on a
f ( x ) ­ x  0 et q ( f ( x ) ­ x ) = 0 .
+
On se propose de démontrer que f  O ( E, q ) et que E est un espace de Artin.
a) Montrer que dim ( E )  3 .
b) On note V = Ker ( f ­ Id E ) . Montrer que q / V = 0 .

c) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 . Notons H = { x } . Montrer que q / H n'est 
pas
identiquement nulle.
En déduire qu'il existe y  E tel que q ( x + y ) = q ( x ­ y ) = q ( y )  0 .
d) On note U = Im ( f ­ Id E ) . Montrer que q / U = 0 .

e) Montrer que U = V = U .
+

f) En déduire que E est un espace de Artin et que f  O ( E, q ) .

Partie IV IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont 
voici
l'énoncé : « si f  O ( E, q ) , f est la composée d'au plus n réflexions, où
n = dim ( E ) , en convenant que Id E est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque n = 1 . On veut
ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que n > 1 et que le théorème
de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant E par tout espace vectoriel
de dimension n ­ 1 .
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que f ( x ) = x avec q ( x )  0 .
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que q ( x )  0 et q ( f ( x ) ­ x )  
0 .
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé :
« soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E tels qu'il existe une 
isométrie
f de ( F , q / F ) dans ( F, q / F  ) (la définition d'une isométrie a été 
donnée au I.B.2).
Alors il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f .»
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où F et F sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que F
et F
sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) = 1 . Soit x  F avec x  0 . Posons y = f ( x ) .
a) Montrer que q ( x + y ) ou q ( x ­ y ) est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que F et F sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) > 1 .

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

III.B.3) Soit f  O ( E, q ) . On suppose que pour tout x  E tel que q ( x )  0 
, on a
f ( x ) ­ x  0 et q ( f ( x ) ­ x ) = 0 .
+
On se propose de démontrer que f  O ( E, q ) et que E est un espace de Artin.
a) Montrer que dim ( E )  3 .
b) On note V = Ker ( f ­ Id E ) . Montrer que q / V = 0 .

c) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 . Notons H = { x } . Montrer que q / H n'est 
pas
identiquement nulle.
En déduire qu'il existe y  E tel que q ( x + y ) = q ( x ­ y ) = q ( y )  0 .
d) On note U = Im ( f ­ Id E ) . Montrer que q / U = 0 .

e) Montrer que U = V = U .
+

f) En déduire que E est un espace de Artin et que f  O ( E, q ) .

Partie IV IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont 
voici
l'énoncé : « si f  O ( E, q ) , f est la composée d'au plus n réflexions, où
n = dim ( E ) , en convenant que Id E est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque n = 1 . On veut
ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que n > 1 et que le théorème
de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant E par tout espace vectoriel
de dimension n ­ 1 .
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que f ( x ) = x avec q ( x )  0 .
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que q ( x )  0 et q ( f ( x ) ­ x )  
0 .
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé :
« soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E tels qu'il existe une 
isométrie
f de ( F , q / F ) dans ( F, q / F  ) (la définition d'une isométrie a été 
donnée au I.B.2).
Alors il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f .»
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où F et F sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que F
et F
sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) = 1 . Soit x  F avec x  0 . Posons y = f ( x ) .
a) Montrer que q ( x + y ) ou q ( x ­ y ) est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que F et F sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) > 1 .

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MATHÉMATIQUES II

Filière MP

a) Montrer qu'il existe F 1 et F 2 non singuliers, tels que F 1 F 2 et F = F 1  
F 2 ,
avec dim ( F 1 ) = dim ( F ) ­ 1 .
b) Supposons qu'il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f / F . Notons

1
1
F1 = f ( F 1 ) . Montrer que f ( F 2 )  F1 et que g ( F 2 )  F1 .
c) Montrer qu'il existe

h  O ( F1 , q /

)
F1

­1

telle que h / g ( F ) = ( f o g ) / g ( F ) .
2
2

d) Montrer qu'il existe k  O ( E, q ) telle que k / F = f .
IV.B.4) Démontrer le théorème de Witt.
··· FIN ···

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7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (ENS Cachan) ; il a été relu par
Victor Rabiet (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Le sujet propose d'établir une longue série de résultats autour des formes 
quadratiques et de leurs isométries associées afin de démontrer deux théorèmes 
classiques
(et non triviaux dans ce contexte) :
· le théorème de Cartan-Dieudonné qui énonce que toute isométrie d'un espace
quadratique de dimension n est la composée d'au plus n réflexions ;
· le théorème de Witt qui affirme que toute isométrie entre deux sous-espaces
s'étend en une isométrie sur l'espace tout entier.
Ce problème d'algèbre se compose de quatre parties totalement dépendantes, de
difficulté exponentielle, avec plusieurs pics à franchir pour espérer pouvoir 
débuter
certaines questions ensuite.
· La première partie introduit les formes bilinéaires symétriques et les formes
quadratiques. Il s'agit d'approfondir légèrement les résultats du cours sur ces
objets pour définir ensuite les espaces artiniens.
· La deuxième partie se concentre sur les sous-espaces singuliers F d'un espace
quadratique, c'est-à-dire ceux qui possèdent un vecteur non nul qui appartient
à leur orthogonal (ce qui est impossible dans un espace euclidien). À la fin
de cette partie, on construit le plus petit sous-espace non singulier contenant
un sous-espace singulier donné. Attention en particulier à la question II.C.2,
difficile à traiter même sans la pression du concours, mais dans laquelle la
construction proposée est indispensable à comprendre pour la suite.
· Dans la troisième partie, on caractérise les isométries d'un espace 
quadratique,
notamment les réflexions orthogonales. Il s'ensuit trois conditions suffisantes
pour qu'une isométrie soit positive. La dernière est a priori loufoque mais 
nécessaire pour la démonstration d'un sous-cas qui apparaît dans la suite du
problème.
· La quatrième partie est consacrée à la démonstration des théorèmes de 
CartanDieudonné et de Witt. Extrêmement difficile, inabordable en l'espace de 
quatre
heures, elle est destinée aux rares élèves qui, après avoir avalé quantité 
d'algèbre
indigeste, seraient encore intéressés par cette théorie, passionnante sur le 
fond,
des formes quadratiques.
Ce problème reste malheureusement fidèle à la tradition des sujets interminables
de Centrale. Toutefois, ce sont les premières parties qui font la différence 
entre les
copies car elles permettent de vérifier si les connaissances du cours sont bien 
acquises.
Ici, cela concerne les parties I, II.A, II.B et III.A où on trouve matière à 
réviser
l'algèbre linéaire classique (bases duales, changements de coordonnées, 
symétries,...)
dans un contexte non familier. C'est avant tout pour cette raison que ce sujet 
mérite
qu'on s'y attarde.

Indications
Partie I
I.A.3 Faire apparaître le noyau de h dans la définition de E .
I.A.4.a Pour tout i  {1, . . . , n}, exprimer h(ei )(y) en fonction des 
coordonnées
(y1 , . . . , yn ) du vecteur y dans la base e. Se souvenir ensuite que ej  (y) 
= yj .
I.A.4.b Utiliser la bilinéarité de  avec les décompositions de x et y dans la 
base e.
I.B.1 Exprimer (x, y) en fonction de q(x + y), q(x) et q(y).
I.B.2 Étant donnée une isométrie f : (E, q) - (E , q  ), montrer que, pour tout
(x, y)  E2 , (x, y) =  (f (x), f (y)). Ce résultat est utile dans la suite du
problème. Réciproquement, étant données deux bases e et e dans lesquelles
les matrices de q et q  (respectivement) sont égales, considérer l'isomorphisme 
f : E - E qui envoie e sur e .
I.B.3.b Utiliser la caractérisation suivante : q est non dégénérée si et 
seulement si,
pour toute base e de E, Mat (q, e) est inversible.
I.B.3.c S'inspirer de l'égalité a2 +b2 = (a+i b)(a-ib) pour trouver le bon 
changement
de coordonnées dans C2p .
I.B.3.e Chercher d'abord un tel espace G pour l'espace artinien canonique (K2p 
, qp ).
Partie II
II.A.1.a Montrer qu'une forme linéaire est identiquement nulle sur F si et 
seulement si
elle appartient à Vect (ep+1  , . . . , en  ).
II.A.1.c Il suffit de montrer l'inclusion F  (F ) .
II.A.2.a Établir l'égalité par double inclusion.
II.A.2.b Appliquer l'orthogonal à l'égalité précédente.
II.A.3 Vérifier que F  F = FF .
II.A.4 Montrer dans un premier temps que F et G sont en somme directe. Dans un
second temps, utiliser la première propriété de la question précédente pour
montrer que la somme est non singulière.
II.B.3 Partir des expressions de h(ei ) et h (ei ) dans la base duale e .
II.B.4 Considérer une base de vecteurs propres de h-1  h.
II.C.1.a Utiliser le résultat de la question I.A.3.
II.C.1.c Calculer la quantité q( x +  y) pour (, )  K2 .
II.C.2.a Se souvenir que F  F = FF = Ker hF où hF : F - F est défini par
hF (x)(y) = F (x, y).
II.C.2.b Choisir un vecteur e
e1 dans G  F où G = G + Vect (e2 , . . . , es+1 ) puis
appliquer l'hypothèse de récurrence à F = G + P1 .
II.C.3 Utiliser le résultat de la question II.A.4.
II.C.4 Remarquer que F  F si q|F = 0.
II.C.5 Pour montrer que (E, q) est un espace de Artin, construire la matrice de 
q
dans une base bien choisie sachant que F = E.
Partie III
III.A.1.a Pour la réciproque, ne pas oublier de vérifier que f est inversible. 
Pour la

seconde partie de la question, il suffit de vérifier que f (F )  f (F) .

III.A.2.a Une symétrie s par rapport à F et parallèlement à G est définie par 
s(x) = x
pour x  F et s(y) = -y pour y  G.
III.A.2.c Construire la matrice d'une réflexion dans une base adaptée.
III.A.2.d Pour une symétrie s de E par rapport à F et parallèlement à G, et pour
x  E, s(x) est l'unique vecteur z  E vérifiant x + z  F et x - z  G.
III.B.1 Considérer une base e de E telle que

0 Ip
 = Mat (q, e) =
Ip 0

III.B.2
III.B.3.a

III.B.3.d
III.B.3.e

et écrire Mat (f, e) par blocs. L'égalité matricielle de la question III.A.1.c
impose des contraintes sur les blocs de Mat (f, e). Le déterminant de f
apparaît en appliquant le déterminant sur l'une de ces contraintes.
Même raisonnement qu'à la question précédente en utilisant la décomposition de 
la question II.C.3.
Si E est une droite, montrer que f est nécessairement l'identité. Si E est
un plan, raisonner matriciellement pour obtenir des informations sur f qui
aboutissent à des contradictions.
Étant donné z = f (x) - x pour x  E, montrer que q(z) = 0 en distinguant
les deux cas q(x) 6= 0 et q(x) = 0.
Montrer d'abord que V  U puis raisonner avec les dimensions à l'aide
de la question II.C.4 et du théorème du rang.

Partie IV
IV.A.2 Appliquer l'hypothèse de récurrence à (H, q|H ) où H = {x} . Étendre
ensuite les réflexions de H obtenues par l'identité sur Kx, puis vérifier que
ces extensions sont bien des réflexions orthogonales.
IV.A.3 Considérer fe = s  f où s est la réflexion obtenue à la question 
III.A.2.d.
IV.A.4 Observer tout d'abord que les autres cas correspondent à la condition de
la partie III.B.3. Considérer ensuite l'isométrie négative fe = s  f où s est
une réflexion quelconque de E.
IV.B.1 Lire le début du corrigé de cette question en guise d'indication : trois 
sousquestions y sont présentées. Certaines sont utiles pour la suite.
IV.B.2.b Dans le cas q(x + y) 6= 0, poser y  = -y pour pouvoir utiliser le 
résultat de
la question III.A.2.d.
IV.B.3.b Voir que F2  F1  et se rappeler du second résultat de la question 
III.A.1.a.
IV.B.3.c Appliquer le théorème de Witt sur les deux droites g(F2 ) et f (F2 ) 
de F1  .
IV.B.3.d Construire k à partir de f|F1 et h  g.

Les conseils du jury
Le rapport du jury insiste sur le recul nécessaire pour répondre à de 
nombreuses questions du sujet. Il proscrit le « bachotage à court terme sur des
exercices corrigés ». En outre, le sujet est extrêmement long (à la lecture du
rapport, il semblerait que la partie IV n'ait pas du tout été abordée). La 
stratégie gagnante était d'apporter le plus grand soin aux questions plus 
faciles.
Pour ces dernières, « bien comprises quant au fond par une large proportion
de candidats, les correcteurs se sont particulièrement attachés à la qualité de
la rédaction. » En particulier sur la forme, les défauts « ont été largement
sanctionnés ».

Partie I
I.A.1.a La forme bilinéaire  est linéaire à gauche et symétrique donc est 
linéaire à
droite également. Ainsi, pour x  E, la fonction h(x) est linéaire et à valeurs 
dans K
car  l'est.
Pour tout x  E, h(x) est une forme linéaire sur E.
I.A.1.b La fonction h : E - E est linéaire lorsque l'égalité suivante entre
fonctions est satisfaite :
 (x, x )  E2

  K

h(x +  x ) = h(x) +  h(x )

Vérifions-la « point-à-point » pour (x, x )  E2 et   K fixés. Pour tout y  E,
h(x +  x )(y) = (x +  x , y)
(définition de h)

= (x, y) +  (x , y) ( est linéaire à gauche)

h(x +  x )(y) = h(x)(y) +  h(x )(y)
(définition de h)
La fonction h : E - E est linéaire.
I.A.2 L'ensemble A contient 0E car  est linéaire à gauche (et toute application
linéaire est nulle en 0). Il est stable par combinaisons linéaires pour la même 
raison :
 (x, x , , a)  (A )2 × K × A

(x+  x , a) = (x, a)+  (x , a) = 0 + × 0 = 0

L'ensemble A est un sous-espace vectoriel de E.
I.A.3 Reformulons la définition de E .
E = {x  E | y  E

(x, y) = h(x)(y) = 0}

= {x  E | h(x) = 0E } = Ker h
Le noyau a un sens car h est une application linéaire (question I.A.1.b). Ainsi,
E = {0} si et seulement si h : E - E est injective. Comme E et E ont même
dimension, l'injectivité de h équivaut à sa bijectivité. Finalement,
 est non dégénérée si et seulement si h est un isomorphisme.
I.A.4.a La ie colonne de Mat (h, e, e ) représente les coordonnées de h(ei ) 
dans la
base duale e . Rappelons que pour un vecteur y  E de coordonnées (y1 , . . . , 
yn ) dans
la base e, on a ei  (y) = yi .
Cette relation est la seule chose importante à retenir sur les bases duales.
Autrement dit, ei  est la fonction ie -coordonnée sur E. Ainsi, pour obtenir la
décomposition dans e d'une forme linéaire f sur E, il suffit d'exprimer f (y)
en fonction des coordonnées yi de y dans e puis de remplacer yi par ei  dans
l'expression obtenue.